Giải thích tại sao bậc tự do của var(x) là (n 1)

Giải thích tại sao bậc tự do của var(X) là (n-1)?
Phùng Thanh Bình




1
Gửi các sinh viên TĐG37!
SG. 14/11/2013

Giả sử chọn một mẫu ngẫu nhiên (random sample) với n quan
sát từ một tổng thể (population) có trung bình là µ và độ
lệch chuẩn là σ, và chúng ta không thể biết được giá trị
các tham sồ này là bao nhiêu (unknown parameters).
Trung bình mẫu là
n
1i
i
XX
(1)
X
là một ước lượng của µ.
Để ước lượng phương sai, chúng ta thực sự muốn tính theo
công thức sau đây:
n
1i
2
i
)X(
n
1

)X(Var
(2)
Tuy nhiên, chúng ta không biết µ là bao nhiêu, nên phải
sử dụng ước lượng của nó là
X
.
Vậy, ta nên chọn công thức nào sau đây?
n
1i
2
i
)XX(
n
1
)X(Var
hay
n
1i
2
i
)XX(
1n
1
???
Trước hết, ta sẽ triển khai công thức tổng bình phương
TSS
X
=
n
1i

2
i
)XX(
.
Ta có:
n
1i
2
i
)XX(
=
n
1i
2
i
)XX(

Giải thích tại sao bậc tự do của var(X) là (n-1)?
Phùng Thanh Bình




2
=
n
1i
2
i
)]X()X[(

=
n
1i
2
i
2
i
)]X()X)(X(2)X[(

=
n
1i
2
n
1i
i
2
i
)X(n)X()X(2)X(

=
n
1i
2
n
1i
i
2
i

)X(nnX)X(2)X(

=
n
1i
22
i
)X(n)nXn)(X(2)X(

=
n
1i
22
i
)X(n)X)(X(n2)X(

=
n
1i
22
i
)X(n)X)(X(n2)X(

=
n
1i
222
i
)X(n)X(n2)X(

=
n
1i
22
i
)X(n)X(
(3)
Theo định nghĩa ở công thức (2), ta có:
2
n
1i
2
i
n)X(
(4)
Ngoài ra, từ kết quả phân tích về phương sai của trung
bình mẫu (xem Bài giảng 3, Ôn tập xác suất thống kê) ta
có giá trị kỳ vọng của
2
)X(
[tức E[
2
)X(
] là σ
2
/n.
Giải thích tại sao bậc tự do của var(X) là (n-1)?
Phùng Thanh Bình

3
VẬY, GIÁ TRỊ KỲ VỌNG CỦA TSS
X
=
n
1i
2
i
)XX(
[tức giá trị kỳ
vọng của công thức (3)] SẼ NHƯ SAU:
E
n
1i
2
i
)XX(
= E
2
n
1i
2
i
)X(n)X(

=
n
nn

2
2

= (n-1)
2
(5)
NHƯ VẬY,ĐỂ LÀ MỘ ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH (unbiased
estimator) CỦA
2
, CHÚNG TA PHẢI TÍNH:
)X(Var

n
1i
2
i
)XX(
1n
1
(6)
Do đó, bậc tự do phải là (n-1). Nói cách khác, có (n-1)
nguồn thông tin của giá trị TSS
X
.
Ta có thể giải thích ý nghĩa bậc tự do cho trường hợp sai
số chuẩn của ước lượng (standard error of estimate) hay
sai số chuẩn của hồi quy (standard error of regression)
trong mô hình hồi quy đơn (2 hệ số ước lượng
1
ˆ

và
2
ˆ
) một
cách tương tự:
Var(
)u
ˆ
i
=
2
ˆ
=
2n
RSS

Nghĩa là chia RSS cho (n-2) để
2
ˆ
là một ước lượng không
chệch của σ
2
[tức Var(u
i
)].