Báo cáo nghiên cứu khoa học: " XÁC ĐỊNH PHƯƠNG ÁN TIẾP QUỸ TỐI ƯU CHO CÁC MÁY ATM THEO HƯỚNG QUY HOẠCH NGUYÊN" ppsx

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

33
XÁC ĐỊNH PHƯƠNG ÁN TIẾP QUỸ TỐI ƯU CHO CÁC MÁY ATM
THEO HƯỚNG QUY HOẠCH NGUYÊN
AN INTEGER PROGRAMMING APPROACH TO THE DETERMINATION
OF AN OPTIMAL CASH DEPLOYMENT STRATEGY FOR ATMS

Phan Đình Anh
Trường Đại học Kinh tế, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT
Có nhiều phương án tiếp quỹ khác nhau để lựa chọn trong việc đáp ứng nhu cầu rút
tiền của khách hàng tại các máy ATM, việc kiểm soát chi phí đòi hỏi phải xác định một phương
án tiếp quỹ tối ưu là phương án khả thi, đảm bảo đáp ứng đủ nhu cầu rút tiền của khách hàng
và có chi phí thấp nhất. Xét về bản chất, đây là nội dung của vấn đề tồn kho g
ắn với lộ trình vận
chuyển, đã được giải quyết theo hướng quy hoạch nguyên hoặc dựa trên các thuật toán giải
bài toán quyết định Markov với số bước hữu hạn. Tuy nhiên, việc xác định phương án tiếp quỹ
tối ưu cho các máy ATM dựa trên phương pháp này đòi hỏi phải có sự hỗ trợ của các phần
mềm chuyên dụng. Xuất phát từ đặc thù của hệ thống ATM tác giả đề
xuất một mô hình có thể
tìm phương án tối ưu bằng những tính toán đơn giản.
ABSTRACT
There are different cash deployment strategies which refer to the scheduling and
replenishing of automated teller machines (ATMs). However, it is essential to determine the
optimal cash deployment strategy for ATMs to minimize cash-related expenses and ensure that
they do not run out of cash. In nature, this is an Inventory Routing Problem which can be solved
on the basis of an Integer Programming or infinite horizon Markov decision processes.
Nevertheless, these models require a lot of computations. With special features of an ATM
network, the author proposes a model to make an optimal cash deployment strategy without any

complicated computation.

1. Đặt vấn đề
ATM (Automated Teller Machine) là một loại máy điện tử đặt ở các nơi công
cộng, được kết nối với một hệ thống dữ liệu và các thiết bị liên quan, được kích hoạt
bởi chủ thẻ cho phép khách hàng trực tiếp sử dụng các dịch vụ của ngân hàng phát
hành thẻ và các ngân hàng khác. Một trong những tính năng quan trọng của máy ATM
là cho phép khách hàng trực tiếp rút tiền tại máy. Để thực hiện chức năng này, các
ngân hàng phải có phương án tiếp quỹ để duy trì một lượng tiền mặt nhất định tại mỗi
máy ATM.
Lấy phương án tiếp quỹ làm trọng tâm, việc kiểm soát chi phí đối với các máy
ATM có thể chia thành hai nhóm: Nhóm chi phí liên quan đến phương án tiếp quỹ bao
gồm chi phí cho hoạt động tiếp quỹ (chi phí vận chuyển, chi phí đóng gói, chuẩn bị tiền
mặt) và chi phí cơ hội của tiền mặt. Nhóm các chi phí không phụ thuộc vào phương án
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

34
tiếp quỹ bao gồm chi phí bảo trì, thay thế, chi phí năng lượng, chi phí thuê địa điểm lắp
đặt, khấu hao…
Vì vậy, việc giảm thiểu chi phí đòi hỏi phải tìm phương án tiếp quỹ có chi phí
thấp nhất, về bản chất, đây chính là nội dung của vấn đề tồn kho gắn với lộ trình vận
chuyển đã được giải quyết theo hướng quy hoạch nguyên hoặc dựa vào các thuật toán
giải bài toán quyết định Markov với số bước hữa hạn. Tuy nhiên, việc xác định phương
án tối ưu từ các mô hình dựa trên phương pháp này có sự phức tạp về mặt tính toán, đòi
hỏi phải có sử hỗ trợ của các phần mềm chuyên dụng để lựa chọn phương án tối ưu.
Qua nghiên cứa tác giả nhận thấy, với đặc thù của hoạt động tiếp quỹ cho máy ATM,
trong trường hợp nhu cầu rút tiền của khách hàng tại mỗi máy ATM có phân phối
chuẩn, có thể tìm được phương án tiếp quỹ tối ưu từ những tính toán đơn giản.
2. Xác định phương án tiếp quỹ tối ưu theo hướng quy hoạch nguyên
- Hàm tổng chi phí liên quan đến phương án tiếp quỹ cho N máy ATM, trong

