CƠ SỞ LÝ THUYẾT TỔNG HỢP HỆ ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG DỰA TRÊN PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC

Mục lục
Mục lục 1
Mở đầu 3
Chơng 1: Cơ sở lý thuyết tổng hợp hệ điều khiển bền vững dựa trên phơng trình đa
thức 5
1.1. Phơng trình đa thức Diophantine và phơng pháp giải 5
1.1.1. Phơng trình đa thức 5
1.1.2. Phơng trình ma trận đa thức một phía (unilateral) 6
1.1.3. Phơng trình ma trận đa thức hai phía (bilateral) 7
1.2. Tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera 8
1.2.1. Bài toán chuẩn 8
1.2.2. ổn định đối tợng S(s) bằng bộ điều khiển R(s) trong RH 10
1.2.3. Tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera 11
1.3. Bài toán làm trùng mô hình 13
1.3.1. Bài toán làm trùng mô hình (matching problem) 13
1.3.2. Giải bài toán làm trùng mô hình trong những trờng hợp đặc biệt 15
1.3.3. Thuật toán xác định nghiệm bài toán tối u trong trờng hợp T1, T2 và T3 là các
hàm vô hớng 17
1.3.4. Giải bài toán làm trùng mô hình trong trờng hợp T1, T2 và T3 là các ma trận.19
1.4. Tổng hợp bộ điều khiển có chất lợng bền vững 22
1.5. Kết luận chơng 1 22
Chơng 2: Xây dựng th viện các hàm chuyên dụng trên môi trờng Matlab 24
2.1. Thiết kế th viện chuyên dụng Polynomial trên MATLAB 24
2.2. Một số phép toán điển hình đối với ma trận đa thức 26
2.3. Các hàm chuyển đổi dữ liệu 27
2.4. Xây dựng các hàm thực hiện giải phơng trình đa thức Diophantine 29
2.5. Thiết kế mô đun thực hiện tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera 33
2.6. Tổ chức mô đun chuyên dụng tổng hợp bộ điều khiển bền vững theo phơng
pháp phơng trình đa thức 36
2.6.1. Mô đun tổng hợp bộ điều khiển gần tối u (suboptimal) 37
2.6.2. Mô đun tổng hợp bộ điều khiển tối u trung tâm (central optimal) 41

1
2.7. Kết luận chơng 2 43
Chơng 3: Tổng hợp bộ điều khiển bền vững cho một dạng đối tợng bay 44
3.1. Mô hình toán chuyển động dọc của máy bay 44
3.2. Mô hình toán của cơn gió dạng vòng xoáy 46
3.3. Thiết lập bài toán điều khiển 49
3.4. Xây dựng bộ điều khiển gần tối u điều khiển máy bay trong điều kiện có
nhiễu ngoài 52
3.5. Xây dựng bộ điều khiển tối u H2 điều khiển máy bay trong điều kiện có
nhiễu ngoài 53
3.6. Kết luận chơng 3 54
Chơng 4: Mô phỏng khảo sát vòng điều khiển bền vững của đối tợng bay 56
4.1. Xây dựng chơng trình mô phỏng hệ thống điều khiển bền vững máy bay 56
4.2. Mô phỏng khảo sát hệ thống điều khiển bền vững máy bay 58
4.3. Đánh giá kết quả mô phỏng 63
4.4. Kết luận chơng 4 66
Kết luận 68
Tài liệu tham khảo 69
Phụ lục 70
2
Mở đầu
Tính bền vững đối với sự thay đổi tham số và điều kiện làm việc của các hệ
thống điều khiển trong công nghiệp và quốc phòng là một yêu cầu rất cấp thiết.
Trong những năm gần đây, lý thuyết điều khiển bền vững đợc nghiên cứu và phát
triển rất mạnh và là một công cụ mạnh trong phân tích và tổng hợp các hệ thống
tuyến tính và phi tuyến. Nghiên cứu làm chủ công cụ lý thuyết này là nhu cầu cần
thiết để giải quyết các bài toán thực tế khác nhau.
ứng dụng trong điều khiển thiết bị bay là một trong những ứng dụng điển
hình của điều khiển bền vững. Khi vật bay hoạt động ở quỹ đạo có độ cao thấp hoặc
khi hạ cánh, tác động nhiễu loạn của các cơn gió là nguyên nhân chính gây ra tai

nạn. Bởi vậy, cần phải xây dựng các hệ thống điều khiển bay có khả năng phòng
ngừa đợc những tai nạn này. Xuất phát từ thực tế đó, bài toán tổng hợp bộ điều khiển
bền vững máy bay đợc đặt ra. Bài toán này đợc chuyển thể thành bài toán tối u H
2
hoặc H

và tiến hành giải bằng phơng pháp Riccati 2. Chất lợng các bộ điều
khiển bền vững xây dựng theo tiêu chuẩn tối u khác nhau cũng đợc nghiên cứu so
sánh để chọn ra bộ điều khiển thích hợp với điều kiện thực tế [15]. Trong luận văn
này, bài toán điều khiển bền vững đối tợng bay đợc đặt ra và giải bằng phơng pháp
phơng trình đa thức. Luận văn gồm các nội dung sau:
Chơng 1 trình bày một cách khái quát các vấn đề có liên quan đến phơng
trình đa thức, thuật toán tổng hợp bộ điều khiển bền vững H

