Ngân hàng Đề thi môn Toán cao cấp A1

T NG CÔNG TY B U CHÍNH VI N THÔNG VI T NAMỔ Ư Ễ Ệ C NG HOÀ XÃ H I CH NGHĨA VI T NAMỘ Ộ Ủ Ệ
H C VI N CÔNG NGH B U CHÍNH VI N THÔNGỌ Ệ Ệ Ư Ễ

Đ c l p - T do - H nh phúcộ ậ ự ạ

NGÂN HÀNG Đ THI Ề
Môn: TOÁN CAO C P A1Ấ
Ban hành kèm theo Quy t đ nh s : ………/QĐ-TTĐT1c a Giám đ cế ị ố ủ ố
H c vi n Công ngh B u chính vi n thông ký ngày /04/2006ọ ệ ệ ư ễ

PH N AẦ
DÙNG CHO ĐÀO T O H Đ I H C T XA NGÀNH QTKD Ạ Ệ Ạ Ọ Ừ
TH I GIAN : 120 phútỜ
M I Đ 4 CÂUỖ Ề ( m t câu lo i 1, m t câu lo i 2, m t câu lo i 3 và m t câu lo i 4)ộ ạ ộ ạ ộ ạ ộ ạ
I. CÂU H I LO I 1 ĐI M (V.I).Ỏ Ạ Ể
1. Tính đ o hàm c a hàm s : ạ ủ ố
x
x
y
−
+
=
1
1
.
2. Tính đ o hàm c a hàm s : ạ ủ ố
)1ln(
2
xxy ++=
.
3. Tính đ o hàm c a hàm s : ạ ủ ố

xey
x
sinln=
.
4. Tính đ o hàm c a hàm s : ạ ủ ố
arctgx
exy
2
=
.
5. Tính đ o hàm c a hàm s : ạ ủ ố
x
x
y
+
−
=
1
1
arcsin
.
6. Tính đ o hàm c a hàm s : ạ ủ ố
xxx
xxx
y
sincos
cossin
−
+
=

.
7. Tính vi phân c a hàm s : ủ ố
a
x
arctg
x
a
xf +=)(
, a là h ng s .ằ ố
8. Tính vi phân c a hàm s : ủ ố
x
xay 2)(
522
−=
.
9. Tính vi phân c a hàm s : ủ ố
)1ln(1
2
xxy −+=
.
10. Tính vi phân c a hàm s : ủ ố
6
6
ln
12
1
2
+
−
=

x
x
ey
x
II. CÂU H I LO I 2 ĐI M (V.II)Ỏ Ạ Ể
1. Tính gi i h n sauớ ạ
1

x
x
x
tgx
sin
1
0
sin1
1
lim






+
+
→
.
2. Tính gi i h n sauớ ạ

x
x
xx
xx






+−
++
∞→
73
45
lim
2
2
.
3. Tính gi i h n sauớ ạ

( )
tgx
x
xcos1lim
0
−
→
.
4. Tính gi i h n sauớ ạ

( )
x
x
x
ex
1
2
0
lim +
→
.
5. Tính gi i h n sauớ ạ

( )
x
x
x
ln
0
1lim +
+
→
.
6. Ch ng minh r ng ứ ằ
xx
−
arcsin
và
6

3
x
là các vô cùng bé
t ng đ ng khi ươ ươ
0→x
.
7. Cho hàm s ố






=
≠<
−−+
=
0 khi
0,1x khi
)1ln()1ln(
)(
xa
x
x
xx
xf
Tìm h ng s a đ hàm s liên t c t i x = 0.ằ ố ể ố ụ ạ
8. Tìm gi i h n sau ớ ạ
[ ]
xx

x
lnsin)1ln(sinlim −+
∞→
.
9. Cho hàm số






=
≠
−
=
0 khi
0 khi
)(
xc
x
x
ee
xf
bxax
Tìm h ng s c đ hàm s liên t c t i x = 0 . ằ ố ể ố ụ ạ
10. Tìm gi i h n sau ớ ạ
2
1
0
sin

lim
x
x
x
x






→


III. CÂU H I LO I 3 ĐI M (V.III)Ỏ Ạ Ể .
2
1. Cho hàm s ố
xxy
2
ln=

a. Tính vi phân t i x = e v i ạ ớ
1,0−=∆x
.
b.Tìm c c tr c a hàm s .ự ị ủ ố
2. Tính th tích c a kh i tròn xoay t o ra khi quay hình ph ngể ủ ố ạ ẳ
gi i h n b i các đ ngớ ạ ở ườ

