Tt tieng viet 31834

MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Hàm đa điều hoà dưới và tập giải tích là các đối tượng quan trọng của giải tích
phức nhiều biến. Tuy nhiên việc nghiên cứu đồng thời hai đối tượng này cịn ít
được đề cập đến. Một trong những nguyên nhân là do sự hiện diện những điểm
kỳ dị trên tập giải tích làm cho q trình trơn hóa (hay là xấp xỉ địa phương
bằng tích chập) các hàm đa điều hịa dưới hay kỹ thuật lấy bao trên của họ
những hàm đa điều hịa dưới khơng cịn tác dụng. Đây chính là hai công cụ kỹ
thuật được coi là tiêu chuẩn của lý thuyết đa thế vị phức trên các tập mở trong
Cn . Chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài "Hàm đa điều hịa dưới trên tập giải tích
trong Cn " vì một phần do những thách thức kể trên và cũng một phần do những
ứng dụng vào các bài toán trung tâm của lý thuyết đa thế vị và giải tích phức
như: Giải phương trình Monge-Ampère trên tập giải tích, đánh giá định lượng
hội tụ của dãy các hàm đa điều hịa dưới trên tập giải tích,...
II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Để dễ theo dõi, ta bắt đầu bằng cách nhắc lại một số khái niệm cơ bản (xem [6])
về tập giải tích. Cho D là tập mở trong Cn . Một tập con đóng V của D được gọi
là tập giải tích nếu với mọi z0 ∈ V ta tìm được lân cận mở U của z0 và một họ
các hàm chỉnh hình {fi }i∈I xác định trên U sao cho V ∩ U = {z ∈ U : fi (z) =
0, ∀i ∈ I}. Trên một tập giải tích có hai loại điểm là điểm kỳ dị và điểm chính
qui. Điểm a ∈ V được gọi là điểm chính qui nếu tồn tại một lân cận U của a để
V ∩ U là một đa tạp con phức số chiều k của U . Nói cách khác, tồn tại các hàm
chỉnh hình f1 , ..., fn−k xác định trên U sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

a. V ∩ U = {z ∈ U : fi (z) = 0, ∀1 6 i 6 n − k};
∂fi
)1≤i≤n−k,1≤j≤n = n − k.
b. rank (
∂zj
Trong trường hợp này chúng ta sẽ viết dima V = k . Tập các điểm chính qui của
V được ký hiệu là Vr và Vs := V \ Vr là tập các điểm kỳ dị của V . Số chiều của

tập giải tích V được định nghĩa là dim V = max dima V.
a∈Vr

Chúng tơi sẽ tập trung tìm hiểu các vấn đề sau đây xoay quanh các hàm đa điều
1


hịa dưới xác định trên tập giải tích trong Cn .
Vấn đề 1. Cho V là tập con giải tích của miền bị chặn D trong Cn . Tìm các
điều kiện trên V để mọi hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên xác định trên V có
thể xấp xỉ bởi các hàm đa điều hòa dưới trên V và liên tục trên V¯ . Từ đó tìm
ứng dụng vào việc giải quyết bài toán Dirichlet với giá trị biên liên tục (có thể
trừ ra một tập kỳ dị đủ nhỏ).
Vấn đề 2. Xây dựng một cách định lượng những nguyên lý so sánh đối với các
hàm đa điều hòa dưới bị chặn. Từ đó tìm áp dụng vào việc nghiên cứu các điều
kiện đủ cho hội tụ của dãy các hàm đa điều hịa dưới thơng qua hội tụ của giá
trị biên của chúng cùng với hội tụ của dãy các độ đo Monge-Ampère tương ứng.
Để hiểu rõ hơn các hướng nghiên cứu này, chúng tơi sẽ bình luận các kết quả
mà những nhà tốn học trước đó đã đạt được. Đối với những miền mở bị chặn
trong Cn thì vấn đề 1 đã được nghiên cứu bởi F. Wikstrom và sau đó bởi N.
Q. Diệu và Wikstrom cách đây khoảng 15 năm trong các cơng trình [18], [11],
[8]. Điểm mấu chốt là các tác giả này sử dụng một định lý đối ngẫu cổ điển của
Edwards trong [12] nhằm đưa bài tốn xấp xỉ hàm đa điều hịa dưới về việc so
sánh các lớp độ đo Jensen ứng với những nón hàm đa điều hịa dưới khác nhau.
Khi chuyển sang tập giải tích thì có một số kết quả ban đầu đạt được trong [19].
Những kết quả này có hạn chế là ln giả thiết tập giải tích V đã có một lân
cận mở B−chính qui trong Cn . Đối với vấn đề 2, ngồi các cơng trình kinh điển
của Bedford và Taylor trong [2], [3], [4] hay Cegrell trong [5], chúng ta phải kể
đến các kết quả gần đây hơn của Xing trong citeXi1 và nhất là [21], ở những
cơng trình này, những đánh giá định lượng của nguyên lý so sánh đã được đưa

ra. Một lần nữa, khi nghiên cứu bài toán xấp xỉ cho vấn đề thứ 2, chúng tơi đã
phải vượt qua một khó khăn đáng kể là thiết lập các cơng thức tích phân từng
phần cho các dòng dương trên những tập giải tích có kỳ dị Ngồi ra, một ý mới
của chúng tôi là đã lần đầu tiên đề cập tới việc làm yếu điều kiện biên
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Một khó khăn khi làm việc với các tập giải tích là sự xuất hiện những điểm kỳ
dị nên ngoài các phương pháp truyền thống của Nguyễn Quang Diệu và Frank
Wikstrom (sử dụng các định lý đối ngẫu Edwards) hay của Bedford (nguyên lý
so sánh đối với toán tử Monge-Ampère) trong trường hợp Cn , chúng tơi cịn phải
kết hợp với các công cụ mạnh của lý thuyết đa thế vị phức trên tập giải tích như
những kết quả của Fornaess và Narasimhan về đặc trưng hàm điều hịa dưới,
cơng thức tích phân từng phần đối với các dạng vi phân trên tập giải tích,...

2


Chương 1
Tổng quan về các vấn đề trong luận án

1.1

Hàm điều hịa dưới

Ta bắt đầu bằng việc trình bày lại các định nghĩa cùng với một số kết quả về
hàm điều hịa dưới trên C và sau đó là về hàm đa điều hòa dưới trên Cn . Dụng ý
của chúng tôi là để cho bạn đọc hiểu được khái niệm hàm đa điều hịa dưới trên
tập giải tích sẽ được trình bày sau đó. Các kết quả này cùng với những chứng
minh chi tiết có thể tìm thấy trong cuốn sách kinh điển về lý thuyết đa thế vị
phức [16].
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là không gian tôpô. Hàm u : X → [−∞, +∞) gọi

là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi a ∈ R tập

Xa = {x ∈ X : u(x) < a}
là tập mở trong X .
Hàm nửa liên tục trên có tính chất thú vị sau đây.
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử u là hàm nửa liên tục trên trên không gian tôpô X và
K b X là tập compact. Khi đó u đạt cực đại trên K .
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử Ω là tập mở trong C. Hàm u : Ω → [−∞, +∞) gọi
là điều hòa dưới trên Ω nếu u nửa liên tục trên trên Ω, u 6≡ −∞ trên bất kì một
thành phần liên thơng của Ω và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên Ω,
nghĩa là với mọi ω ∈ Ω tồn tại % > 0 sao cho với mọi 0 ≤ r < % ta có

1
u(w) 6
2π

Z2π

u(w + reit )dt.

