Những Cản Trở Đối Với Sự Thác Triển Ánh Xạ Chỉnh Hình Và Ánh Xạ Phân Hình.pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
------------------------------

DƯƠNG THỊ THU HẰNG

NHỮNG CẢN TRỞ ĐỐI VỚI
SỰ THÁC TRIỂNÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
VÀ ÁNH XẠ PHÂN HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun, năm 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
------------------------------

DƯƠNG THỊ THU HẰNG

NHỮNG CẢN TRỞ ĐỐI VỚI
SỰ THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
VÀ ÁNH XẠ PHÂN HÌNH

Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai

Thái Nguyên, năm 2020


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi với sự hướng dẫn
tận tình của TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa
được công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.

Thái Ngun, tháng 6 năm 2020
Tác giả luận văn

Dương Thị Thu Hằng

i


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên.
Trong quá trình làm khóa luận tốt nghiệp em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ để
hoàn tất luận văn.
Đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới cô Nguyễn Thị Tuyết Mai, giảng
viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tận tình hướng
dẫn, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm cho em trong suốt quá trình thực hiện luận văn
tốt nghiệp này.
Xin gửi lời cảm ơn đến q thầy cơ Khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm – Đại
học Thái Nguyên , Viện Toán học và trường Đại học Sư phạm Hà Nội những người
đã truyền đạt kiến thức quý báu cho em suốt trong thời gian học tập vừa qua.
Cuối cùng, em xin cảm ơn những người thân, bạn bè đã luôn ở bên động viên

em hồn thành khóa học và bài luận văn này.
Trong bài luận, chắc hẳn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Em
mong muốn sẽ nhận được nhiều đóng góp quý báu đến từ các quý thầy cô, ban cố vấn
và bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn nữa.
Một lần nữa, xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020
Người viết luận văn

Dương Thị Thu Hằng
ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Lời mở đầu

1

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

3

1.1 Đa tạp phức ..................................................................................................... 3
1.2 Miền Hartogs ................................................................................................... 4
1.3 Dòng đa xác định ............................................................................................. 5
1.4 Thác triển ánh xạ chỉnh hình ........................................................................... 10
1.5 Thác triển ánh xạ phân hình ............................................................................. 14
1.6 Vỏ cầu .............................................................................................................. 15
1.7 Hàm đa điều hòa dưới ..................................................................................... 15
1.8 Miền giả lồi chặt .............................................................................................. 16
Chương 2: Những cản trở đối với sự thác triển ánh xạ chỉnh hình, ánh xạ phân
hình

17

2.1 Sự cản trở của đường cong hữu tỉ đối với sự thác triển ánh xạ chỉnh hình..... . 17
2.2. Sự cản trở của vỏ cầu đối với sự thác triển ánh xạ chỉnh hình..................... 23
2.3 Sự cản trở của vỏ cầu đối với sự thác triển ánh xạ phân hình .......................... 24
Kết luận

31

Tài liệu tham khảo

32

iii

LỜI MỞ ĐẦU
Bài toán về sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình và ánh xạ phân hình được bắt
đầu như sau:
Kí hiệu:

Hr 

 z , w 

là miền Hartogs trong

2

2



: z  r , w  1 hoặc z < 1, 1 - r < w < 1

, 0  r  1.

Định nghĩa 0.1. Đa tạp phức X được gọi là có tính chất thác triển chỉnh hình
(phân hình) nếu tồn tại ánh xạ chỉnh hình (phân hình) f : Hr  X thác triển thành
ánh xạ chỉnh hình (phân hình) f : 2  X , trong đó  2 là bao chỉnh hình của H r .
Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Điều kiện cần và đủ để một đa tạp phức

X có tính chất thác triển chỉnh hình (phân hình) là gì? Câu hỏi này đã mở ra một
hướng nghiên cứu mới của giải tích phức trong những năm cuối thế kỉ 20. Kiernan,
Griffiths, Siu, … đã thu được một vài kết quả nghiên cứu theo hướng này.
Ivashkovitch (trong [8] và [9]) đã chứng minh được rằng: mọi đa tạp Kähler phức X

có tính chất thác triển chỉnh hình khi và chỉ khi X là lồi phức và không chứa đường
cong hữu tỉ. Chứng minh rằng bất kì đa tạp Kähler compact đều có tính chất thác
triển phân hình là một vấn đề không giải được nổi tiếng.
Ivashkovitch [10] đã nghiên cứu sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình và ánh xạ
phân hình vào đa tạp phức mà có metric Hermit đa đóng. Ví dụ, mọi siêu mặt phức
compact đều có một metric như thế. Đồng thời, Ivashkovitch [8], đã mô tả sự cản trở
việc thác triển ánh xạ chỉnh hình (phân hình) trong trường hợp X là siêu mặt phức
compact, tức là những đa tạp phức compact có số chiều phức bằng 2. Trong [8] ông
đã sử dụng kĩ thuật và các kết quả của Kodaira trên siêu mặt. Kĩ thuật này không thể
áp dụng trong trường hợp siêu mặt V ||0 . Để khắc phục khó khăn này, Ivashkovitch
đưa ra một cách khác, đó là dùng metric đa đóng và „vỏ cầu‟. Nhờ kĩ thuật này, ông
đã chứng minh được rằng “vỏ cầu” và đường cong hữu tỉ là những cản trở đối với sự
thác triển kiểu Hartogs của ánh xạ chỉnh hình và ánh xạ phân hình.
1


