tập huấn về máy tính cầm tay tháng 8 năm 2013
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (907.02 KB, 67 trang )
TẬP HUẤN BỒI DƯỠNG VỀ MÁY TÍNH CẦM TAY
THÁNG 8 NĂM 2013
Để rõ nội dung tập huấn, bồi dưỡng, chúng ta cần trả lời các câu hỏi sau
WHAT: Là gì? Cấu trúc, nội dung?
Là phương tiện dạy và học có tên trong danh mục thiết bị dạy học tối thiểu dùng chung
của Bộ GDĐT;
Có thể tạm gán là máy tính điện tử đơn giản nhất trợ giúp cho dạy và học về giải được
các bài toán có gắn với các phép toán trong chương trình phổ thông
WHERE: Ở đâu ra?
Nhập ngoại: Casio …
Sản xuất tại Việt Nam: Vinacal …
WHEN: Ban hành khi nào? Thời điểm thực hiện, sửa đổi
Chính thức theo Chương trình GDPT (ban hành theo QĐ 16/2006/QĐ-BGD&ĐT ngày
05/5/2006 của Bộ trưởng Bộ GD&ĐT)
Các loại máy nâng dần tính năng từ loại kí pháp hậu quyết (ngược) tới loại máy tính
thuận theo cách ghi biểu thức toán
WHY: Tại sao phải thực hiện?
Qui định của Chương trình và SGK, gắn được với bài toán thực tế có dữ liệu lẻ, hỗ trợ
dạy và học nhiều môn học: T – L – H – Si …là phương tiện cho học tập và lao động suốt đời.
HOW: Thực hiện như thế nào?
Gắn với thực hiện chương trình qua các tiết học, trình bày rõ phần toán cònphần tính gán
được cho máy tính không phải trình bày chỉ ghi kết quả máy hiển thị theo toán.
Kỳ thi ở các cấp giải toán bằng máy tính cầm tay
Giải các bài toán gắn với các phép toán:
Bài toán phổ thông:
+, -, x, :
Tìm UCLN, BCNN, đồng dư
Phân số; số thập phân, số phức
Khai căn, lũy thừa, logarit (cơ số bất kỳ, cơ số 10, cơ số e)
Sin, cos, tan, cot
Giai thừa, tổ hợp, chỉnh hợp, giao hoán
Vectơ
Đạo hàm, tích phân
Thống kê
Giải phương trình (bậc 1, 2, 3); Giải hệ phương trình bậc nhất (2, 3, 4 ẩn)
Bài toán phổ thông nâng cao:
Gắn với các ý tưởng toán
Gắn với các mở rộng tính năng máy bằng kiến thức toán; các phím lệnh, tổ hợp phím đặc
biệt: CALC, SOLVE, ALPHA, SHIFT STO, …
Cụ thể các dạng toán:
- Cho áp dụng trực tiếp các phép tính, các chương trình, các lệnh gài trong máy
- Thiết lập phương trình, hệ thức, và giải
- Vận dụng các kiến thức toán: UCLN, BCNN, đồng dư, lý thuyết số, lý thuyết giới hạn,
phép tính đạo hàm, tích phân, lý thuyết cực trị, giá trị lượng giác của một cung lượng
giác, chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn về số hữu tỉ, phương trình lượng giác,
phương trình và bất phương trình mũ, loga, …
- Kĩ thuật chuyển từ đại số (hữu hạn) sang giải tích (vô hạn)
- Tư duy thuật toán (trình tự theo quá trình; Tổng quát các hoạt động riêng lẻ thành hoạt
động trên một lớp đối tượng, phương pháp lặp, …).
- Tư duy hàm: mxđ, miền gía trị, tính đơn điệu, tuần hoàn, hàm ngược, giới hạn, liên tục,
đạo hàm, tích phân. Các biểu thức có nhiều phép toán
6 8
log 5 log 7
25 49P = +
- Tư duy tiên nghiệm, biện chứng.
- Phân bậc theo số lượng biến tham gia; phân biệt hoặc chuyển hóa ẩn và tham số.
- Chuyển từ đại số (phép toán, phép biến đổ đồng nhất và qui trình) sang phương pháp và
kĩ thuật xấp xỉ (chặn trên, chặn dưới; đóng khung, so sánh, xấp xỉ; hàm và dãy số sơ cấp;
tính toán hợp lý và độ chính xác)
- Thủ thuật thêm bớt, dựa vào tính đối xứng, hoán vị vòng quanh, đặt ẩn phụ, thay đổi mốt
dữ liệu, cách xem xét tiếp cận bài toán.
- Phương pháp chứng minh qui nạp, chuyển hóa hình-đại-lượng…; liên quan lý-hóa –sinh;
Suy luận đúng
WHO: Ai thực hiện? Ai kiểm tra?
Giáo viên, học sinh, các cấp cán bộ quản lý giáo dục cơ sở
TẬP HUẤN BỒI DƯỠNG NÂNG CAO
I – QUAN ĐIỂM
Việc sử dụng máy (sử dụng các phím: tính, lệnh) lồng trong giải quyết các bài toán cụ thể
dạy học thường ngày và trong kiểm tra, thi cử cần thực hành các thao tác về: các chương trình
tính toán cài sẵn cho các phép tính toán cộng, trừ, nhân, chia, phân số, mũ, luỹ thừa, căn số, giai
thừa, lượng giác, logarit, tổ hợp, chỉnh hợp, đổi toạ độ, thống kê, hệ đếm cơ số N với các phép
tính cơ bản và lôgic; Lưu ý là máy tính cầm tay thay thế hoàn toàn Bảng số (các bài học về cách
dùng bảng lượng giác. Bảng logarit thập , logarit tự nhiên với các phép nội suy thuận nghịch mất
nhiều thời gian đã loại bỏ; căn bậc ba , bậc bốn . . . , nay được tính trực tiếp; Việc logarit hoá một
số kết quả của một số bài toán không còn cần thiết; Một sô công thức lượng giác như công thức
cơ bản , công thức cộng, công thức nhân, công thức biến đổi cũng có thể được bỏ qua nhờ máy
tính. Tìm nhanh kết quả bằng số các bài toán khó, hay, lạ, chuyên sâu về tính toán).
