Luận văn thạc sỹ một số kết quả về bất đẳng thức kiểu hermite hadamard trên tập phân thứ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THÙY LINH

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
KIỂU HERMITE - HADAMARD TRÊN TẬP PHÂN THỨ
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Trần Xuân Quý
TS. Đỗ Thị Phương Quỳnh

THÁI NGUYÊN - 2022


Mục lục
Mở đầu

1

1 Về bất đẳng thức Hermite - Hadamard

3

1.1

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Bất đẳng thức Hermite – Hadamard, một số mở rộng và vận dụng

4

1.2.1

Bất đẳng thức Hermite – Hadamard, một số mở rộng . .

4

1.2.2

Bất đẳng thức Hermite - Hadamard đối với hàm h-lồi . .

9

1.2.3

Một số kết quả vận dụng của bất đẳng thức Hermite Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2 Một số kết quả về bất đẳng thức kiểu Hermite - Hadamard trên tập
phân thứ và một số vận dụng

15

2.1

Tập phân thứ và một số kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2

Bất đẳng thức kiểu Hermite - Hadamard trên tập phân thứ . . . .

19

2.2.1
2.2.2

Bất đẳng thức Hermite-Hadamard đối với hàm lồi suy
rộng và một số vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Bất đẳng thức Hermite - Hadamard đối với hàm h-lồi . .

32

Kết luận

37

Tài liệu tham khảo

38


1

Mở đầu
Trong chương trình mơn Tốn ở trường phổ thơng, bất đẳng thức là một chuyên
đề rộng, có nhiều bài tốn hay và thú vị, có ý nghĩa quan trọng trong Tốn học
ứng dụng. Ngày nay việc tìm ra lời giải gần đúng của các bài toán trong lĩnh vực,
đặc biệt kinh tế, địa chất, khí tượng. . . trở thành phổ biến nhờ có sự hỗ trợ mạnh
mẽ của máy tính. Việc giải các bài tốn đó địi hỏi ta ước lượng đánh giá để thu
được lời giải gần đúng cần thiết.
Đối các bài toán bất đẳng thức (hay bài tốn so sánh) ln được đánh giá là
một nội dung tương đối khó, địi hỏi khả năng tư duy sáng tạo cao của học sinh.
Vì vậy trong các kì thi chọn học sinh giỏi các cấp, thì chủ đề bất đẳng thức thường
vẫn luôn được khai thác ở nhiều khía cạnh khác nhau. Với chủ đề bất đẳng thức,
đã có rất nhiều tài liệu đề cập tới và được nhiều tác giả khai thác ở các khía cánh
khác nhau. Tuy nhiên đối với luận văn thạc sĩ Toán học, với mong muốn tìm hiểu
về bất đẳng thức đặc biệt đối với lớp hàm lồi để giải, sáng tạo một lớp bất đẳng
thức và vận dụng vào giải một số bài toán liên quan trong đề thi học sinh giỏi các
cấp, và cũng để làm tài liệu cho việc giảng dạy của bản thân, tài liệu tham khảo
cho học sinh khá, giỏi, tự học chúng tôi chọn chủ đề: Một số kết quả về bất đẳng
thức kiểu Hermite – Hadamard trên tập phân thứ. Nội dung chính của đề tài luận
văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài gồm 02 chương, cụ
thể:
Chương 1: Về bất đẳng thức Hermite- Hadamard Trong chương này, chúng
tôi sẽ trình bày lại một số bất đẳng thức cơ bản sẽ vận dụng trong phần sau của
luận văn và đưa ra một số ví dụ vận dụng. Một số khái niệm cơ bản. Bất đẳng

thức Hermite – Hadamard, một số mở rộng và vận dụng. Bất đẳng thức Hermite
– Hadamard đối với hàm h- lồi.
Chương 2: Một số kết quả về bất đẳng thức kiểu Hermite – Hadamard trên tập
phân thứ và một số ứng dụng Trong chương 2, chúng tơi sẽ trình bày lại một số
kết quả trong tài liệu [4,5] và một số tài liệu cập nhật trong quá trình thực hiện


2

luận văn.
Tập phân thứ và một số kết quả cơ bản. Trong mục này, chúng tơi sẽ trình bày
về tập phân thứ, hàm suy rộng và một số bất đẳng thức về lớp hàm này, đưa ra
một số ví dụ vận dụng. Bất đẳng thức kiểu Hermite – Hadamard trên tập phân
thứ
Trong mục này, chúng tơi sẽ trình bày về một số dạng bất đẳng thức Hermite
– Hadamard trên tập phân thứ đối với hàm suy rộng và một số vận dụng.
Để hoàn thành được luận văn này, tác giả xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc đối
với giáo viên hướng dẫn TS. Trần Xuân Quý và TS. Đỗ Thị Phương Quỳnh, thầy
cơ đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo cho tơi trong suốt q trình làm luận văn. Tác
giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, các
thầy cô giáo, các phòng chức năng của trường đã tạo cho tác giả mọi điều kiện
tốt nhất trong quá trình học tập tại trường. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành
tới bạn bè, các bạn học viên trong lớp Cao học Toán K14 đã động viện và giúp
đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập cùng nhau.
Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Chi
Lăng, Lạng Sơn cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện cho
tác giả trong thời gian đi học Cao học. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới
gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, khích lệ tơi trong q trình học tập
và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 09 năm 2022.

