Các dạng toán hình tọa độ không gian - Phương trình mặt phẳng

NGUYỄN HỒNG ĐIỆP

A

Hình học tọa độ trong khơng gian

u
v
a

B

26 tháng 05, 2014


A
3rd −LTEX−201402

TĨM TẮT TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
Copyright c 2014 by Nguyễn Hồng Điệp


Phần I
Hình học

3



Chương 1
Phương pháp tọa độ trong không gian

A. Vectơ trong không gian
→
→
Trong không gian cho các vectơ −1 = x 1 , y 1 , z 1 , −2 = x 2 , y 2 , z 2 và số k tùy ý
u
u

−
→ −
→
• u1 = u2 ⇔

 x1 = x2
y = y2
 1
z1 = z2

−
→ −
→
• u 1 ± u 2 = x 1 ± x 2, y1 ± y2, z 1 ± z 2
−
→
• k u 1 = k x 1, k y1, k z 1
− −
→ →
• Tích có hướng: u 1 . u 2 = x 1 .x 2 + y 1 .y 2 + z 1 .z 2
→ →
Hai vectơ vng góc nhau ⇔ −1 .−2 = 0 ⇔ x 1 .x 2 + y 1 .y 2 + z 1 .z 2 = 0
u u

−
→
2
2
2
• u 1 = x 1 + y1 + z 1
• Gọi ϕ là góc hợp bởi hai vectơ 0◦

ϕ

180◦

− −
→ →
u 1 .u 2
− −
→ →
cos ϕ = cos u 1 , u 2 = −
→ − =
→
u1 . u2

x 1x 2 + y1y2 + z 1z 2
2
2
2
2
2
2
x 1 + y1 + z 1 . x 2 + y2 + z 2

−
→
• A B = x B − x A , y B − yA , z B − z A
AB =

(x B − x A )2 + y B − y A

2

+ (z B − z A )2

• Tọa độ các điểm đặc biệt:
x A + x B yA + y B z A + z B
,
,
2
2
2
x A + x B + x C y A + y B + yC z A + z B + z C
Tọa độ trọng tâm G của tam giác A BC : G
,
,
3
3
3
Tọa độ trọng tâm G của tứ diện A BC D :

Tọa độ trung điểm I của A B : I

G

x A + x B + x C + x D y A + y B + yC + y D z A + z B + z C + z D
,
,
4
4
4

• Tích có hướng của hai vectơ là 1 vectơ vng góc cả hai vectơ xác định bởi
−
→
− −
→ →
u = u1, u2 =

y1 z 1
z 1 x1
x1 z 1
,
,
y2 z 2
z 2 x2
x2 z 2

• Một số tính chất của tích có hướng
−
→
−
→

−
→
− −
→ →
a và b cùng phương ⇔ a , b = 0
− −
→ →
−
→
A, B,C thẳng hàng ⇔ A B , AC = 0

5


6

CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
→
→ →
→ − →
→−
Ba vectơ − , b , − đồng phẳng ⇔ − , b .− = 0
a
c
a
c
− −
→ → −→