Tập huấn, bồi dưỡng giải toán bằng máy tính cầm tay: từ phân tích mạch kiến thức, phân
tích đề hình thành các chuyên đề toán các cấp THCS, THPT với phương pháp giải đặc trưng và
các lưu ý về trình bày kết quả (nâng trình độ toán cho học sinh từ việc giải phương trình bậc hai ,
phương trình bậc ba có một nghiệm nguyên trước đây lên việc giải phương trình bậc 2, bậc 3 , hệ
phương trình 2,3 ẩn và tìm nghiệm gần đúng của mọi phương trình nhờ công thức Newton, lệnh
solve; Cải tiến một số thủ thuật toán như: tìm USCLN, BSCNN của hai số , nhận biêt nhanh một
số là nguyên tố hay hợp số, tìm nhanh kềt quả các bài toán về số dư của phép chia; Bằng phép
2
lặp , giải quyết các bài toán về dãy số, không qua công thức tổng, tích ( vượt qua bài dãy số
cộng, dãy số nhân) , các bài toán về tìm nghiệm nguyên của phương trình hai ẩn, phương trình
chứa ẩn ở giai thừa, tổ hợp , chỉnh hợp, các bài toán về lãi kép; Tìm nhanh toạ độ từng điểm trên
đồ thị những hàm số phức tạp hay dò tìm hoặc đôi khi tính trực tiếp giới hạn dãy số, hàm số từ
các điểm lân cận dễ dàng nhờ lệnh CALC hay phép lặp; Tìm nhanh (hay kiểm tra) các kết quả
bằng số gần đúng các bài toán về giá trị đạo hàm tại một điểm (cũng như dấu của đạo hảm), tính
tích phân trên một đoạn của các hàm số ( kể cả các hàm số không nguyên hàm), tìm nghiệm của
phương trình chứa tích phân có ẩn ở cận. Các bài học về số phức ở lớp 12 sẽ rất gọn nhẹ, áp
dụng được vào Vật lí (nhất là việc tìm biên độ và độ lệch pha trong tổng hợp dao động); Với
phép toán vectơ , học sinh sẽ giải trực tiếp bằng vectơ nhanh gọn các bài toán hình giải tích trong
mặt phẳng hay trong không gian mà trước dây phải giải bắng giải tích khá dài; Lệnh solve đã
giúp môn Lí , Hoá , Sinh tìm ngay kết quả một số bài toán từ công thức lí , hoá, sinh hay phương
trình tổng hợp dao động, phản ứng hoá học mà không cần làm toán hay biến đổi.
II – VĂN BẢN CHỈ ĐẠO
- Tổ chức dạy học theo chương trình
- Tổ chức ngoại khóa
- Các loại máy dùng trong dạy học
III – TỔ CHỨC THỰC HIỆN
PHƯƠNG PHÁP DẠY:
Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để giải toán nên theo các bước:
- Bước 1: Dạy HS kiến thức cơ bản về Toán
Lưu ý: Nếu HS không biết kiến thức về toán thì không thể làm toán được. Do đó phải dạy
toán cho HS trước, sau đó hướng dẫn HS sử dụng MTCT như một công cụ hỗ trợ trong tính
toán.
- Bước 2: Dạy HS kĩ năng cơ bản về MTCT (các thao tác cơ bản trên các phím chức năng,
sao cho HS có kĩ năng ở mức thành thạo).
Bước này, GV nên hướng dẫn HS các thao tác cơ bản và nâng cao khi sử dụng MTCT. Qua
quá trình luyện tập HS có kĩ năng sử dụng các chức năng cơ bản của MTCT.
- Bước 3: Rèn HS kĩ năng giải toán trên MTCT . Với bước này HS cần phối hợp được
kiến thức toán với kĩ năng máy tính, sao cho đến đích nhanh nhất; đặc biệt khai thác các
tính năng vượt trội có ở loại máy tinh tay đang dùng.
Lưu ý, để rèn kĩ năng cho HS, cần cho HS một bài tập tương tự để các em tự luyện.
Minh hoạ
Ví dụ 1: Tính tổng
1 1 1 1 1 1
1.3 3.5 5.7 7.9 9.11 2005.2007
S = + + + + + +
.
Nếu HS chỉ sử dụng máy tính cầm tay để tính ngay thì chắc chắn sẽ rất chậm. Thậm chí khó
có thể vượt qua nếu số số hạng trong tổng ngày càng lớn, chẳng hạn
1 1 1 1 1 1
1.3 3.5 5.7 7.9 9.11 200000005.200000007
S = + + + + + +
Do đó cần hướng dẫn HS tiến hành một số bước để đến kết quả nhanh hơn.
Chẳng hạn với bài toán ban đầu, ta có thể tiến hành với hai bước:
- Bước 1: Tính tổng. Dùng kiến thức toán để chuyển công thức S trong bài toán đã cho về
3
công thức đơn giản hơn.
Cụ thể: HS cần biết rằng để tính “tổng” S có dạng như trên cần qua các bước:
- Phát hiện quy luật, thông thường là luật “trừ” sao cho có được một số số hạng triệt tiêu
nhau.
Bước này, HS cần “biết phân tích” số hạng tổng quát thành “hiệu”:
1 1 1 1
( ), 1,2,3;
.( )
k p Z
k k p p k k p
= − ∀ = ∀ ∈
+ +
- Cho k chạy từ 1 đến m ( m là yêu cầu mà bài toán đặt ra), để “đơn giản” biểu thức tính
S.
- Chẳng hạn bài này, p = 2, m = 503.
Với k = 1, ta có
1 1 1 1
( )
1.3 2 1 3
= −
Với k = 2, ta có
1 1 1 1
( )
3.5 2 3 5
= −
Với k = 3, ta có
1 1 1 1
( )
5.7 2 5 7
= −
. . .
Với k = 503, ta có
1 1 1 1
( )
2005.2007 2 2005 2007
= −
Từ đó: S =
1 1 1 2006
( )
2 1 2007 2.2007
= − =
- Bước 2: sử dụng MTCT để tìm kết quả (có thể là gần đúng)
1 1 1 1 1 1 2006
0,996027805
1.3 3.5 5.7 7.9 9.11 2005.2007 2014
S = + + + + + + = ≈
.
- Bước 3: Rèn kĩ năng thông qua các bài toán tương tự.
Bài 1: Tính tổng
1 1 1 1 1 1
1.5 5.9 9.13 13.17 17.21 2005.2009
S = + + + + + +
.
Bài 2: Tính tổng
1 1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 5.6.7 2005.2006.2007
S = + + + + +
.
Bài 3: Tính tổng
1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 2007 2008
S = + + + +
+ + + +
.
Bài 4: Tính tổng
1 1 1 1 1
1.3 3.5 5.9 9.11 (2 1).(2 3)
S
n n
= + + + + +
+ +
khi n = 1000.
Bài 5: Tính tổng
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
3 2 5 6 7 12 9 20 199 9900
S
x x x x x x x x x x
= + + + + +
− + − + − + − + − +
khi x = 2007.
Bài 6: Tính tổng
1 1 1 1 1
1 1 2 2 3 3 4 2007 2008
S
x x x x x x x x x x
= + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + +
Khi x = 2009.
4
Ví dụ 2. Tính (gần đúng) các nghiệm của hệ phương trình
1
2 3 5
2 3
2 3
6
2 3
x y
x y
x y
x y
+ + =
−
+
=
−
Hướng dẫn:
Rõ ràng HS không thể sử dụng ngay MTCT để “mò” đáp số.
Do đó cần hướng dẫn HS tiến hành một số bước để đến kết quả nhanh hơn.
Chẳng hạn với bài toán đã cho, ta có thể tiến hành với các bước:
- Bước 1: Chuyển hệ đã cho về hệ quen biết. Dùng kiến thức toán để chuyển bài toán đã
cho về bài toán đơn giản hơn.
Cụ thể: Nếu gọi u = 2x + 3y và
1
2 3
v
x y
=
−
ta có hệ
2
3
5
. 6
3
2
u
v
u v
u v
u
v
=
=
+ =
⇒
=
=
=
Từ đó có hệ:
2 3 2
1
3
2 3
x y
x y
+ =
=
−
hoặc
2 3 3
1
2
2 3
x y
x y
+ =
=
−
tức là có hai hệ
2 3 2
1
2 3
3
x y
x y
+ =
− =
hoặc
2 3 3
1
2 3
2
x y
x y
+ =
− =
- Bước 2: Sử dụng MTCT có thể tìm được nghiệm của mỗi hệ
0,5833
0,2777
x
y
≈
≈
và
0,8750
0,4166
x
y
≈
≈
.