làm cơ sở cho việc
tổng hợp chúng dựa trên phơng pháp phơng trình đa thức.
Trên cơ sở tổng hợp bộ điều khiển bền vững dựa trên phơng pháp đa thức, sử
dụng các th viện công cụ có sẵn trên MATLAB, chơng 2 của luận văn đã đa ra các
chức năng cần thiết của th viện chuyên dụng Polynomial. Th viện này là công cụ để
phân tích và tổng hợp các bộ điều khiển bền vững theo phơng pháp đa thức. Một số
mô đun chuyên dụng của th viện đợc giới thiệu chi tiết trong chơng này.
Chơng 3 trình bày các nội dung liên quan đến việc thiết lập bài toán điều
khiển bền vững máy bay và biến đổi bài toán điều khiển về dạng chuẩn để có thể áp
dụng đợc mô đun tổng hợp bộ điều khiển tối u H

đã đợc trình bày trong chơng 2
3
trên cơ sở sử dụng phơng pháp đa thức. Phần cuối của chơng cũng trình bày sơ bộ về
thiết lập bài toán tổng hợp bộ điều khiển tối u H
2

làm cơ sở cho việc tổng hợp trong
chơng 4 nhằm đa ra đánh giá hiệu quả của hai dạng bộ điều khiển nói trên.
Bên cạnh việc mô tả cấu trúc chơng trình khảo sát hệ thống điều khiển bền
vững máy bay theo phơng pháp đa thức, chơng 4 tập trung trình bày các kết quả
tổng hợp bộ điều khiển tối u H

và H
2
cho máy bay TU 154 theo một quỹ đạo hạ
cánh cụ thể. Các kết quả mô phỏng cho phép đa ra các đánh giá quan trọng về chất
lợng của hai dạng bộ điều khiển này cũng nh khẳng định tính đúng đắn của thuật
toán tổng hợp bộ điều khiển bền vững dựa trên phơng trình đa thức.
Các nội dung trên đây đã đợc tác giả cố gắng trình bày một cách cẩn thận,
song do thời gian có hạn nên không tránh khỏi những sai sót. Tác giả xin trân thành
cảm ơn và mong nhận đợc ý kiến đóng góp xây dựng của các thầy và các bạn quan
tâm đến lĩnh vực này.
Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến PGS.TSKH Nguyễn Công Định
và TS Lê Đình Thành đã nhiệt tình hớng dẫn trong thời gian thực hiện luận văn. Tác
giả xin chân thành cảm ơn tập thể giáo viên khoa Kỹ thuật điều khiển Học viện
Kỹ thuật quân sự đã truyền đạt nhiều kiến thức quý báu làm cơ sở hoàn thành luận
văn này. Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn tập thể cán bộ nghiên cứu của Trung tâm
Công nghệ mô phỏng Học viện Kỹ thuật quân sự, cảm ơn bạn bè đã quan tâm
giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nội dung luận văn đúng
thời hạn.
Hà Nội, ngày 25 tháng 5 năm 2003
Tác giả
4
Chơng 1: Cơ sở lý thuyết tổng hợp hệ điều khiển bền vững
dựa trên phơng trình đa thức
1.1. Phơng trình đa thức Diophantine và phơng pháp giải

1.1.1. Phơng trình đa thức
Phơng trình đa thức Diophantine tuyến tính có dạng
ax + by = c (1.1)
trong đó x, y là cặp biến; các hệ số a, b, c là các đa thức trên trờng số thực, kí hiệu
miền các đa thức này là R[d].
Phơng trình (1.1) có nghiệm khi và chỉ khi (a, b)|c.
Giả sử x
0
, y
0
là một nghiệm riêng của (1.1), sử dụng các quan hệ:
(a,b) = g, a = ga
0
, b = gb
0
, c = gc
0
(1.2)
cùng với điều kiện tồn tại nghiệm thì nghiệm tổng quát của (1.1) là:



+=
=
tayy
tbxx
00
00
(1.3)
với đa thức bất kỳ t

R[d].
Để giải phơng trình (1.1), ta sử dụng thuật toán tìm ớc số chung lớn nhất g
của a và b (xem mục 2.2)
g := (a,b)
cùng với hai cặp đa thức nguyên tố cùng nhau p, q và r, s thoả mãn quan hệ
ap + bq = g
ar +bs = 0
Khi đó, nghiệm tổng quát của (1.1) có dạng:



+=
=
stqcy
rtpcx
0
0
(1.4)
Trong vô số cặp nghiệm (1.4), ta cần tìm một cặp nghiệm có ý nghĩa quan
trọng nhất trong bài toán điều khiển, gọi đó là cặp nghiệm có bậc cực tiểu. Chia x
0
cho b
0
:
x
0
= b
0
u + v, (bậc của v nhỏ hơn bậc của b

0
)
Khi đó ta có: x = v b
0
(t-u). Chọn t = u, nghiệm bậc cực tiểu của (1.1) là:
5



+=
=
uayy
vx
00
(1.5)
1.1.2. Phơng trình ma trận đa thức một phía (unilateral)
Phơng trình ma trận đa thức Diophantine một phía có dạng:
AX + BY = C (1.7)
trong đó A

R
lp
[d], B

R
lq
[d], C

R
lm

[d] là các ma trận đa thức có kích thớc tơng
ứng là (l x p), (l x q), và (l x m); hoặc
XA + YB = C (1.8)
trong đó A