Mục đích của luận văn “Những cản trở đối với sự thác triển ánh xạ chỉnh hình
và ánh xạ phân hình” là nghiên cứu và trình bày lại một cách chi tiết có hệ thống kết
quả nghiên cứu của Ivashkovitch trong [10] về những cản trở của việc thác triển ánh
xạ chỉnh hình (phân hình).
Nội dung luận văn ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì cịn
được chia làm 2 chương:
Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị bao gồm các định nghĩa và các tính chất của
đa tạp phức, miền Hartogs, dòng đa xác định, đa tạp lồi phức, thác triển chỉnh hình,
thác triển phân hình; bất đẳng thức Chern - Levine – Nirenberg và vỏ cầu.
Chương 2: Trình bày về sự cản trở của vỏ cầu và đường cong hữu tỉ đối với sự thác
triển ánh xạ chỉnh hình và ánh xạ phân hình.

2

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Đa tạp phức
Giả sử X là một không gian tô pô Hausdorff.
Định nghĩa 1.1.1.
Cặp (U , ) được gọi là một bản đồ địa phương của X , trong đó U là tập mở
trong X và  : U  C n là ánh xạ từ X vào C n , nếu các điều kiện sau được thỏa
mãn:
i)  (U ) là tập mở trong C n .
ii)  : U   (U ) là một đồng phôi.
Định nghĩa 1.1.2.
Họ A = {(Ui ,i )}iI các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập bản đồ
giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) {Ui}iI là một phủ mở của X .
ii) Với mọi Ui ,U j mà Ui  U j  Ø , ánh xạ

 j i 1 : i (Ui  U j )   j (Ui  U j ) là ánh xạ chỉnh hình.
Định nghĩa 1.1.3.
Xét họ các atlas trên X . Hai atlas A1 , A2 được gọi là tương đương nếu

A1  A2 là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các atlas. Mỗi lớp
tương đương xác định cấu trúc khả vi phức trên X . X cùng với cấu trúc khả vi phức
trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều.
Ví dụ 1.1.4.
+ Cho D 

n

là một miền. Khi đó D là một đa tập phức n chiều với đa tạp

địa phương {(D, IdD )}.
+ Đa tạp xạ ảnh P n (C ).
3


Xét Ui  {[z0 : z1 : ... : zn ]  P n (C ) | zi  0} với i  0,1..., n. Rõ ràng {Ui}in1 là một
phủ mở của P n (C ).
Xét các đồng phôi i : Ui  C n

[z0 : z1 : ... : zn ]

(

z0
z z
z
,..., i 1 , i 1 ,..., n ).
zi
zi zi
zi

Ta có

z
( k )k  j ; k  0,..., m ; zi  1.
zj

 j i1: (z0 : z1 : ... : zn )

Rõ ràng  j i1 là ánh xạ chỉnh hình. Vậy P n (C ) là một đa tạp phức n chiều và gọi
là đa tạp xạ ảnh n chiều.
1.2. Miền Hartogs
Định nghĩa 1.2.1. [10]
Cho V là miền khác rỗng trên đĩa đơn vị   {z 
Kí hiệu: HV , r 

 z

1

, z2  

2

: z  1}.



: z1  V , z2   or z1  , 1 - r < z2 < 1 ,

trong đó 0  r  1. HV , r được gọi là miền Hartogs trên V .
Đặc biệt, nếu V  r  {z  : z  r} thì HV , r  Hr .
Theo định lý cổ điển của Hartogs bao chỉnh hình của HV , r là song đĩa đơn vị  2 .
Định nghĩa 1.2.2.
Khơng gian giải tích phức Z được gọi là có tính chất thác triển Hartogs với p
chiều nếu mọi ánh xạ f  O(H p (r ), Z ) đều thác triển tới ánh xạ f  O(E p , Z ). Hơn
nữa, Z được gọi là có tính chất thác triển Hartogs nếu nó có tính chất thác triển
Hartogs với mọi chiều p  2. Trong đó H p (r ) là lược đồ Hartogs p chiều.
Kết quả cổ điển của Ivashkovitch ( [9]) nói rằng nếu Z được gọi là có tính chất

thác triển Hartogs trong 2 chiều thì nó sẽ đúng với mọi số chiều p  2. Shiffman đã
chứng minh được một đặc trưng quan trọng của khơng gian có tính chất thác triển
Hartogs sau:
4