−

→

Bốn điểm A, B,C , D không đồng phẳng ⇔ A B , AC .AD = 0
− −
→ →
a,b

→
−
→ −
− −
→ →
= a . b . sin a , b

• Các ứng dụng của tích có hướng
− −→
→

Diện tích hình bình hành: S A BC D = A B , AD
Diện tích tam giác: S A BC =

1
2

− −
→ →
A B , AC
− −→ −→
→

Thể tích khối hộp: VA BC D.A B C D = A B , AD .AA
Thể tích tứ diện: VA BC D =

1
6

− −
→ → −→
A B , AC .AD

B. Phương trình mặt phẳng
• Phương trình tổng quát (α): a x + b y + c z + d = 0 với (a 2 + b 2 + c 2 = 0).
−
→
• Phương trình mặt phẳng (α) qua M x 0 , y 0 , z 0 và có vectơ pháp tuyến n = (a ,b, c )
(α): a (x − x 0 ) + b y − y 0 + c (z − z 0 ) = 0
• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: (α) qua A(a , 0, 0); B (0,b, 0);C (0, 0, c )
x − x 0 y − y0 z − z 0
+
+
= 1, với a ,b, c = 0
a
b
c
−
→
−
→
• Nếu n = (a ,b, c ) là vectơ pháp tuyến của (α) thì k n , k = 0 cũng là vectơ pháp tuyến của
(α). Do đó một mặt phẳng có vơ số vectơ pháp tuyến. Trong một số trường hợp ta có

thể tìm vectơ pháp tuyến bằng cách chọn một giá trị cụ thể cho a (hoặc b hoặc c ) và
tính hai giá trị cịn lại đảm bảo đúng tỉ lệ a : b : c .
(α):

C. Vị trí tương đối hai mặt phẳng
Cho (α): a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 và β : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0
• (α) cắt β ⇔ a 1 : b 1 : c 1 = a 2 : b 2 : c 2
a 1 b1 c1 d 1
=
=
=
a 2 b2 c2 d 2
a 1 b1 c1 d 1
• (α) trùng β ⇔
=
=
=
a 2 b2 c2 d 2
• (α) song song β ⇔

• (α) vng góc β ⇔ a 1 a 2 + b 2b 2 + c 1 c 2 = 0

D. Phương trình đường thẳng
→
Cho đường thẳng d qua M 0 x 0 , y 0 , z 0 và có vectơ chỉ phương là − = (a ,b, c ). Khi đó:
u
• Phương trình tham số của d


 x

y
d:

z

= x0 + a t
= y0 + b t
= z0 + ct

• Phương trình chính tắc của d (khi a b c = 0)
d:

x − x 0 y − y0 z − z 0
=
=
a
b
c


7
E. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
→
Đường thẳng d 1 qua M 1 và có vectơ chỉ phương là −1 , d 2 qua M 2 và có vectơ chỉ phương là
u
−
→
u 2 thì:
−
→

− −
→ →
− −−−→
→
• d 1 trùng d 2 ⇔ u 1 , u 2 = u 1 , M 1 M 2 = 0

−
→
− −
→ →
 u1, u2 = 0
• d 1 song song d 2 ⇔
 − −−−→
−
→
→
u 1 , M 1M 2 = 0

− − −−−→
→ →
 u 1 , u 2 .M 1 M 2 = 0
• d 1 và d 2 cắt nhau ⇔
 − −
−
→
→ →
u1, u2 = 0
− − −−−→
→ →
• d 1 và d 2 chéo nhau ⇔ u 1 , u 2 .M 1 M 2 = 0

F. Góc
−
→
• Góc giữa hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là n α , mặt phẳng β
−
→
• Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng d 1 và d 2 có các vectơ chỉ phương là u 1
→
và −2 , khi đó góc giữa d 1 và d 2 tính bằng
u
− −
→ →
cos (d 1 , d 2 ) = cos u 2 , u 2

− −
→ →
u 1 .u 2
= −
→ −
→
u1 . u2

−
→
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u ,
→
mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là − , khi đó góc giữa d và (α) là ϕ được tính bằng
n
− −

→ →
u .n
sin ϕ = −
→ −
→
u . n

G. Khoảng cách
• Khoảng cách từ điểm A x 0 , y 0 , z 0 tới (α) : a x + b y + c z + d = 0 là
d (A, (α)) =

a x 0 + b y0 + c z 0 + d
a2 +b2 + c2

−
→
• Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng ∆ qua M 0 và có vectơ chỉ phương u là
d (A, ∆) =

− →−
−− →
M M 0, u
−
→
u

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2 biết ∆1 qua M 1 và có vectơ chỉ
→
→
phương −1 ; ∆2 qua M 2 và có vectơ chỉ phương −2

u
u
d (∆1 , ∆2 ) =

− − −−−→
→ →
u 1 , u 2 .M 1 M 2
− −
→ →
u1, u2

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và β song song nhau là khoảng cách từ M 0 ∈ (α)
tới β .


