(Luận văn thạc sĩ) một số kết quả về tích phân dao động với hàm pha là đa thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN HƯƠNG LIÊN

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG
VỚI HÀM PHA LÀ ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun Ngành: Tốn Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS. Vũ Nhật Huy

Hà Nội - 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN HƯƠNG LIÊN

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG
VỚI HÀM PHA LÀ ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun Ngành: Tốn Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS. Vũ Nhật Huy

Hà Nội - 2017



Mục lục
Mở đầu

5

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

6

Tích Phân Lebésgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Vành, σ - đại số và độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Không gian đo được, ánh xạ đo được, hàm đo được . .

7

1.1.3

Tích phân Lebésgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Không Gian Các Hàm Giảm Nhanh S (Rn ) . . . . . . . . . . .

11

1.3

Phép Biến Đổi Fourier

12

1.3.1
1.3.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm
nhanh S (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Biến đổi Fourier trong không gian L1 (Rn ) . . . . . . . .

18

2 ƯỚC LƯỢNG TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG

20

2.1

Ước lượng tập mức dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2

Bổ Đề vander Corput . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3

Đánh giá tích phân dao động thơng qua các không điểm của đạo
hàm của hàm pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 ĐÁNH GIÁ CHUẨN CỦA TOÁN TỬ DAO ĐỘNG

25
29

3.1

Chuẩn của toán tử dao động khi j < n/2 . . . . . . . . . . . .

29

3.2

Chuẩn của toán tử dao động khi j > n/2 . . . . . . . . . . . .

36

3.3

Chuẩn của toán tử dao động khi j = n/2 . . . . . . . . . . . .

39

Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

43

2


Lời cám ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn chân
thành và sâu sắc nhất của mình tới TS. Vũ Nhật Huy, vì sự giúp đỡ, chỉ bảo tận

tình, cùng những lời động viên vô cùng ý nghĩa của Thầy trong suốt q trình tơi
hồn thành luận văn tốt nghiệp.
Tơi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cơ giáo trong khoa
Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội
và Khoa Sau đại học, đã nhiệt tình truyền thụ kiến thức và tạo điều kiện giúp đỡ tơi
hồn thành khóa Cao học.
Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã ln động viên, khuyến khích, giúp
đỡ tơi rất nhiều trong suốt thời gian nghiên cứu và học tập.
Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời gian
thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong
nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cơ và các bạn để luận văn được hoàn thiện
hơn.
Hà Nội, tháng 3 năm 2017
Nguyễn Hương Liên

3


Mở đầu
Tích phân dao động đã thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học và các
nhà Vật lý từ khi xuất hiện cơng trình Théorie Analytique de la Chaleur của Joseph
Fourier vào năm 1822. Nhiều bài toán Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, hình
học đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết số; các bài toán về quang học, âm học, cơ
học lượng tử,... đều có thể đưa về việc nghiên cứu các tích phân dao động. Mặc dù
bài tốn này đã có từ lâu, nhưng do phạm vi ứng dụng rộng lớn của nó, nên đến nay
vẫn có nhiều nhà Tốn học quan tâm nghiên cứu nó và đã thu được nhiều kết quả
quan trọng.
Trong phạm vi của luận văn này, chúng tôi dành phần lớn cho việc nghiên cứu chuẩn
của toán tử dao động Tλ trong đó
eiλS(x,y) ψ(x, y)φ(y)dy,

Tλ φ(x) =
R

sau đó chúng tơi nghiên cứu dáng điệu tích phân kỳ dị dao động có dạng
eiλϕ(x) f (x)dx,

I(λ) =
R

trong đó λ là một số dương đủ lớn, ϕ là hàm trơn được gọi là hàm pha, f là hàm
trơn có giá trị phức gọi là hàm biên độ. Theo Elias M. Stein, có ba vấn đề cơ bản
khi xét dáng điệu của I(λ), khi λ → ∞, là địa phương hóa, đánh giá và tiệm cận. Có
nhiều phương pháp và cơng cụ để khảo sát dáng điệu của tích phân dao động I(λ),
trong đó việc sử dụng các tính chất của đa diện Newton của hàm pha ϕ là một trong
những công cụ hữu hiệu.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm ba
chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày những kiến thức cơ
bản về tích phân Lebésgue, tích phân Fourier trong khơng gian các hàm giảm nhanh
S (Rn ) làm cơ sở để xây dựng nội dung chương tiếp theo.

Chương 2: Ước lượng tích phân dao động. Chương này trình bày về việc
đánh giá tập mức dưới qua đó chứng minh bổ đề vander Corput và phương pháp
4


đánh giá tích phân dao động thơng qua các khơng điểm của đạo hàm của hàm pha.
Chương 3: Đánh giá chuẩn của tốn tử dao động. Chương này trình bày
về chuẩn của tốn tử dao động từ khơng gian L2 (R) vào L2 (R).

5


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, luận văn trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản và một số
định lý quan trọng trong lý thuyết về tích phân Lebésgue và phép biến đổi Fourier.
Nội dung chương này được tham khảo chính trong các tài liệu [1], [2] và [3].

1.1

Tích Phân Lebésgue

1.1.1

Vành, σ - đại số và độ đo

Định nghĩa 1.1.

Cho X là một tập bất kỳ. Một họ A các tập con của X được gọi

là một σ - đại số nếu nó thỏa mãn 3 điều kiện sau:
(a) X ∈ A;

∞

Ai ∈ A;

(b) A kín đối với phép hợp đếm được, tức là nếu Ai ∈ A(i ∈ N) thì

i=1

(c) A kín đối với phép lấy phần bù, tức là nếu A ∈ A thì Ac := X/A ∈ A.
Định nghĩa 1.2.