R
pm
[d], B

R
qm
[d], C

R
lm
[d]
Phơng trình (1.7) có nghiệm khi và chỉ khi ớc số chung lớn nhất bên trái G
1
của A và B là ớc số bên trái của C.
Sử dụng các quan hệ: A = G
1
A
0
, B = G
1
B
0
, C = G
1
C

1
. Nghiệm tổng quát của
(1.7) là:



+=
=
TAYY
TBXX
10
10
(1.9)
trong đó: X
0
, Y
0
là nghiệm riêng của (1.7),
B
1


R
p,p+q-n
[d], A
1


R
q,p+q-n

[d] là các ma trận nguyên tố cùng nhau
bên trái thoả mãn AB
1
= BA
1
T

R
p+q-n,m
[d] là ma trận đa thức bất kỳ
n = rank[A B].
Sử dụng thuật toán tìm ớc số chung lớn nhất bên trái G
1
của ma trận A và B
cùng với hai cặp ma trận đa thức nguyên tố cùng nhau bên phải P
1
, Q
1
và R
1
, S
1
thoả
mãn quan hệ
AP
1
+ BQ
1
= G
1

AR
1
+ BS
1
= 0
Khi đó, nghiệm tổng quát của (1.7) có dạng:



+=
=
TSCQY
TRCPX
111
111
(1.10)
Nếu B
1
là hợp thức thì chia X
0
cho B
1
ta có X
0
= B
1
U
1
+ V
1

. Khi đó, cặp
nghiệm có bậc cực tiểu là:
6



+=
=
110
1
UAYY
VX
(1.11)
Thuật toán giải phơng trình (1.8) hoàn toàn tơng tự nh thuật toán giải phơng
trình (1.7) trên đây. Nghiệm tổng quát của (1.8) có dạng:



+=
=
222
222
TSQCY
TRPCX
(1.12)
Nếu B
2
là hợp thức thì cặp nghiệm có bậc cực tiểu của (1.8) là:

+=
=
220
2
AUYY
VX
(1.13)
Trong (1.12) và (1.13), G
2
là ớc số chung lớn nhất bên phải của A và B; P
2
,
Q
2
,và R
2
, S
2
là hai cặp ma trận đa thức nguyên tố cùng nhau bên trái; C = C
2
G
2
.
1.1.3. Phơng trình ma trận đa thức hai phía (bilateral)
Phơng trình ma trận đa thức hai phía có dạng:
AX + YB = C (1.14)
trong đó A

R

lp
[d], B

R
qm
[d], C

R
lm
[d] là các ma trận đa thức. Phơng trình (1.14)
có nghiệm khi và chỉ khi:






B
A
0
0
,






B
CA

0
là tơng đơng (xem chứng minh trong [14]).
Đặt S
A
= U
1A
AU
2A
và S
B
= U
1B
BU
2B
là dạng Smith của A và B. Nghiệm X, Y
của (1.14) đợc tìm trong hai phơng trình sau:
1
112
1
2
,

==
BABA
YUUYXUUX
(1.15)
trong đó các phần tử
ij
x
của

X
,
ij
y
của
Y
thoả mãn hệ phơng trình











+=+==
=+==
+===
===+
msjlric
sjlricby
msjricxa
sjricbyxa
ij
ij
j
ij

ijij
i
ij
j
ij
ij
i
, ,1;, ,1,0
, ,2,1;, ,1,
, ,1;, ,2,1,
, ,2,1;, ,2,1,
(1.16)
với
ij
c
là các phần tử của ma trận
BA
CUUC
21
=
7
1.2. Tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera
1.2.1. Bài toán chuẩn
Mục đích của việc thiết lập bài toán chuẩn là tổng quát hoá đợc các dạng của
bài toán tổng hợp điều khiển bền vững khác nhau có thể có, chẳng hạn nh bài toán
tổng hợp tối u dựa trên nguyên tắc cân bằng mô hình (matching), bài toán tuỳ động
(tracking), bài toán ổn định bền vững, và bài toán chất lợng bền vững.
Đối tợng điều khiển đợc khảo sát trong bài toán chuẩn là đối tợng nhiều đầu
vào/ra (MIMO) (hình 1.1a). Trên hình vẽ, w là vec-tơ tín hiệu vào dạng nhiễu loạn,
u là vec-tơ tín hiệu điều khiển, z là vec-tơ tín hiệu ra không đo đợc hoặc không kiểm

soát đợc, y là vec-tơ tín hiệu ra đo lờng đợc.
Giả sử đối tợng đợc mô tả gần đúng bằng mô hình tuyến tính












=






=






U
W

SS
SS
U
W
S
Y
Z
2221
1211
(1.17)
trong đó S
11
, S
12
, S
21
, S
22
là các ma trận hợp thức. Đối tợng đợc điều khiển bằng khâu
phản hồi đầu ra R(s) cũng đợc giả thiết là hợp thức. Tại điểm phản hồi, ta giả thiết
có nhiễu n(t) tác động, chẳng hạn nh nhiễu của các sensor đo tín hiệu (hình 1.1b).
Tín hiệu điều khiển vào đối tợng sẽ là sai lệch e(t). Hệ kín khi đó đợc mô tả bởi hệ
phơng trình sau:
S
R
Đối tợng
điều khiển
w
u
z

y
w
u
z
y
n
e
x
Hình 1.1: Đối tợng tổng quát (a)
và mô hình điều khiển đối tợng tổng quát (b)
(a) (b)
8