Tác giả

Nguyễn Thùy Linh


3

Chương 1
Về bất đẳng thức Hermite - Hadamard
Chương này trình bày lại một số khái niệm cơ bản và bất đẳng thức HermiteHadamard một số mở rộng và vận dụng.

1.1

Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1. (i). Cho hai điểm a, b ∈ R, tập tất cả các điểm x = (1−λ)a+λb

với 0 6 λ 6 1 được gọi là đoạn thẳng (đóng) giữa a và b ký hiệu bằng [a, b]. Tập
I ⊂ R được gọi là lồi nếu nó chứa mọi đường thẳng nối hai điểm của nó; nói cách

khác, nếu (1 − t)a + tb ∈ I với a, b ∈ I, 0 6 λ 6 1.

(ii). Cho hàm f : I → [−∞, +∞] trên tập lồi I ⊂ R. Hàm f được gọi là lồi nếu

với mọi x1 , x2 ∈ I và λ ∈ [0, 1] ta có

f (λx1 + (1 − λ)x2 ) 6 λ f (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ).
Hàm f được gọi là lõm trên I nếu − f là hàm lồi.
Mệnh đề 1.1.2. Cho f : I → [−∞, +∞] là hàm lồi. Khi đó, với bất kỳ tập hữu hạn

x1 , . . . , xk ∈ I và bất kỳ các số không âm λ1 , . . . , λk thỏa mãn λ1 +λ2 +· · ·+λk = 1,

ta có


 n
n
 X
X
λi f (xi ).
f  λi xi  6
i=1

i=1

Mệnh đề 1.1.3. Hàm f là một hàm liên tục trên [a, b]. Khi đó, f là hàm lồi trên
(a, b) nếu và chỉ nếu thỏa mãn
 x + y  f (x) + f (y)
f
6
2
2
với mọi x, y ∈ (a, b).

(1.1)


4

Định nghĩa 1.1.4 (Định nghĩa 2.3, [5]). Cho s là một số thực thỏa mãn s ∈ (0, 1].

Hàm f : [0, ∞) → [0, ∞) được gọi là s-lồi theo nghĩa thứ hai nếu thỏa mãn
f (tx + (1 − t)y) ≤ t s f (x) + (1 − t) s f (y), ∀x, y ∈ [0, ∞) and t ∈ [0, 1].

Định nghĩa 1.1.5 (Định nghĩa 2.4, [5]). Hàm f : I → R được gọi là P-hàm, nếu
f không âm với mọi x, y ∈ I và với t ∈ [0, 1], ta có

f (tx + (1 − t)y) ≤ f (x) + f (y).
Định nghĩa 1.1.6 (Định nghĩa 2.7, [5]). Cho h : [0, 1] → R là một hàm khơng
âm. Ta nói rằng f : I → R là hàm h-lồi nếu f là hàm không âm với mọi x, y ∈ I
và t ∈ (0, 1), ta có

f (tx + (1 − t)y) ≤ h(t) f (x) + h(1 − t) f (y).

1.2

Bất đẳng thức Hermite – Hadamard, một số mở rộng và
vận dụng

1.2.1

Bất đẳng thức Hermite – Hadamard, một số mở rộng

Các bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard rất quan trọng trong nhiều chủ đề
tốn học và các ứng dụng của nó. Trong mục này, chúng tơi trình bày lại kết quả
của Hari M. Srivastava và cộng sự trong bài báo [6] công bố năm 2022.
Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Hermite - Hadamard). Giả sử f là hàm lồi trên
[a, b]. Khi đó, nếu f khả tích trên [a, b] thì ta có
!
Z b

a+b
1
f (a) + f (b)
.
6
f (x)dx 6
f
2
b−a a
2

(1.2)

Các bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard (1.2) là một công cụ quan trọng
trong các lĩnh vực toán học trừu tượng và ứng dụng, chẳng hạn như phân tích
tốn học, lý thuyết hàm, tối ưu hóa, lý thuyết điều khiển, lý thuyết về các phương
tiện đặc biệt và các biến thể khác nhau của các bài toán entropy, nội suy và xấp
xỉ, phương pháp số bao gồm tích phân số, lý thuyết thơng tin, xác suất và thống
kê. Các kết quả của bài báo này có thể được áp dụng cho các bất đẳng thức tích
phân cho các hàm có giá trị khoảng phân số và các phương trình vi phân tương
ứng và các bài tốn tối ưu hóa.


5

Dragomir và Agarwal đã chứng minh bất đẳng thức sau có liên hệ với vế phải
của bất đẳng thức (1.2).
Định lý 1.2.2. Nếu f là hàm khả vi trên khoảng [a, b] và | f ′ | là một hàm lồi trên
[a, b] thì bất đẳng thức sau đúng:

Z b

b−a ′


f (a) + f (b)
1
−
(| f (a)| + | f ′ (b)|).
f (x)dx

6





2
a−b a
8

Kirmaci [12] đã chứng minh kết quả sau có liên hệ với phần bên trái của bất

đẳng thức (1.2).
Định lý 1.2.3. Nếu f là hàm khả vi trên khoảng [a, b] và | f ′ | là một hàm lồi trên

[a, b] thì bất đẳng thức sau đúng:






!
Z b


a + b