Một họ C các tập con của X được gọi là một vành trên X nếu nó

thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) C kín đối với phép hợp hữu hạn, tức là nếu Ai ∈ C(i ∈ R∗ ) thì

n

Ai ∈ C ;
i=1

(b) Nếu A, B ∈ C thì A/B ∈ C .
Ngồi ra, nếu X ∈ C thì ta nói rằng C là vành có đơn vị hay đại số.
Kí hiệu R = R ∪ {±∞}.
Định nghĩa 1.3.

Cho A là một σ - đại số trên X. Ánh xạ µ : A −→ R được gọi là

một độ đo nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(a) µ ≥ 0, ∀A ∈ A;
(b) µ là σ -cộng tính trên A, tức là nếu Ai ∈ A(i = 1, 2, ...) và rời nhau từng đơi một
thì

∞

µ

∞

Ai

=

i=1

µ(Ai );
i=1

6


(c) µ khơng đồng nhất bằng +∞ trên A , tức là tồn tại A ∈ A sao cho µ(A) < +∞.
Chú ý: Thay cho σ - đại số A ta có thể lấy vành C và định nghĩa độ đo hồn tồn
∞

Ai ∈ C , giả thiết này khơng

tương tự, trừ điều kiện (b) ta phải giả thiết thêm rằng
i=1

cần thiết nếu C là một σ - đại số.
Một độ đo µ trên vành C được gọi là hữu hạn nếu với mọi A ∈ A, µ(A) < +∞.
Độ đo µ được gọi là σ - hữu hạn nếu với mọi A ∈ C tồn tại các tập An ∈ C(n = 1, 2, ...)
An và µ(An ) < ∞.

sao cho A ⊂

n

1.1.2

Không gian đo được, ánh xạ đo được, hàm đo được

Một tập hợp X cùng với một σ - đại số A trên X được gọi là một khơng gian đo
được, kí hiệu là (X, A). Nếu trên A xác định một độ đo µ thì ta có một khơng gian
đo (X, A, µ).
Cho (X, χ) và (Y, Υ) là hai không gian đo, ánh xạ f : X → Y
Định nghĩa 1.4.

Ánh xạ f được gọi là (χ, Υ) đo được nếu với mọi B ∈ Υ có

f −1 (B) ∈ χ. Tức là nghịch ảnh của tập đo được là một tập đo được (trường hợp này

ta viết f −1 (Υ) ⊂ χ).
Cho không gian đo (X, χ) và hàm f : X → R được gọi là hàm thực đo được nếu
nó là (χ, B) đo được, trong đó B là σ - đại số Borel trên R.
Định lý 1.1.

Các điều kiện sau là tương đương:

a) f là (χ, B) đo được.
b) {x ∈ X, f (x) < a} ∈ χ, ∀a ∈ R.
c) {x ∈ X, f (x) ≤ a} ∈ χ, ∀a ∈ R.
d) {x ∈ X, f (x) > a} ∈ χ, ∀a ∈ R.
e) {x ∈ X, f (x) ≥ a} ∈ χ, ∀a ∈ R.
Chứng minh. (a) ⇒ (b): hiển nhiên.

∞

(b) ⇒ (c): do {x ∈ X, f (x) ≤ a} =

{x ∈ X, f (x) < a +
n=1

1
} ∈ χ.
n

(c) ⇒ (d): {x ∈ X, f (x) > a} = R/{x ∈ X, f (x) ≤ a} ∈ χ.
∞

1
} ∈ χ.
n
n=1
(e) ⇒ (a): Gọi D là lớp nửa khoảng [a, ∞) với a ∈ R. Ta có σ(f −1 (D)) = f −1 (σ(D)).

(d) ⇔ (e): do {x ∈ X, f (x) ≥ a} =

{x ∈ X, f (x) > a −

Mặt khác, dễ thấy σ(D) = B. Vậy f −1 (B) ⊂ χ.
Hơn nữa, {x ∈ X, f (x) = +∞} =

{x ∈ X, f (x) ≥ n} ∈ χ.
n∈N

7


{f (x) ≥ n}c ∈ χ. Vậy f −1 ({±∞}) ∈ χ.

Tương tự, {x ∈ x, f (x) = −∞} =

n∈N

Do đó các điều kiện trên tương đương nhau.
Định nghĩa 1.5.

Hàm f gọi là hàm đơn giản nếu tồn tại hữu hạn các tập rời nhau

E1 , E2 , ..., Em và các số thực α1 , α2 , ..., αm sao cho

f (x) =



α

 i

nếu xi ∈ Ei (i = 1, 2, ..., m)



0

nếu i ∈
/

m

Ei
1

m

hay f (x) =

αi 1Ei (x).
1

1.1.3

Tích phân Lebésgue

1)Tích phân của hàm đơn giản
Lớp các hàm đơn giản trên (Ω, A) được kí hiệu S := S(Ω, A).
Xét một lớp con của S gồm các hàm không âm S + := {f ∈ S : f ≥ 0}.
Định nghĩa 1.6.

Cho f ∈ S + có biểu diễn f =

m

αi 1Ai . Ta gọi giá trị

f dµ :=

αi µ(Ai ) là tích phân của hàm f theo độ đo µ.
i=1

2)Tích phân của hàm đo được khơng âm
Trước hết ta định nghĩa tích phân cho hàm đo được khơng âm, sau đó ta có thể
định nghĩa của hàm đo được bất kỳ bằng hiệu của hai tích phân trên từng thành
phần của nó.
Kí hiệu L+ = L+ (Ω, A) là lớp các hàm đo được không âm.
Định nghĩa 1.7.