0

3


1.2

Hàm đa điều hòa dưới

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và u :−→ [−∞, +∞) là hàm nửa

liên tục trên, không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của Ω.
Hàm u gọi là đa điều hòa dưới trên Ω (viết u ∈ P SH(Ω)) nếu với mọi a ∈ Ω và
b ∈ Cn , hàm λ 7−→ u(a + λb) là điều hịa dưới hoặc bằng −∞ trên mọi thành
phần liên thơng của tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}.
Tương tự như hàm điều hịa dưới, ta có kết quả sau.
Định lý 1.2.2. Giả sử u : Ω −→ [−∞, +∞) là hàm nửa liên tục trên, không
đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của Ω ∈ Cn . Khi đó u ∈
P SH(Ω) khi và chỉ khi với mọi a ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho

{a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω
ta có

1
u(a) 6
2π

Z2π

u(a + eiθ b)dθ.

0

Bây giờ ta phát biểu định lí xấp xỉ chính cho các hàm đa điều hòa dưới tương
tự như các hàm điều hòa dưới. Trong Chương 3, chúng ta phải áp dụng một kỹ
thuật tinh tế hơn của Bedford về xấp xỉ hàm đa điều hịa dưới trên tập giải tích
bởi một dãy các hàm trơn, tựa đa điều hòa dưới.
Định lý 1.2.3. Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và u ∈ P SH(Ω). Nếu ε > 0 sao
cho Ωε : = {z ∈ Ω : d(z, ∂Ω) > ε} 6= ∅ thì u ∗ χε ∈ C ∞ (Ωε ) ∩ P SH(Ωε ). Họ
{u ∗ χε : ε > 0} là đơn điệu giảm khi ε ↓ 0 và

lim u ∗ χε (z) = u(z)

ε→0

xảy ra với mọi z ∈ Ω.
Quay trở lại nội dung chính của luận án. Chúng ta nghiên cứu hai vấn đề về
hàm đa điều hịa dưới trên tập giải tích. Vấn đề đầu tiên là xấp xỉ hàm đa điều
hòa dưới trên các tập giải tích và tiếp theo là nghiên cứu nguyên lý so sánh với
các hàm đa điều hòa dưới bị chặn cùng với ứng dụng vào nghiên cứu bài toán
hội tụ của dãy hàm đa điều hòa dưới. Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu lần lượt hai
nội dung này.

4


1.3

Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới trên các tập giải tích
trong Cn

Hàm đa điều hịa dưới là một đối tượng quan trọng của giải tích phức. Tuy
nhiên chúng mới chỉ được nghiên cứu nhiều trên tập mở của Cn và đa tạp phức.
Nội dung của luận án là nghiên cứu xấp xỉ của các hàm đa điều hòa dưới trên
các tập giải tích trong Cn . Đó là các tính chất xấp xỉ của hàm đa điều hịa dưới
trên các tập con nhỏ của một tập giải tích bởi các hàm đa điều hòa dưới trên
những tập lớn hơn. Ngồi ra chúng tơi cũng nghiên cứu tốn tử Monge-Ampère
và phương trình Monge-Ampère trên tập giải tích.
Ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản.
Định nghĩa 1.3.1. Cho D là tập mở trong Cn và V là tập con đóng của D. Ta
nói V là tập con giải tích của D nếu với mọi x ∈ V tồn tại một lân cận mở

Ux ⊂ Cn của x sao cho Ux ∩ V là không điểm chung của một số các hàm chỉnh
hình trên Ux .
Những khái niệm số chiều của tập giải tích V , phần chính qui Vr và phần kỳ dị
Vs của V đã được trình bày sơ lược ở phần mở đầu của luận án và không cần
thiết nhắc lại ở đây. Ta chỉ cần nhớ ví dụ cơ bản sau đây về tập giải tích: Nếu
V := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : z1 z2 = 0} thì Vr = V \ {(0, 0)} và Vs = {(0, 0)}. Hơn nữa
dim V = 1.
Gắn liền với khái niệm tập giải tích là các khái niệm hàm chỉnh hình và hàm đa
điều hịa dưới trên những tập này. Chúng ta có các khái niệm sau đây được lấy
trong [13].
Định nghĩa 1.3.2. Cho V là một tập giải tích trong miền bị chặn D của Cn .
Một hàm f : V → C được gọi là chỉnh hình nếu về địa phương f là hạn chế trên
V của các hàm chỉnh hình trên những tập mở của Cn .
Định nghĩa 1.3.3. Cho V là một tập giải tích trong miền bị chặn D của Cn .
Hàm nửa liên tục trên u : V → [ − ∞, ∞) gọi là đa điều hòa dưới nếu về địa
phương u là hạn chế của các hàm đa điều hòa dưới trên những tập con mở của
Cn . Tập các hàm đa điều hịa dưới trên tập giải tích V được ký hiệu là P SH(V ).
Một vấn đề truyền thống của giải tích là xấp xỉ các hàm trên một tập nhỏ bởi
những hàm có tính chất tốt hơn nhưng xác định trên các tập lớn hơn. Với ý
tưởng này, chúng tôi đã chứng minh được những kết quả sau đây trong cơng
trình [9].
Định lý 1.3.4. Cho V là tập giải tích trong miền D nằm trong Cn . Giả sử có
một hàm đa điều hịa dưới liên tục âm vét cạn trên V. Khi đó với mọi hàm u đa
5


điều hòa dưới âm, liên tục trên V tồn tại một dãy các hàm đa điều hòa dưới hội
tụ giảm về u trên V. Hơn nữa {uj } có giá trị biên bằng không với mọi j .
Trong trường hợp V là tập mở trong Cn thì kết quả trên đã được chứng minh
bởi Cegrell trong cơng trình [5]. Trong trường hợp của chúng tơi, chứng minh