Định lý 1.2.3 Khơng gian giải tích phức Z có tính chất thác triển Hartogs nếu
và chỉ nếu với mọi miền D của đa tạp Stein M , mọi ánh xạ f  O(D, Z ) đều thác
triển được thành ánh xạ f  O(D, Z ), trong đó D là bao chỉnh hình của D .
1.3. Dịng đa xác định
Định nghĩa 1.3.1. [10]
Cho T là dòng song chiều ( p, p) trong miền  

n

. Dòng T được gọi là

chuẩn tắc nếu T và dT có độ đo hệ số.
+ T được gọi là dòng đa dương nếu T là chuẩn tắc, không âm và dd cT cũng
không âm.
+ T được gọi là dòng đa âm nếu dòng T là chuẩn tắc, âm và dòng dd cT là
âm.
Định nghĩa 1.3.2. [10]
Cho T là dòng song chiều ( p, p). T được gọi là dịng đa đóng nếu dd cT  0 .
Định nghĩa 1.3.3.
Nhắc lại khối của dòng T có số chiều k trong tập mở U   là

|| T || (U )  sup{| T (u) | : u  D k (U ), | u( x) |  1, x U} .
Trong đó D k (U ) là không gian các k - dạng trơn với giá compact trong U .

| u( x ) | là chuẩn Euclidean của k  đối véctơ u( x ) .
Hơn nữa, cho K là tập con đóng của  và T là một dòng trong  \ K với độ đo
hệ số. Ta nói rằng T có khối hữu hạn điạ phương trong lân cận của K nếu với mọi
tập mở K  U  , || T || (U \ K )  .
Nhắc lại rằng thác triển tầm thường T của dòng T từ  \ K tới  được xác
định như sau:
Cho {un} là một dãy của hàm khả vi lớp C  trong , 0  un  1, un  0 trong
lân cận của K . Và un

X \ K đều trên các tập compact trong  \ K . Trong đó X \ K

thay cho hàm đặc trưng của  \ K . Vậy thì
5


T  lim unT
n

nếu tồn tại giới hạn như vậy.
Lelong đã chứng minh rằng nếu T có khối hữu hạn địa phương trong lân cận
của K thì thác triển tầm thường của T tồn tại và không phụ thuộc vào việc lựa chọn

{un}. ([7])
Nhắc lại rằng K   là đa thế vị đầy trong  nếu tồn tại một hàm điều hịa
dưới u trong  , khơng đồng nhất bằng  , sao cho K  {z   : u (z)  }.
Bổ đề sau là hệ quả của một số kết quả nghiên cứu của Sibony [4] sau.
Bổ đề 1.3.4. Cho K là một tập compact đa cực đầy trong miền giả lồi chặt  .
Xét T là dịng dương, đóng trong  \ K . Khi đó T có khối hữu hạn địa phương
trong lân cận của K .
Chứng minh.

Thật vậy, đặt

uK  sup{u : u p.s.h. , liên tục, u  1 trong , u  0 trong K}
Trong đó p.s.h là viết tắt của cụm từ hàm đa điều hịa dưới. Khi đó theo mệnh
đề 1.4 từ ([4]) dịng dương uK T có khối hữu hạn địa phương trong lân cận của K . Kí
hiệu

P

() là tập các hàm đa điều hịa dưới dương, nhẵn trong  . Theo Bổ đề 1.2

của [4] tồn tại hàm un  P (), 0  un  1, un  0 trong lân cận của K sao cho

un

X \ K đều trên các tập compact trong  \ K . Vì X \ K  lim un  uK  X \ K , ta

có uK  X \ K . Do vậy X \ KT  T có khối hữu hạn địa phương trong lân cận của K .
Bổ đề được chứng minh.
Ta sẽ cần bất đẳng thức Chern - Levine - Nirenberg được chứng minh trong [4].
Trong bổ đề tiếp theo,    là miền giả lồi chặt trong

n

. Ta nói rằng dịng T là

dịng đa xác định nếu nó là đa dương hoặc đa âm.
Bổ đề 1.3.5. Cho K là compact trong  và P là một compact khác trong 
sao cho int P  K. Khi đó tồn tại hằng số C(P, ) sao cho với mỗi (1,1) - dòng song
6

chiều đa xác định T trong  \ K và mỗi v P () , v  0 trong lân cận của K ta
có:

|| dd c v  T ||  C(P, ) || v || {|| T || ( \ P)  2 || d cT || ( \ P) || dd c T || ()},

(1.1)

|| dv  d c v  T || (P)  C(P, ) || v || {|| T || ( \ P)  2 || d cT || ( \ P) || dd c T || ()}. (1.2)
Trong đó || v || là chuẩn mức của v trong . Lưu ý rằng theo bổ đề trên thì

dd c T tồn tại nếu tập compact K là đa cực đầy.
Chứng minh


Bất đẳng thức (1.1) chính là chú ý 2 sau Mệnh đề 2.3 trong ([4]).



Giả sử rằng 0  v  1. Cho h là hàm lồi, trơn, không giảm trên [0,1] sao cho:
(i) h  0 trong lân cận của không,
(ii) h  (b  a)1 X[a,b ] với 0  a  b  1,
(iii) 0  h  2.
Ta biểu diễn (1.1) với hàm h(v) :

|| dd c h(v)  T || (P)  2C(P, ){|| T || ( \ P)  2 || d cT || ( \ P) || dd c T || ()}. (1.3)
Ta có:
dd c h(v)  T (P)  h(v)dd c v  T+ h(v)dv  d cv  T .