Cho hàm f ∈ L+ . Tích phân của hàm f theo độ đo µ được định

nghĩa như sau:
f dµ = sup

fn dµ.

n
X

X

3)Tích phân của hàm đo được bất kỳ
Với mọi hàm f đo được ta có f = f + − f − trong đó
f + := max(f, 0)

và

f − := max(−f, 0)

Ta có định nghĩa tích phân của hàm đo được bất kì như sau:

8


f − dµ hữu hạn thì

f + dµ và

Định nghĩa 1.8. 1. Nếu ít nhất một trong hai giá trị
X

X

đại lượng
X

f − dµ,

f + dµ −

f dµ :=
X

X

được gọi là tích phân của hàm đo được f theo độ đo µ. Trong trường hợp này ta nói
tích phân

f dµ xác định.
X

f − dµ là các số

f + dµ và

2. Hàm đo được f được gọi là khả tích nếu các giá trị
X

X

thực hữu hạn.
3. Nếu Ω = Rd , A = B(Rd ) và µ = λd ta gọi tích phân được định nghĩa như trên là tích
phân Lebésgue.
Định lý 1.2. (Beppo - Levi về sự hội tụ đơn điệu)

Giả sử fn là dãy hàm đo được

không âm, hội tụ đơn điệu tăng đến hàm f. Khi đó ta có: lim

n→+∞

Chứng minh.

fn dµ =
X

f dµ.

X

Với mỗi n có một dãy hàm đơn giản không âm {gn,p }∞
p=1 đơn điệu

tăng đến fn .
Vì fn+1 ≥ fn nên cũng như trên, ta có thể giả thiết rằng gn+1,p ≥ gn,p . Khi đó ta có
gn+1,n+1 ≥ gn+1,n ≥ gn,n .

Như vậy dãy {gn,n }∞
n=1 là một dãy đơn điệu tăng.
Với k ≤ n ta có gk,n ≤ gn,n ≤ fn và do đó

gk,n dµ ≤
X

gn,n dµ ≤
X

fn dµ.
X

Cho n → ∞ ta được các bất đẳng thức tương ứng:
fk dµ ≤ lim

fk ≤ lim gn,n ≤ f và
n

n

X

gn,n dµ ≤ lim
n

X

fn dµ.
X

Cho k → ∞, ta được: f ≤ lim gn,n ≤ f và lim fk dµ ≤ lim gn,n dµ ≤ lim fn dµ.
n

Tức là: lim gn,n = f và lim
n

n→+∞

n

k X

fn dµ = lim
n

X

gn,n dµ =

lim gn,n dµ =

X

X

n

X

n

X

f dµ.
X

Định lý được chứng minh.
Định lý 1.3. (Fatou)

Cho fn là dãy các hàm đo được khơng âm, khi đó:
limn→+∞ fn dµ ≤ limn→+∞
X

Chứng minh.

fn dµ
X

Đặt gn = inf fn+k , ta có gn ≥ 0 và đơn điệu tăng đến limfn .
k

Theo định lý Beppo - Levi ta có: lim gn dµ =
X

Nhưng gn ≤ fn nên

gn dµ ≤
X

X

fn dµ và do đó
X

gn dµ ≤ lim

limfn dµ = limn
X

limfn dµ

X

fn dµ.
X

9


Định lý được chứng minh.
Định lý 1.4. (Fatou - Lebésgue)

Giả sử fn là một dãy các hàm khả tích và g là

hàm khả tích sao cho |fn | ≤ g với mọi n. Khi đó ta có:
limfn dµ ≤ lim
X

fn dµ ≤ lim
X

fn dµ ≤
X

limfn dµ
X

Ta có −g ≤ fn ≤ g . Trước hết, ta xét hàm fn + g ≤ 0.

Chứng minh.

Áp dụng định lý Fatou, ta có:
lim(fn + g)dµ ≤ lim
X

(fn + g)dµ
X

hay
gdµ ≤ lim

limfn dµ +
X

X

Do g là hàm khả tích, 0 ≤

fn dµ +
X

gdµ.
X

gdµ < +∞ nên ta suy ra
X

limfn dµ ≤ lim
X

fn dµ.
X

Tiếp theo, ta xét các hàm g − fn ≥ 0 với mọi n.
Ta có
lim(g − fn )dµ ≤ lim
X

(g − fn )dµ
X

Từ đó với chú ý rằng lim(−fn ) = −lim(fn ), ta suy ra:
fn dµ ≤

lim

limfn dµ
X

X

Định lý được chứng minh.
Định lý 1.5. (Định lý Lebésgue về sự hội tụ bị chặn)

Giả sử fn là dãy hàm khả

tích sao cho |fn | ≤ g với mọi n, fn → f (h.k.n) và g - khả tích. Khi đó hàm f cũng khả
tích, ngồi ra:
a) |fn − f | dµ → 0(n → ∞);
X

b) f dµ =
X

lim fn dµ = lim
X

n

n

fn dµ.
X

10


Từ hệ thức |fn | ≤ g với mọi n, cho n → ∞, ta được |fn | ≤ g(h.k.n).

Chứng minh.

Từ đó suy ra f - khả tích.
Theo giả thiết limn fn = f (h.k.n) hay
lim |fn − f | = lim |fn − f | = lim |fn − f |(h.k.n).

