Phân Tích Chất Lượng Điều Khiển Bền Vững Cho Các Hệ Tuyến Tính Phụ Thuộc Affine Theo Tham Số Biến Đổi.pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

NGUYỄN NAM MINH

PHÂN TÍCH CHẤT LƯỢNG ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG
CHO CÁC HỆ TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC AFFINE
THEO THAM SỐ BIẾN ĐỔI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
NGÀNH TỰ ĐỘNG HÓA

THÁI NGUYÊN 2020


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng bản luận án này là thành quả nghiên cứu của bản thân
tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Tiến Hưng - Khoa Quốc tế, trường
Đại học Kỹ thuật Công Nghiệp, Đại học Thái Nguyên. Kết quả nghiên cứu
của luận án là trung thực và chưa được công bố trên bất cứ một cơng trình
nào khác.
Thái Ngun, ngày 20 tháng 9 năm 2020
Tác giả

Nguyễn Nam Minh

ii


Lời cảm ơn

iii


Mục lục
1 Bộ điều khiển gain scheduling H∞
1.1 Hệ thống và hệ thống động học tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Tính ổn định của hệ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Khái niệm về tính ổn định của một hệ tuyến tính . . . . . .
1.2.2 Ma trận xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Bất đẳng thức ma trận tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Chuẩn H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Bất đẳng thức Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Bổ đề chặn biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Bổ đề bù Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8 Phép biến đổi tương đẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.9 Quan hệ giữa tính ổn định của hệ và hàm truyền đạt . . .
1.2.10 Quan hệ giữa các đặc tính của tín hiệu trong miền thời
gian và miền tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.11 Quan hệ giữa các đặc tính của hệ thống trong miền thời
gian và miền tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Hệ tuyến tính với các tham số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Hàm tuyến tính và hàm affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Hệ thống điều khiển phản hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Hệ thống điều khiển phụ thuộc tham số biến đổi . . . . . . .
1.3.4 Hệ thống phụ thuộc affine theo tham số . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Biến đổi phân thức tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Thiết kế bộ điều khiển gain scheduling H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Đối với hệ phụ thuộc tham số biến đổi. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Đối với hệ phụ thuộc affine theo tham số . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Phân tích ổn định bền vững của hệ thống phụ thuộc affine
theo tham số biến đổi
2.1 Mơ tả hệ kín với thành phần bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phân tích ổn định bền vững . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Cấu trúc đơn giản hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Rút gọn về kiểm tra trên trục ảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv

5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
9
9
10
10
11
11
11
13
14
15
16
16

22
23
24
25
27
27
28


MỤC LỤC

2.3
2.4

2.2.3 Nguyên lý kiểm tra tính ổn định bền vững. . . . . . . . . . . . . .
Kiểm tra tính ổn định bền vững . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Định lý small gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Giá trị suy biến cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Khảo sát ổn định bền vững của hệ thống điều khiển máy phát
nguồn kép
3.1 Mơ hình tốn học của DFIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Thiết kế bộ điều khiển Gain-scheduling cho mạch vòng dòng
điện rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Cấu trúc của hệ thống điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Tổng hợp bộ điều khiển gain scheduling . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Biểu diễn LFT của DFIM với các thành phần bất định . . . . . . . .
3.3.1 Biểu diễn LFT với thành phần bất định là điện cảm
rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.2 Biểu diễn LFT với thành phần bất định là điện cảm hỗ
cảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Biểu diễn LFT với thành phần bất định là điện cảm
stator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Kết quả mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Các tham số của DFIM

Nguyễn Nam Minh

29
29
29
31
32
33
33
34
36
38
39
40
42
46
51
56
60

v

09/2020


Danh sách hình vẽ
1.1
1.2

Hệ thống điều khiển kín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Biểu diễn LFT trên (a) và dưới (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5

Mơ hình chuẩn cho phân tích ổn định bền vững . . . . . . . . . . . . . . . .
Hệ kín với thành phần bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các thành phần hệ của hệ bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cấu trúc hệ thống điều khiển phản hồi kinh điển . . . . . . . . . . . . . .
Hệ tương tác kín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
25
27
29
31

