Quy hoạch nguyên với mô hình tuyến tính bất kỳ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC:

QUY HOẠCH NGUYÊN VỚI MƠ HÌNH
TUYẾN TÍNH BẤT KỲ

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Năm:


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: :
Mã số:
:

....

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Người hướng dẫn
TS.


1

1

PHẦN MỞ ĐẦU

Các phép biến đổi tích phân là một cơng cụ tốn học đem lại những
thành cơng đáng kể trong việc giải quyết nhiều bài tốn về phương trình
vi phân, phương trình sai phân và phương trình tích phân trên các lĩnh
vực: tốn học ứng dụng, vật lí tốn và nhiều lĩnh vực khoa học kĩ thuật
khác. Một số phép biến đổi tích phân quan trọng như biến đổi Fourier,
Laplace, Hankel, . . . . Trong đó nổi bật là phép biến đổi Hankel mang
tên của nhà Toán học người Đức Hermann Hankel (1839 - 1873) giải
quyết một số bài toán xuất hiện từ lĩnh vực vật lý.
863


2

2

Nhóm nhị diện

Mệnh đề 1. Cho nhóm nhị diện Dn = ⟨r, s | rn = s2 = 1, s−1 rs = r−1 ⟩
với n ⩾ 3, và H là một nhóm con của Dn . Khi đó
(i) Nếu H = Rk với k|n, 1 ⩽ k ⩽ n thì

Pr(H, Dn ) =


n+k



n
2

nếu n lẻ, hoặc n chẵn và k ∤ ,

2n


 n + 2k nếu n chẵn và k | n .
2n

2

(ii) Nếu H = Tl với 0 ⩽ l ⩽ n − 1 thì

Pr(H, Dn ) =


n+1


nếu n lẻ,
2n


 n + 2 nếu n chẵn.
2n

(iii) Nếu H = Ui,j với i|n, 1 ⩽ i ⩽ n − 1, 0 ⩽ j ⩽ i − 1 thì

Pr(H, Dn ) =


n+i+2




4n









nếu n lẻ,

n+i+4
n
nếu n chẵn và i ∤ ,
4n
2
n + 2i + 4
n
nếu n chẵn và i | .
4n
2

Chứng minh.

(i) Giả sử H = Rk với k|n, 1 ⩽ k ⩽ n. Theo Mệnh đề ?? ta có
|Rk | =

Do đó
Rk = ⟨rk ⟩ =



n
n
= .
(n, k)
k






n
rkl

0 ⩽ l ⩽ − 1 .
k

Khi đó
X

|CDn (x)| = |CDn (1)| +

x∈Rk

Ta xét hai trường hợp của n như sau.

X
1⩽l⩽ nk −1

|CDn (rkl )|.


3

Trường hợp 1: n lẻ. Theo Mệnh đề ?? ta có
X

kl

|CDn (r )| =

n
k

1⩽l⩽ nk −1

Từ đó suy ra
X

|CDn (x)| = |Dn | +

n

k

x∈Rk



− 1 |R1 |.



− 1 |R1 | = 2n +

n
k



−1 n=

n(n + k)
.
k

Áp dụng Mệnh đề ?? ta có
Pr(Rk , Dn ) =

X
1
1
n+k

n+k
|CDn (x)| = n
n
=
.
|Rk ||Dn |
k
2n
2n
x∈Rk
k

Trường hợp 2: n chẵn. Ta xét hai trường hợp của k .
n
Trường hợp 2a: k ∤ . Khi đó, theo Mệnh đề ?? ta có
2
n

X
|CDn (rkl )| =

k

1⩽l⩽ nk −1

Từ đó suy ra
X

|CDn (x)| = |Dn | +

x∈Rk

n
k

− 1 |R1 |.