địi hỏi những thay đổi đáng kể vì phép làm trơn bằng lấy tích chập cũng như
chính qui hóa nửa liên tục trên khơng được thực hiện trên tập giải tích. Phát
triển theo hướng nghiên cứu trên, chúng tơi có kết quả sau đây về xấp xỉ giá trị
biên của hàm đa điều hòa dưới trên những tập giải tích B−chính qui. Nhắc lại
định nghĩa sau đây trong [9].
Định nghĩa 1.3.5. Tập giải tích V gọi là B−chính qui nếu với mọi hàm liên
tục ϕ : ∂V → R ta tìm được u ∈ P SH(V ) ∩ C(V ) sao cho u = ϕ trên ∂V.
Định lý 1.3.6. Cho V là tập giải tích như trong định lý trên. Giả sử V là B chính qui. Cho u là hàm đa điều hịa dưới âm trên V. Khi đó tồn tại dãy đa điều
hòa dưới {uj } âm trên V , liên tục trên V¯ và hội tụ giảm về u∗ trên V¯ .
Kết quả trên là mở rộng của một định lý ca Wikstrăom trong trng hp tp
m B - chớnh qui trong Cn . Cũng như ở Định lý 1.3.4, chúng tơi cũng gặp những
khó khăn khi làm việc với các hàm đa điều hòa dưới trên V do các phép làm
trơn địa phương cũng như lấy chính qui hóa nửa liên tục trên khơng bảo tồn
tính đa điều hịa dưới.
Định lý 1.3.7. Cho V là một tập con giải tích Stein, bất khả quy địa phương
trong miền bị chặn D ⊂ Cn . Giả sử tồn tại v ∈ P SH − (V ), v > −∞ trên V và
một tập compact K ⊂ ∂V thỏa mãn các tính chất sau:
(i) limv(z) = −∞, ∀ξ ∈ K.
z→ξ

(ii) Mỗi điểm ξ ∈ (∂V ) \ K có một cản địa phương đa điều hịa dưới liên tục.
Khi đó với mọi ϕ ∈ C(∂V ) tồn tại duy nhất một hàm đa điều hòa dưới, bị chặn,
liên tục và cực đại u trên V sao cho

lim u(z) = ϕ(ξ), ∀ξ ∈ ∂V \ K.

z→ξ,z∈V

1.4

Nguyên lý so sánh cho các hàm đa điều hịa dưới bị
chặn trên các tập giải tích trong Cn

Cho u ∈ PSH(V ), là một hàm bị chặn địa phương đa điều hịa dưới trên tập giải
tích V . Giả sử dim V = k . Khi đó ta định nghĩa bằng qui nạp biểu thức sau trên
6


Vr , phần chính qui của V ,
(ddc u)m := ddc (u(ddc u)m−1 ) ∀ 1 6 m 6 k.
Tiếp theo, độ đo (ddc u)k được xác định trên toàn thể V theo cách sau đây:
Z
Z
c k
(dd u) :=
(ddc u)k ,
E

E∩Vr

với mọi con Borel E của V . Định lý sau đây được chứng minh bởi Bedford vào
đầu những năm 80 của thế kỷ trước.
Định lý 1.4.1. Cho u, v là các hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên V . Giả sử
lim (u(z) − v(z)) ≥ 0. Khi đó ta có
z→∂V

Z

c

k

(dd u) ≥

{u
Z

(ddc v)k .

{u
Bất đẳng thức sau đây là một dạng mạnh của định lý so sánh đối với toán
tử Monge-Ampère. Trong trường hợp tập mở trong Cn , bất đẳng thức kiểu này
được chứng minh bởi Xing. Trước khi phát biểu định lý này chúng ta có khái
niệm sau đây. Tập E ⊂ ∂V được gọi là khử được nếu tồn tại u ∈ P SH − (V ), u 6≡
−∞, lim u(z) = −∞ với mọi ξ ∈ E.
z→ξ

Định lý 1.4.2. (Định lý 1.3 trong [10]) Cho u, v ∈ P SH(V ) ∩ L∞
loc (V ) và
E ⊂ ∂V là một tập khử được. Giả sử rằng u, v và E thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) inf (u(z) − v(z)) > −∞.
z∈V

(b) lim(u(z) − v(z)) ≥ 0 với mọi ξ ∈ (∂V ) \ E. Khi đó với mọi hàm m−tăng
z→ξ

χ : (0, ∞) → (0, ∞) và với mọi ta có
Z

χ ◦ (v − u)ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk
{uZ
+
(−w1 )χ(m) ◦ (v − u)(ddc v)m ∧ ddc wm+1 ∧ · · · ∧ ddc wk
Z{u≤
(−w1 )χ(m) ◦ (v − u)(ddc u)m ∧ ddc wm+1 ∧ · · · ∧ ddc wk
{uZ
+ Pm (χ) ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk ,
V

7


Từ kết quả trên chúng tôi nhận được hệ quả sau đây cho phép so sánh các
hàm đa điều hòa dưới thông qua độ lớn của chúng trên giá của những độ đo
Monge-Ampère tương ứng.
Hệ quả 1.4.3 (Hệ quả 1.4 trong [10]) Cho u, v ∈ P SH(V )∩L∞
loc (VR) và E ⊂ ∂V
như ở trong định lý trên. Giả sử với 1 ≤ m ≤ k chúng ta có
(ddc u)m ∧
{u
ω

k−m

= 0 hoặc

(ddc u)m ∧ ω k−m ≤ (ddc v)m ∧ ω k−m trên tập hợp {u < v},

ở õy l hn ch ca dng Kăahler ddc kzk2 trên V. Khi đó u ≥ v trên V.

8


Chương 2
Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới trên tập
giải tích và bài tốn Dirichlet

2.1

Nội dung tóm tắt

Trong mục này chúng ta sẽ giới thiệu tóm tắt kết quả chính của chương. Các kết
quả này được lấy ra từ bài báo [9]. Để phát biểu những kết quả này được thuận
tiện, trước hết chúng ta sẽ giới thiệu những khái niệm cần thiết sau.
Định nghĩa 2.1.1. Cho V là một tập con giải tích trong một miền bị chặn
D ⊂ Cn . Với một z ∈ V¯ , chúng ta định nghĩa hai lớp của độ đo Jensen sau đây
Z
n
o
−
¯
Jz = µ ∈ B(V ) : u(z) ≤ udµ, ∀ u ∈ P SH (V ) ;
V¯

Jzc

n

= µ ∈ B(V¯ ) : u(z) ≤

Z

udµ, ∀ u ∈

P SHc− (V

o
) ;

V¯

ở đây P SHc− (V ) là nón gồm hàm liên tục âm trên V¯ và đa điều hòa dưới trên
V, B(V¯ ) là tập độ đo xác suất Borel với giá trên V¯ .
Kết quả sau đây cho thấy mối liên hệ giữa độ đo Jensen và tính xấp xỉ của hàm
đa điều hòa dưới.
Mệnh đề 2.1.2. Cho V là tập con giải tích trong một miền bị chặn D ⊂ Cn .
Cho E là một tập con của V sao cho với mọi u ∈ P SH − (V ) tồn tại một dãy
{uj }j≥1 ⊂ P SHc− (V ) có các tính chất sau:
(i) uj → u trên E.
(ii) lim uj ≤ u trên V¯ .
j→∞

9


Khi đó Jz = Jzc với mọi z ∈ E.