3.1
3.2

3.3
3.4

Biểu diên LFT của hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cấu trúc của hệ kín trong thiết kế H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q trình q độ của dịng điện và điện áp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các đáp ứng tần số ứng với 10 tốc độ góc ωm thay đổi trong
khoảng ±30% giá trị tốc độ góc đồng bộ ωs . Đầu ra ird , irq theo
ref
giá trị đặt iref
rd (a); đầu ra irq , ird theo giá trị đặt irq (b); sai
lệch điều khiển erd , erq theo giá trị đặt iref
rd (c) và sai lệch điều
ref
khiển erq , erd theo giá trị đặt irq (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các đáp ứng tần số ứng với 10 tốc độ góc ωm thay đổi trong
khoảng ±30% giá trị tốc độ góc đồng bộ ωs . Đầu ra ird , irq theo
ref
giá trị đặt iref
rd (a); đầu ra irq , ird theo giá trị đặt irq (b); sai
lệch điều khiển erd , erq theo giá trị đặt iref
rd (c) và sai lệch điều
ref
khiển erq , erd theo giá trị đặt irq (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các đáp ứng trong miền thời gian ứng với 10 tốc độ góc ωm
thay đổi trong khoảng ±30% giá trị tốc độ góc đồng bộ ωs . Đầu
ra ird , irq theo giá trị đặt iref
rd (a); đầu ra irq , ird theo giá trị đặt
ref
irq (b); sai lệch điều khiển erd , erq theo giá trị đặt iref

rd (c) và
ref
sai lệch điều khiển erq , erd theo giá trị đặt irq (d) . . . . . . . . . . . . . .
Phân tích giá trị suy biến cấu trúc ứng với sự thay đổi của điện
cảm hỗ cảm Lm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phân tích giá trị suy biến cấu trúc ứng với sự thay đổi của điện
cảm hỗ cảm Ls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phân tích giá trị suy biến cấu trúc ứng với sự thay đổi của điện
cảm hỗ cảm Lr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35
36
39

3.5

3.6

3.7
3.8
3.9

vi

52

53

54
55

56
56


Danh mục các từ viết tắt
Ký hiệu

Ý nghĩa

BRL
LFT

Bổ đề chặn biên (Bounded Real Lemma)
Biến đổi tách tuyến tính (Linear Fractional Transformation)
Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear Matrix Inequality)
Hệ có tham số biến đổi tuyến tính (Linear Parameter Varying)
Hệ tuyến tính bất biến (Linear Time-Invariant)

LMI
LPV
LTI

vii


Danh mục các ký hiệu
Ký hiệu Ý nghĩa
conv Tập lồi (convex )
I4 Ma trận đơn vị 4 × 4
Z4 Ma trận zero 4 × 4

R tập hợp các số thực
C tập hợp các số phức
Rm tập hợp các vector thực có m phần tử
Rm×n tập hợp các ma trận thực có m hàng, n cột

viii


Mở đầu
Tính cấp thiết của đề tài
Trong thực tế, một số hệ thống động học có các ma trận trong hệ phương
trình trạng thái phụ thuộc theo các tham số biến đổi theo thời gian. Nếu các
ma trận này phụ thuộc affine theo các tham số đó thì có thể sử dụng các
phương pháp hiệu quả để cấu trúc lại hệ thống theo hướng tạo thành các tổ
hợp tập lồi. Khi các giá trị của các tham số biến đổi có thể đo được trong
thời gian thực thì các giá trị tức thời của chúng có thể được sử dụng khi thiết
kế các bộ điều khiển gain-scheduling từ việc nội suy từ một số bộ điều khiển
tuyến tính dừng được thiết kế tại các đỉnh của tập lồi. Các bộ điều khiển
được thiết kế theo phương pháp này có thể đảm bảo chất lượng điều khiển
của hệ thống kín trong tồn bộ khơng gian biến thiên cho trước của các tham
số biến đổi.
Tuy nhiên, việc đánh giá tính ổn định của hệ thống đối với các tham số
còn lại của hệ thống (các tham số khơng đo được) thì vẫn cịn chưa được chú
ý nhiều. Vì vậy, đề tài này sẽ tập trung theo hướng "Phân tích chất lượng
điều khiển bền vững cho các hệ tuyến tính phụ thuộc affine theo tham số biến
đổi".

Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các hệ tuyến tính phụ thuộc affine theo
tham số biến đổi.

Phạm vi nghiên cứu
• Nghiên cứu lý thuyết điều khiển bền vững trong không gian, kỹ thuật

gain schduling cho các hệ thống có tham số biến đổi tuyến tính, phụ
thuộc affine và có thể đo được trong thời gian thực.

• Phân tích ổn định bền vững của hệ kín sử dụng phép phân tích giá trị

suy biến.

• Áp dụng kết quả nghiên cứu cho một đối tượng cụ thể là máy phát điện

không đồng bộ nguồn kép.

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài
1


DANH SÁCH HÌNH VẼ

• Tiếp tục nghiên cứu và hồn thiện thuật tốn điều khiển cho các hệ thống

có tham số biến đổi tuyến tính.

• Nghiên cứu áp dụng phương pháp đánh giá chất lượng ổn định bền vững

của hệ kín khi các tham số khơng đo được thay đổi giá trị.

