Công thức toán học - lượng giác

Lợng giác
I. BảNG LƯợNG GIáC
0
6


4


3


2


2
3


3
4


5
6




Sin 0

1
2

2
2

3
2

1
3
2

2
2

1
2

0
Cos 1
3
2

2
2

1
2

0
1
2


2
2


3
2


- 1
Tan 0
3
3

1
3

||
3


- 1
3
3

0
Cot
||
3

1
3
3

0
3
3


- 1
3


||
II. Đẳng thức, Bất đẳng thức hay gặp:
1. 1 +
2
2
1
tan
cos
x
x

, x

( )
2
k k



Z

2. 1 +
2
2
1
cot
sin
x
x

, x
( )
k k


Z

3.
3 3
3
cos sin 3 cos 3 sin sin 4
4

x x x x x


4.
3 3 3
cos cos3 sin sin 3 cos 2
x x x x x


5.
2
4 4
1 cos 2 3 cos 4
cos sin
2 4
x x
x x



6.
2
6 6
1 3cos 2 5 3cos 4
cos sin
4 8
x x
x x

7.
sin 4 cos
2
A
A


8. sin 2 4 sin
3
9. sin 3 4 cos
2
10. sin 4 4 sin 2
11. cos 1 4 sin
2
12. cos 2 1 4 cos
3
13. cos3 1 4 sin
2
14. cos 4 1 4 cos 2
15. tan tan
16. tan 2 tan 2
17. cot cot 1
18. tan tan 1
2 2
19. cot co
2
A A
A
A

A A
A
A
A A
A
A
A A
A A
A A
A B
A B
A

t
2
A



2
2
2
2
2
3 3
sin
2
3
1 sin
2 2
3
sin 1
4 2

3 3
sin
8
1
sin
2 8
9
sin
4
3
1 cos
2
3 3
2 cos
2 2
9
2 cos
2 4
1
cos
8
3 3
cos
2 8
tan 3 3
tan 3
2
tan 1
2
1

tan
2
3 3
tan 9
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A

III, quan hệ giữa các giá trị lợng giác

2
x k

x k



-x
x



2
x



x



2
x



Sin
Sin x - sin x Sin x Cos x - Sin x Cosx
Cos

Cos x Cos x - cos x Sin x - cos x - sin x

Tan

Tan x - tan x - tan x Cot x - tan x - cot x
Cot
Cot x - cot x - cot x Tan x Cot x - tan x
IV, Công thức biến đổi
1. Công thức công:

sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
tan tan
tan( )
1 tan tan
tan tan
tan( )
1 tan tan
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b

2. Công thức nhân đôi, nhân ba:
2 2 2
2
3
3
3
2
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos sin 2cos 1
2 tan
tan 2
1 tan
sin 3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3 tan tan
tan 3
1 tan
a a a
a a a a
a
a
a
a a a
a a a

a a
a
a










3. Công thức hạ bậc:
2
2
3
3
1 cos 2
sin
2
1 cos 2
cos
2
3sin sin 3
sin
4
3cos cos 3
cos
4

a
a
a
a
a a
a
a a
a









4. Công thức tích -> tổng
sin( ) sin( )
sin cos
2
sin( ) sin( )
cos sin
2
cos( ) cos( )
cos cos
2
cos( ) cos( )
sin sin
2

a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b s b
a b











5. Công thức tổng -> tích
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2 cos sin
2 2
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin( )
tan tan

cos cos
sin( )
cot cot
sin sin
2
tan cot
sin 2
cot tan 2cot 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b
a b
a b
b a
a b
a b
a a
a
a a a

* Đặc biệt:
sin cos 2 sin 2 cos( )
4 4
sin cos 2 sin( ) 2 cos
4 4
sin 3 cos 2sin( ) 2 cos( )
3 6
sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )
3 6
3 sin cos 2sin( ) 2cos( )
6 3
3 sin cos 2sin( ) 2cos(
6 3
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a

)

6. Biểu diễn qua
tan
2
a
t


2
2
2
2

2
sin
1
1
cos
1
2
tan
1
t
a
t
t
a
t
t
a
t

V. Hệ thức Lợng trong tam giác:
1. Định lý Sin:

2
sin sin sin
a b c
R
A B C



2. Định lý Cosin:
2 2 2
2 cos
a b c bc A


-> Hệ quả:
2 2 2
cos
2
b c a
A
bc



3. Định lý hình chiếu:
cos cos ; cos cos ; cos cos

(cot cot ); (cot cot ); (cot cot )
2 2 2 2 2 2
a b C c B b c A a C c a B b A
B C A C A B
a r b r c r



4. Định lý Cotang:
2 2 2 2 2 2
( ) ( )
cot
4
R b c a b c a
A
abc S



5. Công thức đờng trung tuyến:
2 2 2
2
2 4
a
b c a
m



6. Công thức phân giác:

2 cos
2
2
( )
a
A
bc
l bcp p a
b c b c



7. Công thức diện tích:
2
1 1
sin 2 sin sin sin ( ) ( )( )( )
2 2 4
a a
abc
S ah ab C R A B C pr p a r p p a p b p c
R



8. Độ dài các bán kính:
; ; ; ( ) tan ; tan
4 2 2
4 sin ; 4 sin cos cos
2 2 2 2
a a

a
abc S S A A
R r r r p a r p
S p p a
A A B C
r R r R





9. Trong tam giác ABC có:
sin( ) sin ; tan( ) tan ;cos( ) cos ;cot( ) cot
sin cos ; tan cot ;cos sin ;cot tan
2 2 2 2 2 2 2 2
B C A B C A B C A B C A
B C A B C A B C A B C A




VI, Phơng trình lợng giác cơ bản:
1 2
2
sin 0
1 2
2
1 2
cos 0
2

1 2
x k
x x k
x k
x k
x k
x k

(
k

Z
)
1
4
tan 0
1
4
1
4
cot 0
2
1
4
x k
x x k
x k
x k
x x k
x k

(
k

Z
)