Kết quả dưới đây cho một điều kiện đủ để sự xấp xỉ của hàm đa điều hòa dưới
âm bởi hàm đa điều hòa dưới liên tục là xảy ra.
Định lý 2.1.3. Cho V là tập con giải tích trong một miền bị chặn D ⊂ Cn . Giả
sử tồn tại ψ ∈ P SH − (V ), ψ 6≡ −∞ thỏa mãn các điều kiện sau :

(i) F := {z ∈ V : ψ(z) = −∞} là một tập con đóng của V.
(ii) V \ F là tập giải tích bất khả quy địa phương trong D \ F.
Giả sử tồn tại E ⊂ V sao cho Jz = Jzc với tất cả z ∈ V \ E. Khi đó với mọi u ∈
P SH − (V ), tồn tại hai dãy {uj }j≥1 ⊂ P SH − (V \ F ) và {vj }j≥1 ⊂ P SHc− (V )
có tính chất sau
(a) uj ↓ u trên V \ F và uj là liên tục tại mọi điểm V \ (E ∪ F ).
¯ ∪ F ) và lim vj ≤ u∗ trên V¯ .
(b) vj → u trên V \ (E
j→∞

¯ là đa cực trong V và hàm u là bị chặn địa
(c) Giả sử V có chiều thuần túy k, E
phương trên V khi đó dãy {vj }j≥1 có thể chọn bị chặn đều địa phương trên V và
(ddc vj )k → (ddc u)k trong tôpô yếu −∗ khi j → ∞.
Kết quả tiếp theo đề cập tới một trường hợp mà tập E trong định lý trên có thể
xuất hiện.
Định lý 2.1.4. Cho V là một tập con giải tích Stein trong một miền bị chặn
D ⊂ Cn . Giả sử tồn tại v ∈ P SH − (V ), v 6≡ −∞ và một compact K ⊂ ∂V thỏa
mãn các tính chất sau:
(i) limv(z) = −∞, ∀ξ ∈ K.
z→ξ

(ii) Jξc = {δξ }, ∀ξ ∈ (∂V ) \ K.
Khi đó ta có các khẳng định sau:
(a) Với mọi z ∈ V \ E, E := {z ∈ V : v(z) = −∞} ta có Jz = Jzc .

(b) Giả sử V là bất khả quy địa phương khi đó với mọi u ∈ P SH − (V ) tồn tại
một dãy uj ∈ P SH − (V ) sao cho uj liên tục tại mọi điểm của U := V¯ \ (K ∪ E)
và u∗j ↓ u∗ trên U.
Nhắc lại rằng tập giải tích V được gọi là Stein nếu tồn tại một hàm đa điều hòa
dưới ϕ trên V sao cho {z ∈ V : ϕ(z) < c} b V với mọi c ∈ R. Ta gọi ϕ là một
hàm vét cạn đa điều hòa dưới của V.
Định lý dưới đây nghiên cứu sự tồn tại của một hàm đa điều hòa dưới cực đại
10


liên tục bị chặn u trên V sao cho giá trị biên của u trùng với một hàm liên tục
cho trước trên ∂V . Nhắc lại rằng u ∈ P SH(V ) được gọi là cực đại nếu với mọi
tập mở compact tương đối U của V và mọi v ∈ P SH(V ) sao cho v ≤ u trên
V \ U ta có v ≤ u trên V.
Định lý 2.1.5. Cho V là một tập con giải tích Stein bất khả quy địa phương
trong miền bị chặn D ⊂ Cn . Giả sử rằng v ∈ P SH − (V ), v > −∞ trên V và
một compact K ⊂ ∂V thỏa mãn các tính chất sau:
(i) limv(z) = −∞, ∀ξ ∈ K.
z→ξ

(ii) Mỗi điểm ξ ∈ (∂V ) \ K có một cản địa phương đa điều hịa dưới liên tục.
Khi đó với mọi ϕ ∈ C(∂V ) tồn tại duy nhất một hàm đa điều hòa dưới liên tục
cực đại u trên V sao cho

lim u(z) = ϕ(ξ), ∀ξ ∈ ∂V \ K.

z→ξ,z∈V

Kết quả trên của chúng ta tổng quát hơn Định lý 2.3 trong [19] bởi vì chúng ta
khơng giả sử sự tồn tại của một lân cận B - chính quy của V trong Cn .

Định lý cuối cùng của chương là tương tự như Định lý 2.1.3 và Định lý 2.1.4.
Tuy nhiên, chúng ta sẽ thay giả thiết về tính khả quy định phương của V bởi
các điều kiện mạnh hơn trên ∂V và hàm vét cạn của V .
Định lý 2.1.6. Cho V là một tập con giải tích trong một miền bị chặn D ⊂ Cn
có các tính chất sau:
(i) Jξc = {δξ }, ∀ξ ∈ ∂V.
(ii) Tồn tại hàm đa điều hòa dưới vét cạn liên tục âm ρ cho V.
Khi đó với mọi u ∈ P SH − (V ) tồn tại dãy giảm {uj }j >1 ⊂ P SHc− (V ) sao cho
uj ↓ u∗ trên V¯ .

2.2

Một số kết quả bổ trợ

Để chứng minh các kết quả của phần trước, chúng tôi cần một số kiến thức
chuẩn bị về hàm đa điều hịa dưới trên tập giải tích cũng như định lý đối ngẫu
của Edwards về biểu diễn bao trên các hàm đa điều hòa dưới.
Cho V là tập con giải tích trong miền D ⊂ Cn (n > 2). Ký hiệu PSH(V ) là nón
các hàm đa điều hòa dưới trên V và PSH− (V ) là nón của các hàm âm, nửa liên
tục trên xác định trên V¯ và đa điều hịa dưới trên V. Cơng cụ chính của chúng
ta là một định lý đối ngẫu của Edwards về bao trên của hàm đa điều hòa dưới
11


được lấy trong nón con lồi của P SH(V ). Hướng tiếp cận này đã được sử dụng
lần đầu tiên trong cơng trình [19], [11] và sau đó được phát triển trong [8] khi
V = D là miền bị chặn của Cn . Nguyên lý chung là phần tử trong một nón
A ⊂ PSH− (V ) được xấp xỉ bởi phần tử trong một nón nhỏ hơn B khi chúng ta
có đẳng thức của tập độ đo Jensen đối với A và B. Tuy nhiên, có hai vấn đề ký
thuật phải khắp phục. Thứ nhất là cách lấy tích chập để xấp xỉ hàm đa điều