• Kiểm nghiệm thuật tốn điều khiển thơng qua tính tốn trên phần mềm

Matlab và mơ phỏng trong mơi trường Simulink.

Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu lý thuyết cơ bản, mơ hình hóa hệ thống, áp dụng các lý

thuyết đã phát triển để thiết kế các bộ điều khiển và đánh giá chất lượng
ổn định của tồn hệ thống.

• Sử dụng các cơng cụ tốn học và phần mềm Matlab để thử nghiệm các

thuật tốn, mơ phỏng hệ thống. Đánh giá, so sánh các kết quả lý thuyết,
kết quả mô phỏng.

Bố cục của luận văn
Luận văn gồm 5 chương. Chương 1 là phần tổng quan về đề tài nghiên
cứu. Chương 2 đề cập việc tổng hợp bộ điều khiển gain-scheduling cho các hệ
tuyến tính phụ thuộc affine theo tham số biến đổi. Chương 3 sẽ dành cho việc
phân tích chất lượng ổn định bền vững của một hệ thống điều khiển tuyến
tính. Chương 4 trình bày về điều khiển bền vững cho một hệ thống máy phát
điện nguồn kép. Chương 5 là một số kết luận và kiến nghị.

Nguyễn Nam Minh

2

09/2020


Tổng quan về đề tài nghiên cứu

Khái quát về các hệ thống có tham số biến đổi tuyến tính
Trong các mơ hình tốn học của các đối tượng điều khiển có các tham số đặc
trưng cho các tính chất vật lý của đối tượng đó. Khi thiết kế các bộ điều khiển
thơng thường thì các tham số này được coi là những hằng số và sự thay đổi
của chúng theo thời gian được bỏ qua. Trong một số trường hợp, khi bộ điều
khiển được tính tốn trực tuyến (online) trong một hệ thống điều khiển số,
thì một số tham số có thể được coi là hằng trong phạm vi một chu kỳ trích
mẫu. Với những giả thiết đó thì mơ hình của đối tượng điều khiển hồn tồn
có thể được coi như một hệ thống tuyến tính bất biến. Sau đó, tính bền vững
của hệ thống kín có thể được kiểm chứng qua các kết quả mô phỏng với một
số các giá trị khác nhau của các tham số đối tượng. Tuy nhiên, các kết quả
mô phỏng này không phải là điều kiện đủ để chắc chắn về tính bền vững của
cả hệ thống trong toàn dải biến thiên của các tham số [11].
Đối với các mơ hình tốn của đối tượng điều khiển phụ thuộc thuộc hữu
tỷ theo các tham số biến thiên theo thời gian (các tham số bất định) thì ta
có thể xây dựng được các biểu diễn phân thức tuyến tính để phân hoạch các
thành phần tuyến tính bất biến và các thành phần bất định của đối tượng. Từ
đó có thể dễ dàng thiết kế các bộ điều khiển bền vững trong không gian H∞
hoặc phân tích ổn định bền vững của hệ thống điều khiển kín. Trong đó, phép
phân tích giá trị suy biến cấu trúc (structured singular value - SSV) có thể
được sử dụng để phân tích ổn định chống lại các bất định tuyến tính khơng
biến thiên theo thời gian. Đối với các bất định tham số tuyến tính biến thiên
theo thời gian thì phép phân tích ổn định có thể được thực hiện dựa trên việc
sử dụng các hàm Lyapunov phụ thuộc tham số nếu hệ thống phụ thuộc affine
theo tham số. Một cách phân tích ổn định bền vững khác, được coi như là một
mở rộng của phương pháp nhân tử kinh điển, là sử dụng phương pháp phân
tích các ràng buộc tồn phương tích hợp (Integral Quadratic Constraints IQC). Phương pháp này cho phép phân tích ổn định bền vững cho các bất
định tham số biến đổi theo thời gian với tốc độ biến đổi bị chặn và cả các bất
định động học. Chi tiết về việc phân tích ổn định bền vững với IQC và một
số kết quả cụ thể được trình bày trong [31].