Và |fn − f | ≤ 2g(h.k.n) với 2g ∈ L1 . Áp dụng định lý Fatou - Lebésgue, ta có:
|fn − f | dµ = 0.

lim
n

X

fn dµ −

Từ hệ thức
X

f dµ ≤
X

|fn − f | dµ, suy ra: limn
X

f dµ.

fn dµ =
X

X

Định lý được chứng minh.

1.2

Khơng Gian Các Hàm Giảm Nhanh S (Rn)

Định nghĩa 1.9. Không gian S (Rn ) là tập hợp
S (Rn ) = {ϕ ∈ C ∞ (Rn ) : sup xα Dβ ϕ (x) < ∞
x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+ }.

Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ), khi đó
lim xα Dβ ϕ (x) = 0

x →∞

∀α, β ∈ Zn+ .

Điều này dẫn đến hàm ϕ (x) là hàm giảm về 0 khi x → ∞ nhanh hơn bất kỳ hàm

có dạng như sau 1/P (x) , x ∈ Rn . Vì vậy, chúng ta gọi S (Rn ) là khơng gian các hàm
giảm nhanh.
Ví dụ 1.1.

Không gian C0∞ (Rn ) là không gian con của không gian các hàm giảm

nhanh S (Rn ).
Chứng minh.

Xét hàm ϕ ∈ C0∞ (Rn ).

Khi đó, ta đặt
suppϕ = K, K là tập compact trong Rn .
Với mọi x ∈
/ K , suy ra
Dβ ϕ (x) = 0

∀β ∈ Zn+ .

Do đó
sup xα Dβ ϕ (x) = sup xα Dβ ϕ (x) < ∞
x∈Rn

Điều này dẫn đến hàm ϕ ∈ S

x∈K

(Rn ),

∀α, β ∈ Zn+ .

từ đây suy ra được C0∞ (Rn ) là không gian con

của không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ).
Chứng minh được hoàn thành.
11


Ví dụ 1.2.

Cho hàm số ϕ (x) = e−

x

2

, x ∈ Rn . Khi đó ϕ là hàm số thuộc không

gian các hàm giảm nhanh S (Rn ).
Chứng minh.

Theo giả thiết, ta có x
e−

x

2

2

2

= x21 + x22 + ... + x2n nên

2

2

= e−x1 .e−x2 ...e−xn ,

x ∈ Rn .

Mặt khác
2

Dβ ϕ (x) = Dβ1 e−x1
2

2

2

Dβ2 e−x2 ... Dβn e−xn

2

2

= e−x1 .e−x2 ...e−xn Q (x1 , x2 , ..., xn )
= e−

x

2

∀β ∈ Zn+ , x ∈ Rn ,

Q (x1 , x2 , ..., xn )

trong đó Q (x1 , x2 , ..., xn ) là hàm chứa các lũy thừa của x1 , x2 , ..., xn .
Do đó
xα Dβ ϕ (x) = xα Q(x1 , x2 , ..., xn )e−

x

2

∀α, β ∈ Zn+ .

Ta thấy rằng
2

lim ta e−|t| = 0

với mọi a ∈ R.

t→∞

Từ đây, suy ra
lim xα Q (x1 , x2 , ..., xn ) e−

x

2

x →∞

=0

∀α ∈ Zn+ .

Vậy nên, ta có
sup xα Dβ ϕ (x) < ∞
x∈Rn

∀α, β ∈ Zn+ ,

do đó dẫn đến ϕ là hàm thuộc vào không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ).
Chứng minh được hồn thành.

1.3

Phép Biến Đổi Fourier

Đối tượng chính của chúng ta nghiên cứu trong phần này, sẽ là phép biến đổi
Fourier của những hàm thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ).

1.3.1

Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm nhanh

S (Rn )

Định nghĩa 1.10.

Cho hàm f ∈ S (Rn ). Biến đổi Fourier của hàm f ký hiệu là

f (ξ) hay F (f ) (ξ), là hàm được xác định bởi
F (f ) (ξ) = f (ξ) = (2π)−n/2

e−i x,ξ f (x) dx
Rn

trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn .
12


Biến đổi Fourier ngược của hàm f ∈ S (Rn ) là hàm được xác

Định nghĩa 1.11.
định bởi

∨

F −1 (f ) (x) = f (x) = (2π)−n/2

ei x,ξ f (ξ) dξ
Rn

trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn .
Từ định nghĩa trên ta dễ dàng suy ra: Biến đổi Fourier (và ngược của nó) là

tuyến tính, nghĩa là:
F[λ1 f1 + λ2 f2 ] = λ1 F[f1 ] + λ2 F[f2 ]

và
F −1 [λ1 f1 + λ2 f2 ] = λ1 F −1 [f1 ] + λ2 F −1 [f2 ]

Bây giờ ta xét các tính chất của biến đổi Fourier, biến đổi Fourier ngược của hàm
thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) bằng cách đi nghiên cứu kỹ hơn các
mệnh đề sau đây, dựa trên tài liệu (xem [1],[3],[6]).
Định lý 1.6.

Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ). Khi đó Fϕ, F −1 ϕ ∈ S (Rn ) và

• Dα Fϕ (ξ) = (−i)|α| F (xα ϕ (x)) (ξ) ,

Dα F −1 ϕ (ξ) = i|α| F −1 (xα ϕ (x)) (ξ) ,

• ξ α Fϕ (ξ) = (−i)|α| F (Dα ϕ (x)) (ξ) ,

ξ α F −1 ϕ (ξ) = i|α| F −1 (Dα ϕ (x)) (ξ) .