8

CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 song song nhau là khoảng cách từ M 1 ∈ ∆1
tới ∆2 .
• Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) song song nhau là khoảng cách từ
điểm M 0 ∈ d tới (α).

H. Phương trình mặt cầu
• Mặt cầu tâm I (a ,b, c ), bán kính R có phương trình
(S) : (x − a )2 + (y − b )2 + (z − c )2 = R 2
• Phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 2a x − 2b y − 2c z + d = 0 có a 2 +b 2 + c 2 > d là phương trình mặt

cầu với tâm I (a ,b, c ) bán kính R =

a2 +b2 + c2 − d .

I. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho (α) và S(I , R), khi đó nếu
• d (I , (α)) > R : mặt phẳng khơng cắt mặt cầu.
• d (I , (α)) = R : mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu, khi đó mặt phẳng còn gọi là tiếp diện của
mặt cầu. Tọa độ tiếp điểm M 0 là tọa độ hình chiếu vng góc của I xuống (α).
• d (I , (α)) < R : mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn C (I , r ), còn gọi là đường trịn

giao tuyến, khi đó
Tâm I là tọa độ hình chiếu vng góc của I xuống mặt phẳng (α)
Bán kính r =

R 2 − I I 2.

J. Vị trí tương đối đường thẳng và mặt cầu

Cho đường thẳng d :

 x
y

z

= x0 + t a 1
= y 0 + t a 2 và mặt cầu (S) : (x − a )2 + (y −b )2 + (z − c )2 = R 2 . Xét
= z0 + t a3

vị trí tương đối của d và (S) ta dùng một trong hai cách:
1. Lập phương trình giao điểm (phương trình (∗)) của d và (S), bằng cách lấy x , y , z từ phương

trình đường thẳng thay vào phương trình (S) và giải phương trình theo ẩn t
• Phương trình (∗) vơ nghiệm: d và (S) khơng có điểm chung.
• Phương trình (∗) có 1 nghiệm: d tiếp xúc với (S).
• Phương trình (∗) có 2 nghiệm phân biệt: d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.

2. So sánh khoảng cách d (I , d ) và R
• d (I , d ) > R : d và (S) không có điểm chung.
• d (I , d ) = R : d tiếp xúc với (S).
• d (I , d ) < R : d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.

Khi cần tìm chính xác tọa độ giao điểm d và (S) ta dùng cách thứ 1.


1.1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (α)

1.1

9

Viết phương trình mặt phẳng (α)

→
Viết phương trình mặt phẳng (α) ta cần biết một vectơ pháp tuyến − và một điểm M ∈ (α)
n
−
→
n

D

1

Dạng 1

→
Viết phương trình mp(α) khi biết vectơ pháp tuyến − = (a ,b, c ) và điểm M x 0 , y 0 , z 0 ∈ (α).
n
(α): a (x − x 0 ) + b y − y 0 + c (z − z 0 ) = 0

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của A B
−
→

1. Tìm tọa độ I là trung điểm của A B , tính A B .
−
→

→
2. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua I và có vectơ pháp tuyến là − = A B .
n
A

I
α
B

d

2

Dạng 2

Viết phương trình mặt phẳng qua M và song song β : a x + b y + c z + d = 0 .
→
1. Do (α) song song β nên vectơ pháp tuyến của (α) là − = (a ,b, c ).
n

2. Viết phương trình mặt phẳng (α).

3

Dạng 3

Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và vng góc với đường thẳng d có vectơ chỉ phương
−
→
u = (a ,b, c )

→
1. Do (α) song song β nên vectơ pháp tuyến của (α) là − = (a ,b, c ).
n

2. Viết phương trình mặt phẳng (α).


10

4

CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Dạng 4
−
→

→
Viết phương trình mặt phẳng khi biết M ∈ (α) và cặp vectơ chỉ phương − , b .
a
→
→
→−
1. Vectơ pháp tuyến của (α) là − = − , b
n
a