3


DANH SÁCH HÌNH VẼ

Tình hình nghiên cứu về trên thế giới và trong nước
Các nghiên cứu về các hệ thống có tham số biến đổi tuyến tính (linear
parameter-varying - LPV) bắt nguồn từ phương pháp thiết kế bộ điều khiển
có tham số phụ thuộc vào điểm làm việc của đối tượng (gain scheduling)
[33, 29, 19, 20, 4]. Các thiết kế gain scheduling kinh điển liên quan đến việc
nội suy từ một số bộ điều khiển tuyến tính dừng. Tuy nhiên, các thiết kế theo
hướng này khơng thể đảm bảo tính ổn định và chất lượng điều khiển toàn cục
nếu tham số của hệ thống biến đổi nhanh [27].
Sử dụng định lý small-gain, kỹ thuật thiết kế bộ điều khiển gain-scheduling
mang tính hệ thống đối với các hệ mà cả đối tượng và bộ điều khiển đều phụ
thuộc tham số dưới dạng phân thức tuyến tính (linear fractional form) được
mơ tả hoàn toàn bởi các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (linear matrix
inequalities - LMIs) [17, 2]. Vì vậy, việc tổng hợp bộ điều khiển là dựa trên
các tập lồi (convex set) với các giải thuật tối ưu hóa hiệu quả. Cấu trúc điều
khiển kiểu này được áp dụng khi hệ thống phụ thuộc affine theo tham số và
giá trị của nó có thể đo được trong thời gian thực. Kết quả mô phỏng được
công bố trong [12] cho thấy chất lượng của hệ thống điều khiển có thể được
đảm bảo ngay cả khi tham số của hệ thống biến đổi rất nhanh. Lưu ý là
phương pháp này còn được mở rộng cho các đối tượng phụ thuộc hữu tỷ theo
tham số trong các nghiên cứu [21, 22].

Những vấn đề còn tồn tại và hướng giải quyết
Những vấn đề tồn tại
Tuy nhiên, việc đánh giá tính ổn định của hệ thống đối với các tham số còn

lại của hệ thống (các tham số khơng đo được) thì vẫn cịn chưa được chú ý
nhiều.
Đề xuất hướng giải quyết
Đề tài này sẽ tập trung giải quyết vấn đề trên theo hướng phân tích chất
lượng điều khiển bền vững cho các hệ tuyến tính phụ thuộc affine theo tham
số biến đổi.

Nguyễn Nam Minh

4

09/2020


Chương 1

Bộ điều khiển gain scheduling H∞
1.1

Hệ thống và hệ thống động học tuyến tính

Hệ thống (system) là sự kết hợp của các phần tử với chức năng đơn lẻ tương
tác với nhau để thực hiện một mục tiêu cụ thể nào đó.
Nếu trong một hệ thống mà đầu ra của nó tại một thời điểm chi phụ thuộc
vào đầu vào của hệ tại thời điểm đó thì được gọi là hệ thống tĩnh (static
system). Nếu đầu ra của hệ thống phụ thuộc cả đầu vào trong quá khứ thì
được gọi là hệ động học (dynamic system). Trong một hệ động học, đầu ra
của nó sẽ thay đổi theo thời gian nếu hệ thống không ở trong trạng thái cân
bằng (equilibrium).
Một mơ hình được xây dựng dựa trên việc mơ tả tốn học các thuộc tính

động học của hệ thống và được gọi là mơ hình tốn (mathematical model )
của đối tượng. Các hệ thống vật lý thường được mô tả bởi các mơ hình tốn
với các phương trình vi phân (differential equations).
Xét hệ tuyến tính dừng
x˙ = Ax + Bu
y = Cx + Du

(1.1)

Hàm truyền G(s) của biểu diễn không gian trạng thái (A, B, C, D) được ký
hiệu như sau:


G=

A B
C D

.

Hệ (1.1) (hay A,B ) được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại một ma trận
phản hồi F làm cho A+ BF có tất cả các giá trị riêng nằm bên trái mặt phẳng
phức. Điều này tương đương với ma trận (A − λI B) có hạng đầy đủ về hàng
với mọi λ ∈ C0 ∪ C+ .
5


1.2 Tính ổn định của hệ tuyến tính

Hệ (1.1) (hay A,C ) được gọi là phát hiện được nếu tồn tại một ma trận

L làm cho A + CL có tất cả các giátrị riêngnằm bên trái mặt phẳng phức.
A − λI
có hạng đầy đủ về cột với mọi
Điều này tương đương với ma trận
C

λ∈

C0

∪

C+ .

Để chuyển từ không gian trạng thái sang miền tần số thì cần phải tính
hàm truyền của hệ được định nghĩa như sau
G(s) = C(sI − A)−1 B + D

và là một ma trận có các phần tử bao gồm các hàm thực, hữu tỷ và hợp thức.
Ngược lại, nếu có một ma trận P (s) với các phần tử là các hàm thực, hữu
tỷ và hợp thức cho trước thì ln tồn tại các mà trận Ap , Bp , Cp , Dp mà
P (s) = Cp (sI − Ap )−1 Bp + Dp

Dạng biểu diễn này của ma trận hàm truyền được gọi là dạng biểu diễn
thực.
Dạng biểu diễn thực như trên không phải là duy nhất, ma trận Ap có thể
có nhiều cách biểu diễn thực khác nhau. Dạng biểu diễn trong đó Ap có dạng
cực tiểu được gọi là dạng biểu diễn thực cực tiểu (minimal realization). Điều
này chỉ xảy ra khi (Ap , Bp ) là điều khiển được và Ap , Cp là phát hiện được.