4−= xy
và

xy 2
2
=
quanh tr c ox.ụ
3. Cho hàm số

1
2
−
=
x
x
y
a. Tính dy t i x = 0.ạ
b. Tính
)(
)(
xy
n
.
4. Cho tích phân suy r ng ộ

∫
+∞
1
2
dx
x
arctgx

a. Ch ng minh tích phân đã cho h i t .ứ ộ ụ
b. Tính tích phân đó.
5. Cho tích phân suy r ngộ

∫
+∞
−
0
3
2
dxex
x

a. Ch ng minh tích phân đã cho h i t .ứ ộ ụ
b. Tính tích phân đã cho.
6. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng congệ ẳ ớ ạ ở ườ

1
2
+= xy
,
2
2
1
xy =
và
5=y
.
7.Tính th tích v t th tròn xoay t o nên khi quay hình ph ng ể ậ ể ạ ẳ
gi i h n b i đ ng congớ ạ ở ườ

056
22
=+−+ yyx
quanh tr c Ox.ụ
8. Tính th tích kh i tròn xoay t o nên khi quay mi n ph ng ể ố ạ ề ẳ
gi i h n b i các đ ngớ ạ ở ườ

2
2 xxy −=
và
0=y
quanh tr c Ox.ụ
9. Xét s h i c a tích phân suy r ngự ộ ủ ộ
3

∫
+∞
−
1
dx
x
e
x
10. Cho hàm s ố

1
2
2
+

−
=
x
x
y

a. Tính dy t i x=1ạ
b. Tìm c c tr c a hàm s .ự ị ủ ố
IV. CÂU H I LO I 4 ĐI M (V.IV).Ỏ Ạ Ể
1. a. Tính tích phân:
∫
+
=
1
0
4
2
)1( x
dxx
I
.
b. Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ
∑
∞
=
−
2
)1.(
n
n

nn
x
.
2. a. Tính tích phân:
∫
+
=
1
0
1 x
xdx
I
.
b. Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ
∑
∞
=
−
+
−
1
)2.()
23
12
(
n
nn
x
n
n

.
3. a. Tính tích phân:
∫
−
+
=
1
0
xx
x
ee
dxe
I
. b. Xét
s h i t c a chu i s ự ộ ụ ủ ỗ ố
∑
∞
=
+
−
1
)1ln(.
)1(
n
n
nn
.
4. a. Tính tích phân:
∫
+

−
=
0
3ln
1
1
dx
e
e
I
x
x
.
b. Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ
∑
∞
=
++
+
−
1
11
)1.(
)1(
n
nn
nn
x
.
5. a. Tính tích phân:

∫
−
−=
3
3
22
9 dxxxI
b. Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ
∑
∞
=1
3
4.
n
n
n
n
x
6. a. Tính tích phân:
∫
−
=
3
0
6
dx
x
x
I
.

4
b. Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ
∑
∞
=
+
1
2
2.
)2(
n
n
n
n
x
.
7. a. Tính tích phân:
∫
−
=
1
1
dxarctgxxI
.
b. Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ
∑
∞
=
+
+

+
0
12
1.2
)2(
n
n
n
x
.
8. a. Tính tích phân:
∫
−
=
1
0
. dxexI
x
.
b. Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ
∑
∞
=
+
1
2
)1(
n
n
n

x
.
9. a. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ngệ ẳ ớ ạ ở ườ

4
2
+= xy
, và x – y + 4 = 0.
b. Xét s h i t c a chu i s ự ộ ụ ủ ỗ ố
∑
∞
=
−
+
2
2
2
2
n
n
n
.
10. a. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ngệ ẳ ớ ạ ở ườ