(1.4)

Cả 2 số hạng ở vế phải của (1.4) đều dương. Vậy từ (1.3) và (ii) ta nhận được:

|| dv  d c v  T || (P  {a  v  b}) 
2C(P, )(b  a){|| T || ( \ P)  2 || d cT || ( \ P) || dd c T || ()}.
Vì 0  a  b  1 là bất kì nên ta có Bổ đề 1.3.5. được chứng minh.
Mệnh đề 1.3.6. Cho K là compact đa thế vị đầy trong miền giả lồi chặt  và

T là (1,1) - dòng song chiều đa xác định trong  \ K . Giả sử rằng T có khối hữu
hạn địa phương trong lân cận của K . Khi đó dịng dd cT có độ đo hệ số trong  .
Chứng minh:
Phần chứng minh bổ đề này là biến thể của phần chứng minh Định lý 2.4 trong
[4].
7


Cho {un} là dãy p.s.h trơn trong  , un  0 trong lân cận của K , 0  un  1 và

un

X \ K đều trên các tập con compact trên  \ K . Cho   C  ( ) là hàm không

giảm,  ( x )  0 khi x  1 4 ,  ( x)  1 khi x  1 2 , và 0   ( x)  1 trên

. Khi đó

T  lim (un )T . Lấy   D 0,1 (). Khi đó:

( (un )T ),  T , (un )  T , (un )un  .

(1.5)

Vế trái của (1.5) hội tụ tới T , . Xét số hạng thứ 2 của vế phải, theo bất
đẳng thức Shwarz ta có:

T , (un )un   T , (un )un  un
Theo (1.2) T , (un )un  un

1/2

T , (un )  

1/2

.

bị chặn đều. Số hạng T , (un )  

(1.6)
cũng bị

chặn và  (un ) hội tụ theo từng điểm tới không. Vậy, theo định lý về sự hội tụ bị
chặn, T , (un )un   0.
Do vậy với mọi   D 0,1 (),

d cT  lim  (un )T , .
n

(1.7)

Bây giờ ta sẽ tính dd cT . Theo (1.7) ta có:

d cT  lim  (un )d cT , .
n

Vì vậy với mọi   D(), ta có:

dd cT ,  lim d ( (un )d cT ), .
n

(1.8)

Đặt u  0 trong lân cận của K , u  C  (). Lấy P là một compact trong 
chứa giá của  . Khi đó

d ( (u)d cT ),  d cT , (u)d  d cT , d ( (u)  d (u)
 dd cT , (u)  dT  d c (u), .
Kế tiếp

dT  d c (u),   T  dd c (u),  T , d c (u)  d
8


và

T  d c (u), d   T  d (u), d c  dT , (u)d c  T , (u)dd c .
Vậy

d ( (u)d cT ),  d cT , (u)  T , dd c (u)

 dT , (u)d c  T , (u)dd c .

(1.9)

Từ (1.8) và (1.9) ta có



dd cT ,  lim dd cT , (un )  T , dd c (un )  dT , (un )d c  T , (un )dd c
n 



 dd c T ,  lim T , dd c (un )  dT , d c  T , dd c
n 

 dd c T ,  lim T , dd c (un ) .
n 

Áp dụng 2.7 và Bổ đề 2.1. Vậy, ta có

dd cT ,  dd c T ,  lim T , dd c (un ) .
n

Chú ý rằng dòng dd cT là đóng và âm trên  \ K . Vậy theo Bổ đề 1.3.5. dd c T
tồn tại và có độ đo hệ số. Mặt khác ta có:

T , dd c (un )  T , (un )dun  d cun
 T , (un )dd c un .
Theo (1.1),

T , (un )dd c (un )  



   T  dd cun (P)  C1 (P, ,T ) 



và

T , (un )dun  d cun     



T  dun  d cun (P)  C2 (P, ,T )   .

Trong đó









(C1 , , T )  C(P, )    T ( \ P)  2 d cT ( \ P)  dd cT ()
và

(C2 , , T )  2C(P, )    T ( \ P)  2 d cT ( \ P)  dd c T () .
Trong đó C(P, ) xác định trong Bổ đề 1.3.5. Do vậy ta có
9


T , dd c (un )  C3 (P, ,T )   .

(1.10)

Do đó ta có dd cT là dịng bậc khơng, tức là các hệ số của nó là độ đo trên  .
Bất đẳng thức Chern - Levine – Nirenberg
Cho

là dịng dương, đóng của song bậc

T

( p, p)

trên

X

và

  PSH ( X , w)  L1 (T )

thì

  PSH ( X , w)  L ( X ).

Khi

đó

|| w  T ||  || T || .