thời gian T ngày (từ đây gọi là tổng chi phí) bao gồm:
+ Tổng chi phí cơ hội tiền mặt của N máy ATM trong khoảng thời gian T ngày:
∑∑∑∑
====
=
T
t
N
i
ti
T
t
N
i
tih
DrC
11
,
_
11
,,

Trong đó:
C
h,i,t
: Chi phí cơ hội của tiền mặt tại máy ATM thứ i trong ngày t

ti
D
,

_

: Số dư bình quân của máy ATM thứ i trong ngày t
r : Chi phí cơ hội của một đơn vị tiền mặt trong một ngày
+ Tổng chi phí cho hoạt động tiếp quỹ N máy ATM trong thời gian T ngày

∑∑∑∑∑∑∑∑
========
+=+=
T
t
N
i
tiiv
T
t
N
i
tiif
T
t
N
i
tivtif
T
t
N
i
tis
xCwCxCwCC

11
,,
11
,,
11
,,
11
,,
)(

Trong đó:

tivtiiftis
xCwCC
,,,,,
+= : Chi phí cho hoạt động tiếp quỹ đến máy ATM thứ i,
trong ngày t

tiif
wC
,,
: Chi phí tiếp quỹ cố định cho máy ATM thứ i (không phụ thuộc vào số
tiền tiếp quỹ trong ngày t cho máy ATM thứ i), w
i,t
=0 nếu trong ngày t không thực
hiện tiếp quỹ cho máy ATM thứ i và w
i,t
=1 nếu trong ngày t có tiếp quỹ cho máy
ATM thứ i
C

v,i
: Chi phí tiếp quỹ biến đổi cho mỗi máy ATM thứ i, phụ thuộc vào số tiền
tiếp quỹ (x
i,t
) cho máy ATM thứ i trong ngày t
- Phương án tiếp quỹ tối ưu cho N máy ATM là nghiệm của bài toán quy hoạch
nguyên như sau:
Xác định các biến :
titi
wx
,,
;
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

35
Hàm mục tiêu : )(
11
,,,
∑∑
==
+=
T
t
N
i
tisith
CCcMin
Các ràng buộc :
(1)
Maxiti

DD
,,
0 ≤< : Máy ATM luôn sẵn có tiền mặt để đáp ứng nhu cầu rút
tiền của khách hàng và số tiền này không lớn hơn khả năng chứa tiền tối đa của mỗi
máy ATM
(2)
titititi
DIxD
,,,1,
=−
+
−
: Thể hiện cân bằng trong thay đổi số dư tại mỗi máy
ATM khi nhu cầu rút tiền trong ngày t tại máy ATM thứ i là I
i,t
, điều này hàm ý là
sự thay đổi số dư tại mỗi máy ATM chỉ do hai nguyên nhân là tiếp quỹ và nhu cầu
rút tiền của khách hàng.
(3)
0
0,
=
i
D
: Máy ATM chỉ có số dư sau hoạt động tiếp quỹ đầu tiên cho máy
trong giai đoạn T
Như vậy, một phương án tiếp quỹ được xem là tối ưu phải vừa đảm bảo đáp ứng
đầy đủ nhu cầu rút tiền của khách hàng tại mọi thời điểm ở tất cả các máy ATM.
Phương án đó phải khả thi, đồng thời, tổng chi phí của phương án đó là th
ấp nhất trong

tất cả các phương án khả thi khác.
- Bằng quy hoạch nguyên có thể xác định phương án tiếp quỹ tối ưu theo hai
hướng:
Hướng thứ nhất: Xác định một lộ trình di chuyển tối ưu ứng với một tập hợp
những máy ATM xác định để cực tiểu chi phí cho hoạt động tiếp quỹ (Travalling
Saleman Problem) xem tổng chi phí này là tham số đã biết, sau đó, giải quyết vấn đề tồn
kho thuần túy (Inventory Model) do xuất hiện hai mối quan hệ trái chiều nhau : (i) quan
hệ thuận giữa tổng chi phí (thành phần chi phí cơ hội của số tiền tiếp quỹ
) với số tiền
tiếp quỹ (ii) quan hệ nghịch giữa tổng chi phí (thành phần chi phí cho hoạt động tiếp
quỹ) với số tiền tiếp quỹ.