,
3
xy =
y = x, và y = 2x.
b. Xét s h i t c a chu i s ự ộ ụ ủ ỗ ố
∑

∞
=
−+
1
23
124
1
n
nn
.
5
PH N BẦ
DÙNG CHO ĐÀO T O H Đ I H C T XA NGÀNH ĐTVT VÀ CNTT Ạ Ệ Ạ Ọ Ừ
TH I GIAN : 120 phútỜ
M I Đ 4 CÂUỖ Ề ( m t câu lo i 1, m t câu lo i 2, m t câu lo i 3 và m t câu lo i 4)ộ ạ ộ ạ ộ ạ ộ ạ
I. CÂU H I LO I 1 ĐI M (V.I)Ỏ Ạ Ể
1. Tính tích phân sau

∫
= xdxxI
2
ln
.
2. Tính tích phân sau

∫
= dx
x
gx
I

sin
cot
.
3. Tính tích phân sau

∫
= dx
x
tgx
I
cos
.
4. Tính tích phân sau

∫
−= dxxarctgI 12
.
5. Tính tích phân sau

∫
+
= dx
x
x
I
2
sin
2sin1
.
6. Tính tích phân sau

∫
−= dxxxI 1ln
.
7. Tính tích phân sau

∫
=
3
0
xarctgxdxI
.
8. Tính tích phân sau

∫
−
= dx
e
e
I
x
x
16
2
.
9. Tính tích phân sau

∫
−=
2ln

0
1dxeI
x
.
6
10. Tính tích phân sau

∫
+
=
e
dx
xx
x
I
1
ln1
ln
.
II. CÂU H I LO I 2 ĐI M (V.II)Ỏ Ạ Ể
1. Tính gi i h n sauớ ạ

x
x
x
tgx
sin
1
0
sin1

1
lim






+
+
→
.
2. Tính gi i h n sauớ ạ

x
x
xx
xx






+−
++
∞→
73
45
lim

2
2
.
3. Tính gi i h n sauớ ạ

( )
tgx
x
xcos1lim
0
−
→
.
4. Tính gi i h n sauớ ạ

( )
x
x
x
ex
1
2
0
lim +
→
.
5. Tính gi i h n sauớ ạ

( )
x

x
x
ln
0
1lim +
+
→
.
6. Ch ng minh r ng ứ ằ
xx −arcsin
và
6
3
x
là các vô cùng bé
t ng đ ng khi ươ ươ
0
→
x
.
7. Cho hàm s ố






=
≠<
−−+

=
0 khi
0,1x khi
)1ln()1ln(
)(
xa
x
x
xx
xf
Tìm h ng s a đ hàm s liên t c t i x = 0.ằ ố ể ố ụ ạ
8. Tìm gi i h n sau ớ ạ
[ ]
xx
x
lnsin)1ln(sinlim −+
∞→
.
9. Cho hàm số
7






=
≠
−
=

0 khi
0 khi
)(
xc
x
x
ee
xf
bxax
Tìm h ng s c đ hàm s liên t c t i x = 0 . ằ ố ể ố ụ ạ
10. Tìm gi i h n sau ớ ạ
2
1
0
sin
lim
x
x
x
x






→
.

III. CÂU H I LO I 3 ĐI M (V.III)Ỏ Ạ Ể

1. Cho hàm s ố
xxy
2
ln=

a. Tính vi phân t i x = e v i ạ ớ
1,0−=∆x
.
b.Tìm c c tr c a hàm s .ự ị ủ ố
2. Tính th tích c a kh i tròn xoay t o ra khi quay hình ph ngể ủ ố ạ ẳ
gi i h n b i các đ ngớ ạ ở ườ

4−= xy
và
xy 2
2
=
quanh tr c ox.ụ
3. Cho hàm số

1
2
−
=
x
x
y
a. Tính dy t i x = 0.ạ
b. Tính
)(

)(
xy
n
.
4. Cho tích phân suy r ng ộ

∫
+∞
1
2
dx
x
arctgx

c. Ch ng minh tích phân đã cho h i t .ứ ộ ụ
d. Tính tích phân đó.
5. Cho tích phân suy r ngộ