hòa dưới trên V là khơng khả thi, thứ hai là chính qui hóa của bao trên một
họ hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên đều địa phương khơng nhất thiết đa điều
hịa dưới (xem Ví dụ 1.4 trong [22]). Vì thế, chúng ta phải tạo thêm điều kiện
để vượt qua những trở ngại này. Đối với vấn đề thứ nhất ta giả sử tồn tại một
hàm vét cạn hàm đa điều hòa dưới trên V, khi đó ta có thể áp dụng một định lý
xấp xỉ của Fornaess và Narasimhan (xem Định lý 5.5 trong [13]), phần còn lại
được giải quyết bằng cách đặt một số hạn chế trên phần không bất khả quy địa
phương của V (xem Định lý 2.1.3).
Định lý sau đây được chứng minh bởi Edwards trong [12] và sau đó được áp
dụng bởi Wikstom cho trường hợp đặt biệt khi F là nón những hàm đa điều hịa
dưới âm.
Định lý 2.2.1. Cho F được định nghĩa như trên, nếu g là một liên tục dưới trên
X. Khi đó Sg = Ig.
Việc sử dụng định lý đối ngẫu của Edward trong lý thuyết đa thế vị đã được sử
dụng lần đầu tiên trong cơng trình nền tảng [17]. Đặc biệt, trong [17], bài toán
Dirichlet đối với miền bị chặn trong Cn đã được giải quyết triệt để.
Trong trường hợp này, bằng cách áp dụng định lý như trên đến nón lồi F1 :=
P SH − (V ) và F2 := P SHc− (V ) chúng tôi thu được kết quả sau.
Định lý 2.2.2. Cho ϕ : V¯ → (−∞, +∞] là một hàm nửa liên tục dưới. Khi đó
ta có
nZ
o
n
o
−
¯
inf
ϕdµ, µ ∈ Jz = sup u(z) : u ∈ P SH (V ), u ≤ ϕ trên V , ∀z ∈ V
V¯

inf

nZ

ϕdµ, µ ∈

Jzc

o

n

= sup u(z) : u ∈

P SHc− (V

), u ≤ ϕ

o
¯
trên V , ∀z ∈ V¯

V¯

.
Chúng ta cũng cần những bổ đề sau về dán các hàm đa điều hịa dưới trên tập
giải tích. Đây là những hệ quả đơn giản của đặc trưng Fornaess-Narasimhan về
tính đa điều hịa dưới trên tập giải tích.
Bổ đề 2.2.3. Cho V là một tập con giải tích của một miền D ⊂ Cn , U ⊂ V là
12

tập mở và u ∈ P SH(V ), v ∈ P SH(U ). Giả sử rằng lim v(ξ) ≤ u(z) ∀z ∈ ∂U.
ξ−→z

Khi đó hàm

w :=

(
max{u, v} trên U
trên V \ U

u

là đa điều hòa dưới trên V .
Bổ đề 2.2.4. Cho V là tập con giải tích của một miền bị chặn D ⊂ Cn . Giả
sử tồn tại ψ ∈ P SH − (V ), ψ 6≡ −∞ thỏa mãn theo điều kiện (i) và (ii) trong
Định lý 2.1.3. Khi đó với hàm nửa liên tục trên ϕ : V → [−∞, 0) bất kỳ ta có
v = v ∗ ∈ P SH − (V \ F ), ở đây

v(z) := sup{u(z) : u ∈ P SH − (V ), u ≤ ϕ trên V }, z ∈ V.

2.3

Kết luận của Chương 2

Các kết quả chính của chúng tôi trong Chương 2 liên quan tới xấp xỉ hàm đa
điều hịa dưới bị chặn trên tập giải tích V có số chiều k trong miền bị chặn D
trong Cn . Kết quả đầu tiên là Mệnh đề 2.1.2 cho ta thấy mối liên hệ giữa các lớp

độ đo Jensen và bài toán xấp xỉ. Tiếp theo là Định lý 2.1.3 cho một điều kiện
đủ để mọi hàm đa điều hòa dưới âm u trên V là được xấp xỉ bởi một dãy hàm
đa điều hòa dưới trên V và liên tục trên V¯ . Giả thiết cốt yếu là sự tồn tại của
một tập E trong V để hai lớp độ đo Jensen Jz và Jzc là trùng nhau ngoài tập E .
Điểm đáng chú ý của định lý này là chúng ta xét đến sự hội tự của dãy các độ
đo Monge-Ampère tương ứng. Cần lưu ý rằng giả thiết về tính bất khả qui địa
phương được đặt ra vì chúng tơi muốn xây dựng hàm xấp xỉ bằng cách lấy bao
trên của một họ các hàm đa điều hịa dưới. Nếu ta có một cách xây dựng hàm đa
điều hịa dưới khơng cần sử dụng bao trên thì giả thiết này là khơng cần thiết.
Tiếp sau định lý trên, Định lý 2.1.4 đề cập đến một tình huống mà tập loại trừ
E trong Định lý 2.1.3 có thể xuất hiện. Ta có thể hiểu tập E lúc này là bao đa
điều hòa dưới của một tập kỳ dị đủ nhỏ nằm trên biên của V . Điểm đáng chú ý
là ta cần một giả thiết kỹ thuật là tập giải tích V là Stein (tồn tại một hàm đa
điều hòa dưới vét cạn trên V ). Kết quả trên là mạnh hơn một định lý đã biết
của Wikstrom [19] bởi vì ta khơng cần giả thiết V có một lân cận B - chính qui
trong Cn . Một kết quả khác của phần này là Định lý 2.1.5 cho sự tồn tại và duy
nhất nghiệm của bài toán Dirichlet với giá trị biên liên tục trên V . Các kết quả
của Chương 2 trong luận án là được viết dựa trên cơng trình [9].
13


Ta kết thúc mục này bằng cách nêu ra những vấn đề mở mà không thể khắc
phục dễ dàng bằng phương pháp của chúng tôi.
A. Kết luận của Định lý 2.1.4 cịn đúng khơng nếu V khơng là Stein? Trong
trường hợp V là tập mở của Cn thì giả thiết này là không cần thiết. Ta cần giả
thiết này chỉ để áp dụng định lý xấp xỉ của Fornaess và Narasimhan.
B. Chúng tơi cũng khơng biết Định lý 2.1.5 cịn đúng không nếu ta không giả
thiết v > −∞ khắp nơi trên V.
C. Tương tự với trường hợp V là tập hợp mở của Cn (xem [17]), một tập con giải
tích V trong D ⊂ Cn được gọi là B - chính qui nếu mọi hàm giá trị thực liên tục

ϕ trên ∂V có thể mở rộng đến hàm liên tục trên V¯ mà đa điều hòa dưới trên V.
Rõ ràng, nếu D là B - chính qui thì mọi tập giải tích phức V của D cũng là B chính qui. Một câu hỏi tự nhiên là nếu V là B - chính qui thì khi đó có tồn tại
0
0
0
hay không tập mở D của D sao cho D là B− chính qui (trong Cn ) và V ⊂ D
? Câu hỏi này được lấy cảm hứng từ một định lý nổi tiếng của Siu nói rằng mọi
đa tạp Stein trong một miền của Cn có một lân cận mở Stein (trong Cn ).