Hướng thứ hai: Trực tiếp sử dụng lộ trình di chuyển qua các máy ATM là một
biến của hàm tổng chi phí (Inventory Routing Problems)
3. Mô hình đề xuất
Mô hình sử dụng cách tiếp cận theo hướng thứ nhất. Tuy nhiên, ràng buộc về
việc đáp ứng nhu cầu rút tiền của khách hàng được giải quyết trước bằng việc chọn
và phân loại thành những nhóm phương án tiếp quỹ luôn đáp ứng đủ nhu cầu rút tiền
của khách hàng. Ràng buộc về khả năng chứa tiền của máy ATM sẽ được xem xét
sau khi phương án tiếp quỹ tối ưu được l
ựa chọn. Nếu số tiền tiếp quỹ cho mỗi máy
ATM của phương án tối ưu lớn hơn khả năng chứa tiền của mỗi máy, khi đó, số tiền
chứa tối đa của máy ATM sẽ được lựa chọn thay thế, đồng thời, mô hình đưa ra các
giả định sau:
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

36
(i) Phương tiện tiếp quỹ có thể mang toàn bộ số tiền tiếp quỹ cho tất cả máy ATM
trong một lần
*(*)

.
(ii)
Chi phí tiếp quỹ không phụ thuộc vào số tiền tiếp quỹ
(iii)
Nhu cầu rút tiền có phân phối chuẩn
3.1. Các phương án tiếp quỹ đảm bảo luôn đáp ứng đủ nhu cầu rút tiền của khách
hàng tại máy ATM
- Trường hợp tiếp quỹ cho một máy ATM
+ Nhóm phương án tiếp quỹ thụ động: Khi số dư máy ATM gần bằng không,
ngân hàng sẽ thực hiện tiếp quỹ. Do nhu cầu rút tiền của khách hàng là ngẫu nhiên nên
khoảng cách giữa hai lần tiếp quỹ liên tiếp (từ đây gọi là chu kỳ tiếp quỹ) cũng sẽ ngẫu
nhiên. Vì vậy, phương án tiếp quỹ này đòi hỏi sự theo dõi thường xuyên số dư tài khoản
máy ATM cập nhật trong hệ thống và có th
ể gây khó khăn cho ngân hàng trong hoạt
động quản trị thanh khoản.
Sơ đồ 1 thể hiện sự biến động số dư của máy ATM với phương án tiếp quỹ thụ
động
+ Nhóm phương án tiếp quỹ chủ động: Mỗi khi thực hiện tiếp quỹ cần ấn định
trước một chu kỳ tiếp quỹ cho lần tiếp quỹ đó, trên cơ sở đó, xác định một số tiền tiếp
quỹ tối thiểu sao cho đáp ứng đủ nhu cầu rút tiền của khách hàng trong chu kỳ tiếp quỹ
đã được ấn định. Phương án này không đòi hỏi phải theo dõi số dư của tài khoản máy
ATM. Hoạt động tiếp quỹ sẽ
được thực hiện ở thời điểm kết thúc chu kỳ đã được ấn
định. Vì vậy, phương án này tạo sự chủ động cho ngân hàng trong hoạt động quản trị
thanh khoản.
Sơ đồ 2 thể hiện sự biến động số dư của máy ATM với phương án tiếp quỹ chủ động

- Trường hợp tiếp quỹ cho N máy ATM (N>1)
+ Nhóm 1:
Tiếp quỹ thụ động cho từng máy ATM khi máy ATM đó có số dư
gần bằng không. Với phương án này, mỗi lần tiếp quỹ ngân hàng chỉ có thể tiếp quỹ cho