Hơn

nữa,

nếu

  L1 (T  w ) và ||  ||L (T w )  ||  ||L T [2sup  sup  inf  ] || T || .
1

1



X

X

X

1.4. Thác triển ánh xạ chỉnh hình
1.4.1. Ánh xạ chỉnh hình
Định nghĩa 1.4.1.1.
Một ánh xạ f : X 

fi   i f : X 

có thể viết dưới dạng f  ( f1 ,..., fm ), trong đó

m

, i  1,..., m là các hàm tọa độ với  i là phép chiếu

m



. Khi

đó f được gọi là chỉnh hình trên X với mọi i  1,..., m.
Định nghĩa 1.4.1.2.
Ánh xạ f : X  f ( X ) 

n

được gọi là song chỉnh hình nếu f là song ánh,

chỉnh hình và f 1 cũng là ánh xạ chỉnh hình.
Định

lý

1.4.1.3.

Cho

B1 , B2 

n

là

các

miền

và

ánh

xạ

g  (g1 ,..., g2 ) : B1  B2 . Khi đó g là ánh xạ chỉnh hình nếu và chỉ nếu hàm chỉnh
hình f trong B2 , f g là một hàm chỉnh hình trong B1 .
1.4.2. Đường cong hữu tỉ
Định nghĩa 1.4.2.1. [10]
Đường cong hữu tỉ trong đa tạp phức X là ảnh của
khác hằng F :

P1

 X.
10

P1

qua ánh xạ chỉnh hình


Đường cong hữu tỉ là một cản trở trong sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình.
Thực vậy, phép chiếu tự nhiên  :
chỉnh hình khơng. Vậy nếu F(

F :

2

2

\ {0} 

P1 )

P1

không thác triển thành ánh xạ

là đường cong hữu tỉ trong X thì

\ {0}  X khơng thác triển chỉnh hình trên

2

.

1.4.3. Dây chuyền các đường cong hữu tỉ
Định nghĩa 1.4.3.1. [10]
Một dây chuyền các đường cong hữu tỉ trên đa tạp X là một tập hợp hữu hạn
các đường cong hữu tỷ c1 , c2 ,...., cN trong X sao cho tập hợp

N
j 1

c j là liên thông.

Định nghĩa 1.4.3.2. [10]
Một dây chuyền các đường cong hữu tỉ {c1 , c2 ,...., cN } được gọi là co tới điểm
N

chuẩn tắc nếu tồn tại lân cận Y của

j 1

c j , một không gian phức chuẩn tắc Z và một

ánh xạ chỉnh hình F : Y  Z sao cho:
(a) F(1N c j ) {v} là một điểm.
(b) F : Y \ 1N c j  Z \ {v} là song chỉnh hình.
1.4.4. Đa tạp lồi phức
Ivashkovitch [11] đã đưa ra khái niệm đa tạp lồi phức như sau:
Định nghĩa 1.4.4.1. [11]
Một đa tạp phức X được gọi là đa tạp lồi phức nếu với mọi miền khác rỗng

W  V   và mọi ánh xạ phân hình f : HV , r  X sao cho f (H W, r ) là compact
tương đối trong X thì ảnh tồn phần f (H W, r ) cũng là compact tương đối trong X .

Ví dụ 1.4.4.2. Mọi đa tạp phức compact là đa tạp lồi phức.
Tổng quát hơn mọi đa tạp phức lồi chỉnh hình là đa tạp lồi phức.
Hiển nhiên tính lồi phức là điều kiện cần để đa tạp phức X có tính chất thác
triển chỉnh hình hoặc phân hình.
11


Điều kiện cần cho sự thác triển chỉnh hình của một ánh xạ chỉnh hình vào đa tạp
phức X là X không chứa đường cong hữu tỉ.
Cố định metric d trên X tương thích với topo cho trước. Ivashkovitch [9] đã chứng
minh được mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.4.4.3. Cho X là đa tạp lồi phức có một trong hai tính chất sau:
(i) X khơng chứa đường cong hữu tỉ.
(ii) X chỉ chứa một số hữu hạn các đường cong hữu tỉ và mọi dây chuyền các
đường cong hữu tỉ trong X đều co tới một điểm chuẩn tắc.
Cho f : HV , r  X là một ánh xạ phân hình. Giả sử rằng với một dãy điểm

{xn}  V hội tụ tới điểm x V \  , diện tích của đĩa giải tích {f ({ xn}  t )} là
giới nội đều với 1  r  t  1 .
Khi đó tồn tại một lân cận U của x trong

sao cho f thác triển phân hình tới

HV  U , r .
Chứng minh.
 Xét trường hợp (i).
Theo giả thiết đa tạp phức X là lồi phức nên tất cả đĩa giải tích

f ({xn} t ), n  0 đều nằm trong một tập con compact của X . Theo định lý của
Bishops [1] về dãy của các tập giải tích mà có diện tích bị chặn, dãy con bất kì của

{f ({xn} t )} hội tụ theo metric Hausdorff đến tập giải tích một chiều thuần túy C
N

với biên c chứa trong f ({x} t ) . Viết C  C0  ( C j ) , trong đó C j , j  1,...N
j 1

là các thành phần compact của c mà không kể biên và C0 có một biên C0  C .
Theo Griffiths [5] và Ivashkovitch [9] tất cả C j , j  1,...N là các đường cong hữu tỉ.