2. Viết phương trình mặt phẳng (α).
Bài tốn thường gặp của dạng này “Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A, B, C”.
− −
→ →

1. Ta lập 2 vectơ từ 3 điểm: A B , AC

→
→
→−
2. Vectơ pháp tuyến của (A BC ) là − = − , b
n
a

3. Viết phương trình mặt phẳng (A BC ).

B
A

5

C

Dạng 5

Viết phương trình mặt phẳng qua M song song với hai đường thẳng chéo nhau
−
→

→
1. Tìm − , b là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng đó.
a
→
→
→−
2. Vectơ pháp tuyến của (α) là − = − , b .
n
a

3. Viết phương trình mặt phẳng (α).

6

Dạng 6

Viết phương trình mặt phẳng qua N và đường thẳng d .
→
1. Trên d chọn điểm A và một vectơ chỉ phương −
u
→
→ −→
2. Vectơ pháp tuyến của (α) là − = − , AN
n
u

3. Viết phương trình (α).

M

d
A

α


1.1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (α)

7

11

Dạng 7

Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau d 1 , d 2
−

→

→
1. Tìm − , b là các vectơ chỉ phương của d 1 , d 2 .
a
→
→
→−
2. Vectơ pháp tuyến của (α) là − = − , b .
n
a

3. Lấy một điểm M tùy ý thuộc d 1 hoặc d 2 .
→
4. Viết phương trình (α) qua M và có vectơ pháp tuyến là − .
n

d2

M

d1

α

8

Dạng 8

Viết phương trình mặt phẳng đi qua d 1 và song song d 2 (d 1 và d 2 chéo nhau).

−
→

→
1. Tìm − , b là các vectơ chỉ phương của d 1 , d 2 .
a
→
→
→−
2. Vectơ pháp tuyến của (α) là − = − , b .
n
a

3. Lấy một điểm M tùy ý thuộc d 1 .
→
4. Viết phương trình (α) qua M và có vectơ pháp tuyến là − .
n
d2

M
d1
α

9

Dạng 9

Cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 và d 2 . Viết phương trình mặt phẳng (α) và β sao cho (α)
chứa d 1 , β chứa d 2 và (α) song song β .
1. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua d 1 và song song d 2

2. Viết phương trình mặt phẳng β qua d 2 và song song d 1 .


12

CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

d2
β

d1
α

10

Dạng 10

Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng d và vng góc với β .
→
→
1. Tìm − là vectơ chỉ phương của d và −β là vectơ pháp tuyến của β .
u
n
→
→ →
2. Vectơ pháp tuyến của (α) là −α = − , −β .
n
u n

3. Chọn 1 điểm M ∈ d .

→
4. Viết phương trình (α) qua M và có vectơ pháp tuyến là −α .
n

11

Dạng 11

Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến d của β và γ đồng thời thỏa mãn một số điều
kiện cho trước.
Cách 1 Loại bài tốn này tương tự dạng viết phương trình mặt phẳng qua d có phương trình
cho trước. Dựa vào hệ phương trình

β
γ

cho x (hoặc y hoặc z ) hai giá trị cụ thể để xác định

hai điểm A, B trên d . Khi đó bài tốn quay về các dạng đã biết.
Cách 2 Dùng phương trình chùm mặt phẳng.

12

Dạng 12

Viết phương trình mặt phẳng qua M và vng góc với β và γ .
→ →
1. Tìm −β , −γ là các vectơ pháp tuyến của β và γ .
n n
→

→ →
2. Vectơ pháp tuyến của (α) là −α = −β , −γ .
n
n n

3. Viết phương trình mặt phẳng (α).


1.1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (α)

13

13

Dạng 13

Tìm tập hợp điểm cách đều hai mặt phẳng (α) và β
1. Gọi M (x , y , z ) là điểm cách đều (α) và β
2. Ta có: d (M , (α)) = d M , β .
3. Từ biểu thức trên ta xác định mặt phẳng cần tìm.