14


Chương 3
Nguyên lý so sánh cho hàm đa điều
hòa dưới trên tập giải tích
3.1

Nội dung tóm tắt

Để dễ theo dõi, chúng ta sẽ trình bày tóm tắt các kết quả chính của chương này.
Nội dung của chương đã được đăng ở cơng trình [10]. Ý tưởng mới của chúng
ta trong chương này là mở rộng nguyên lý so sánh cổ điển của Bedford-Taylor
(Định lý 4.1 trong [2]) và nguyên lý so sánh mạnh của Xing trong [20] cho các
hàm đa điều hịa dưới bị chặn trên tập con giải tích trong miền bị chặn của Cn .
Hơn nữa chúng ta muốn giảm nhẹ các điều kiện biên của u và v . Một thay đổi
nữa là chúng ta muốn thay thế các biểu thức (v − u)n trong Định lý 3.1.2 bằng
hợp thành của v − u với những hàm thực trơn thích hợp.
Một hàm χ : (0, ∞) → (0, ∞) được gọi là m- tăng, (m ≥ 1) nếu χ ∈
C m (0, ∞), χ(j) là tăng và không âm trên (0, ∞) với mọi 0 ≤ j ≤ m. Với mỗi một
hàm m- tăng χ, chúng ta thiết lập

(j)

(j)

χ (0) := lim χ (t), Pm (χ) :=
t→0

m−1
X

χ(j) (0).

j=0

Trong tồn bộ chương này chúng ta sẽ kí hiệu V là một tập con giải tích trong
miền bị chặn D trong Cn với dim V = k, 1 ≤ k ≤ n − 1. Biên của V (kí hiệu
∂V ) được hiểu là ∂D ∩ V . Một tập con E ⊂ ∂V được gọi là khử được nếu tồn
tại ψ ∈ P SH − (V ) ∩ L∞
loc (V ) sao cho

lim ψ(z) = −∞, ∀ξ ∈ E.

z→ξ

Kết quả chính của chương này là nguyên lý so sánh sau đây.
Định lý 3.1.1. Cho u, v ∈ P SH(V ) ∩ L∞
loc (V ) và E ⊂ ∂V là một tập khử được.
Giả sử rằng u, v và E thỏa mãn các điều kiện sau:
15

(a) inf (u(z) − v(z)) > −∞.
z∈V

(b) lim(u(z) − v(z)) ≥ 0 với mọi ξ ∈ (∂V ) \ E.
z→ξ

Khi đó với mọi số nguyên m với 1 ≤ m ≤ k và mọi m− hàm tăng χ : (0, ∞) →
(0, ∞) chúng ta có
Z
χ ◦ (v − u)ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk
{uZ
+
(−w1 )χ(m) ◦ (v − u)(ddc v)m ∧ ddc wm+1 ∧ · · · ∧ ddc wk
Z{u≤
(−w1 )χ(m) ◦ (v − u)(ddc u)m ∧ ddc wm+1 ∧ · · · ∧ ddc wk
{uZ
+ Pm (χ) ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk .
V

Ở đây các hàm w1 , · · · , wk ∈ P SH − (V ) ∩ L∞
loc (V ) thỏa mãn wj ≥ −1 với
2 ≤ j ≤ m.
Kỹ thuật chính trong chứng minh của chúng tơi là phương pháp làm trơn hàm
đa điều hòa dưới trên tập giải tích như trong [1] cũng như phương pháp tích
phân từng phần như trong [20] và [15].
Ứng dụng đầu tiên của nguyên lý so sánh của chúng ta là nguyên lý làm trội sau

đây. Khi V là tập mở trong Cn và tập khử được E là rỗng thì kết quả này chính
là Hệ quả 4.4 và Hệ quả 4.5 trong [2].

E ⊂ ∂V là như trong Định lý
Hệ quả 3.1.2. Cho u, v ∈ P SH(V ) ∩ L∞
loc (V ) và
R
3.1.3. Giả sử rằng với 1 ≤ m ≤ k chúng ta có
(ddc u)m ∧ ω k−m = 0 hoặc
{u
(ddc u)m ∧ ω k−m ≤ (ddc v)m ∧ ω k−m trên tập hợp {u < v}.
Ở đây l hn ch ca dng Kăahler ddc kzk2 trờn V. Khi đó u ≥ v trên V.
Ta cũng thu được một dãy mạnh hơn của Định lý 4.3 trong [1].
Hệ quả 3.1.3. Cho u, v ∈ P SH(V ) ∩ L∞
loc (V ) và E ⊂ ∂V là như trong Định lý
3.1.1. Khi đó với mọi hàm liên tục tăng χ : (0, ∞) → (0, ∞) chúng ta có
Z
Z
χ ◦ (v − u)(ddc v)k ≤
χ ◦ (v − u)(ddc u)k .
{u
{u
Chúng ta kết thúc phần này bằng cách trình bày một hệ quả khác của Định lý
3.1.3 nhắm đưa ra một điều kiện đủ với hội tụ trong dung lượng của một dãy
16

trong P SH(V ) ∩ L∞ (V ). Kết quả này là tương tự của Định lý 3 trong [20] và
Định lý 3.5 trong [15].
Hệ quả 3.1.4. Cho u, {uj } ⊂ P SH(V ) ∩ L∞ (V ). Cho χ : (0, ∞) → (0, ∞) là
một hàm liên tục tăng . Giả sử rằng u, uj thỏa mãn các điều kiện sau :
(a) lim (u(z) − uj (z)) = 0 với mỗi j ≥ 1;
z→∂V

(b) lim

R

χ ◦ (u − uj )d|µj | = lim

j→∞
{uj c
k
(dd uj ) − (ddc u)k .

R

χ ◦ (uj − u)d|µj | = 0 Ở đây µj :=

j→∞
{uj >u}

Khi đó uj → u theo dung lượng trên V .

3.2

Một số kết quả bổ trợ

Chúng ta sẽ giữ lại các khái niệm và ký hiệu về tập giải tích và hàm đa điều hịa
dưới trên tập giải tích như trong Chương 2. Để xác định tốn tử Monge-Ampere
trên tập con giải tích V số chiều k của một tập con D trong Cn , 1 ≤ k ≤ n, ta
chú ý rằng theo một kết quả cơ bản của Lelong (xem trang 32 trong [14]), tập
Vr có độ đo hữu hạn gần mọi điểm của Vs . Do đó mỗi v ∈ P SH(V ) ∩ L∞
loc (V )
c
xác định một dòng bậc 0 trên V . Do đó chúng ta có thể xem dd v như là một
dòng song bậc (1, 1) trên V .
Tiếp theo, chúng ta quay lại toán tử Monge - Ampere với các hàm đa điều hòa
dưới bị chặn địa phương trên V . Theo Bedford trong [1], toán tử Monge - Ampere

(ddc )k : P SH(V ) ∩ L∞
loc (V ) −→ Mk,k (V ),
ở đây Mk,k (V ) là tập các độ đo Radon trên V , có thể xác định theo cách thông
thường trên tập các điểm chính qui Vr của V như trong [2]. Cụ thể là cho
u ∈ P SH(V ) ∩ L∞
loc (V ), chúng ta xác định bằng quy nạp trên Vr các dòng sau

(ddc u)m := ddc (u(ddc u)m−1 ), 1 ≤ m ≤ k,
và các độ đo (ddc u)k mở rộng tầm thường qua tập kỳ dị Vs nghĩa là với tập hợp
Borel E ⊂ V ta xác định
Z
Z
c k
(dd u) :=
(ddc u)k .
E