ˆ
Xét 2  X thay cho X và ( x, f ( x ))  f ( x ) thay cho f , ta có thể giả sử rằng

f là một phép nhúng trên {x} t .

12


Theo giả thiết (i), X không chứa đường cong hữu tỉ nên ta có C0  C . Khơng
gian giải tích khơng compact, một chiều, bất khả quy C0 là Stein. Vì vậy, theo định
lý của Siu [13], C0 có một lân cận Stein W . Chọn   0,   0 và số nguyên dương

M sao cho:
(1) f ({z : z  x  }  {w : t    w  t  })  W;
(2) {z : z  xM   }  V và f ({z : z  x M   }  {w : w  t})  W;
(3) xM  x   2.
Kí hiệu U {z : z  xM   . Theo (3) ta có U  x . Xét miền Hartogs

H  {(z,w) : z  xM   ,w  t or z U , t    w } . Theo (1) và (2), ánh xạ f từ H
vào miền Stein W và vì vậy f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f : U  t  W.

Mệnh đề được chứng minh trong trường hợp (i).
 Bây giờ ta xét trường hợp (ii).
Chú ý rằng ánh xạ hạn chế f

x  xn

của ánh xạ phân hình f tới đĩa {xn}  là

chỉnh hình trên  . Lại đặt C  C0  (1N C j ) là giới hạn của dãy các đĩa giải tích

{f

x  xn

({xn} t )} với bất kì dãy xn  x , xn  V , x V \ . Ánh xạ phân hình

f có thể có một vài điểm bất định trên đĩa {xn}  t . Sau blowing up ta có thể giải các
kì dị của f tại mỗi điểm như thế. Do đó ảnh tồn phần của đĩa {xn}  t là

Ln = f

x  xn

({xn} t )  Bn , trong đó Bn gồm một số hữu hạn các đường cong hữu tỉ.

Theo giả thiết X chỉ có hữu hạn điểm của đường cong hữu tỉ. Vì vậy, lấy dãy con, ta
có thể giả sử Bn  B với mọi n . Khi đó giới hạn của dãy các ảnh toàn phần {L n} là

B  (1N C j )  C0 . B  (1N C j ) có thể được blow down tới một số hữu hạn của các
điểm chuẩn tắc theo giả thiết.

Đặt F : X  X0 được blowing down. Bây giờ chúng ta có thể nhắc lại lập luận
tương tự như trong chứng minh trường hợp (i) ta có ánh xạ F f và thác triển chỉnh
13


hình F f tới U   t với lân cận U nào đó của x . Blowing up bởi F 1 : x0  X ta
thác triển phân hình f .
Mệnh đề được chứng minh.
Chú ý: Trong Mệnh đề 1.4.4.3.:
- Diện tích của đĩa giải tích ở đây là độ đo Hausdorff hai chiều tương ứng với
metric d .
- Trong trường hợp (i), f phải là ánh xạ chỉnh hình và thác triển chỉnh hình trên

HV  U , r ; ( [8]).
Ivashkovitch [11] đã sử dụng trường hợp (i) của Mệnh đề 1.4.4.3 để chứng minh
hệ quả của Định lý 2.3.3. và trường hợp (ii) trong chứng minh sự thác triển của ánh
xạ phân hình với giá trị trên siêu mặt phức compact.
Mệnh đề 1.4.4.4. Nếu một đa tạp phức X có tính chất thác triển chỉnh hình, thì
, mọi ánh xạ chỉnh hình f : D  X đều thác triển được thành
ˆ
một ánh xạ chỉnh hình f : D  X .

với mọi miền D 

n

Trong đó D kí hiệu cho bao chỉnh hình của D .
Chú ý. Tính chất trên có cịn đúng hay khơng đối với tính chất thác triển phân
hình vẫn là một câu hỏi mở.
Mệnh đề 1.4.4.5. Cho (E , F , , B) là không gian phân thớ phức với đáy B , thớ

F , phép chiếu  và không gian toàn phần E. Nếu B và F là các đa tạp có tính chất
thác triển chỉnh hình thì khơng gian tồn phần E cũng có tính chất thác triển chỉnh
hình.
Điều đáng chú ý là Mệnh đề 1.4.4.5 không đúng đối với tính chất thác triển phân
hình. Ví dụ, siêu mặt Hopf được đề cập ở trên có thể được biểu diễn như là một
khơng gian phân thớ tồn phần của các đường cong elliptic trên
1.5. Thác triển ánh xạ phân hình
Định nghĩa 1.5.1.
Giả sử N , M là các đa tạp phức, M là compact.
14

P1 .


Ánh xạ f : N  M là ánh xạ phân hình nếu tồn tại tập giải tích riêng P( f )
trong N sao cho f

f

N \ P( f )

N \ P( f )

là ánh xạ chỉnh hình và ( f ), bao đóng của đồ thị của

là tập giải tích trong N  M.

Định lý 1.5.2. (về sự thác triển ánh xạ phân hình vào đa tạp Kähler compact)
Cho X là một đa tạp phức, A là phân thứ của số đối thứ 1 trong X và G là

tập con mở của X mà nó giao nhau với mọi nhánh của A của số đối thứ 1. Nếu M
là đa tạp Kähler compact thì khi đó mọi ánh xạ phân hình f : ( X  A)  G  M có

ˆ
thể thác triển tới một ánh xạ phân hình f : X  M .
1.6. Vỏ cầu
Kí hiệu

3

là hình cầu đơn vị chuẩn trong

2

.

Khái niệm “vỏ cầu” được gợi ra bởi khái niệm „vỏ cầu toàn cục‟ do Kato [3]
đưa ra sau đây:
Định nghĩa 1.6.1. [3]
Cho X là một đa tạp phức có số chiều phức n  2 . Kí hiệu
vị chuẩn trong

n

S2 n 1 là hình cầu đơn

. Cho F là ánh xạ song chỉnh hình từ lân cận của

S2 n 1 vào X .

F( S2 n 1 ) là vỏ cầu tồn cục (kí hiệu GSS) nếu nó khơng liên kết với một miền nào
trong X .
Trong định nghĩa ta chỉ xét vỏ cầu 2 chiều, tức là các ảnh của

S3 vào

2

. Ta

cũng không yêu cầu F phải là phép nhúng.
1.7. Hàm đa điều hòa dưới
Giả sử  là một tập con mở trong

n

. Hàm  :   [  , )

được gọi là đa điều hoà dưới trong  nếu:
i)  là nửa liên tục trên trong  và    trên mọi thành phần liên thông của  .
ii) Với mỗi điểm z0   và mỗi đường thẳng phức l ( )  z0  w đi qua z0 (trong
đó w 

n

,   ), hạn chế  trên đường thẳng này, tức là hàm  l ( ) hoặc là
15


điều hoà dưới hoặc đồng nhất bằng  trên mọi thành phần liên thông của tập mở

{  : l ( ) }.
1.8. Hàm lồi chặt
Cho X là không gian vectơ, K  X là tập lồi và hàm f : K  (, ]. Ta
nói f là hàm lồi trên K nếu với mọi x, y  K và   (0,1), ta có:

f ( x  (1   ) y   f ( x)  (1   ) f ( y);
là hàm lồi chặt trên K nếu với mọi x, y  K ( x  y) và   (0,1) ta có:

f ( x  (1   ) y   f ( x)  (1   ) f ( y).

16


CHƯƠNG 2
NHỮNG CẢN TRỞ ĐỐI VỚI SỰ THÁC TRIỂN ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH,
ÁNH XẠ PHÂN HÌNH
2.1. Sự cản trở của đường cong hữu tỉ đối với sự thác triển ánh xạ chỉnh hình
Cố định một đa tạp phức X mà trên X có một metric Hermit với phần ảo đa âm

w . Cho f : Hr  X là ánh xạ chỉnh hình. Kí hiệu V là miền cực đại trong  , chứa
 r , sao cho f thác triển thành HV , r . Cho   V \  là phần biên của V mà nằm
trong . Ta có kết quả sau:
Bổ đề 2.1.1. Nếu X là lồi phức và khơng chứa đường cong hữu tỉ thì độ đo
điều hịa của  bằng khơng.
Chứng minh.
Kí hiệu   i ,  dz  dz là nghịch ảnh f *w của w . Chọn số thực t sao cho

1  r  t  1. Xét hàm sau trên V

 (z1 )  

|z2 |  t

 (z1 , z2 )  i 

 (z1 , z2 ) dz2  d z 2 .

|z2 |  t 22

(2.1)

 (z1 ) là diện tích của ảnh của đĩa {(z1 , z2 ) : | z2 |  t} đếm với số bội. Điều kiện dd c
là âm nghĩa là

 211

z2z 2

 222



z1z 1



 212

z2z 1



 221

z1z 2

0

(2.2)

trên HV , r . Sử dụng (2.2) để tính Laplacian của  :

  211
 212
 221 




|z2 |  t z1z
|z2 |  t  z2 z 2
z2z 1 z1z 2 

11 2
12 2
21 2
 i 2
dz  i  2
dz   2

dz   (z1 ).
2
1
1
|z |  t z
| z |  t z
|z |  t z

 (z1 )  i 

 222

dz2  dz 2  i 
1

Hàm  là trơn trên toàn bộ đĩa đơn vị  . Lấy  là hàm trơn trên  với

   .

17

(2.3)


Vậy thì   (z) là siêu điều hịa trên V . Giả sử tồn tại x  V \  và dãy

{xn}  V hội tụ tới x sao cho (  )( xn ) bị chặn trên. Khi đó  ( xn ) cũng bị chặn
trên. Theo Mệnh đề 1.4.1.1, f thác triển chỉnh hình tới HV U , r với lân cận tùy ý

U  x . Điều này mâu thuẫn với tính cực đại của V .