Chứng minh.

Theo định nghĩa phép biến đổi Fourier của hàm ϕ thuộc không gian

các hàm giảm nhanh S (Rn ), có
(Fϕ) (ξ) = (2π)−n/2

e−i x,ξ ϕ (x) dx.

(1.1)

Rn

Áp dụng định lý về tính khả vi các tích phân phụ thuộc tham số, ta có đạo hàm
Dξα (Fϕ) (ξ) với mọi α ∈ Zn+ và
Dξα (Fϕ) (ξ) = Dξα

(2π)−n/2

e−i x,ξ ϕ (x) dx
Rn

= (2π)−n/2

(−ix)α e−i x,ξ ϕ (x) dx
Rn

= (−i)|α| (2π)−n/2

e−i x,ξ xα ϕ (x)dx
Rn

|α|

α

= (−i) F (x ϕ (x)) (ξ)

∀ϕ ∈ S (Rn ) ,

do tích phân
e−i x,ξ xα ϕ (x) dx
Rn

13

∀ϕ ∈ S (Rn )

(1.2)


hội tụ tuyệt đối và đều theo ξ trong Rn và mọi α ∈ Zn+ . Vì
e−i x,ξ xα ϕ (x) ≤ |x|α |ϕ (x)|

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Do hàm ϕ ∈ S (Rn ) nên dẫn đến
|x|α |ϕ (x)| dx

∀α ∈ Zn+

Rn

hội tụ tuyệt đối và đều theo ξ trong Rn .
Do đó, tồn tại đạo hàm Dξα (Fϕ) (ξ), dẫn đến Fϕ ∈ C ∞ (Rn ).
Vì thế mỗi ξ ∈ Rn , β, γ ∈ Zn+ , có
lim ξ β Dxγ e−i x,ξ ϕ (x) = 0

x →∞

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Sử dụng phép tính tích phân từng phần |β| lần cho (1.2), ta được
Dξα (Fϕ) (ξ) = ξ −β (2π)−n/2

e−i x,ξ (−iDx )β (−ix)α ϕ (x) dx,
Rn

Như vậy, với mỗi α, β ∈ Zn+ , có
ξ β Dξα (Fϕ) (ξ) = (2π)−n/2

e−i x,ξ (−iDx )β (−ix)α ϕ (x) dx,

(1.3)

Rn

nhận thấy rằng
e−i x,ξ (−iDx )β (−ix)α ϕ (x) dx
Rn

≤ sup Dxβ (−x)α ϕ (x)

dx

(1 + x )n+1

x∈Rn

Rn

(1 + x )n+1

Kết hợp (1.3) và (1.4), ta nhận được
sup ξ β Dξα Fϕ (ξ)

ξ∈Rn

≤ (2π)−n/2 sup Dxβ (−x)α ϕ (x)
x∈Rn

≤ C sup 1 + x

dx

(1 + x )n+1
Rn

2 n+1+|α|

x∈Rn

|Dγ ϕ (x)|

(1 + x )n+1

∀α, β ∈ Zn+ .

γ≤β

Do ϕ ∈ S (Rn ) nên
sup 1 + x
x∈Rn

2 n+1+|α|

|Dγ ϕ (x)| < ∞
γ≤β

14

∀α, β ∈ Zn+ .

. (1.4)


Điều này dẫn đến Fϕ ∈ S (Rn ).
Từ công thức (1.3), cho α = 0, β ∈ Zn+ ta nhận được
ξ β Fϕ (ξ) = (2π)−n/2

(−iDx )β e−i x,ξ ϕ (x) dx
Rn

= (2π)−n/2
|β|

e−i x,ξ (−iDx )β ϕ (x) dx
Rn
β

= (−i) F D ϕ (x) (ξ)

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Vậy phép biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian các hàm
giảm nhanh S (Rn ).
Đối với phép biến đổi Fourier ngược F −1 ta chứng minh tương tự.
Chứng minh được hoàn thành.
Định lý 1.7.

Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ). Khi đó
F −1 Fϕ = FF −1 ϕ = ϕ.

Từ đó suy ra phép biến đổi Fourier (cũng như ngược của nó) là phép ứng 1-1.
Chứng minh.

Thật vậy,
F [f1 ] = F [f2 ] ⇒ F −1 [F [f1 ]] = F −1 [F [f2 ]] ⇒ f1 = f2

Mệnh đề 1.1.

Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn ). Khi đó,
ϕ (x) Fψ (x) dx =
Rn

ψ (ξ)Fϕ (ξ) dξ
Rn

và

|ϕ (x)|2 dx =
Rn

|Fϕ (ξ)|2 dξ.
Rn

Chứng minh. Sử dụng định nghĩa biến đổi Fourier cho hàm ψ (x) trong không gian
các hàm giảm nhanh S (Rn ), có
Fψ (x) = (2π)−n/2

e−i x,ξ ψ (ξ) dξ,
Rn

khi đó ϕ, ψ ∈ S (Rn ), ta có
ϕ (x) (2π)−n/2
Rn

e−i x,ξ ψ (ξ) dξ dx =
Rn

ϕ (x) Fψ (x) dx.
Rn

15

(1.5)


Tương tự, ta nhận được
Fϕ (ξ) = (2π)−n/2

e−i x,ξ ϕ (x) dx

∀ϕ ∈ S (Rn ) ,

Rn

với ϕ, ψ ∈ S (Rn ), nên
ψ (ξ) (2π)−n/2
Rn

e−i x,ξ ϕ (x) dx dξ =
Rn

ψ (xi) (Fϕ) (ξ) dξ.