Lưu ý rằng hệ
2 3 2
1
2 3
3
x y
x y
+ =
− =
hoặc
2 3 3
1
2 3
2
x y
x y
+ =
− =
, do hệ số có tính chất đặc biệt, nên có thể
tìm đáp số bằng phương pháp cộng đại số, khi đó nghiệm tìm được là:
7
12
5
18
x
y
=
=
hoặc
7
8
5
12
x
y
=
=
.
Tuy nhiên nếu hệ số thay đổi, việc sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế
sẽ chậm hơn việc sử dụng MTCT.
- Bước 3: Rèn kĩ năng thông qua một số bài toán tương tự
5
Bài 1: Tính (gần đúng) các nghiệm của hệ phương trình
1
7 3 11
5 4
7 3
25
5 4
x y
x y
x y
x y
+ + =
−
+
=
−
Bài 2: Tính (gần đúng) các nghiệm của hệ phương trình
2 2
8
( 1)( 1) 12
x y x y
xy x y
+ + + =
+ + =
Bài 3: Tính (gần đúng) các nghiệm của hệ phương trình
2 2 2 2
(2 3 ) 11(4 9 ) 30(2 3 ) 0
2 3
6
2 3
x y x y x y
x y
x y
+ − − + + =
+
=
−
Ví dụ 3. Tìm giá trị của a, b, c nếu đồ thị của hàm số y = ax
2
+ bx + c đồng thời đi qua các
điểm A(- 3; 4), B(6; - 5), C(5; 7).
Hướng dẫn:
HS sẽ không thể sử dụng trực tiếp MTCT để mò a, b, c.
Để tìm được a, b, c HS cần hiểu thế nào là đồ thị hàm số đồng thời đi qua các điểm A(- 3;
4), B(6; - 5), C(5; 7). Khi đó mới có thể thiết lập được hệ phương trình bậc nhất với 3 ẩn số a, b,
c. Từ đó mới có thể sử dụng MTCT để có đáp số.
Cụ thể: Theo kiến thức được học, đồ thị hàm số đồng thời đi qua các điểm A(- 3; 4), B(6; -
5), C(5; 7), nên toạ độ của chúng thoả mãn y = ax
2
+ bx + c. Tức là ta có hệ
9 3 4
36 6 5
25 5 7
a b c
a b c
a b c
− + =
+ + = −
+ + =
.
Sử dụng MTCT giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn ta có
11
1,375
8
25
3,125
8
103
25,75
4
a
b
c
≈ − = −
≈ =
≈ =
Một số bài tập tương tự
Bài 1: Tính giá trị của a, b, c nếu đồ thị của hàm số y = ax
2
+ bx + c đồng thời đi qua các
điểm A(1; -1), B(3; 7), C(-2; 23).
Bài 2: Hãy cho biết đáp số của bài toán cổ sau đây
“Trăm trâu, trăm cỏ
Trâu đứng ăn năm
Trâu nằm ăn ba
Lụ khụ trâu già
Ba con một bó
Hỏi mỗi thứ mấy bó?”
Giải thích: Có 100 con trâu và 100 bó cỏ. Biết rằng mỗi con trâu đứng ăn hết 5 bó cỏ, mỗi
6
con trâu nằm ăn hết 3 bó cỏ, các con trâu già thì 3 con mới ăn hết một bó cỏ. Hỏi có bao
nhiêuổcn trâu đứng? bao nhiêu con trâu nằm và bao nhiêu con trâu già? mỗi loại ăn hết bao nhiêu
bó cỏ?
Bài 3: Tìm giá trị của a, b, c, d nếu đồ thị hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d đi qua các điểm
A(1; 1), B(3; 7), C( -2; -23), D(-3; - 59).
Ví dụ 4: Tính diện tích của ngũ giác ABCDE , biết rằng AB = AE = 4, AC =
4( 6 2)−
,
AD =
4 2
. Các tia AC, AD thuộc miền trong của góc BAD, đồng thời số đo các góc BAC,
CAD, DAE tương ứng là 15
0
; 30
0
, 45
0
.
Hướng dẫn:
Rõ ràng HS chỉ có thể biết được công thức tính diện tích tam giác trong một số trường hợp như:
1 1
sin ( )( )( )
2 2
a
S ah ab C p p a p b p c= = = − − − =
còn
công thức tính diện tích đa giác thì chưa biết.
Do đó không thể áp dụng để tính ngay được diện tích hình đã
cho mà HS phải biết chia đa giác thành các tam giác nhỏ hơn
để tính. Mỗi tam giác lại phải biết thêm một số yếu tố nữa.
Theo giả thiết, HS tính được diện tích các tam giác ADE,
ACD và ABC theo công thức
0
1 1
1 . sin 4.4 2 sin 45 8
2 2
S AD AE EAD= = =
0
1 1
2 . sin 4( 6 2).4 2 sin 30 8( 3 1)
2 2
S AD AC CAD= = − = −
=5,8564
0
1 1
3 . sin 4.4( 6 2)sin15 2(8 4 3)
2 2
S AB AC BAC= = − = −
=2,1435.
Khi đó diện tích cần tìm là S = 8 + 5,8564 + 2,1435 =15,999.
Chú ý rằng: đa giác đã cho chính là hình vuông có cạnh là 4, do đó diện tích cần tìm là 4.4 = 16.
Ví dụ 5:
Tính diện tích hình thang ABCD, biết rằng đáy nhỏ AB = 2, đáy lớn CD = 5, cạnh bên BC =
10
và cạnh bên DA =
13
.
Hướng dẫn:
Rõ ràng HS không thể sử dụng trực tiếp công thức
tính diện tích để tìm kết quả được.
10
Để vượt qua bài toán này, HS cần biết được độ dài
đường cao (AH = BK = h chẳng hạn) của hình thang.
Do AD > BC nên DH > CK.
Gọi AH = BK = h, DH = y, CK = x
7
4
4
4(
6
-
2
)
4
2
E
D
C
B
A
30
0
15
0
45
0
x
A B
CD
h
y H K
13
ta có HK = AB = 2 nên x + y = 5 - 2 = 3 và y > x đồng thời
2 2
2 2
10
13
3
h x
h y
x y
+ =
+ =
+ =
Hệ này tương đương với
2 2
3
3
y x
y x
y x
− =
+ = ⇒
>
1
3
y x
y x
y x
− =
+ = ⇒
>
1
2
x
y
y x
=
= ⇒
>
Từ đó, diện tích hình thang là:
2 5
.3 12
2
S
+
= =
Ví dụ 6: Tính gía trị của biểu thức
A = = 3
B = = 3
C =
D = =9,242640687
E = = 1,91164
Ví dụ 7:
- Giải phương trình x
5
-3x -1 =0. HD x = 1.388791984
- Giải phương trình x
7
-19x
2
-52 =0. HD x = 2
(PT chứa căn bậc 7)
- Giải phương trình 2
x
+3
x
+ 4
x
=10
x
. HD x = -170,2638567
X = 0,90990766
- Giải phương trình e
x
+ x - 5 =0. HD x = 1,306558641
ĐỀ TEST (Thời gian làm bài 30 phút)
1. Tìm giá trị của x thỏa mãn:
13
4 6 9
6
0
3 11
x x x
x
x
− +
<
+ −
(1)
8
HD: Chú ý rằng với mọi giá trị của x.