− 1 |R1 | = 2n +

n
k



−1 n=

n(n + k)
.
k

Áp dụng Mệnh đề ??, ta có
X
1
n+k
n+k
1
|CDn (x)| = n
n

=
.
|Rk ||Dn |
k
2n
2n
x∈Rk
k
n
Trường hợp 2b: k | . Khi đó, theo Mệnh đề ?? ta có
2
n

X
X


n


kl
kl




2
|CDn (r )| = CDn r
+
|CDn (r )| = |Dn |+
− 2 |R1 |.

k
n
n
Pr(Rk , Dn ) =

1⩽l⩽ k −1

1⩽l⩽ k −1
n
l̸= 2k

Từ đó suy ra
X

|CDn (x)| = |Dn | + |Dn | +

x∈Rk

= 2n + 2n +

n
k

n
k



− 2 |R1 |



−2 n=

n(n + 2k)
.
k


4

Áp dụng Mệnh đề ?? ta có
Pr(Rk , Dn ) =

X
1
1 n(n + 2k)
n + 2k
|CDn (x)| = n
=
.
|Rk ||Dn |
k
2n
2n
x∈Rk
k

Vậy ta có điều phải chứng minh.
(ii) Giả sử H = Tl với 0 ⩽ l ⩽ n − 1. Theo Mệnh đề ??, |Tl | = 2 do đó

Tl = ⟨rl s⟩ = {1, rl s}.

Theo Mệnh đề ??, ta có
Pr(Tl , Dn ) =

X
1
1
(|CDn (1)| + |CDn (rl s)|)
|CDn (x)| =
|Tl ||Dn |
2 · 2n
x∈Tl

=

1
(|Dn | + |CDn (rl s)|).
4n

Ta áp dụng Mệnh đề ?? cho hai trường hợp của n như sau.
Nếu n lẻ thì |CDn (rl s)| = |Tl | = 2. Từ đó suy ra
n+1
1
(2n + 2) =
.
4n
2

Pr(Tl , Dn ) =

Nếu n chẵn, giả sử m =

n
thì
2

|CDn (rl s)| = |Um,l | =

2n
2n
=
= 4.
(n, m)
m

Từ đó suy ra
Pr(Tl , Dn ) =

n+2
1
(2n + 4) =
.
4n
2n

Vậy ta có điều phải chứng minh.
(iii) Giả sử H = Ui,j với i|n, 1 ⩽ i ⩽ n − 1, 0 ⩽ j ⩽ i − 1. Theo Mệnh đề
?? ta có
|Ui,j | =

Do đó
Ui,j = ⟨ri , rj s⟩ =



2n
2n
=
.
(n, i)
i






n
ril , ril+j s

0 ⩽ l ⩽ − 1 .
i


5

Khi đó
X

X

|CDn (x)| = |CDn (1)| +

x∈Ui,j

1⩽l⩽

X

|CDn (ril )| +

n
−1
i

0⩽l⩽

Ta xét hai trường hợp của n
Trường hợp 1: n lẻ. Khi đó, theo Mệnh đề ?? ta có

n
n
X
il
|CDn (r )| =

n
1⩽l⩽ −1
i

X
0⩽l⩽

Từ đó suy ra
X

− 1 |R1 | = n

|CDn (ril+j s)| =

n
−1
i

|CDn (x)| = 2n + n

x∈Ui,j

Áp dụng Mệnh đề ?? ta có
X
1
Pr(Ui,j , Dn) =

i

|Ui,j ||Dn |

n
i

i

|CDn (ril+j s)|.

n
−1
i



−1 ,

n
2n
|Til+j | =
.
i
i



−1 +

|CDn (x)| =

x∈Ui,j

2n
n(n + i + 2)

=
.
i
i

n+i+2
1 n(n + i + 2)
=
.
2n
i
4n
2n
i

Trường hợp 2: n chẵn. Ta xét hai trường hợp của i.
n
Trường hợp 2a: i ∤ . Khi đó, theo Mệnh đề ?? ta có
2
n

n

X
|CDn (ril )| =

1⩽l⩽ ni −1

X

i

|CDn (ril+j s)| =

0⩽l⩽ ni −1

Từ đó suy ra
X
x∈Ui,j

− 1 |R1 | = n

|CDn (x)| = 2n + n

n
i

i

−1 ,


4n
n


U n2 ,il+j
=
.
i

i



−1 +

4n
n(n + i + 4)
=
.
i
i


6

Áp dụng Mệnh đề ?? ta có
X
1
Pr(Ui,j , Dn) =

|Ui,j ||Dn |

|CDn (x)| =

x∈Ui,j

1 n(n + i + 4)
n+i+4
=

.
2n
i
4n
2n
i


n
Trường hợp 2b: i