14

Dạng 14

Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng d và cách M một khoảng k .
1. Phương trình mặt phẳng (α) có dạng (α) : a x + b y + c z + d = 0 (a 2 + b 2 + c 2 = 0)
2. Chọn hai điểm khác nhau A, B thuộc d .
3. Do A, B thuộc (α) nên khi thay vào phương trình (α) ta được hai phương trình (1), (2).
4. Do d (M , (α)) = k nên ta được phương trình (3).

5. Từ (1), (2) ta khử d , và từ (3) tìm mối liên hệ giữa a ,b, c .
6. Cho a một giá trị cụ thể và tìm b, c , d (đảm bảo điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 0).

15

Dạng 15

Cho đường thẳng d và điểm A nằm ngồi d . Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho
khoảng cách từ A đến (α) là lớn nhất.
1. Tìm tọa độ hình chiếu vng góc M của A lên d
2. Giả sử β là mặt phẳng tùy ý chứa d , khi đó M ∈ β . Kẻ AH ⊥ β . Ta ln có AH ≤ AM .
Vậy mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới (α) là lớn nhất chính là mặt phẳng
qua d và vng góc AM
3. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và vng góc AM .

16

Dạng 16

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I bán kính R tại điểm H .
1. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
−
→

2. Vectơ pháp tuyến của (α) là I H .
3. Viết phương trình mặt phẳng (α).

17

Dạng 17

Viết phương trình mặt phẳng song với β : a x + b y + c z + d = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).
1. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
2. Do (α) song song với β nên phương trình (α) có dạng
(α): a x + b y + c z + D = 0

(D = d )

3. Do (α) tiếp xúc (S) nên d (I , (α)) = R . Giải phương trình ta tìm được D .


14

CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

18

Dạng 18

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc (S) đồng thời song song d 1 và d 2 .
→ →
1. Tìm tâm I , bán kính R của mặt cầu (S). Tìm −1 , −2 là các vectơ chỉ phương của d 1 , d 2
u u
→
→ →
2. Vectơ pháp tuyến của (α) là − = −1 , −2 = (a ,b, c )
n
u u

3. Phương trình mặt phẳng (α) có dạng (α): a x + b y + c z + d = 0

4. Ta có d (I , (α)) = R . Từ đó ta tìm được d
5. Viết phương trình mặt phẳng (α).

19

Dạng 19

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc (S) và chứa d .
1. Tìm tâm I và bán kính R của (S)
2. Giả sử (α): a x + b y + c z + d = 0 với a 2 + b 2 + c 2 = 0
3. Tìm tọa độ A, B là hai điểm phân biệt thuộc d
4. Do A, B thuộc (α) nên ta được phương trình (1), (2). Khử d và tìm một ẩn theo hai ẩn cịn
lại ta được phương trình (3)
5. Ta có: d (I , (α)) = R , ta được phương trình (4). Thay (3) vào (4) ta được phương trình (5) gồm
hai ẩn
6. Từ (5) ta cho một ẩn một giá trị cụ thể và tìm được a ,b, c , d (lưu ý a 2 + b 2 + c 2 = 0)
7. Viết phương trình mặt phẳng

20

Dạng 20

Viết phương trình mặt phẳng qua A, B,C là tọa độ hình chiếu của D(a ,b, c ) xuống các trục tọa
độ.
1. Tọa độ hình chiếu của D xuống các trục tọa độ là A(a , 0, 0); B (0,b, 0);C (0, 0, c )
2. Viết phương trình mặt phẳng.

21

Dạng 21

Viết phương trình mặt phẳng qua A, B,C là tọa độ hình chiếu của D(a ,b, c ) xuống các mặt phẳng
tọa độ.
1. Tọa độ hình chiếu của D xuống các mặt phẳng tọa độ là A(a ,b, 0); B (0,b, c );C (a , 0, c )
2. Viết phương trình mặt phẳng.