Gọi
2
13 13 3
( ) 4 6 9 4 (1 ); ( )
6 6 2
x x x x x
f x t t t= − + = − + =
thì f(x) > 0 khi và chỉ khi
3
1
2
2
1
3
t
x
x
t
>
>
⇔
< −
<
Gọi là hàm số đồng biến, và g(2) = 0. Do đó, g(x) > 0 khi và chỉ khi
x > 2
Từ đó
( ) 0
( ) 0
1
(1)
1 2
( ) 0
( ) 0
f x
g x
x
x
f x
g x
>
<
< −
⇔ ⇔
< <
<
>
MTCT được sử dụng khi tìm nghiệm của phương trình bâc hai t
2
- 13/6 t + 1 = 0.
2. Tìm giá trị của M = + khi x = 5678.
HD:
= =
Khi x = 5678 thì do đó
= =
Nên M = + – 2 = + .
Thay số (sử dụng MTCT) ta có M = 5678,000616 + 5677,99956 = 11356,00018.
3. Cho đa thức bậc n là p
n
(x). Biết rằng, và p(x) chia cho (x - 1) thì dư 5, p(x) chia
cho (x - 2) thì dư 7, p(x) chia cho (x - 3) thì dư 10, p(x) chia cho (x + 2) thì dư -4. Tìm đa
thức dư khi chia p(x) cho (x - 1)(x-2)(x - 3)(x + 2)?
HD:
P(x) = (x - 1)(x-2)(x - 3)(x + 2)q(x) + ax
3
+ bx
2
+ cx + d
Theo giả thiết ta có hệ
Sử dụng MTCT ta có : a = 0,15 = 3/20 ; b = -0,4 =-4/10 ; c = 2,15 = 43/20 ; d = 3.1 =
31/10.
4. Tìm số dư trong phép chia 2007
157
cho 1999?
9
Hướng dẫn:
Do 157 = 150 + 7 = 50.3 + 7 = 10. 5.3 + 7
Sử dụng MTCT tìm
Vậy , khi chia 2007
157
cho 1999 ta được số dư là 1311.
5. Cho biết giá trị đơn giản hơn của biểu thức
HD:
Xét số hạng tổng quát:
Cho k = 1 ta có:
Cho k = 2 ta có:
Cho k = 3 ta có:
Cho k = 4 ta có:
….
Cho k = 1001 ta có:
Cho k = 1002 ta có:
Cho k = 1003 ta có:
Nên
+ = 0,083333271
Tương tự:
10
Cho k = 1 ta có:
Cho k = 2 ta có:
Cho k = 3 ta có:
….
Cho k = 1003 ta có:
Cho k = 1004 ta có:
Từ đó :
= = 0,488844731
Vậy M = 0,083333271 : 0,488844731= 0,170469815.
Sử dụng MTCT khi tính
+ = 0,083333271
CÁC CHUYÊN ĐỀ DẠY TOÁN VỚI MÁY TÍNH CẦM TAY
Trong thời gian gần đây, khoa toán các trường ĐHSP có đưa vào chuyên ngành: Lí luận
và phương pháp dạy học bộ môn Toán (Mã số: 60 14 10, thời lượng: 3 đơn vị học trình - 45 tiết),
với mục tiêu: Biết cách sử dụng một số loại máy tính cầm tay thông thường ; Sử dụng được các
loại máy tính đó trong việc nâng cao hiệu quả dạy học toán phổ thông.
Quy ước. Khi tính gần đúng, chỉ ghi kết quả đã làm tròn với 4 chữ số thập phân. Nếu là
số đo góc gần đúng tính theo độ, phút, giây thì lấy đến số nguyên giây.
1. Tính giá trị của biểu thức số
Bài toán 1.1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = 1 + 2
2
+ 3
3
+ 4
4
+ 5
5
+ 6
6
+ 7
7
+ 8
8
+ 9
9
;
b) B =
1 2 3 3 2
1 2 : 1 : 1,5 2 3,7
3 5 4 2 5
+ − + +
÷ ÷ ÷
;
11
c) C =
1 1 6 12 10
10 24 15 1,75
3 7 7 11 3
5 60 8
0,25 194
9 11 99
× − − × −
÷ ÷
− × +
÷
.
Bài toán 1.2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = (12 - 6
3
)
3
14 8 3−
-
2(1 4 2 3 ) 2 4 2 3− − + +
;
b) B =
3 3
847 847
6 6
27 27
+ + −
;
c) C =
2 3 5
2
−
.
5
8
+
3
1 2 2
3
+
:
3
2
9
.
Bài toán 1.3. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A =
2 4 8
cos cos cos
9 9 9
π π π
;
b) B =
0 0 0 0
0 0
1 1
tan9 tan 27 tan 63 tan81
sin18 sin54
− + − − +
;
c) C =
7 7
6 6
1
log 14 log 56
3
1
log 30 log 150
2
−
−
.
Bài toán 1.4. Tính giá trị của biểu thức 1 + 2cosỏ + 3cos
2
ỏ + 4cos
3
ỏ nếu ỏ là góc nhọn
mà sinỏ + cosỏ = 0,5.
Bài toán 1.5. Tìm chữ số tận cùng của số 2007
2008
+ 2008
2007
.
2. Tính giá trị của hàm số
2.1. Hàm số một biến
Bài toán 2.1. Lập bảng biến thiên của hàm số y =
2
5 1
3 2
x x
x
+ +
−
.
Bài toán 2.2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x) = cos2x +
3
cosx -
2
.
2.2. Hàm số nhiều biến
Bài toán 2.3. Tính gần đúng góc A (độ, phút, giây) và diện tích tam giác ABC có các
cạnh:
a) a = 17 cm, b = 19 cm, c = 25 cm;
b) a = 23,4 cm, b = 27, 5 cm, c = 31,2 cm.
Bài toán 2.4. Tính gần đúng thể tích khối chóp tam giác có:
a) các cạnh đáy a = 27 cm, b = 31 cm, c = 35 cm và đường cao h = 24 cm;
b) các cạnh đáy a = 12,7 cm, b = 23,1 cm, c = 30,5 cm và đường cao h = 24,6 cm.
3. Giải phương trình một ẩn bậc hai, bậc ba
3.1. Phương trình bậc hai
Bài toán 3.1. Giải phương trình 2x
2
+ 9x - 45 = 0.
12
Bài toán 3.2. Giải gần đúng phương trình 5x
2
- 17,54x + 2,861 = 0.
Bài toán 3.3. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
sin 2cos
3cos 4
x x
x
+
+
.
3.2. Phương trình bậc ba
Bài toán 3.4. Giải phương trình x
3
- 7x + 6 = 0.
Bài toán 3.5. Giải gần đúng phương trình 2x
3
+ 5x
2
- 17x + 3 = 0.