Do vậy  (z)  (z) tiến đến  khi z tiến gần V \ D. Xét một dãy giảm của
các hàm điều hòa trên  :

un  min{ (z)  (z), n}, n  0.
Giới hạn u của dãy {un} là hàm điều hoà trên . Chú ý rằng u V    , nên

u là không đồng nhất bằng  và u

 \V

 . Do vậy  \ V có độ đo điều hịa

khơng và  \ V  V \    .
Thu hẹp một chút và dùng điều hiển nhiên rằng tập độ đo điều hịa khơng có số
chiều Hausdorff khơng, chúng ta có thể giả sử rằng  là compact trên . Chú ý rằng

 chính xác là tập mà trên đó u  .
Định lý 2.1.2. Nếu X là lồi phức và khơng chứa đường cong hữu tỉ thì

f : Hr  X thác triển chỉnh hình trên 2 \ K , trong đó K     với các tập cực
compact đầy  và  trên .
Chứng minh.
Theo bổ đề trên đã thác triển f tới 2 \ {  r }. Bây giờ ta chỉ cần thay tham
số và áp dụng bổ đề một lần nữa thì ta có định lý.
Chúng ta sẽ dùng kết quả K     là tập compact đa cực đầy có số chiều
Hausdorff không.
Thác triển f trên 2 \ K , khi đó nghịch ảnh  của dạng metric w qua f cũng
thác triển trên 2 \ K .

18

Bổ đề 2.1.3. Cho K là compact trên  2 của dạng    , trong đó  và  là
các tập compact có độ đo điều hịa khơng trên . Cho  là (1,1) - dạng trơn đa âm
trên 2 \ K . Khi đó hệ số của  là khả tổng địa phương trên toàn bộ  2 .
Chứng minh.
Xét hàm  (z1 ) được xác định ở (2.1). Cho  được xác định như trong (2.3).
Khi đó    là siêu điều hịa trên  \  và bị chặn địa phương trên . Do vậy

   thác triển thành một hàm siêu điều hịa trên . Vì    khơng đồng nhất
bằng  nên nó là tổng địa phương trên . Nhưng một cách chính xác là điều đó
khơng có nghĩa rằng 22  L1loc (2 ).
2

Tương tự, 11  L1loc (2 ). Vì  dương nên kéo theo 1122  12  0. Do vậy



12

  11 22 

     
12

11

12

22

.

Điều đó có nghĩa rằng 12  L1loc (2 ).
Do vậy chúng ta có thể xét   f * w là một dòng trên  2 . Chính xác hơn,
chúng ta xét sự thác triển tầm thường  của  . Theo Mệnh đề 2.2.1 ta có:

dd c   i 2dz1  dz 1 i 2dz2  dz 2

(2.4)

Trong đó  là độ đo trên  2 . Tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng điều hiển nhiên
sau:

v  i c4

(dz, dz)
z

2

là nghiệm cơ bản của dd c , tức là dd c v   {0}i 2 dz1  dz 1  i 2 dz2  dz 2 . Trong đó

c4 là thể tích của hình cầu đơn vị trong

4

và (dz, dz)  dz1  dz 1  dz2  dz 2 .

Bổ đề 2.1.4. Nếu dạng metric w là đa đóng, mọi hình cầu B  2 sao cho

B  K  Ø và ảnh f (B) của B là tương ứng với không trong X , thì dd c  0
trên  2 theo nghĩa phân bố.
19


Chứng minh.
Chú ý do tính chất đa đóng của   f * w chúng ta ln có dd c  0 trên

2 \ K .
Cho B là hình cầu trong  2 sao cho B  2 \ K . Khi đó theo giả thiết f (B)
là đồng nhất với khơng. Do đó



B

d c  f * d c w 
B

f ( B )

d cw  0

(2.5)

do tính đa đóng của w. Cho  là độ đo xác định trong (2.4). Đặt B  XB . Vì d c v
là nghiệm cơ bản của d nên ta có

d (d c  d c v *B )  0

(2.6)

trong B. Làm nhẵn bằng tích chập ta có

d (d c   d c v *  B )  0

(2.7)

trong B với   0 đủ nhỏ. Do vậy

(2.8)

d c   d c v *  B  d

Với 2-dạng trơn   trong B phụ thuộc vào ép . Áp dụng (2.5) và (2.8) ta thu được



B

d c v *B  d c   d   d c   d c  0.
B

B

B

B

Do vậy



B

d c v *B  0.

Mà



B

d c v *B B  B (B)   (B).

Chúng ta đã chứng minh rằng mọi hình cầu B trong  2 đều thỏa mãn

B  2 \ K ,  (B  K )  0.
Chúng ta cần định lý hội tụ kiểu Vitali với độ đo tổng quát sau. Giả sử D là một
tập con mở của

n

và  là độ đo hoàn toàn hữu hạn dương trong D. Cho

B là họ

các hình cầu đóng có bán kính dương trên D, sao cho với mọi điểm x của D họ

20

B