1.2

Tính ổn định của hệ tuyến tính

1.2.1

Khái niệm về tính ổn định của một hệ tuyến tính

Bất kỳ một ma trận nào có các phần tử là các hàm thực hữu tỷ là ổn định
nếu mà trận đó là
• Hợp thức (khơng có các điểm cực ở vơ cùng).
• Chỉ có các điểm cực nằm bên trái mặt phẳng phức.

Với một tập các ma trận ổn định, thực, tỷ lệ và hợp thức có kích thước
m×n . Trong trường hợp kích thước của ma trận đã
m × n được ký hiệu là RH∞
được biết thì có thể khơng cần chỉ rõ, nghĩa là chỉ cần viết đơn giản RH∞ .
Một số tính chất:
• Tích của một số vô hướng với một ma trận ổn định là một ma trận ổn

định.

• Tổng của các ma trận ổn định là ổn định.
• Tích của các ma trận ổn định là ổn định.

Nguyễn Nam Minh

6

09/2020

1.2 Tính ổn định của hệ tuyến tính

Mặt khác, hệ (1.1) cũng như ma trận A được gọi là ổn định nếu ma trận
A có các giá trị riêng nằm bên trái trục ảo. Khi đó, tính ổn định của (1.1) có
thể được viết
λ(A) = C−

Trong đó, λ(A) là tập các giá trị riêng của A, hay còn gọi là phổ của A.
1.2.2

Ma trận xác định dương

Một ma trận vuông M ∈ Rn×n được gọi là xác định dương nếu
với ∀x ∈ Rn

xT Mx > 0

Ma trận xác định dương được ký hiệu là M ≻ 0, ma trận xác định bán
dương là M  0, ma trận xác định âm là M ≺ 0, ma trận xác định bán âm là
M  0.
1.2.3

Bất đẳng thức ma trận tuyến tính

Ký hiệu L2 là một khơng gian các tín hiệu có thể lấy tích phân bình qn
phương xác định trong khoảng [0, ∞). Một ma trận A được gọi là đối xứng
nếu nó thỏa mãn A = AT . Một tập tất cả ma trận đối xứng m × m được ký
hiệu bởi Sm .

Một bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear Matrix Inequality - LMI)
có dạng:
n
X
F (x) = F0 +
xi Fi ≺ 0
(1.2)
i=1

trong đó x = (x1 , ..., xn ) biểu thị một vector các biến quyết định và Fi ∈ Sn ,
i = 0, 1, ..., n. Bất đẳng thức (1.2) là F (x) một ma trận xác định âm, nghĩa là
v T F (x)v ≺ 0 ∀v ∈ Rn , v 6= 0.

(1.3)

Quan sát rằng F là một hàm affine, kéo theo tập x ∈ Rn thỏa mãn (1.2) là
lồi (convex ). Cả bài toán xác định tính khả thi của (1.2) hay tối ưu hóa một
hàm tuyến tính với các ràng buộc trên được gọi là bài tốn LMI có thể được
giải theo các đa thức bằng các phần mềm máy tính [3].
Lưu ý là các chương trình giải LMI đặc trưng cho phép thực hiện một hữu
hạn các LMI
F1 (x) ≺ 0, . . . , Fn (x) ≺ 0

được mô tả bởi các ánh xạ đối xứng giá trị affine F1 (x), . . . , Fn (x).

Nguyễn Nam Minh

7

09/2020

1.2 Tính ổn định của hệ tuyến tính

1.2.4

Chuẩn H∞

Xét một hệ vào-ra tuyến tính được mơ tả bởi
x˙ = Ax + Bw
z = Cx + Dw

(1.4)

và ma trận hàm truyền của nó được cho bởi
G(s) = C(sI − A)−1 B + D.

Nếu A là ổn định và nếu ta chọn điều kiện đầu x(0) là zero thì hệ 1.4 định
nghĩa một ánh xạ tuyến tính w → z trên L2 với năng lượng hữu hạn được
định nghĩa như sau


Gw
sup

2 .
w∈L2 , w6=0
w
2

Chú ý rằng năng lượng của hệ 1.4 cũng chính là chuẩn H∞ của ma trận
hàm truyền tương ứng G cho bởi


G
= sup σ(G(jω))
∞

ω∈R

trong đó σ(G) biểu thị cho giá trị suy biến lớn nhất của ma trận phức G.
1.2.5

Bất đẳng thức Lyapunov

Khi xét ổn định một hệ thống động học người ta có thể sử dụng phát biểu
của bổ đề sau.
Bổ đề 1.1 (Bất đẳng thức Lyapunov):
Hệ x(t)
˙
= Ax(t) là ổn định nếu tồn tại một ma trận P ≻ 0 such that
AT P + P A ≻ 0