(1.6)

Rn

Mặt khác, với các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rn ) theo định lý Fubini, có
ϕ (x) (2π)−n/2

e−i x,ξ ψ (ξ) dξ dx

Rn

Rn

ψ (ξ) (2π)−n/2

=

e−i x,ξ ϕ (x) dx dξ. (1.7)
Rn

Rn

Kết hợp (1.5), (1.6) và (1.7), ta đạt được
ϕ (x) Fψ (x) dx =
Rn

ψ (ξ) (Fϕ) (ξ) dξ

∀ϕ, ψ ∈ S (Rn ) .

(1.8)

Rn

Bằng cách cho hàm
ψ = F −1 ϕ

ta thấy rằng
F −1 ϕ = Fϕ,

ϕ = Fψ

và sử dụng (1.8), ta nhận được
|Fϕ (ξ)|2 dξ

|ϕ (x)|2 dx =

∀ϕ ∈ S (Rn ) .

Rn

Rn

Như vậy, phép biến đổi Fourier F là một đẳng cấu tuyến tính, tự liên hợp, đẳng
cự trên khơng gian các hàm giảm nhanh S (Rn ) với không gian metric L2 (Rn ).
Mệnh đề được chứng minh.
Dưới đây ta sẽ trình bày một số tính chất khác của phép biến đổi Fourier, trong
không gian các hàm giảm nhanh S (Rn ).
Mệnh đề 1.2.

Cho hàm ϕ ∈ S (Rn ). Khi đó

i) Fϕ (ξ − h) = F ei h,x ϕ (x) (ξ) ,

ξ, h ∈ Rn .

ii) F (ϕ (x − h)) (ξ) = e−i h,ξ Fϕ (ξ) ,
iii) F (ϕ (tx)) (ξ) = t−n Fϕ (ξ/t) ,

ξ, h ∈ Rn .

t = 0, ξ ∈ Rn .
16

Chứng minh. i) Từ định nghĩa của phép biến đổi Fourier, ta có
Fϕ (ξ − h) = (2π)−n/2

ϕ (x)e−i ξ−h,x dx
Rn

= (2π)−n/2

ϕ (x)e−i ξ,x ei h,x dx
Rn

= (2π)−n/2

e−i ξ,x dx

ϕ (x) ei h,x

∀ϕ ∈ S (Rn ) , ξ, h ∈ Rn .

Rn

Do vậy, ta suy ra
Fϕ (ξ − h) = F ei h,x ϕ (x) (ξ)

∀ϕ ∈ S (Rn ) , ξ, h ∈ Rn .

ii) Sử dụng định nghĩa khai triển Fourier cho hàm ϕ (x − h) với ξ, h ∈ Rn , ta thấy
rằng
F (ϕ (x − h)) (ξ) = (2π)−n/2

ϕ (x − h)e−i ξ,x dx.

(1.9)

Rn

Đặt x − h = t hay x = t + h, thay vào (1.9), ta được
F (ϕ (x − h)) (ξ) = (2π)−n/2

ϕ (t)e−i ξ,t+h dt
Rn

= (2π)−n/2 e−i ξ,h

ϕ (t)e−i ξ,x dt.

(1.10)

Rn

Ta lại có
(2π)−n/2 e−i ξ,h

ϕ (t)e−i ξ,x dt = e−i ξ,h Fϕ (ξ) .

(1.11)

Rn

Kết hợp (1.10) và (1.11), ta thu được
F (ϕ (x − h)) (ξ) = e−i ξ,h Fϕ (ξ)

∀ϕ ∈ S (Rn ) , ξ, h ∈ Rn .

iii) Sử dụng định nghĩa khai triển Fourier cho hàm ϕ (tx), ta có
F (ϕ (tx)) (ξ) = (2π)−n/2

ϕ (tx)e−i ξ,x dx
Rn

1
ϕ (y)e−iξ/t dy,
t
Rn

(1.12)

1
ϕ (y)e−iξ/t dy = |t|−n Fϕ (ξ/t) .
t
Rn

(1.13)

= (2π)−n/2

do
(2π)−n/2

Từ (1.12) và (1.13), dẫn đến
F (ϕ (tx)) (ξ) = |t|−n Fϕ (ξ/t)

Chứng minh được hoàn thành.
17

∀ϕ ∈ S (Rn ) , t = 0, ξ ∈ Rn .


1.3.2

Biến đổi Fourier trong không gian L1 (Rn )
Cho hàm f ∈ L1 (Rn ). Ảnh Fourier của hàm f ký hiệu là f (ξ)

Định nghĩa 1.12.

hay F (f ) (ξ), là hàm được xác định bởi
F (f ) (ξ) = f (ξ) = (2π)−n/2

e−i x,ξ f (x) dx
Rn

trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn .
Mệnh đề 1.3. Biến đổi Fourier của một hàm khả tích tuyệt đối (trên tồn trục số)
là một hàm bị chặn (trên toàn trục số) và ngoài ra
+∞

1

f (y) ≤

|f (x)| dx.

(2π)

Chứng minh.

−∞

Suy ngay từ định nghĩa với lưu ý rằng e−ixy = 1.

Hệ quả 1.1. Nếu hàm khả tích tuyệt đối f và dãy hàm khả tích tuyệt đối {fn } thỏa
mãn điều kiện
+∞

lim

n→∞
−∞

|fn (x) − f (x)| dx = 0,

thì dãy hàm fn (y) hội tụ đều đến hàm f (y) trên toàn trục số thực.
Chứng minh.
Ví dụ 1.3.