E∩Vr

Với một tập hợp con Borel E của tập hợp mở Ω ⊂ V, dung lượng tương đối của
E đối với Ω được xác định bởi
nZ
o
C(E, Ω) = sup
(ddn u)k : u ∈ P SH(Ω) : −1 < u < 0 .
E

17


Một kết quả cơ bản của Bedford (Bổ đề 3.1 trong [1]) khẳng định rằng Vs thực
ra là có dung lượng ngoài bằng 0.
Bổ đề 3.2.1. Với mọi tập hợp con mở Ω của V và ε > 0, tồn tại lân cận mở U
của Vs trong Ω sao cho C(U, Ω) < ε.
Chúng ta cũng sẽ sử dụng kết quả quan trọng sau đây về sự hội tụ yếu của các
dòng trên V.
Mệnh đề 3.2.2. Cho p, q, r là số nguyên không âm và

{u1,j }, · · · , {up,j }, {v1,j }, · · · , {vq,j }, {w1,j }, · · · , {wr,j }
là dãy trong P SH(V ) đơn điệu giảm về các hàm

u1 , · · · , up , v1 , · · · , vq , w1 , · · · , wr ∈ P SH(V ) ∩ L∞
loc (V ).
Với mỗi j, xác định các dòng

Tj := du1,j ∧ · · · ∧ dup,j ∧ dc v1,j ∧ · · · ∧ dc vq,j ∧ ddc w1,j ∧ · · · ∧ ddc wr,j .

Khi đó chúng ta có các khẳng định sau:
(a) Các biến phân toàn phần kTj k là bị chặn đều trên tập hợp compact của V ;
(b) Tj hội tụ yếu tới T := du1 ∧ · · · ∧ dup ∧ dc v1 ∧ · · · ∧ dc vq ∧ ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wr ;
(c) Giả sử {ψj } , ψ là hàm tựa liên tục trên V và bị chặn đều địa phương và
nếu ψj hội tụ tựa điều địa phương về ψ khi đó ψj Tj hội tụ yếu về ψT.
Bây giờ chúng ta đề cập tới cách xấp xỉ trơn hàm đa điều hòa dưới trên V .
Giả sử ψ ∈ P SH(V ), lấy U := {Ul } là một phủ mở của V sao cho với mỗi l
˜l của D. Khi đó tồn tại
thì Ul là một tập con giải tích của một tập con mở U
ψ˜l ∈ P SH(U˜l ) với ψ˜l = ψ trên Ul . Tiếp theo, chúng ta cho {χl } là một phân
˜l }. Với mọi l, khi đó bằng phép lấy
hoạch của đơn vị tương thích với U˜ := {U
tích chập ψ˜l với các nhân trơn chuẩn tắc ρδ trên Cn , chúng ta có các hàm đa
điều hòa dưới trơn ψ˜l,δ trên một lân cận của supp χl với δ > 0 đủ bé. Bây giờ
chúng ta xét tổng
X
ψ δ :=
χl ψ˜l,δ .
Rõ ràng ψ δ là trơn trên một lân cận của K với mọi compact K con của V. Hơn
nữa, ψ δ ↓ ψ trên V khi δ → 0. Chú ý rằng ψ δ 6∈ P SH(V ). Bây giờ, giả sử
u1 , · · · , uk ∈ P SH(V ) ∩ L∞
loc (V ). Chọn một phủ mở U := {Ul } của V và một
phân hoạch của dơn vị {χl } tương thích với U˜ chung cho tất cả các hàm đa điều
hòa dưới u1 , · · · , uk . Khi đó chúng ta có kết quả xấp xỉ sau của Bedford trong
[1].
18


Mệnh đề 3.2.3. Cho {fj }, f là các hàm bị chặn đều địa phương tựa liên tục
trên V . Giả sử {fj } hội tụ đều địa phương về f. Khi đó với mọi dãy {δj } ↓ 0,

δ
δ
các dòng fj ddc u1j ∧ · · · ∧ ddc ukj hội tụ yếu tới f ddc u1 ∧ · · · ∧ ddc uk khi j → ∞.
Kết quả bổ trợ cuối cùng của ta liên quan sự xấp xỉ của một m- tăng bởi một
dãy các hàm m−tăng trơn.
Bổ đề 3.2.4. Cho m ≥ 1 là số nguyên và χ : (0, ∞) → (0, ∞) là một m- tăng.
(l)
Khi đó tồn tại một dãy {χj } gồm các m- tăng, trơn sao cho {χj } hội tụ đều
địa phương trên [0, ∞) đến χ(l) với 0 ≤ l ≤ m.

3.3

Nguyên lý so sánh mạnh

Để chứng minh Định lý 3.1.1, ngoài kiến thức bổ trợ ở phần trước chúng ta cịn
cần tới một số kết quả về tích phân từng phần của dạng vi phân trên tập giải
tích. Trong hai bổ đề dưới đây, chúng ta sẽ ký hiệu ϕ là một hàm giá trị thực,
khả vi liên tục cấp 2 trên (0, ∞).
Bổ đề 3.3.1. Cho u, v ∈ P SH(V ) ∩ L∞
loc (V ) với u < v trên V . Khi đó ta có
các đẳng thức về dòng sau đây trên V.
(a) ddc (ϕ ◦ (v − u)) = ϕ0 ◦ (v − u)ddc (v − u) + ϕ00 (v − u)d(v − u) ∧ dc (v − u).
(b) Nếu ϕ00 ≥ 0 trên (0, ∞) thì khi đó

ddc (ϕ ◦ (v − u)) ≥ ϕ0 ◦ (v − u)ddc (v − u).
Bổ đề 3.3.2. Cho u, v, w1 , · · · , wk ∈ P SH(V ) ∩ L∞
loc (V ). Giả sử rằng u ≤ v
trên V, u = v ngoài một tập hợp con compact K của V . Khi đó với ε > 0 và tập
hợp mở V 0 sao cho K ⊂ V 0 ⊂⊂ V chúng ta có
Z

ϕ ◦ (v + ε − u)ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk
V 0Z
=
w1 ddc (ϕ ◦ (v + ε − u)) ∧ ddc w2 ∧ · · · ∧ ddc wk
V0 Z
+ ϕ(ε)
ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk .
V0

Bổ đề tiếp theo là một trường hợp đặc biệt của Định lý 3.1.3, đây cũng là bước
cốt lối trong chứng minh của định lý này.
Bổ đề 3.3.3. Cho u, v ∈ P SH(V ) ∩ L∞ (V ) sao cho u ≤ v trên V và u = v

19


ngoài một tập hợp con compact K của V . Khi đó với 1 ≤ m ≤ k chúng ta có
Z
χ ◦ (v − u)ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk
VZ
+ (−w1 )χ(m) ◦ (v − u)(ddc v)m ddc wm+1 ∧ · · · ∧ ddc wk
ZV
≤ (−w1 )χ(m) ◦ (v − u)(ddc u)m ddc wm+1 ∧ · · · ∧ ddc wk
V
Z
+ Pm (χ) ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk ,
V

ở đây w1 , · · · , wk ∈ P SH(V ) ∩ L∞
loc (V ) thỏa mãn wj < 0 với 1 ≤ j ≤ m và

wj ≥ −1 với 2 ≤ j ≤ m.