(1.5)

Chứng minh. Giả sử tồn tại một ma trận P thỏa mãn AT P + P A ≻ 0.
Định nghĩa hàm Lyapunov V (x) = xT P x. Khi đó V (x) > 0 với mọi x 6= 0
và V (0) = 0. Xét
V˙ (x(t)) = x(t)
˙ T P x(t) + x(t)T P x(t)

˙
= x(t)T AT P x(t) + x(t)T P Ax(t)
= x(t)T (AT P + P A)x(t)

Rõ ràng là V˙ (x(t)) < 0 với mọi x 6= 0. Vì vậy, hệ thống là ổn định toàn
cục [18].

Nguyễn Nam Minh

8

09/2020


1.2 Tính ổn định của hệ tuyến tính

1.2.6

Bổ đề chặn biên

Bồ đề chặn biên (bounded real lemma - BRL) 1.2 cho biết điều kiện cho một
hệ tuyến tính bất biến có chuẩn H∞ của hàm truyền bị chặn [32, 25].
Bổ đề 1.2 (Bổ đề BRL):
Hệ Σ = (A, B, C, D) là ổn định và có hàm truyền là G = C(sI −A)−1 B+D.
Khi đó các phát biểu sau là tương đương


P A + AT P + C T C P B + C T D
1. P ≻ 0,
0

T
T
T
2
D D−γ I

B P +D C

2. Với mọi ω ∈pR, det(jωI − A) 6= 0, G(jω)∗G(jω) ≤ γ 2 I ⇒ σ(G(jω)) =
kG(jω)k2 =

λmax (G(jω)∗G(jω) ≤ γ

3. Chuẩn H∞ của G(jω) hay kGk∞ ≤ γ

kyk

4. Chuẩn L2 của hệ ≤ γ Khi x(0) = 0 ta có sup kukLL2 ≤ γ
u∈L2

2

Chứng minh. Xin xem trong [8].
1.2.7

Bổ đề bù Schur

Bổ đề bù Schur được phát biểu như sau
Bổ đề 1.3 (Bù Schur):
Một ma trận đối xứng M =



M11 M12
M21 M22



là xác định âm khi và chỉ khi

−1
1. M11 ≺ 0 và M22 − M21 M11
M12 ≺ 0
−1
2. M22 ≺ 0 và M11 − M12 M22
M21 ≺ 0

1.2.8

Phép biến đổi tương đẳng

Cho ma trận Hermit (Hermitian matrix) A và ma trận vuông không suy biến
X . Khi đó
A → X ∗ AX

được gọi là phép biến đổi tương đẳng (congruence transformation) của A.
1.2.9

Quan hệ giữa tính ổn định của hệ và hàm truyền đạt

Hệ (1.1) hoặc ma trận A là ổn định thì hàm truyền G(s) là ổn định. Ngược
lại, nếu G(s) là ổn định, (A, B ) là ổn định được và (A, C ) là phát hiện được
thì hệ (1.1) hay A là ổn định.
Nguyễn Nam Minh

9

09/2020


1.2 Tính ổn định của hệ tuyến tính

1.2.10

Quan hệ giữa các đặc tính của tín hiệu trong miền thời gian
và miền tần số

Quan hệ giữa năng lượng của tín hiệu trong miền thời gian và mật độ năng
lượng của nó theo tần số được thể hiện trong định lý 1.1.
Định lý 1.1 (Định lý Parseval):
Giả sử vector tín hiệu f (t) ∈ Rn có biến đổi Fourier là F (jω) thì
Z ∞
Z ∞
kf (t)k2 dt =

0

1
2π

kF (jω)k2dω

(1.6)

−∞

Ví dụ sau sẽ minh họa cho định lý Parseval.
Ví dụ 1.1 ([14]): Xét tín hiệu hội tụ hàm mũ sau
f (t) = e−t ,

∀t ≥ 0

Tín hiệu này có ảnh Fourier là F (jω) =
sẽ là
Z ∞
Z ∞
(e−t )2 dt =

0

Trong khi đó vế phải của (1.1) là
Z ∞
Z ∞
1.2.11

1
kF (jω)k dω =
2π
−∞
2

−∞

Khi đó vế trái của (1.1)

e−2t dt =

0

1
2π

1
jω+1 .

1
2




1
1
1

∞
dω
=
arctan
ω

=


2
ω +1
2π
2
−∞

Quan hệ giữa các đặc tính của hệ thống trong miền thời
gian và miền tần số

Quan hệ giữa năng lượng của tín hiệu trong miền thời gian và mật độ năng
lượng của nó theo tần số được thể hiện trong định lý 1.4.
Bổ đề 1.4 (Bổ đề KYP):
Cho các ma trận A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , M = M T ∈ R(n+m)×(n+m). Giả
sử ma trận A khơng có các giá trị riêng trên trục ảo và (A, B) là điều
khiển được. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
1. Với mọi ω bao gồm cả ∞, ta có biểu thức
∗ 

−1
(jωI − A)
I

Nguyễn Nam Minh

B

M

10

(jωI − A)−1 B
I



≤0

(1.7)

09/2020


1.3 Hệ tuyến tính với các tham số bất định

2. Tồn tại một ma trận đối xứng P = P T ∈ Rn×n thỏa mãn
 T

A P + PA PB
BT P
0

M+

≤0

(1.8)

Nếu cả hai bất đẳng thức trên là chặt thì (a, B) khơng cần phải điều khiển
được.

1.3
1.3.1

Hệ tuyến tính với các tham số bất định
Hàm tuyến tính và hàm affine

Xét hai không gian vector V ∈ Rm và W ∈ Rn và một hàm f : Rm → Rn . Hàm
f được gọi là tuyến tính nếu tồn tại ma trận A ∈ Rm×n thỏa mãn f (v) = Av .
Từ đó ta có định nghĩa sau [5].
Định nghĩa 1.1 (Hàm tuyến tính): Một hàm f : Rm → Rn là tuyến
tính nếu với mọi vector x và y trong Rm thì f (x + y) = f (x) + f (y),
và với mọi vector x trong Rm cùng với một số vơ hướng a ta cũng có
f (ax) = af (x).
Một hàm affine là sự hợp thành của một hàm tuyến tính và hằng số với
định nghĩa như sau [5].
Định nghĩa 1.2 (Hàm affine): Một hàm g : Rm → Rn là affine nếu
tồn tại một hàm tuyến tính f : Rm → Rn và một một vector h trong Rn
mà g(x) = f (x) + h với mọi x trong Rm .
1.3.2

Hệ thống điều khiển phản hồi

Xét một hệ tuyến tính bất biến được mơ tả bời


 
x˙

z 
 1 






A
C
 1


.. 
=
. 
 
zq  
y

..
.

B1
D1

..
.



x
· · · Bq B


· · · D1q E1   w1 


...

Cq Dq1 · · ·
C F1 · · ·

..
.

Dq
Fq


.. 

. 

Eq  
0

.. 
. 


wq 
u

cùng với một bộ điều khiển có phương trình khơng gian trạng thái
 
  
x˙ c
u

Nguyễn Nam Minh

=

Ac Bc
C c Dc

11

xc
y

(1.9)

(1.10)

09/2020


1.3 Hệ tuyến tính với các tham số bất định
w1

z1

w2

z2

wj

zj

P

wp

zp

u

y

K
Hình 1.1: Hệ thống điều khiển kín

Khi đó, phương trình khơng gian trạng thái của hệ thống kín sẽ là
 
  
ξ˙
z

hay







A B
C D

=

ξ˙
z 
 1 

A
C
 1

B1
D1

 ..  =  ..
 .   .

..
.

ξ
w

..   .. 
.  . 

...

Cq Dq1 · · ·

zq





ξ
· · · Bq


· · · D1q   w1 

Dq

Với ánh xạ vào ra là

(1.11)

(1.12)

wq

w=Tz

hay

 
z1



 ..  
.=
zq

trong đó

 
ξ˙
zj

=

T1

...

∗



∗
Tq

A Bj
Cj Dj



 
 w1




ξ
wj

wq



Từ cấu trúc mơ tả trên hình 1.1 ta có thể viết

x˙ = Ax + Bj wj + Bu



hoặt dưới dạng sau

x˙ c = Ac xc + Bc y
y = Cx + Fj wj



u = Cc xc + Dc y

x˙ = Ax + Bj wj + BCc xc + BDc y
= Ax + Bj wj + BCc xc + BDc (Cx + Fj wj )
= Ax + Bj wj + BCc xc + BDc Cx + BDc Fj wj
= (A + BDc C)x + BCc xc + (Bj + BDc Fj )wj
Nguyễn Nam Minh

12

(1.13)

(1.14)

(1.15)

(1.16)

09/2020


1.3 Hệ tuyến tính với các tham số bất định

x˙ c = Ac xc + Bc (Cx + Fj wj )
= Ac xc + Bc Cx + Bc Fj wj

(1.17)

zj = Cj x + Dj wj + Ej u
= Cj x + Dj wj + Ej (Cc xc + Dc y)
= Cj x + Dj wj + Ej Cc xc + Ej Dc y
= Cj x + Dj wj + Ej Cc xc + Ej Dc Cx + Ej Dc Fj wj
= (Cj + Ej Dc C)x + Ej Cc xc + (Dj + Ej Dc Fj )wj