*
Trong những mô hình quy hoạch nguyên giải quyết vấn đề tồn kho gắn với lộ trình vận chuyển đối với
những hàng hóa thông thường, ràng buộc về khả năng chứa hàng hóa tối đa của phương tiện vận chuyển
luôn ảnh hưởng quyết định đến phương án tối ưu. Điều này không đúng trong hoạt động tiếp quỹ cho các
máy ATM khi mà tiền tiếp quỹ có khối lượng và thể
tích không lớn.
0
Sơ đồ 1
Tiếp quỹ

Chu kỳ 1
Chu kỳ 2
Tiếp quỹ

Số dư
máy ATM
(D)
Thời gian
Thời gian
Sơ đồ 2
0

Chu kỳ
Tiếp quỹ

Chu kỳ
Tiếp quỹ

Số dư
máy ATM
(D)
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

37
một máy ATM duy nhất, do các máy ATM có số dư bằng không ở các thời điểm khác
nhau.
+ Nhóm 2: Tiếp quỹ chủ động cho từng máy ATM, trong đó, mỗi một máy ATM
có thời điểm tiếp quỹ khác nhau. Điều này xảy ra khi chu kỳ tiếp quỹ được ấn định cho
mỗi máy ATM khác nhau hoặc khi chu kỳ tiếp quỹ được ấn định giống nhau cho mỗi máy
ATM nhưng thời điểm tiếp quỹ ban đầu được ấn định khác nhau cho mỗi máy.
+ Nhóm 3: Tiếp quỹ chủ động với cùng chu kỳ và thời điểm tiếp quỹ cho n máy
ATM (1
≤n≤N). Với phương án này, mỗi lần tiếp quỹ ngân hàng có thể tiếp quỹ đồng
thời cho n

máy ATM.
3.2. Xác định phương án tiếp quỹ tối ưu
Các ký hiệu quy ước:
I
i
: Nhu cầu rút tiền của khách hàng trong một ngày tại máy ATM thứ i (hay tổng
số tiền rút khỏi máy ATM thứ i trong một ngày):

),(~
2
iii
NI
σµ

X(T): Nhu cầu rút tiền của khách hàng trong khoảng thời gian T ngày:
)),((~)(
2
X
XENTX
σ

h
i
: Chi phí tiếp quỹ cho máy ATM thứ i (khi tiếp quỹ riêng lẽ cho từng máy)
ϕ
i
: Chu kỳ tiếp quỹ theo phương án tiếp quỹ chủ động cho máy ATM thứ i
η
i
: Chu kỳ tiếp quỹ theo phương án tiếp quỹ thụ động cho máy ATM thứ i
r : Chi phí cơ hội của một đơn vị tiền mặt trong một ngày
D
i
: Số dư của máy ATM thứ i ở thời điểm bắt đầu mỗi chu kỳ (sau khi có hoạt
động tiếp quỹ)
ℜ(N) : Tập hợp gồm N máy ATM
χ ⊂ ℜ(N) : Tập con gồm những máy ATM sẽ luôn được tiếp quỹ cùng chu kỳ và
thời điểm.

u
χ
: Chi phí cho hoạt động tiếp quỹ ứng với lộ trình di chuyển tối ưu từ điểm xuất
phát qua tất cả các máy ATM trong
χ và trở về điểm xuất phát.
λ
χ
: Chu kỳ tiếp quỹ chung cho các máy ATM trong χ
a. Phương án tiếp quỹ tối ưu cho 1 máy ATM
- Phương án có chi phí thấp nhất trong nhóm phương án tiếp quỹ chủ động
Khi chu kỳ tiếp quỹ
ϕ được ấn định trước, để đáp ứng đủ nhu cầu rút tiền của
khách hàng trong chu kỳ, số dư nhỏ nhất của máy ATM ở thời điểm bắt đầu chu kỳ thỏa:
)1()1()(
1))((
11
αϕσϕµασ
α
ϕ
−Φ+=−Φ+=
−
=
<
−−
X
XEDhay
DXpro

Với
α>0, )(

1
x
−
Φ : là hàm số ngược của hàm )(xΦ , với
∫
∞−
−=Φ
x
dttx )2/exp(
2
1
)(
2
π

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

38
Chi phí cơ hội tiền mặt = Lượng tiền nhàn rỗi bình quân trong T ngày × Chi phí
cơ hội tiền mặt trong một ngày × Thời gian nhàn rỗi
Lượng tiền nhàn rỗi bình quân = ½ (Số dư vào thời điểm bắt đầu chu kỳ + Số
dư bình quân vào thời điểm kết thúc chu kỳ):
{}
)1(
2
1
))((
2
1
1