Suy ngay từ bất đẳng thức của mệnh đề trên.
Cho

là một hàm bậc thang đơn:

(x) =

1
0

Xác định biến đổi Fourier của hàm
Chứng minh.

.

Ta có
1
(y) = √
2π

=

khi a ≤ x < b
khi x > a hay b ≥ x

b
a

1
e−ixy dx = √
2π

b

(cosxy − isinxy)dx =

a

√
[(sinby −
sinay)
+
i(cosby
−
cosay)]/(y
2π)
√
(b − a)/ 2π

khi y = 0
khi y = 0

Dễ dàng kiểm tra rằng đây là hàm liên tục và tiến tới 0 khi y tiến ra vơ cùng (về
cả hai phía).
Mệnh đề 1.4. Biến đổi Fourier của một hàm khả tích tuyệt đối trên toàn trục số
thực là một hàm liên tục và tiến tới 0 khi biến số tiến ra −∞ hoặc +∞ .
18


Chứng minh.

Ta biết rằng với một hàm ϕ khả tích tuyệt đối thì tìm được dãy các

hàm bậc thang ϕn thỏa mãn
−∞

lim

n→∞
+∞

|ϕn (x) − ϕ(x)| dx = 0,

cho nên từ hệ quả trên ta thấy chỉ cần chứng minh mệnh đề cho lớp các hàm bậc
thang. Mặt khác, ta lại biết rằng một hàm bậc thang bất kỳ là tổ hợp tuyến tính
(hữu hạn) của các hàm bậc thang đơn (nhận giá trị 1 trên một nửa khoảng [a, b) nào
đó và bằng 0 trên miền cịn lại). Từ tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier ta suy
ra chỉ cần chứng minh mệnh đề cho lớp các hàm bậc thang đơn.
Dễ dàng kiểm tra rằng đây là hàm liên tục và tiến tới 0 khi y tiến ra vô cùng (về
cả hai phía). Mệnh đề đã được chứng minh xong.

19


Chương 2
ƯỚC LƯỢNG TÍCH PHÂN DAO
ĐỘNG
Trong chương này, ta đưa ra một ước lượng cho tập mức dưới thông qua đó chứng
minh được bổ đề vander Corput. Sử dụng các kết quả đó ta sẽ đánh giá tích phân
dao động thông qua các không điểm của đạo hàm của hàm pha. Nội dung của chương
này được tham khảo ở tài liệu số [4], [5], [6].

2.1

Ước lượng tập mức dưới

Định lý 2.1.

Cho φ : [a, b] → R là một hàm khả vi cấp k và giả sử rằng |φ(k) (x)| ≥ 1

với k ≥ 1 và với mọi x ∈ [a, b]. Khi đó
|{x ∈ [a, b] : |φ(x)| ≤ β}| ≤ 2kβ 1/k .

Chứng minh.

Ta đặt
Eβ = {x ∈ [a, b] : |φ(x)| ≤ β}.

Khi đó Eβ là hợp hữu hạn của các khoảng đóng. Dịch chuyển các đoạn này đóng sát
lại với nhau ta được một đoạn đóng I có độ dài |Eβ |. Phân hoạch đoạn I này thành
k đoạn con bằng nhau bởi k + 1 điểm chia x0 , x1 , x2 , ..., xk sau đó dời các đoạn đóng

trên về vị trí cũ. Khi đó
|xj − xl | ≥ |Eβ |

|j − l|
k

∀j, l = 0, 1, 2, .., k.

(2.1)

Ta xây dựng đa thức nội suy Lagrange h(x) với việc nội suy các giá trị φ(x0 ), φ(x1 ), ..., φ(xk )
như sau:
k

h(x) =

φ(xn )
n=0

(x − x0 )...(x − xn−1 )(x − xn+1 )...(x − xk )
.
(xn − x0 )...(xn − xn−1 )(xn − xn+1 )...(xn − xk )

20


Xét hàm
F (x) := h(x) − φ(x).

Khi đó, hàm F (x) khả vi đến cấp k và bị triệt tiêu tại mỗi điểm x0 , x1 , x2 , ..., xk .
Do đó tồn tại k điểm ξ1 , ξ2 , ..., ξk với x0 < ξ1 < x1 < ξ2 < ... < ξk < xk sao cho
F (ξ1 ) = F (ξ2 ) = ... = F (ξk ) = 0.

Lý luận tương tự, sau k lần, tồn tại một điểm ξ ∈ (a, b) sao cho
F (k) (ξ) = h(k) (ξ) − φ(k) (ξ) = 0.

Suy ra
φ(k) (ξ)
=
k!

k

n=0

φ(xn )
.
(xn − x0 )...(xn − xn−1 )(xn − xn+1 )...(xn − xk )

Bây giờ, từ giả thiết |φ(k) (ξ)| ≥ 1 trên [a, b] và tính chất (2.1) của các điểm
x0 , x1 , x2 , ..., xk chúng ta nhận được
|φ(k) (ξ)|
1
≤
≤β
k!
k!
k

≤β
n=0

k

n=0

1
.
|xn − x0 |...|xn − xn−1 ||xn − xn+1 |...|xn − xk |

kk
βk k
≤
n!(k − n)!|Eβ |k

|Eβ |k k!

k

n=0

k
n

=

βk k k
2 ,
|Eβ |k k!

và do đó
|Eβ |k ≤ βk k 2k .

Điều này dẫn đến
|Eβ | ≤ β 1/k k.2.

Định lý được chứng minh.
Việc đánh giá tập mức dưới như trên sẽ cho ta một công cụ hữu hiệu để đánh
giá tích phân dao động được trình bày trong bổ đề vander Corput dưới đây.

2.2

Bổ Đề vander Corput

Bổ đề 2.1. (van der Corput)

Cho φ : [a, b] → R là một hàm khả vi đến cấp k và giả

sử rằng |φ(k) (x)| ≥ 1 với k ≥ 1 và với mọi x ∈ [a, b]. Nếu k = 1 thì giả thiết thêm điều
kiện φ là đơn điệu. Khi đó, tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc vào k (không phụ thuộc
vào a, b, λ và φ) sao cho
b

eiλφ(x) dx ≤
a

21

Ck
.
|λ|1/k


Một vài nhận xét được đưa ra trước khi chứng minh bổ đề này.
Đặt
b

eiλφ(x) dx .

I(λ) =
a

Với một tham số thực β (được chọn sau) chúng ta phân tích I(λ) thành hai thành
phần, tập:
Eβ := {x ∈ [a, b] : |φ (x)| ≤ β}

và phần bù của nó (Eβc ). Như vậy ta viết
eiλφ(x) dx| + |

I(λ) ≤ |

eiλφ(x) dx|.
Eβc

Eβ

Các quan sát chính ở đây đó là: với β được lựa chọn thích hợp, dao động của số
mũ phức eiλφ(x) trên tập Eβ là khá nhỏ, do đó có thể được bỏ qua. Từ đó ước lượng
chính trở thành:
eiλφ(x) dx|.

I(λ) ≤ |Eβ | + |
Eβc

Ở đây và trong phần còn lại của các ghi chú, chúng ta biểu thị bởi |E| độ đo
Lebésgue của tập E ∈ Rn . Ước lượng cho các tập của chuẩn của Eβ được gọi là "sublevel set estimates" (ước lượng tập mức dưới) và nó có liên hệ mật thiết tới ước lượng
tích phân dao động. Trên thực tế, những khảo sát đơn giản ở trên cùng với một ước
lượng phù hợp cho |Eβ | sẽ kéo theo ước lượng tích phân dao động được nêu trong bổ
đề van der Corput. Tương tự, một lập luận giống như thế có thể được sử dụng trong
nhiều trường hợp khác (tất nhiên là với một số chiều cao hơn) để sinh ra ước lượng
tích phân dao động. Ngược lại, ước lượng tích phân dao động có thể được sử dụng
để suy ra "sub-level set estimates" (ước lượng tập mức dưới).
Chứng minh.

Trước hết ta chứng minh cho trường hợp k = 1. Cụ thể là chứng minh

rằng nếu φ (x) ≥ 1 trên [a, b] và φ là đơn điệu thì ta có ước lượng:
b

eiλφ(x) dx ≤

C
.
|λ|

a

Áp dụng cơng thức tích phân từng phần ta có:
b

b

eiλφ(b)
eiλφ(a)
1
eiλφ(x) dx =
−
−
iλφ (b) iλφ (a) iλ

a

eiλφ(x)
a

22

d
dx

1
φ (x)

.


Do đó:
b

b

1
1
1
eiλφ(x) dx| ≤
+
+
|λφ (b)| |λφ (a)| |λ|

|
a

d
dx

dx

a

Vì φ là đơn điệu trong [a,b] nên

d
(1/φ ) có dấu khơng đổi. Do đó
dx
b

b

d
dx

1
1
1
eiλφ(x) dx| ≤
+
+
|λφ (b)| |λφ (a)| |λ|

|

1
φ (x)

1

φ (x)

dx

a

a

≤

1
|λ|

1
1
1
1
+
+
−
|φ (a)| |φ (b)|
φ (a) φ (b)

=

2
max
|λ|

1

1
;
|φ (a)| |φ (b)|

2
|λ|

≤

bị chặn dưới trên đạo hàm của φ trên [a,b]. Do đó k = 1 là đúng.
Tiếp theo giả sử rằng k ≥ 2 và cố định tham số β (tham số này sẽ chọn sau). Ta
ước lượng như trong thảo luận trước đó là
b

eiλφ(x) dx

eiλφ(x) dx| ≤ Eβ +

|
a

{[a,b]:|φ (x)|>β}

trong đó Eβ = {x ∈ [a, b] : |φ (x)| ≤ β}.
Dựa vào giả thiết |φ(k) (x)| ≥ 1 với mọi x ∈ [a, b] ta áp dụng kết quả của định lý 2.1
cho hàm φ thu được ước lượng |Eβ | ≤ 2(k − 1)β 1/k−1 .
Ở tích phân cịn lại của tổng ở vế phải của bất đẳng thức trên, ta thấy: Với giả thiết
|φ(k) (x)| ≥ 1 ta suy ra tập {x ∈ [a, b] : |φ (x)| > β} là hợp của không quá 2k đoạn, mà

trên mỗi đoạn đó φ (x) đơn điệu. Sử dụng kết quả ứng với k = 1 cho các đoạn này ta có:

eiλφ(x) dx ≤

ck
|λ|β

.

{[a,b]:|φ (x)|>β}

Tổng hợp lại ta có
b
1

eiλφ(x) dx| ≤ 2(k − 1)β k−1 + ck

|
a

Chọn β để cực tiểu hóa tổng trên, β
− k1

Corput |I (λ)| ≤ Ck |λ|

|λ|−

được thỏa mãn.

Định lý được chứng minh.
23

k−1
k

1
|λ|β

.

, như vậy ước lượng của bổ đề vander