(1.18)

Từ các phương trình (1.15), (1.16), (1.17), và (1.18) ta suy ra




A + BDc C BCc Bj + BDc Fj
A Bj

=
Bc C
Ac
Bc Fj
Cj Dj

(1.19)

Cj + Ej Dc C Ej Cc Dj + Ej Dc Fj

Phương trình (1.19) cũng có thể được viết lại dưới dạng hàm affine của các

tham số bộ điều khiển

 





A 0 Bj
0 B 
A
B
0
I
0
A Bj
c
c
(1.20)
=  0 0 0  + I 0 
Cj Dj

1.3.3

C J 0 Dj

0 Ej

C c Dc

C 0 Fj

Hệ thống điều khiển phụ thuộc tham số biến đổi

Xét một hệ thống phản hồi kín phụ thuộc tham số được mô tả như sau


 

x˙
x
A(δ(t)) Bp (δ(t)) B(δ(t))
 zp  =  Cp (δ(t)) Dp (δ(t)) E(δ(t))   wp 
C(δ(t)) F (δ(t))
0
y
u

(1.21)

˙ ∈ δ˙c với mọi t ≥ 0.
trong đó δ : [0, ∞) → Rm , δ(t) ∈ δc , δ(t)

Để cho ngắn gọn hơn ta có thể viết lại phương trình trên như sau

 


x
A(ζ) Bp (ζ) B(ζ)

x˙
 zp  =  Cp (ζ) Dp (ζ) E(ζ)   wp 
C(ζ) F (ζ)
0
y
u

(1.22)

với ζ ∈ δc .
Sự phụ thuộc của bộ điều khiển theo tham số có thể được biểu diễn như
sau
 

 
xc
Ac (δ(t))xc Bc (δ(t))
x˙ c
(1.23)
=
u

Nguyễn Nam Minh

Cc (δ(t))

Dc (δ(t))

13

y

09/2020


1.3 Hệ tuyến tính với các tham số bất định

Khi đó hệ kín trở thành
  
ξ˙
zp

=

A(δ(t)) B(δ(t))
C(δ(t)) D(δ(t))



ξ
wp



(1.24)

Từ các phương trình (1.19) và (1.20) dẫn đến [24]


A(ζ) B(ζ)

C(ζ) D(ζ)

=





A(ζ) + B(ζ)Dc(ζ)C(ζ) B(ζ)Cc(ζ) Bp (ζ) + B(ζ)Dc(ζ)F (ζ)


Bc (ζ)F (ζ)
Bc (ζ)C(ζ)
Ac (ζ)
Cp (ζ) + E(ζ)Dc (ζ)C(ζ) E(ζ)Cc(ζ) Dp (ζ) + E(ζ)Dc(ζ)F (ζ)

(1.25)

hay





A(ζ) B(ζ)
C(ζ) D(ζ)



=









A(ζ) 0 Bp (ζ)
0 B(ζ) 
A
(ζ)
B
(ζ)
0
I
0
c
c
 0
0
0  + I
0 
Cc (ζ) Dc (ζ)
C(ζ) 0 F (ζ)
0 E(ζ)
Cp (ζ) 0 Dp (ζ)

(1.26)

1.3.4

Hệ thống phụ thuộc affine theo tham số

Nếu một hệ tuyến tính theo x, w và phụ thuộc theo tham số bất định δ =
(δ1 , · · · , δp ) được biểu diễn bằng phương trình trạng thái sau

x˙ = A(δ)x + B(δ)w,
x(0) = x0
∆
S(δ) =
(1.27)
z = C(δ)x + D(δ)w

Vector tham số δ có thể được xác định trước nhưng các thành phần của
nó thuộc tập bất định δ ⊆ Rp . Khi đó δ được gọi là các bất định tham số
dừng. Trong trường hợp vector tham số δ là một hàm biến đổi theo thời gian
δ : R → δ ⊆ Rp với các thành phần δ(t) thuộc tập δ ⊆ Rp , khi đó δ được gọi là
bất định tham số biến đổi theo thời gian.
Nếu các ma trận của hệ (1.27) phụ thuộc affine theo δ thì ta có thể viết





 

Ap Bp
A1 B1

A0 B0
A(δ) B(δ)
∆
+ · · · + δp
(1.28)
+ δ1
=
S(δ) =
C 1 D1

C 0 D0

C(δ) D(δ)

C p Dp

hoặc dưới dạng ngắn gọn
S(δ) = S0 + δ1 S1 + · · · + δp Sp

với
Si =
Nguyễn Nam Minh



Ai Bi
C i Di


14

i = 1, · · · , p.
09/2020