+=
+=
+=
+=
RXUE
NYX
ESWSY
ESWSZ
2221
1211
=>

+=+
=
=
NWSXES
URXE
WSESZ
2122
1112
=>

=























N
U

W
IS
I
S
X
E
Z
IS
RI
SI
0
00
00
0
0
0
21
11
22
12
=>

=

=











N
U
W
sG
N
U
W
IS
I
S
IS
RI
SI

X
E
Z
)(
0
00
00
0
0
0
21
11
1
22
12
(1.18)
trong đó
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

+
++
=



1
2222
1
2221
1
22
1
2222
1
2221
1
22
1
221222
1
22121221
1
221211
)(
RSISRSISRSI
RSIRSRSIRISRSIR
RSIRSSRSIRSSSRSIRSS
sG

Các ma trận hàm truyền đạt từ w, u, n tới z, e, x lần lợt là các phần tử của
G(s). Ma trận hàm truyền đạt từ w tới z là:
( )
21
1
221211
)( SRSIRSSsG
zw


+=
(1.19)
Trong bài toán chuẩn, ta chỉ giới hạn xét ma trận G(s) là hợp thức, điều kiện
này đợc thoả mãn nếu S
22
(s) là ma trận hợp thức chặt.
Nhiệm vụ của bài toán chuẩn là phải xác định ma trận hợp thức R(s) để điều
khiển đối tợng có mô hình hợp thức S(s), trong đó S
22
(s) còn là hợp thức chặt, sao
cho:
+ R(s) ổn định đối tợng S(s), hay mọi phần tử của các ma trận hàm truyền từ
w, u, n tới z, e, x thuộc RH

(bài toán ổn định)
+ ảnh hởng của vec-tơ tín hiệu vào ngoại sinh w(t) tới những tín hiệu ra
không kiểm soát đợc z(t) theo quan điểm năng lợng là nhỏ nhất (bài toán chất lợng).
Điều này tơng đơng với
min

zw
G
(1.20)
9
1.2.2. ổn định đối tợng S(s) bằng bộ điều khiển R(s) trong RH

Giả thiết S(s) ổn định đợc và
~
1
~
1
NMNMS


==
(1.21)
~
1
~
1
PTPTR


==
(1.22)
trong đó N, M; P, T là những cặp ma trận nguyên tố cùng nhau bên phải và
~~~~
,;, TPMN
là những cặp ma trận nguyên tố cùng nhau bên trái. Cùng với (1.21) và
(1.22), ta suy ra hình 1.2 và đi đến định lý sau:

Định lý về ổn định đối tợng S(s) bằng bộ điều khiển R(s) [4]:
Những phát biểu sau là tơng đơng:
a. S(s) đợc ổn định nhờ bộ điều khiển R(s)
b. Tất cả 9 ma trận truyền đạt từ w, u, n tới z, e, x (hình 1.2a) thuộc RH

c. Tất cả 6 ma trận truyền đạt từ w, u, n tới v
1
, v
2
(hình 1.2b) thuộc RH

d.
( )

RH
TNI
P
I
M
1
0
0
e.
( )

RH
TIP
I
NM
1
~~
~~
0
0
M
-1
w
u
z
y
n
e
x
Hình 1.2: ổn định đối tợng S(s) bằng bộ điều khiển R(s)
S
R
w
u
z
y

n
e
x
T
-1
N
v
1
P
v
2
(a) (b)
10
Nhìn lại hình 1.2a và công thức (1.18) về ma trận truyền đạt G(s) của hệ kín
ta có nhận xét một cách trực quan rằng để ổn định S(s) trớc tiên R(s) cần phải ổn
định ma trận phần tử S
22
(s), và ngợc lại S(s) chỉ có thể ổn định đợc nếu nh các điểm
cực của nó cũng là điểm cực của S
22
(s). Với nhận xét nh vậy ta có hệ quả của định lý
trên nh sau:
Hệ quả của định lý ổn định đối tợng bằng R(s):
Giả sử
~
1
~
1
22
FGFGS

==
~
1
~
1
PTPTR


==
trong đó F, G; P, T là những cặp ma trận nguyên tố cùng nhau bên phải và
~~~~
,;, TPGF

là những cặp ma trận nguyên tố cùng nhau bên trái. Những phát biểu sau là tơng đ-
ơng:
a. R(s) ổn định đợc đối tợng S(s)
b. R(s) ổn định đợc S
22
(s)
c.

RH
TF
PG
1
d.













RH
GF
PT
1
~~
~~
Định lý về ổn định đối tợng S(s) bằng R(s) và hệ quả của nó là cơ sở cho việc
tổng hợp bộ điều khiển bền vững.
1.2.3. Tham số hoá bộ điều khiển Youla - Kucera
Youla - Kucera đa ra công thức mô tả tổng quát cho tất cả các bộ điều khiển
R(s) có tác dụng làm ổn định đối tợng S(s).

Giả sử mô hình S(s) của đối tợng tuyến tính có dạng thực hữu tỷ, hợp thức,
có tính ổn định đợc. Phân tích S
22
thành tích các ma trận nguyên tố cùng nhau trong
RH

sẽ đợc (xem thêm mục 2.4):
~
1
~
1
22
FGFGS


==
11
I
LF
KG
GF
KL
=

~
~
~~
(1.23)
trong đó: K, L và

RHLK
~~
,
Từ (1.23) ta có:
I
I
QI
LF
KG
GF
KL
I
QI
=

00
~

~
~~
với Q là một ma trận tuỳ ý thuộc RH

. Suy ra
I
FQLF
GQKG
GF
GQKFQL
=

+
~
~
~~
~~
(1.24a)
=>













=

FQLGQKGQKFQL
~~~~
(1.24b)
Đặt
FQLTGQKP ==
~~
;
~~~~
; FQLTGQKP ==
Ta thấy

RHTPTP
~~
,,,
Mặt khác, từ (1.24a) ta có
I
TF
PG
GF
PT
=

~~
~~
(1.25)
và từ (1.24b) ta đợc
TPPT
~~
=
(1.26)
Công thức (1.25) nói rằng P, T nguyên tố cùng nhau bên phải;
~~
,TP
nguyên
tố cùng nhau bên trái. Do đó, nếu chọn Q sao cho T hoặc
~
T
không suy biến thì do
ma trận

TF
PG
không suy biến, nên có
12













=






RH
GF

PT
TF
PG
~~
~~
1
Bởi vậy, theo hệ quả của định lý về ổn định đối tợng, S(s) đợc ổn định bằng bộ điều
khiển:
1
~~
1
)(















== FQLGQKPTsR
(1.27)
Ngoài ra, từ (1.26) còn có

==


~
1
~~
1
~
)( GQKFQLPTsR
(1.28)
Hai công thức (1.27) và (1.28) là nội dung tham số hoá bộ điều khiển theo
định lý Youla - Kucera. Hơn nữa, ta còn có thể chỉ ra rằng mọi bộ điều khiển R(s)
làm ổn định đối tợng S(s) đều đợc mô tả dới dạng (1.27) và (1.28) [4, 5].
1.3. Bài toán làm trùng mô hình
1.3.1. Bài toán làm trùng mô hình (matching problem)
Xét đối tợng tuyến tính có mô hình
S(s) =

2221
1211
SS
SS
thực hữu tỷ, hợp thức, ổn định đợc và phần tử S
22
của S(s) là hợp thức chặt. Phân
tích S
22
thành tích các ma trận nguyên tố cùng nhau trong RH

sẽ có
~
1
~
1
22
FGFGS


==
I

LF
KG
GF
KL
=
















~
~
~~
Giả sử đối tợng đã đợc ổn định nhờ bộ điều khiển
1
~~
1
)(

== FQLGQKPTsR
Xuất phát từ
IKFLG =
~~~~
ta có:
13
~~~~~
1
~
GKFLGGI

=


~~
22
~
GFQKSFQL






+=

~~
22
~~
GGQKSGFQL






+

=

~~
1
~~
22
GFQLFQLGQKSI

+=


( )
~~
22
GFQLRSI






=
=>
( )
~~~~
1
22
GGQKGFQLRRSIR

=






=

(1.29)
Thay (1.29) vào công thức (1.19) của ma trận hàm truyền đạt G
w->z
(s) từ tín
hiệu ngoại sinh w tới tín hiệu ra z, ta có:
21
~~
1211
)( SGGQKSSsG
zw






+=

21
~
1221
~~
1211
SGGQSSGKSS






+=
Do đó, nếu đặt:
21
~~
12111
SGKSST +=
GST
122
=
21
~
3
SGT =
sẽ đợc

RHTTT
321

,,
và
321
)( QTTTsG
zw
=

(1.30)
Nh vậy, yêu cầu chất lợng điều khiển (1.20) trong bài toán chuẩn trở thành
bài toán làm trùng mô hình (hình 1.3): Tìm ma trận

RHQ
sao cho
min
321


QTTT
(1.31)
14
Gọi


=

321
inf QTTT
RHQ

, bài toán (1.31) có lời giải khi tồn tại

RHQ
min

sao cho

=

3min21
TQTT
(1.32)
Bài toán tối u (1.32) có nghiệm

RHQ
min
nếu hạng của hai ma trận T
2
(j)
và T
3
(j) là hằng số với mọi 0 < [5].
Trong trờng hợp bài toán (1.31) không có nghiệm, ta có thể tìm

RHQ
min

thoả mãn

=

3min21
TQTT
(1.33)
trong đó > . Sau đó, tuỳ từng ứng dụng cụ thể mà áp dụng tiếp thuật toán lặp để
giảm giá trị .
Mục đích làm giảm đến mức tối thiểu sự ảnh hởng của nhiễu trong bài toán
điều khiển bền vững đã đợc chuyển thành dạng bài toán điều khiển tối u chuẩn H

.
Bởi vậy, ngời ta còn gọi đó là bài toán điều khiển tối u H

.
1.3.2. Giải bài toán làm trùng mô hình trong những trờng hợp đặc biệt
Trớc khi tìm lời giải cho bài toán (1.32) hoặc (1.33) một cách tổng quát, ta
xét những trờng hợp riêng đơn giản sau:
Trờng hợp 1: T
2
và T
3
không suy biến và có giá trị nghịch đảo thuộc RH

Khi có


RHTT
1
3
1
2
,

thì từ (1.32) ta có


== RHTTTQTQTT
1
31
1
2min3min21
(1.34)
w
z
-
Hình 1.3: Bài toán điều khiển theo nguyên tắc làm trùng mô hình
S
R
w
u
z
y
nx
(a) (b)
QT
2
T
3
T
1
15
Trờng hợp 2: T
1

, T
2
và T
3
là những hàm phức thuộc RH

(ma trận 1 hàng, 1
cột) và phơng trình T
2
(s)T
3
(s) = 0 chỉ có một nghiệm s
0
nằm bên phải trục ảo, tức là
Re(s
0
)>0.
Do T
1
, T
2
và T
3
là hàm phức nên T
2
QT
3
= T
2
T

3
Q. Bởi vậy tích T
2
T
3
có thể thay
thế bằng T = T
2
T
3
và T(s) = 0 cũng chỉ có một nghiệm s
0
nằm bên phải trục ảo. Suy
ra:
)(sup
011
0)Re(
1321
sTTQTTQTQTTT
s
==
>

Nếu chọn
)(
)()(
011
sT
sTsT
Q

=
(1.35)
sẽ đợc
)(
01321
sTQTTT =

và

RHQ
. Do đó Q xác định theo (1.35) là nghiệm
tối u Q
min
Trờng hợp 3: T
1
, T
2
và T
3
là những hàm phức thuộc RH

(ma trận 1 hàng, 1
cột), tích T
2
T
3
là hợp thức chặt. Ngoài ra phơng trình T
2
(s)T

3
(s) = 0 không có
nghiệm hữu hạn nào nằm bên phải trục ảo.
Nh đã làm ở trờng hợp 2, tích T
2
T
3
đợc thay thế bằng T = T
2
T
3
và theo giả
thiết đã cho thì
0)(lim =

sT
s
. Hơn nữa, theo giả thiết T(s) = 0 không có nghiệm hữu
hạn nào nằm bên phải trục ảo. Vậy phải có
)(sup
11
0)Re(
1321
==
>

TTQTTQTQTTT
s
Nếu chọn
)(

)()(
11
sT
TsT
Q

=
(1.36)
sẽ đợc
)(
1321
=

TQTTT
và

RHQ
. Do đó Q xác định theo (1.36) là nghiệm
tối u Q
min
16
1.3.3. Thuật toán xác định nghiệm bài toán tối u trong trờng hợp T
1
, T
2
và T
3
là
các hàm vô hớng.
Để thoả mãn điều kiện tồn tại nghiệm Q

min
của bài toán tối u (1.32), ta giả
thiết rằng T(j) = T
2
(j)T
3
(j) 0 với mọi 0 < . Đồng thời, để tránh gặp trờng
hợp giản đơn đã xét trên đây, ta giả thiết thêm rằng


RHT
1
2
.
Phân tích T thành tích của một hàm trong và một hàm ngoài T = T
T
T
N
(xem
phụ lục 3). Với

RHQ
ta có:

== TQTQTTTQTTT
1321321

( )

== QTTTTQTTT
NTTNT 1
1
1
Theo tính chất của hàm trong, ta có
1)( =

jT
T
. Suy ra




== UGQTTTQTTT
NT 1
1
321
(1.37)
trong đó


== RHsTsTTTG
TT
)()(:
1
1
(1.38)

= RHQTU
N
:
(1.39)
=>
{ }


= RHUUG :inf

(1.40a)

( )

= RHGdist ,
(1.40b)
Giá trị trong (1.40) đợc tính theo định lý Nehari [4, 5]. Hàm

RHU
thoả
mãn

= UG

đợc gọi là tối u, thông qua (1.39) ta xác định đợc Q
min
.
Xác định U
min

:
Phân tích G thành tổng của hai thành phần G = G
1
+ G
2
, trong đó

RHG
1

và G
2
hợp thức chặt, có các điểm cực nằm bên trái trục ảo. Sau đó xác định các ma
trận A, B, C của
Cxy
BuAxx
=
+=

sao cho ma trận truyền đạt của đối tợng đó chính là G
2
, tức là:
( )
BAsICG
1
2

=
(1.41)
Dạng công thức (1.41) đợc ký hiệu G

2
:= [A, B, C, 0].
Thay A, B, C vào hệ phơng trình Lyapunov
17





=+
=+
CCALLA
BBALAL
TT
TT
22
11
(1.42)
Giải hệ (1.42) sẽ đợc L
1
và L
2
. Nh vậy,
2
sẽ chính là giá trị riêng lớn nhất
của tích L
1
L
2
.

{ }
)(max
21
2
LL

=
Gọi vec-tơ riêng bên phải của L
1
L
2
ứng với
2
là w thì
( )
wwLL
2
21

=
(1.43)
Đặt
wLv
2
1
:

=
(1.44)
ta có:

wvL

=
1
và
vwL

=
2
(1.45)
Tính các hàm thực hữu tỷ:
[ ]
0,,,)( CwAsF =
(1.46)
[ ]
0,,,)(
TT
BvAsK =
(1.47)
Do các giá trị riêng của A đều có phần thực âm, nên


2
RHF
và
2
RHK
.
Nghiệm U
min

của

=
min
UG

là (xem chứng minh trong [4]):
)()()()(
1
min
sKsFsGsU

=

(1.48)
Thuật toán tìm và Q
min
:
Kết hợp các kết quả thu đợc ở trên, ta có thuật toán xác định và Q
min
nh sau:
Bớc 1: Tìm hàm trong T
T
(s) và hàm ngoài T
N
(s) của T(s) = T
T
(s)T
N
(s). Sau đó,

xác định G(s) theo (1.38). Phân tích G thành tổng G = G
1
+ G
2
, trong đó

RHG
1
và G
2
hợp thức chặt, có các điểm cực nằm bên trái trục ảo.
Bớc 2: Xác định các ma trận A, B, C của
Cxy
BuAxx
=
+=

sao cho ma trận truyền đạt của đối tợng đó chính là G
2
, tức là:
( )
BAsICG
1
2

=
Bớc 3: Giải hệ phơng trình Lyapunov
18

=+
=+
CCALLA
BBALAL
TT
TT
22
11
để tìm hai ma trận L
1
và L
2
. Xác định là căn bậc hai giá trị riêng lớn nhất
của tích L
1
L
2
cùng vec-tơ riêng bên phải w ứng với giá trị riêng đó.
Bớc 4: Tính v, F(s) và K(s) theo (1.44), (1.46) và (1.47). Thay F, K, , G vào
(1.48) để có U
min
.
Bớc 5: Tính Q
min
từ U
min
theo (1.39):

min
1
min
UTQ
N

=
1.3.4. Giải bài toán làm trùng mô hình trong trờng hợp T
1
, T
2
và T
3
là các ma
trận.
Trong trờng hợp T
1
, T
2
và T
3
là các ma trận, bài toán (1.32) sẽ trở nên rất phức
tạp. ở đây, ta xem (1.32) nh một trờng hợp riêng của bài toán gần tối u
(supoptimal). Bài toán gần tối u đợc hình thành trên cơ sở (1.32) không có nghiệm
tối u Q
min
.
Tuy không tồn tại Q
min
song với một giá trị > nào đó thoả mãn điều kiện

sai số cho phép thì



321
QTTT
(1.49)
lại luôn có nghiệm Q trong RH

. Mặc dù nghiệm của (1.49) không phải là nghiệm
tối u, nhng lại là một nghiệm chấp nhận đợc trong miền sai số cho phép, đủ thoả
mãn các yêu cầu của bài toán tổng hợp bền vững đặt ra, nên nó vẫn đợc xem nh là
lời giải của bài toán tổng quát. Từ đó ta hình dung các bớc tìm nghiệm suboptimal
nh sau:
- xác định
- tìm

RHQ
thoả mãn (1.49)
Thuật toán xác định và nghiệm suboptimal Q
sub
Bớc tìm thứ nhất đặt ra là xác định một giá trị thực dơng sao cho hiệu

<
(1.50a)
có càng nhỏ càng tốt, trong đó


=

321
inf QTTT
RHQ

(1.50b)
19
Để đơn giản, trớc hết ta xét trờng hợp T
3
= I, bài toán (1.49) trở thành



TQT
1
(1.51)
trong đó T
2
= T. Để (1.51) có nghiệm Q thì theo điều kiện tồn tại nghiệm phải có
hạng của T(i) là hằng số với mọi 0 < . Bởi vậy T phân tích đợc thành tích T
= T
T
T
N
, với T
T
là ma trận trong và T
N
là ma trận ngoài.
Ta định nghĩa
VVIP

T
=
2

(1.52a)
trong đó là một số tuỳ ý, và
( )
1
TTTIV
T
TT
=
(1.52b)
Gọi P
P
là thừa số phổ của P, nghĩa là P
P
thoả mãn phơng trình phân tích thừa
số phổ (xem thêm trong mục 2.2):
PP
JPPP
*
=
Đặt
1
1

=
P
T

T
PTTG

(1.52c)
sẽ thấy G

phụ thuộc vào , do
1
P
P
xác định từ . Giá trị trong (1.50b) là giá trị
nhỏ nhất thoả mãn

> V

(1.53a)
1inf ==






G
RHU
UG
(1.53b)
Nh vậy, giá trị phải đợc chọn sao cho cả hai điều kiện (1.53a) và (1.53b)
đồng thời đợc thoả mãn. Hơn nữa, để có

<
với càng nhỏ càng tốt thì phải lớn. Bởi vậy, điều kiện (1.53b) còn là điều kiện lặp
cho việc xác định . Từ đó thuật toán tìm sẽ gồm các bớc sau:
1. Xác định V từ T theo (1.52b). Tính

V
và xem đó là giá trị chặn dới để
chọn .
2. Tính

1
T
và xem đó là giá trị chặn trên của . Gán

=
10
T

.
3. Thực hiện các bớc sau với k = 1,2,
a. Chọn
1

<<
kk
V

. Tốt nhất là chọn
( )

+= V
kk 1
2
1

20
b. Tính G

từ
k
theo (1.52c), và tính . Gán k := k+1. Nếu > 1 thì
chuyển sang bớc (c), trong trờng hợp ngợc lại thì quay về bớc (a)
c. Dừng thuật toán với kết quả =
k-1
Thuật toán tìm nghiệm suboptimal Q
sub
:
Tơng tự nh đã làm ở mục 1.3.3 và với giả thiết T