αϕσϕµ
−Φ+=−+=
−
−
XEDDD

Chi phí cho hoạt động tiếp quỹ = Số lần tiếp quỹ trong T ngày × Chi phí cho một
lần tiếp quỹ.
Tổng chi phí trong khoảng thời gian T ngày (TC
chu
) = Chi phí hội tiền mặt + Chi
phí cho hoạt động tiếp quỹ:
T
h
rTC
chu
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+∗−Φ+=
−
ϕ
αϕσϕµ
))1(
2
1
(

1

0))1(
2
1
2
1
(;0
2
*
1
*
*
=−∗−Φ+>⇒=
−
ϕ
ασ
ϕ
µϕ
h
rvàMinTC
chu

)1(
1***
αϕσµϕ
−Φ+=
−
D
- Phương án có chi phí thấp nhất trong nhóm phương án tiếp quỹ thụ động

Với số tiền tiếp quỹ D, số dư máy ATM ở cuối mỗi chu kỳ η ở mức D-X(η) = 0.
Chu kỳ tiếp quỹ bình quân
µµ
η
η
DXE
E ==
))((
)(
Tổng chi phí :
Th
D
DrTC
thu
)
2
1
(
µ
+= ;
r
h
DMinTC
thu
µ
2
*
=⇒= .
Như vậy, khi tiếp quỹ cho một máy ATM, phương án tiếp quỹ tối ưu luôn là
phương án có chi phí thấp nhất trong nhóm các phương án tiếp quỹ thụ động.

Chứng minh:
Với một số tiền tiếp quỹ D>0 bất kỳ, nếu áp dụng phương án tiếp quỹ chủ
động sẽ có tổng chi phí lớn hơn phương án tiếp quỹ thụ động, tức là:
0>−=∆
thu
D
chu
D
TCTCTC







thu
Min
thu
D
chu
Min
chu
D
TCTCTCTCDDkhi
XEDvà
EEDdo
hT
E
E

XEDrTTC
≥>=⇒=
>−
>>⇒=−Φ+=
>
−
+−=∆
−
**
*
1
:
0)(:
0)()()1(:
0
)(
)(
))((
2
1
ϕηµηαϕσϕµ
ϕη
ϕ
η
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

39
b. Phương án tiếp quỹ tối ưu cho hệ thống N máy ATM (N>1)
- Phương án có chi phí thấp nhất trong các phương án nhóm 1
Trong trường hợp này ngân hàng thực hiện tiếp quỹ cho máy ATM thứ i với số

tiền tiếp quỹ D
i
khi máy ATM thứ i có số dư gần bằng không.

r
h
D
ii
i
µ
2
*
= ;
∑∑
==
==
N
i
ii
N
i
Mini
n
Min
hrTTCTC
11
,
1hom
2
µ

-
Phương án có chi phí thấp nhất trong các phương án nhóm 2

∑∑
=
−
=
−
−
−Φ+==
−Φ+=
=−∗−Φ+>
N
i
i
i
ii
N
i
Mini
n
Min
iiiii
i
i
i
i
ii
rTTCTC

D
h
rvà
1
1
*
*
1
;
2hom
1***
2
*
1
*
*
))1(
2
3
(
)1(
0))1(
2
1
2
1
(;0
α
ϕ
σ

µϕ
αϕσµϕ
ϕ
ασ
ϕ
µϕ

-
Phương án có chi phí thấp nhất trong các phương án nhóm 3
+ Gọi A(χ) là một phương án nhóm 3
{
}
∅=ℜ=ℜ⊂=
IU
χχχχχ
),(),(::)( NNA
0))1(
2
1
2
1
(.0
))1(
2
3
(
))1(
2
1
(

2
*
1
*
*
)(
1
*
*
),(
)(
1
)(
=−−Φ+>
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−Φ+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
−Φ++=
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∈
−
∈
∈∈
−
∈
∈∈
−
∈
χ
χ
χ
χ
χ
χ
χχχ
χ
χ
χχ
χχχ
χ
χ
χ