∫
+∞
−
0
3
2
dxex
x

c. Ch ng minh tích phân đã cho h i t .ứ ộ ụ
d. Tính tích phân đã cho.
6. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ ng congệ ẳ ớ ạ ở ườ

8

1
2
+= xy
,
2
2
1
xy =
và
5=y
.
7.Tính th tích v t th tròn xoay t o nên khi quay hình ph ng ể ậ ể ạ ẳ
gi i h n b i đ ng congớ ạ ở ườ

056
22
=+−+ yyx
quanh tr c Ox.ụ
8. Tính th tích kh i tròn xoay t o nên khi quay mi n ph ng ể ố ạ ề ẳ
gi i h n b i các đ ngớ ạ ở ườ

2
2 xxy −=
và
0=y
quanh tr c Ox.ụ
9. Xét s h i c a tích phân suy r ngự ộ ủ ộ

∫
+∞
−
1
dx
x
e
x
10. Cho hàm s ố

1
2
2
+
−
=
x
x
y

a. Tính dy t i x=1ạ
b. Tìm c c tr c a hàm s .ự ị ủ ố
IV. LO I CÂU H I 4 ĐI M (V.IV)Ạ Ỏ Ể
1.
a. Xét s h i t c a chu i s có s h ng t ng quát ự ộ ụ ủ ỗ ố ố ạ ổ

nnna
n
−+=
2

.
b. Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ
∑
∞
=
+
+
1
2
)3(
2
n
n
x
n
n
.
2.
a. Xét s h i t c a chu i s ự ộ ụ ủ ỗ ố
∑
∞
=
+
1
2
)
1
(
n
n

n
n
.
b. Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ
∑
∞
=
−
+
+
1
)1()
12
1
(
n
nn
x
n
n
.
3.
a. Xét s h i t c a chu i s ự ộ ụ ủ ỗ ố
∑
∞
=
+
1
2
)

1
1ln(
n
n
tg
.
9
b. Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ
∑
∞
=1
3
4.
n
n
n
n
x
.
4.
a. Xét s h i t c a chu i s ự ộ ụ ủ ỗ ố
∑
∞
=
++
+
1
3
33
2

n
n
n
n
n
.
b. Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ
∑
∞
=
+
+
+
0
12
12
)2(
n
n
n
x
.
5.
a. Xét s h i t c a chu i s . ự ộ ụ ủ ỗ ố
∑
∞
=1
2
sin
1

n
n
n
π
b. Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ
∑
∞
=
+
1
2
)3(
)!2(
)!(
n
n
x
n
n
.
6. Ch ng minh r ng ứ ằ
∑
∞
=
+
=
0
2
1
2

!
)2(
n
x
n
xe
n
x
.Từ đó hãy tính t ng ổ
∑
∞
=
+
0
!
)1(2
n
n
n
n
.
7. Cho hàm s ố
2
)( xxf =
v i ớ
π
<< x0
.
a. Khai tri n hàm s thành chu i Fourier.ể ố ỗ
b. T đó hãy tính t ng ừ ổ

∑
∞
=
=
1
2
1
n
n
S
.
8. Cho hàm s ố
)()( xxxf −=
π
v i ớ
),0(
π
∈x
a. Khai tri n hàm s đã cho theo các hàm s sin.ể ố ố
b.Tính t ng ổ
∑
∞
=
+
−
=
0
3
)12(
)1(

n
n
n
S
.
9. Cho hàm s ố
2
)( xxf =
v i ớ
),(
ππ
−∈x
.
a. Khai tri n hàm s thành chu i Fourier.ể ố ỗ
b. Tính t ng ổ
∑
∞
=
−
=
1
2
)1(
n
n
n
S
.
10. Cho hàm s ố
2

22
1
ln)(
xx
xf
++
=
.
a. Khai tri n hàm s thành chu i các lu th a c a (x+1).ể ố ỗ ỹ ừ ủ
b. Tính t ng ổ
∑
∞
=
+
−
=
0
1
)1(
n
n
n
S
.

10