3.4

Kết luận của Chương 3

Chương 3 của luận án là trình bày các dạng mạnh của nguyên lý so sánh cho
những hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên tập giải tích. Kết quả chính của chúng
tơi là Định lý 3.1.1 cho một ước lượng về sai số giữa những độ đo Monge-Ampère
của các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương trên một tập giải tích trong
một tập mở của Cn . Điểm đặc biệt là chúng tôi đã đưa vào các hàm m−tăng
và các tập kỳ dị nhưng khử được trên biên của V nhằm nâng cấp phạm vi ứng
dụng của nguyên lý so sánh này so với những nguyên lý so sánh đã biết trước
đó như của Bedford-Taylor trong [2] hay thậm chí của Xing trong [20]. Trong
trường hợp đặc biệt V = D, m = k = n và χ(t) = tn , nguyên lý so sánh của
chúng ta suy ra ngay nguyên lý so sánh của Xing, thậm chí với một ước lượng
tốt hơn bởi vì χ(n) ≡ n! < (n!)2 .
Sử dụng Định lý 3.1.1 chúng ta thu được một số hệ quả như Hệ quả 3.1.2 về
tính chất trội của hàm đa điều hòa dưới và Hệ quả 3.1.3, Hệ quả 3.1.4 nhằm đưa
ra mối liên hệ giữa hội tụ theo dung lượng và hội tụ điểm của dãy các hàm đa
điều hòa dưới với cùng giá trị biên.
Các kết quả của Chương 3 được viết dựa trên cơng trình [10]. Chúng tôi muốn
mở rộng các kết quả về nguyên lý so sánh cho các hàm thuộc lớp năng lượng
Cegrell như trong [21]. Khó khăn chủ yếu là phát hiện ra các dạng của cơng thức
tích phân từng phần cho những hàm đa điều hịa dưới khơng bị chặn địa phương.

20


Danh mục các cơng trình của tác giả

sử dụng trong luận án
A. Các cơng trình sử dụng trong luận án
1. [9] N. Q. Dieu, T. V. Long and Sanphet Oh (2017), "Approximation of
plurisubharmonic functions on complex varieties", Int. J. Math, 28, No. 14 (2017)
1750107(16 page).
2. [10] N. Q. Dieu and Sanphet Oh (2018), "A comparison principle for bounded
plurisubhamonic functions on complex varieties in Cn ", Proceedings of the Amer.
Math. Soc, 146(1), 309-323.
B. Các báo cáo kết quả của luận án trong các hội nghị, hội thảo

[1] Sanphet Oh (1/2017), Xấp xỉ hàm đa điều hịa dưới trên tập giải tích, Báo
cáo hội nghị khoa học Khoa Toán - Tin, Trường ĐHSPHN.
[2] Sanphet Oh (12/2017), Nguyên lý so sánh cho hàm đa điều hịa dưới trên tập
giải tích, Báo cáo hội nghị khoa học Khoa Toán - Tin, Trường ĐHSPHN.

21


Tài liệu tham khảo
[1] E. Bedford (1981), "The operator (ddc )n on complex spaces", Séminaire
d’Analyse Lelong-Skoda, Lecture Notes in Math, 919, 294-324.
[2] E. Bedford and A. Taylor (1982), "A new capacity for plurisubharmonic functions", Acta. Math, 149, 1-40.
[3] E. Bedford and A. Taylor (1987), "Fine topology, Shilov boundary, and
(ddc )n ", Journal of Functional Analysis, 72, 225-251.
[4] E. Bedford and A. Taylor (1989), " Uniqueness for the complex MongeAmpère equation for functions with logarithmic growth", Indiana Univ. Math.
J, 38, 455-469.
[5] U. Cegrell (2004), "The general definition of the complex Monge-Ampère
operator", Ann. Inst. Fourier (Greneble), 54(1), 159-179.
[6] E. M. Chirka (1989), Complex Analytic Sets, Kluwer, Dordecht.
[7] J. P. Demailly (1985), Mesures de Monge-Ampère et caractérisation

géométrique des variétés algébriques affines, Mém. Soc. Math. France (N.S.),
19, 1-124.
[8] Nguyen Quang Dieu (2006), "Approximation of plurisubharmonic functions
on bounded domains in Cn ", Michigan Math. J, 54, 697-711.
[9] N. Q. Dieu, T. V. Long and Sanphet Oh (2017), "Approximation of plurisubharmonic functions on complex varieties", Int. J. Math, 28, No. 14 (2017)
1750107(16 page).
[10] N. Q. Dieu and Sanphet Oh (2018), "A comparison principle for bounded
plurisubhamonic functions on complex varieties in Cn ", Proceedings of the
Amer. Math. Soc, 146(1), 309-323.
[11] N. Q. Dieu and F. Wikstrăom (2005), "Jensen measures and approximation
of plurisubharmonic functions", Michigan Math. J, 53, 529-544.

22


[12] D. A. Edwards (1966), "Choquet boundary theory for certain spaces of lower
semicontinuous functions", in Function Algebras (Proc. Internat. Symposium
on Function Algebras, Tulane Univ, 1965) (Scott-Foresman, Chicago), pp. 300309.
[13] J. E. Fornaess and R. Narasimhan (1980), "The Levi problem on complex
spaces with singularities", Math. Ann, 248, 47-72.
[14] P. Griffiths and J. Harris (1994), Principles of Algebraic Geometry, Wiley
Classics Library, John Wiley & Sons, Inc, New York.
[15] N.V. Khue and P.H. Hiep (2009), "A comparison principle for the complex
Monge-Ampère operator in Cegrell’s classes and applications", Trans. Amer.
Math. Soc, 361, 5539-5554.
[16] M. Klimek (1991), Pluripotential Theory, Oxford.
[17] N. Sibony (1987), "Une classe de domaines pseudoconvexes", Duke Math. J,
55, 299-319.
[18] F. Wikstrăom (2001), "Jensen measures and boundary values of plurisubharmonic functions", Ark. Mat, 39, 181-200.
[19] F. Wikstrăom (2009), "The Dirichlet problem for maximal plurisubharmonic

functions on analytic varieties in Cn ", International Journal of Mathematics,
20, No. 4, 521-528.
[20] Y. Xing (1996), "Continuity of the complex Monge-Ampère operator", Proc.
Amer. Math. Soc, 124, 457-467.
[21] Y. Xing (2008), "A strong comparison principle for plurisubharmonic functions with finite pluricomplex energy", Michigan Math. J, 56, 563-581.
[22] A. Zeriahi (1991), "Fonction de Green pluricomplexe à pole à l’infini sur un
espace de Stein parabolique et applications", Math. Scand, 69, 89-126.

23