1.1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (α)

22

15

Dạng 22

Viết phương trình mặt phẳng đi qua G và cắt các trục tọa độ tại A, B,C biết G là trọng tâm tam
giác A BC .
1. Gọi giao điểm của (α) với các trục tọa độ là A(a , 0, 0); B (0,b, 0);C (0, 0, c )
2. Áp dụng công thức trọng tâm với G ta tìm được a ,b, c
3. Viết phương trình mặt phẳng (α).

23

Dạng 23

Viết phương trình mặt phẳng qua H và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B,C biết H là trực tâm
tam giác A BC .

Cách 1:
1. Gọi giao điểm của (α) với các trục tọa độ là A(a , 0, 0); B (0,b, 0);C (0, 0, c )

−→ −→

→
−→ −

−→ −
→

2. Do H là trực tâm tam giác A BC nên ta có: H A. BC = 0, H B .AC = 0, HC .A B = 0. Từ đó ta được
3 phương trình và giải tìm được a ,b, c
3. Viết phương trình mặt phẳng.

A

H

B

C

Cách 2:
1. Chứng minh OH ⊥ (A BC )
• Ta có : OC ⊥ A B,C H ⊥ A B nên A B ⊥ (OC H ) ⇒ A B ⊥ OH .
• Tương tự AO ⊥ BC , AH ⊥ BC nên BC ⊥ (AOH ) ⇒ BC ⊥ OH .
−→
• Vậy OH ⊥ (A BC ) hay OH là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (A BC ).
−→

2. Viết phương trình mặt phẳng (A BC ) qua H và có vectơ pháp tuyến là OH .

16

CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
C

H
B

O

A

24

Dạng 24

Viết phương trình mặt phẳng qua M x 0 , y 0 , z 0 và cắt các trục tọa độ tại A, B,C sao cho OA =
kO B = l OC .
1. Mặt phẳng (α) có phương trình (α) : a (x − x 0 ) + b y − y 0 + c (z − z 0 ) = 0
2. Từ đó ta xác định tọa độ A, B,C theo a ,b, c
3. Ta có: OA = kO B = l OC ⇔ OA 2 = k 2O B 2 = l 2OC 2 , ta tìm mối liên hệ giữa a ,b, c (có tất cả 4
trường hợp)
4. Cho a là một giá trị cụ thể ta tìm được b, c (lưu ý do (a ,b, c ) là tọa độ vectơ pháp tuyến của
(α) nên a 2 + b 2 + c 2 = 0)
5. Viết phương trình mặt phẳng.

25

Dạng 25

Viết phương trình mặt phẳng qua M x 0 , y 0 , z 0 và cắt các trục tọa độ tại A, B,C sao cho thể tích
tứ diện OA BC nhỏ nhất.
1. Gọi giao điểm của (α) với các mặt phẳng tọa độ là A(a , 0, 0); B (0,b, 0);C (0, 0, c ) với a ,b, c > 0
2. Mặt phẳng (α) có phương trình (α):
3. Do M ∈ (α) nên ta được :

x y z
+ + =1
a b c

x 0 y0 z 0
+ +
=1
a
b
c
1
3

1 1
3 2

1
6

4. Thể tích tứ diện OA BC là V = · B.h = · ·OA.O B.OC = a b c
5. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm

x 0 y0 z 0

, ,
ta được
a b c

x 0y0z 0
x 0y0z 0
x 0 y0 z 0
+ +
≥33
⇔1≥33
⇔ a b c ≥ 27x 0 y 0 z 0 ⇔ V ≥ 27x 0 y 0 z 0
a
b
c
abc
abc

6. Dựa vào bất đẳng thức trên và điều kiện trở thành đẳng thức của bất đẳng thức Cauchy
rút ra kết luận.
7. Viết phương trình mặt phẳng.