χ
χ
χ
λ
σα
λ
µλ
σα
λ
µλ
σαλµλ
λ
u
rvà
rTTC
r
u
TTC
i
i
i
i
Ai
i
i
iMinA
Ai
i
i
iA

+ Chi phí thấp nhất trong các phương án nhóm 3:
MinA
nhóm
Min
MinTCTC
),(
3
χ
=

Như vậy, phương án có chi phí thấp nhất trong nhóm phương án tiếp quỹ thụ
động không luôn là phương án tối ưu khi tiếp quỹ cho nhiều máy ATM.
4. Kết luận
Để luôn đáp ứng đủ nhu cầu rút tiền của khách hàng tại các máy ATM, ngân
hàng có thể tổ chức hoạt động tiếp quỹ theo nhiều phương án khác nhau. Để giảm đến
mức thấp nhất chi phí, trong trường hợp tiếp quỹ cho một máy ATM, phương án có chi
phí thấp nhất trong nhóm các phương án tiếp quỹ thụ động luôn là phương án tiếp quỹ
tối ưu. Tuy nhiên, trong trường hợp tiếp quỹ cho nhiều máy ATM, phương án có chi phí
thấp nh
ất của nhóm các phương án tiếp quỹ thụ động không luôn là phương án tiếp quỹ
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

40
tối ưu. Việc xác định phương án tối ưu để thực hiện trong trường hợp này còn phụ thuộc
vào số lượng máy ATM và mối quan hệ giữa chi phí tiếp quỹ đồng thời cho các máy
ATM và tổng chi phí khi thực hiên tiếp quỹ riêng rẽ cho từng máy ATM.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Thanh Liêm, Giáo trình Quản trị sản xuất, Trường Đại học Kinh tế, Đại
học Đà Nẵng.
[2] Michael wanger (2007) The optimal cash deployement strategy – Modelling a
network of automatics teller machines, thesis for the degree of master of science in
Accounting.
[3] Ann campbell, Llyoyd clarke, Anton Kleywegt, Martin Savelsbergh (1997):
Inventory routing Problems.
[4] Anchalee prutsakul, B.E (1998) Integrated inventory problem and vehicle routing
problem in one warehouse and multi-retailer distribution system, thesis the for the
degree of master of science in industrial engineering.
[5] Siqian Shen (2009) EOQ Model with Uncertain Demand and Nonzero Leadtime ,
Dept. of Industrial and Systems Engineering University of Florida.
[6] Wang, S.P. (2002): An inventory replenishment policy for deteriorating items with
shortages and partial backlogging. Computers and Operational Research.
[7] Teng, J.T. and Yang, H.L. (2004): Deterministic economic order quantity models
with partial backlogging when demand and cost are fluctuating with time. Journal
of the Operational Research Society.

PHỤ LỤC
(chỉ bổ sung cho mục đích phản biện, không thuộc nội dung bài báo)

Chứng minh phương án tiếp quỹ tối ưu không luôn nằm trong nhóm các phương án
tiếp quỹ thụ động khi tiếp quỹ cho nhiều máy ATM.
Xét tình huống nhu cầu rút tiền tại các máy ATM giống nhau, chi phí tiếp quỹ riêng
lẽ cho mỗi máy ATM bằng nhau (
σ
σ
µ
µ
=

=
=
iii
hh ;;)
So sánh chi phí giữa hai phương án : (1) tiếp quỹ cùng chu kỳ và thời điểm cho n
máy ATM với tổng chi phí tiếp quỹ u mỗi lần và (2) phương án tối ưu trong nhóm
phương án tiếp quỹ thụ động
Chọn x là chu kỳ tiếp quỹ áp dụng cho n máy ATM
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

41
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−+−Φ+=−
−
µασµ
rh
x
nu
xrxrnTTCTC
n
Min
n
x
2
/

))1(
2
1
(
11hom3hom

Chọn
r
h
x
µ
2
=
, khi đó, nếu :
)))1(
2
2
2
1
(
2
/
1
α
µ
σµ
µ
−Φ−<
−
r

h
rrh
r
h
nu

1hom3hom n
Min
n
x
TCTC <⇒
; mặt khác do
3hom3hom n
x
n
Min
TCTC ≤

1hom3hom3hom n
Min
n
x
n
Min
TCTCTC <≤⇒