3
= I có

== QTTTTQTQTT
NT1121

( )

== QTTTQTTTT
N
T

TN
T
TT 11

( )


=
PPNP
T
T
PQPTPTT
11
1

( )

=
P
PUG

(1.54)
trong đó:


= RHQPTU
PN
1
:
(1.55)

Ngoài ra



P
P
, vì > , bởi vậy nếu chọn đợc

RHU
sao cho
1

UG

(1.56)
thì từ (1.54) sẽ đợc



QTT
21
và đó chính là nghiệm suboptimal của bài toán (1.51). Ta đi đến thuật toán:
1. Tìm
2. Tính G

theo (1.52c)
3. Tìm

RHU
để có (1.56)

4. Xác định Q từ U nhờ (1.55)
Trong trờng hợp tổng quát T
3
I, sử dụng thuật toán trên với các định nghĩa
sau đây:
NT
TTT =
2
( )
1
TTTIV
T
TT
=
VVP
T
=
2

CTCN
YYPT =
1
3
: Phân tích T
3
P
-1
thành tích hai ma trận đồng trong Y
CT
(co-inner), đồng ngoài Y

CN
(co-outer) (xem thêm phụ lục 3).
21
( )
CT
T
CT
T
T
YYIPTTZ =
1
1
T
CN
ZZIZ =
T
CT
T
TCN
YPTTZG
1
1
1
=

CNNCN
QYTZU
1
=
1.4. Tổng hợp bộ điều khiển có chất lợng bền vững

Khái niệm về chất lợng đợc hiểu là bộ điều khiển R(s) có khả năng làm cho
toàn bộ hệ thống ít hoặc không bị ảnh hởng bởi nhiễu (sensivity reduction problem).
Cho dù nhiễu tác động rất nhỏ hoặc đã đợc lọc để có thể đủ nhỏ mà ta có thể
bỏ qua đợc, song khi đã có nhiễu thì không thể nói đợc rằng bộ điều khiển đạt đợc
100% chỉ tiêu chất lợng đề ra. Có thể nhìn thấy ở bài toán tổng hợp bộ điều khiển tối
u làm ví dụ. Khi đã có tác động của nhiễu thì chắc chắn phiếm hàm mục tiêu Q mô
tả chỉ tiêu chất lợng không còn nhận giá trị nhỏ nhất nữa và do đó bộ điều khiển
tổng hợp đợc không còn tối u nh đã định nghĩa. Vì vậy, nhiệm vụ đặt ra là bộ điều
khiển tổng hợp đợc không những làm cho hệ thống có đợc chỉ tiêu chất lợng nh
mong muốn mà còn phải có khả năng làm cho chất lợng đó của hệ thống không bị
ảnh hởng bởi nhiễu. Mục đích cần giảm thiểu sự ảnh hởng của nhiễu trong bài toán
bền vững đã đa nó thành dạng bài toán điều khiển tối u.
Bài toán điều khiển tối u chọn khâu phản hồi R(s) sao cho độ nhạy của hệ kín
với nhiễu w(t) là nhỏ nhất đã đợc xét trong mục 1.3. Kết hợp với bài toán tham số
hoá bộ điều khiển theo Youla - Kucera, ta có thủ tục tổng hợp bộ điều khiển có chất
lợng bền vững nh sau:
1. Giải bài toán tối u (1.31) để tìm Q
min
. Điều kiện để cho hệ kín ổn định
bền vững trong trờng hợp không có sai lệch mô hình hoặc mô hình đối t-
ợng có sai lệch đợc xét đến nh là điều kiện biên của bài toán tối u này
2. Bộ điều khiển R(s) cần tìm có dạng (1.27) hoặc (1.28)
1.5. Kết luận chơng 1
Trong quá trình tổng hợp bộ điều khiển bền vững H

dựa trên phơng pháp đa
thức, ngoài việc sử dụng các công cụ trên đối tợng đa thức, còn phải sử dụng nhiều
22
đến phơng trình đa thức Diophantine. Chơng 1 đa ra các dạng phơng trình đa thức
Diophantine khác nhau và phơng pháp giải. Chơng 1 cũng trình bày một cách khái

quát các vấn đề có liên quan đến thuật toán tổng hợp bộ điều khiển bền vững trong
không gian H

làm cơ sở cho việc tổng hợp chúng dựa trên phơng pháp đa thức.
23
Chơng 2: Xây dựng th viện các hàm chuyên dụng trên môi
trờng Matlab
2.1. Thiết kế th viện chuyên dụng Polynomial trên MATLAB
Th viện công cụ chuyên dụng Polynomial đợc xây dựng nhằm mục đích hỗ
trợ việc phân tích và tổng hợp bộ điều khiển bền vững theo phơng pháp đa thức. Th
viện này xây dựng dựa trên các th viện công cụ có sẵn nh Control System Toolbox,
LMI Control Toolbox, Mu Analysis and Synthesis Toolbox, Robust Control
Toolbox, Symbolic Math Toolbox. Th viện chuyên dụng này có các chức năng chính
sau:
- Tạo đối tợng đa thức và ma trận đa thức.
- Các phép toán cơ bản và nâng cao trên đa thức và ma trận đa thức.
- Chuyển đổi các dạng mô tả toán có sẵn khác nhau thành dạng ma trận đa
thức.
- Giải phơng trình đa thức và phơng trình ma trận đa thức.
- Thực hiện các phép tính thừa số phổ, thừa số nguyên tố của đa thức và ma
trận đa thức.
- Phân tích hệ thống điều khiển bền vững bằng phơng pháp đa thức.
- Tổng hợp hệ thống điều khiển bền vững bằng phơng pháp đa thức.
- Hiển thị các kết quả phân tích (trực quan hoá)
- Mô hình hoá trên Simulink với các khối đợc mô tả dới dạng đa thức và ma
trận đa thức.
- Trợ giúp và hớng dẫn sử dụng
Hình 2.1 là sơ đồ mô tả chức năng của th viện công cụ chuyên dụng
Polynomial trên môt trờng MATLAB.
24

25