1.1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (α)

26

17

Dạng 26

Viết phương trình mặt phẳng cách đều 4 đỉnh tứ diện A BC D .
Một mặt phẳng muốn cách đều hai điểm M , N thì
• Hoặc nó đi qua trung điểm I của M N
• Hoặc nó song song với M N .

Vì vậy để mặt phẳng (α) cách đều 4 đỉnh của tứ diện thì :
• Hoặc mặt phẳng (α) qua trung điểm của 3 cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh. Có 4 mặt

phẳng như vậy.
• Hoặc mặt phẳng (α) chứa hai đường trung bình của tứ diện. Có ba mặt phẳng như vậy.

Tóm lại ta có tất cả 7 mặt phẳng thỏa mãn u cầu bài tốn.
1. Tính tọa độ trung điểm M , N , P,Q, R,S của A B, AC , BC ,C D, B D
2. Viết phương trình mặt phẳng
(a) (α1 ) qua M , N , P
(b) (α2 ) qua M ,S,Q
(c) (α3 ) qua Q, N , R
(d) (α4 ) qua P,S, R .
3. Viết phương trình mặt phẳng
(a) (α5 ) qua M N và SR
(b) (α6 ) qua N P và QS
(c) (α7 ) qua M P và QR .
4. Kết luận: có 7 mặt phẳng thỏa mãn u cầu bài tốn.
A

P

M
N
S

D

B
R

Q
C

Lưu ý
• Mặt phẳng cách đều A, B: là mặt phẳng qua trung điểm I của A B khi đó d (A, (α)) = d (B, (α))


18

CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
L

A

I
α
B

• Mặt phẳng trung trực: là mặt phẳng qua trung điểm I của A B và vng góc A B . Mặt
phẳng trung trực là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút A, B tức là M A = M B với M là
điểm bất kì thuộc (α).
A

I

α
B

d

27

Dạng 27

Viết phương trình mặt phẳng chứa d và tạo với mặt phẳng β một góc là x ◦ .
→
1. Tìm −β là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng β và tìm tọa độ hai điểm phân biệt A, B nằm
n
trên d

2. Phương trình mặt phẳng (α) có dạng (α) : a x + b y + c z + d = 0 với a 2 + b 2 + c 2 = 0
3. Do A, B ∈ (α) nên ta được phương trình (1), (2)
4. Khử d từ (1), (2) và tìm 1 ần theo 2 ẩn còn lại ta được phương trình (3)


1.2. KHOẢNG CÁCH, ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG
5. Ta có cos (α) , β

− −
→ →
= cos n α , n β

19

− −

→ →
n α .n β
= −
→
→ − , ta được phương trình (4)
nα . nβ

6. Thay (3) vào (4) ta được phương trình (5) gồm 2 ẩn
7. Cho 1 ẩn một giá trị cụ thể ta tìm được các ẩn còn lại, lưu ý điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 0
8. Viết phương trình mặt phẳng.

1.2
1

Khoảng cách, điểm thuộc mặt phẳng

Dạng 1

Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H của điểm M xuống mặt phẳng (α).
Cách 1:
1. Viết phương trình đường thẳng d qua M và vng góc với (α).
2. Khi đó H là tọa độ giao điểm d và (α).
Cách 2: tọa độ điểm H được xác định bởi:
1. H thuộc (α).
−→
−

2. M H và −→ cùng phương nhau.
n (α)

2

Dạng 2

Tìm tọa độ M là điểm đối xứng của M qua (α).
1. Tìm tọa độ H là hình chiếu vng góc của M xuống (α).
2. Khi đó H là trung điểm M M .

3

Dạng 3
d

Xác định vị trí tương đối của A , B với (α).