Bài toán 3.6. Tính gần đúng góc nhọn a (độ, phút, giây) nếu sin2ỏ + 3cos2ỏ = 4tanỏ.
4. Giải phương trình mũ và lôgarit
4.1. Phương trình mũ
Bài toán 4.1. Giải phương trình 3
2x + 5
= 3
x + 2
+ 2.
Bài toán 4.2. Giải phương trình 27
x
+ 12
x
= 2.8
x
.
4.2. Phương trình lôgarit
Bài toán 4.3. Giải phương trình
3
2 log
3 81
x
x
−
=
.
Bài toán 4.4. Giải phương trình
2
2 2
6 4
3
log 2 logx x
+ =
5. Giải phương trình lượng giác
Bài toán 5.1. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình
2sinx - 4cosx = 3.
Bài toán 5.2. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình
sinxcosx - 3(sinx + cosx) = 1.
Bài toán 5.3. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình
2sin
2
x + 3sinxcosx - 4cos
2
x = 0.
Bài toán 5.4. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình
2 2
sin cos
2
2 2
3
x x
− =
.
6. Giải phương trình một ẩn bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp
Bài toán 6.1. Tính gần đúng nghiệm của phương trình 2
x
+ x = 4.
Bài toán 6.2. Tính gần đúng các nghiệm của phương trình 3
x
= 4x + 5.
Bài toán 6.3. Tính gần đúng các nghiệm của phương trình 4
x
= 5sinx + 3x.
Bài toán 6.4. Tính gần đúng các nghiệm của phương trình
x
4
+ 2x
3
- 3x
2
+ x - 4 = 0.
Bài toán 6.5. Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình
sinx + 2cosx = 3sinxcosx.
7. Giải hệ phương trình bậc nhất
7.1. Hệ phương trình hai ẩn
Bài toán 7.1. Tính a và b nếu đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2; - 5) và B(-
6; 9).
13
Bài toán 7.2. Tính b và c nếu parabol y = x
2
+ bx + c đi qua hai điểm A(- 2; 14) và B(-
16; 7).
Bài toán 7.3. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x
2
- y
2
= 2008.
7.2. Hệ phương trình ba ẩn
Bài toán 7.4. Tính giá trị của a, b, c nếu đường tròn x
2
+ y
2
+ ax + by
+ c = 0 đi qua ba điểm M(- 3; 4), N(- 5; 7), P(4; 5).
Bài toán 7.5. Tính gần đúng giá trị của
, ,a b c
nếu đồ thị hàm số y =
sin cos
cos 1
a x b x
c x
+
+
đi qua các điểm
3
1;
2
A
÷
,
( 1; 0)B −
,
( 2; 2)C − −
.
Bài toán 7.6. Tính giá trị của a, b, c, d nếu mặt phẳng ax + by + cz + d = 0
đi qua các điểm A(3; - 2; 6), B(4; 1; - 5), C(5; 8; 1).
7.3. Hệ phương trình trên ba ẩn
Bài toán 7.7. Xác định các hệ số a, b, c, d nếu đồ thị hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d đi
qua các điểm A(1; - 3), B(- 2; 4), C(- 1; 5), D(2; 3).
Bài toán 7.8. Tính giá trị của a, b, c, d nếu mặt cầu x
2
+ y
2
+ z
2
+ ax + by +cz + d = 0 đi
qua các điểm A(7; 2; - 1), B(5; - 6; 4), C(5; 1; 0), D(1; 2; 8).
Bài toán 7.9. Tính giá trị của a, b, c, d nếu phân thức
2
1ax bx
cx d
+ +
+
nhận các giá trị 4, - 4,
5, 7 tại
x
tương ứng bằng 1, 2, 3, 4.
8. Giải hệ phương trình bậc cao
8.1. Hệ phương trình bậc hai
Bài toán 8.1. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của đường thẳng 3
x
-
y
- 1 = 0 và
elip
2 2
16 9
x y
+
= 1.
Bài toán 8.2. Tính gần đúng toạ độ các giao điểm của hai đường tròn x
2
+ y
2
- 2x - 6y -
6 = 0 và x
2
+ y
2
= 4.
Bài toán 8.3. Giải gần đúng hệ phương trình
2 2
3 3 4
3 2 2 5.
x y x y
xy x y
+ + + =
− − =
Bài toán 8.4. Giải gần đúng hệ phương trình
2
2
2 4
2 4.
x y x
y x y
+ − =
+ − =
8.2. Hệ phương trình bậc ba
Bài toán 8.5. Giải gần đúng hệ phương trình
3 3
2 2
16
3 5.
x y x y
x y xy
+ + + =
+ + =
Bài toán 8.6. Giải gần đúng hệ phương trình
3 2
3 2
5 2 0
5 2 0.
x x y x
y xy y
+ − + =
+ − + =
9. Giải hệ phương trình mũ và lôgarit
14
Bài toán 9.1. Giải hệ phương trình
3.2 2.3 2,75
2 3 0,75.
x y
x y
+ =
− = −
Bài toán 9.2. Giải gần đúng hệ phương trình
4 9 15
2 3 2 .3 2.
x y
x y x y
+ =
+ − =
Bài toán 9.3. Giải hệ phương trình
2
1
2 2
2log 3 15
3 .log 2log 3 .
y
y y
x
x x
+
− =
= +
10. Tính toán về thống kê, tổ hợp và xác suất
10.1. Thống kê
Bài toán 10.1. Người ta chọn một số bút bi của hai hãng sản xuất A và B xem sử dụng
mỗi bút sau bao nhiêu giờ thì hết mực:
Loại bút A: 23 25 27 28 30 35
Loại bút B: 16 22 28 33 46
a) Tính gần đúng số trung bình và độ lệch chuẩn về thời gian sử dụng của mỗi loại bút.
b) Nếu hai loại bút A và B có cùng một giá thì nên mua loại bút nào?
Bài toán 10.2. Một cửa hàng sách thống kê số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mà 60 khách
hàng mua sách ở cửa hàng này trong một ngày. Số liệu được ghi trong bảng phân bố tần số sau:
Lớp Tần số
[40; 49] 3
[50; 59] 6
[60; 69] 19
[70; 79] 23
[80; 89] 9
N = 60
Tính gần đúng số trung bình và độ lệch chuẩn.
10.2. Tổ hợp
Bài toán 10.3. Trong một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Cần chọn 7 học
sinh đi tham gia chiến dịch “Mùa hè tình nguyện” của đoàn viên, trong đó có 4 học sinh nam và
ba học sinh nữ. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn?
Bài toán 10.4. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 5 chữ số khác
nhau?
Bài toán 10.5. Có 30 câu hỏi khác nhau cho một môn học, trong đó có 5 câu hỏi khó, 10
câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ các câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra,
mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong mỗi đề phải có đủ ba loại câu hỏi (khó, trung
bình, dễ) và số câu dễ không ít hơn 2?
10.3. Xác suất
Bài toán 10.6. Chọn ngẫu nhiên 5 số tự nhiên từ 1 đến 200. Tính gần đúng xác suất để 5
số này đều nhỏ hơn 50.
15
Bài toán 10.7. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng.
a) Chọn ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp bi đó. Tính xác suất để chọn được hai viên bi cùng
mầu và xác suất để chọn được hai viên bi khác mầu.
b) Chọn ngẫu nhiên ba viên bi từ hộp bi đó. Tính xác suất để chọn được ba viên bi hoàn
toàn khác mầu.
Bài toán 10.8. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một người bắn cung là 0,3. Người đó bắn
ba lần liên tiếp. Tính xác suất để người đó bắn trúng mục tiêu:
a) đúng một lần;
b) ít nhất một lần;
c) đúng hai lần.
11. Tính toán về dãy số và giới hạn
Bài toán 11.1. Dãy số a
n
được xác định như sau:
a
1
= 2, a
n + 1
=
1
2
(1 + a
n
) với mọi n
*∈¥
.
a) Tính giá trị của 20 số hạng đầu của dãy số đó.
b) Tính tổng của 20 số hạng đầu của dãy số đó.
c) Tìm giới hạn của dãy số đó.
Bài toán 11.2. Dãy số
n
a
được xác định như sau:
1
a
= 1,
1n
a
+
= 2 +
3
n
a
với mọi
n
*
∈
¥
.
a) Tính giá trị 10 số hạng đầu của dãy số đó.
b) Tìm giới hạn của dãy số đó.
Bài toán 11.3. Dãy số a
n
được xác định như sau:
a
1
= 2, a
2
= 3, a
n + 2
=
1
2
(a
n + 1
+ a
n
) với mọi n
*
∈
¥
.
a) Tính giá trị của 10 số hạng đầu của dãy số đó.
b) Tính tổng của 10 số hạng đầu của dãy số đó.
c) Tìm giới hạn của dãy số đó.
Bài toán 11.4. Tính gần đúng giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát là u
n
=
3 3 3 3+ + + +
(n dấu căn).
Bài toán 11.5. Tính gần đúng giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát là u
n
= sin(1 -
sin(1 - sin(1 - … - sin1)) (n lần chữ sin).
12. Tính đạo hàm
Bài toán 12.1. Tính f’
2
π
÷
nếu f(x) = sin2x + 2xcos3x - 3x
2
+ 4x - 5.
Bài toán 12.2. Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đường thẳng y = a
x
+ b là
tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
2
1
4 2 1
x
x x
+
+ +
tại điểm có hoành độ
x
= 1 +
2
.
16
Bài toán 12.3. Tính giới hạn
3
2
1
3 4 3
lim
1
x
x x x
x
→
+ + − +
−
.
13. Tính tích phân
Bài toán 13.1. Tính các tích phân:
a)
2
1
3
0
x
x e dx
∫
; b)
1
2
0
3
1
dx
x +
∫
; c)
2
0
sinx xdx
π
∫
.
Bài toán 13.2. Tính gần đúng các tích phân:
a)
1
2
3
0
2 3 1
1
x x
dx
x
− +
+
∫
; b)
2
2
6
cos2x xdx
π
π
∫
; c)
2
0
sin
2 cos
x xdx
x
π
+
∫
.
Bài toán 13.3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x
3
+ 2x
2
-
2x + 4 và y = 2x
2
+ 5x - 2.
14. Tính toán về số phức
Bài toán 14.1. Cho số phức z =
6 2i−
.
a) Tìm môđun và acgumen của z.
b) Viết z dưới dạng lượng giác.
c) Tìm số phức liên hợp của z
2
.
d) Tính z
3
- 2z
2
+ 3z - 4.
Bài toán 14.2. Tính
a)
3 2 1
1 3 2
i i
i i
+ −
+
− −
; b)
2
(1 )(5 6 )
( 3 )
i i
i
+ −
+
.
Bài toán 14.3. Giải phương trình x
2
- 6x + 58 = 0.
Bài toán 14.4. Giải phương trình x
3
- x + 10 = 0.
Bài toán 14.5. Giải gần đúng phương trình 2x
3
+ 3x
2
- 4x + 5 = 0.
15. Tính toán về vectơ
15.1. Vectơ hai chiều
Bài toán 15.1. Cho tam giác có các đỉnh A(1; - 3), B(5; 6), C(- 4; -7).
a) Tính độ dài các cạnh của tam giác.
b) Tính gần đúng các góc (độ, phút, giây) của tam giác.
c) Tính diện tích tam giác.
Bài toán 15.2. Cho hai đường thẳng d
1
: 2x - 3y + 6 = 0 và d
2
: 4x + 5y - 10 = 0.
a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đường thẳng đó.
b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(10; 2) và vuông góc với đường thẳng
d
2
.
c) Tính diện tích tam giác tạo bởi ba đường thẳng d, d
1
, d
2
.
15.2. Vectơ ba chiều
17
Bài toán 15.3. Cho hình tứ diện có các đỉnh A(1; - 2; 3), B(-2; 4; -5), C(3; - 4; 7), D(5;
9; - 2).
a) Tính tích vô hướng của hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
.
b) Tìm tích vectơ của hai vectơ
AB
uuur
và
AC
uuur
.
c) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Bài toán 15.4. Cho hai đường thẳng
3 4
: 2 3
5
x t
y t
z t
= +
∆ = − +
=
và
1 2
: 2 7
1 .
x t
d y t
z t
= −
= +
= − +
a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đường thẳng đó.
b) Tính gần đúng khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP, BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
A. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC
1. Tính giá trị của biểu thức:
Bài 1: Cho đa thức P(x) = x
15
-2x
12
+ 4x
7
- 7x
4
+ 2x
3
- 5x
2
+ x - 1
Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P(
3
1
4
)
H.Dẫn:
- Lập công thức P(x)
- Tính giá trị của đa thức tại các điểm: dùng chức năng
CALC
- Kết quả: P(1,25) = ; P(4,327) =
P(-5,1289) = ; P(
3
1
4
) =
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
P(x) = 1 + x + x
2
+ x
3
+ + x
8
+ x
9
tại x = 0,53241
Q(x) = x
2
+ x
3
+ + x
8
+ x
9
+ x
10
tại x = -2,1345
H.Dẫn:
- áp dụng hằng đẳng thức: a
n
- b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
b + + ab
n-2
+ b
n-1
). Ta có:
P(x) = 1 + x + x
2
+ x
3
+ + x
8
+ x
9
=
2 9 10
( 1)(1 ) 1
1 1
x x x x x
x x
− + + + + −
=
− −
Từ đó tính P(0,53241) =
Tương tự:
Q(x) = x
2
+ x
3
+ + x
8
+ x
9
+ x
10
= x
2
(1 + x + x
2
+ x
3
+ + x
8
) =
9
2
1
1
x
x
x
−
−
Từ đó tính Q(-2,1345) =
Bài 3: Cho đa thức P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) =
16; P(5) = 25. Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho:
+ Bậc H(x) nhỏ hơn bậc của P(x)
18
+ Bậc của H(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ hơn 5, nghĩa là:
Q(x) = P(x) + a
1
x
4
+ b
1
x
3
+ c
1
x
2
+ d
1
x + e
Bước 2: Tìm a
1
, b
1
, c
1
, d
1
, e
1
để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0
16 8 4 2 4 0
81 27 9 3 9 0
256 64 16 4 16 0
625 125 25 5 25 0
a b c d e
a b c d e
a b c d e
a b c d e
a b c d e
+ + + + + =
+ + + + + =
+ + + + + =
+ + + + + =
+ + + + + =
⇒ a
1
= b
1
= d
1
= e
1
= 0; c
1
= -1
Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x
2
Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 là nghiệm của Q(x), mà bậc của Q(x) bằng 5 có hệ số
của x
5
bằng 1 nên: Q(x) = P(x) - x
2
= (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)
⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x
2
.
Từ đó tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) =
Bài 4: Cho đa thức P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11.
Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
- Giải tương tự bài 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3). Từ đó tính được:
P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) =
Bài 5: Cho đa thức P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10.
Tính
(5) 2 (6)
?
(7)
P P
A
P
−
= =
H.Dẫn:
- Giải tương tự bài 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) +
( 1)
2
x x +
. Từ đó tính được:
(5) 2 (6)
(7)
P P
A
P
−
= =
Bài 6: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x
3
là k, k ∈ Z thoả mãn:
f(1999) = 2000; f(2000) = 2001
Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) là hợp số.
H.Dẫn:
* Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b). Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0
1999 2000 0 1
2000 2001 0 1
a b a
a b b
+ + = = −
⇔ ⇔
+ + = =−
⇒ g(x) = f(x) - x - 1
* Tính giá trị của f(x):
- Do bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và g(x) chia hết cho:
(x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x
0
)
⇒ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x
0
) + x + 1.
Từ đó tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) là hợp số.
Bài 7: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn:
f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ?
H.Dẫn:
19
- Đặt g(x) = f(x) + ax
2
+ bx + c. Tìm a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0 ⇒ a, b, c
là nghiệm của hệ phương trình:
3 0
9 3 11 0
25 5 27 0
a b c
a b c
a b c
+ + + =
+ + + =
+ + + =
⇒ bằng MTBT ta giải được:
1
0
2
a
b
c
=−
=
=−
⇒ g(x) = f(x) - x
2
- 2
- Vì f(x) bậc 4 nên g(x) cũng có bậc là 4 và g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vậy:
g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x
0
) ⇒ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x
0
) + x
2
+ 2.
Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) =
Bài 8: Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.
Tìm f(10) = ?
H.Dẫn:
- Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nên:
10
12
8 4 2 4
27 9 3 1
d
a b c d
a b c d
a b c d
=
+ + + =
+ + + =
+ + + =
lấy 3 phương trình cuối lần lượt trừ cho phương trình đầu và giải hệ gồm 3 phương trình ẩn a, b,
c trên MTBT cho ta kết quả:
5 25
; ; 12; 10
2 2
a b c d= = − = =
⇒
3 2
5 25
( ) 12 10
2 2
f x x x x= − + +
⇒
(10)f =
Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều được dư là 6
và f(-1) = -18. Tính f(2005) = ?
H.Dẫn:
- Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18
- Giải tương tự như bài 8, ta có f(x) = x
3
- 6x
2
+ 11x
Từ đó tính được f(2005) =
Bài 10: Cho đa thức
9 7 5 3
1 1 13 82 32
( )
630 21 30 63 35
P x x x x x x= − + − +
a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
Giải:
a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0
b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x) nên
1
( ) ( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4)
2.5.7.9
P x x x x x x x x x x
= − − − − + + + +
Vì giữa 9 só nguyên liên tiếp luôn tìm được các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với mọi x
nguyên thì tích:
( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4)x x x x x x x x x
− − − − + + + +
chia hết cho 2.5.7.9 (tích của các
số nguyên tố cùng nhau). Chứng tỏ P(x) là số nguyên với mọi x nguyên.
20
Bài 11: Cho hàm số
4
( )
4 2
x
x
f x =
+
. Hãy tính các tổng sau:
1
1 2 2001
)
2002 2002 2002
a S f f f
= + + +
2 2 2
2
2 2001
) sin sin sin
2002 2002 2002
b S f f f
π π π
= + + +
H.Dẫn:
* Với hàm số f(x) đã cho trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1
* áp dụng bổ đề trên, ta có:
a)
1
1 2001 1000 1002 1001
2002 2002 2002 2002 2002
S f f f f f
= + + + + +
1 1 1 1
1 1 1000 1000,5
2 2 2 2
f f
= + + + + = + =
b) Ta có
2 2 2 2
2001 1000 1002
sin sin , ,sin sin
2002 2002 2002 2002
π π π π
= =
. Do đó:
2 2 2 2
2
2 1000 1001
2 sin sin sin sin
2002 2002 2002 2002
S f f f f
π π π π
= + + + +
2 2 2 2 2
1000 500 501
2 sin sin sin sin sin
2002 2002 2002 2002 2
f f f f f
π π π π π
= + + + + +
2 2 2 2
500 500
2 sin cos sin cos (1)
2002 2002 2002 2002
f f f f f
π π π π
= + + + + +
[ ]
4 2 2
2 1 1 1 1000 1000
6 3 3
= + + + + = + =
2. Tìm thương và dư trong phép chia hai đa thức:
Bài toán 1: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax + b)
Cách giải:
- Ta phân tích: P(x) = (ax + b)Q(x) + r ⇒
0.
b b
P Q r
a a
− = − +
⇒ r =
b
P
a
−
Bài 12: Tìm dư trong phép chia P(x) = 3x
3
- 5x
2
+ 4x - 6 cho (2x - 5)
Giải:
- Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r ⇒
5 5 5
0.
2 2 2
P Q r r P
= + ⇒ =
⇒ r =
5
2
P
Tính trên máy ta được: r =
5
2
P
=
Bài toán 2: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a)
Cách giải:
- Dùng lược đồ Hoocner để tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a)
Bài 13: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x
7
- 2x
5
- 3x
4
+ x - 1 cho (x + 5)
H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có:
1 0 -2 -3 0 0 1 -1
-5 1 -5 23 -118 590 -2950 14751 -73756
* Tính trên máy tính các giá trị trên như sau:
21
( )−
5
SHIFT
STO
M
1
×
ANPHA
M
+
0
=
(-5) : ghi ra giấy -5
×
ANPHA
M
+
-
2
=
(23) : ghi ra giấy 23
×
ANPHA
M
-
3
=
(-118) : ghi ra giấy -118
×
ANPHA
M
+
0
=
(590) : ghi ra giấy 590
×
ANPHA
M
+
0
=
(-2950) : ghi ra giấy -2950
×
ANPHA
M
+
1
=
(14751) : ghi ra giấy 14751
×
ANPHA
M
-
1
=
(-73756) : ghi ra giấy -73756
x
7
- 2x
5
- 3x
4
+ x - 1 = (x + 5)(x
6
- 5x
5
+ 23x
4
- 118x
3
+ 590x
2
- 2950x + 14751) - 73756
Bài toán 3: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b)
Cách giải:
- Để tìm dư: ta giải như bài toán 1
- Để tìm hệ số của đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương trong phép chia đa
thức P(x) cho (x +
b
a
) sau đó nhân vào thương đó với
1
a
ta được đa thức thương cần tìm.
Bài 14: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x
3
+ 2x
2
- 3x + 1 cho (2x - 1)
Giải:
- Thực hiện phép chia P(x) cho
1
2
x
−
, ta được:
P(x) = x
3
+ 2x
2
- 3x + 1 =
1
2
x
−
2
5 7 1
2 4 8
x x
+ − +
. Từ đó ta phân tích:
P(x) = x
3
+ 2x
2
- 3x + 1 = 2.
1
2
x
−
.
1
2
.
2
5 7 1
2 4 8
x x
+ − +
= (2x - 1).
2
1 5 7 1
2 4 8 8
x x
+ − +
Bài 15: Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x
3
+ 3x
2
- 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x
+2
H.Dẫn:
- Phân tích P(x) = (2x
3
+ 3x
2
- 4x + 5) + m = P
1
(x) + m. Khi đó:
P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P
1
(x) + m = (3x + 2).H(x)
Ta có:
1 1
2 2
0
3 3
P m m P
− + = ⇒ = − −
Tính trên máy giá trị của đa thức P
1
(x) tại
2
3
x = −
ta được m =
Bài 16: Cho hai đa thức P(x) = 3x
2
- 4x + 5 + m; Q(x) = x
3
+ 3x
2
- 5x + 7 + n. Tìm m, n để hai đa
thức trên có nghiệm chung
0
1
2
x =
22
H.Dẫn:
0
1
2
x =
là nghiệm của P(x) thì m =
1
1
2
P
−
, với P
1
(x) = 3x
2
- 4x + 5
0
1
2
x =
là nghiệm của Q(x) thì n =
1
1
2
Q
−
, với Q
1
(x) = x
3
+ 3x
2
- 5x + 7.
Tính trên máy ta được: m =
1
1
2
P
−
= ;n =
1
1
2
Q
−
=
Bài 17: Cho hai đa thức P(x) = x
4
+ 5x
3
- 4x
2
+ 3x + m; Q(x) = x
4
+ 4x
3
- 3x
2
+ 2x + n.
a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2)
b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x). Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ
có duy nhất một nghiệm.
H.Dẫn:
a) Giải tương tự bài 16, ta có: m = ;n =
b) P(x)
M
(x - 2) và Q(x)
M
(x - 2) ⇒ R(x)
M
(x - 2)
Ta lại có: R(x) = x
3
- x
2
+ x - 6 = (x - 2)(x
2
+ x + 3), vì x
2
+ x + 3 > 0 với mọi x nên R(x)
chỉ có một nghiệm x = 2.
Bài 18: Chia x
8
cho x + 0,5 được thương q
1
(x) dư r
1
. Chia q
1
(x) cho x + 0,5 được thương q
2
(x) dư
r
2
. Tìm r
2
?
H.Dẫn:
- Ta phân tích: x
8
= (x + 0,5).q
1
(x) + r
1
q
1
(x) = (x + 0,5).q
2
(x) + r
2
- Dùng lược đồ Hoocner, ta tính được hệ số của các đa thức q
1
(x), q
2
(x) và các số dư r
1
,
r
2
:
1 0 0 0 0 0 0 0 0
1
2
−
1
1
2
−
1
4
1
8
−
1
16
1
32
−
1
64
1
128
−
1
256
1
2
−
1 -1
3
4
1
2
−
5
16
3
16
−
7
64
1
16
−
Vậy:
2
1
16
r = −
23
B. CÁC BÀI TOÁN VỀ DẪY SỐ
Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm ưu việt hơn các MTCT khác. Sử
dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính các số hạng của một dãy số là một ví dụ. Nếu biết
cách sử dụng đúng, hợp lý một quy trình bấm phím sẽ cho kết quả nhanh, chính xác. Ngoài việc
MTCT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán
đó ta có thể dự đoán, ước đoán về các tính chất của dãy số (tính đơn điệu, bị chặn ), dự đoán
công thức số hạng tổng quát của dãy số, tính hội tụ, giới hạn của dãy từ đó giúp cho việc phát
hiện, tìm kiếm cách giải bài toán một cách sáng tạo. Việc biết cách lập ra quy trình để tính các số
hạng của dãy số còn hình thành cho học sinh những kỹ năng, tư duy thuật toán rất gần với lập
trình trong tin học.
Sau đây là một số quy trình tính số hạng của một số dạng dãy số thường gặp trong chương
trình, trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTCT:
I/ Lập quy trình tính số hạng của dãy số:
1) Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát:
trong đó f(n) là biểu thức của
n cho trước.
Cách lập quy trình:
- Ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ
A
: 1
SHIFT
STO
A
- Lập công thức tính f(A) và gán giá trị ô nhớ
:
A
=
A
+
1
- Lặp dấu bằng:
=
=
Giải thích:
1
SHIFT
STO
A
: ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ
A
f(A)
:
A
=
A
+
1 : tính u
n
= f(n) tại giá trị
A
(khi bấm dấu bằng thứ lần
nhất) và thực hiện gán giá trị ô nhớ
A
thêm 1 đơn vị:
A
=
A
+
1 (khi bấm dấu
bằng lần thứ hai).
* Công thức được lặp lại mỗi khi ấn dấu
=
Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu của dãy số (u
n
) cho bởi:
1 1 5 1 5
; 1,2,3
2 2
5
n n
n
u n
+ −
= − =
Giải:
- Ta lập quy trình tính u
n
như sau:
1
SHIFT
STO
A
24
u
n
= f(n), n ∈ N
*
(
1
÷
5
)
(
(
(
1
+
5
)
÷
2
)
∧
ANPHA
A
-
(
(
1
-
5
)
÷
2
)
∧
ANPHA
A
)
ANPHA
:
ANPHA
A
ANPHA
=
ANPHA
A
+
1
=
- Lặp lại phím:
=
=
Ta được kết quả: u
1
= 1, u
2
= 1, u
3
= 2, u
4
= 3, u
5
= 5, u
6
= 8, u
7
= 13, u
8
= 21,
u
9
= 34, u
10
= 55.
2) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
trong đó f(u
n
) là biểu thức của
u
n
cho trước.
Cách lập quy trình:
- Nhập giá trị của số hạng u
1
: a
=
- Nhập biểu thức của u
n+1
= f(u
n
) : ( trong biểu thức của u
n+1
chỗ nào có u
n
ta nhập
bằng
ANS
)
- Lặp dấu bằng:
=
Giải thích:
- Khi bấm: a
=
màn hình hiện u
1
= a và lưu kết quả này
- Khi nhập biểu thức f(u
n
) bởi phím
ANS
, bấm dấu
=
lần thứ nhất máy sẽ thực hiện tính
u
2
= f(u
1
) và lại lưu kết quả này.
- Tiếp tục bấm dấu
=
ta lần lượt được các số hạng của dãy số u
3
, u
4
Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (u
n
) cho bởi:
1
1
1
2
, *
1
n
n
n
u
u
u n N
u
+
=
+
= ∈
+
Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số như sau:
1
=
(u
1
)
(
ANS
+
2
)
÷
(
ANS
+
1
)
=
(u
2
)
=
=
- Ta được các giá trị gần đúng với 9 chữ số thập phân sau dấu phảy:
u
1
= 1 u
8
= 1,414215686
u
2
= 1,5 u
9
= 1,414213198
u
3
= 1,4 u
10
= 1,414213625
u
4
= 1,416666667 u
11
= 1,414213552
u
5
= 1,413793103 u
12
= 1,414213564
25
1
n+1 n
u = a
u = f(u ) ; n N*
∈