M

Cách 1: Gọi I là giao điểm của đường thẳng A B và (α)

d

−
→
−
→
• A và B ở hai phía đối với (α) ⇔ I A và I B cùng hướng.
−
→
−
→

• A và B ở cùng phía với (α) ⇔ I A và I B cùng hướng.
A

A

B
I

I
α

α
B


20

CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Cách 2:
Khoảng cách đại số từ A x A , y A , z A tới (α) : a x + b y + c z + d = 0 là một số được xác định bằng
d (A, (α)) = a x A + b y A + c z A + d
• A và B nằm cùng phía (α) ⇔ d (A, (α)).d (B, (α)) > 0
• A và B nằm khác phía (α) ⇔ d (A, (α)).d (B, (α)) < 0

4

Dạng 4

Cho hai điểm A, B và mặt phẳng (α). Tìm điểm M ∈ (α) sao cho M A + M B ngắn nhất.

1. Xác định vị trí tương đối của A, B với (α).
2.
d

Trường hợp 1:

M

A, B nằm khác phía với (α)

• Ta có: M A + M B ≥ A B , dấu bằng xảy ra ⇔ M ∈ A B . Do đó M A + M B nhỏ d
nhất khi và
chỉ khi M là giao điểm của A B và (α).
• Viết phương trình tham số A B và tìm tọa độ M .
A

M
α
B

Trường hợp 2:

A, B nằm cùng phía với (α).

• Gọi H là tọa độ hình chiếu vng góc của M xuống (α), A là điểm đối xứng của A qua
(α). Tìm tọa độ H và A .
• Ta có: M A +M B = M A +M B ≥ A B . Dấu bằng xảy ra ⇔ M nằm trên đường thẳng A B .
Do đó M A + M B bé nhất ⇔ M là giao điểm của A B và (α).
• Viết phương trình tham số A B và tìm tọa độ M .
A

B

H

M

α

A

d


1.2. KHOẢNG CÁCH, ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG

21

∗ Nếu thay điều kiện (α) là đường thẳng ∆ ta cũng lập luận tương tự bài toán trên.

5

Dạng 5

Cho (α) và hai điểm A, B . Tìm điểm M thuộc (α) sao cho |M A − M B | là lớn nhất.
1. Xác định vị trí tương đối của A, B và (α).
2.

Trường hợp 1:

A, B nằm cùng phía với (α).

• Ta có: |M A − M B | ≤ A B . Dấu bằng xảy ra ⇔ M nằm trên đường thẳng A B và không
nằm trên đoạn thẳng A B . Do đó |M A − M B | lớn nhất khi và chỉ khi M là giao điểm
của đường thẳng A B và (α).
• Viết phương trình tham số A B và tìm tọa độ M .
A
B

M
α

Trường hợp 2:

A, B nằm khác phía với (α)

• Gọi H là tọa độ hình chiếu vng góc của A lên (α), A là tọa độ đối xứng của A qua
(α). Tìm tọa độ H , A .
• Ta có: |M A − M B | = |M A − M B | ≤ A B . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M nằm trên
đường thẳng A B và không ở trên đoạn thẳng A B . Do đó |M A − M B | lớn nhất khi và
chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng A B và mặt phẳng (α).
• Viết phương trình tham số của A B , tìm tọa độ giao điểm M của A B và (α).
A

H

M

α
A

B

d
∗ Nếu thay điều kiện (α) là đường thẳng ∆ ta cũng lập luận tương tự bài toán trên.


22

6

CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Dạng 6

Trong mặt phẳng tọa độ Ox y z cho ba điểm A(a ; 0; 0), B (0,b, 0),C (0; 0; c ) với a ,b, c là những số
dương thay đổi sao cho a 2 + b 2 + c 2 = k . Xác định a ,b, c để khoảng cách từ O tới (A BC ) là lớn
nhất.
1. Phương trình mặt phẳng (A BC ) là : (A BC ) :
2. Ta có : d (O, (A BC )) =

x y z
+ + =1
a b c

1
1
1
1
+ 2+ 2
a2 b

c

3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

1
1
1
1
3
3
+ 2+ 2 ≥3
và k = a 2 +b 2 +c 2 ≥ 3 a 2b 2 c 2
2
2b 2 c 2
a
b
c
a

4. Từ đó ta lập luận tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách.