Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử

Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật
lý lượng tử
Biên tập bởi:
Nguyễn Văn Hiệu
Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật
lý lượng tử
Biên tập bởi:
Nguyễn Văn Hiệu
Các tác giả:
Nguyễn Văn Hiệu
Phiên bản trực tuyến:
/>MỤC LỤC
1. Cơ sở lý thuyết nhóm
1.1. Khái niệm về nhóm
1.2. Các ví dụ về nhóm
1.3. Nhóm SO(3) các phép quay không gian Euclide thực ba chiều
1.4. Nhóm SU(2) các biến đổi unita với định thức bằng 1 trong không gian Euclide
phức 2 chiều
1.5. Nhóm Lie và đại số Lie
1.6. Phụ lục cơ sở lý thuyết nhóm
2. Cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm
2.1. Khái niệm về biểu diễn nhóm
2.2. Các phép tính đối với các biểu diễn
2.3. Hàm đặc trưng của biểu diễn
2.4. Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm
3. Các nhóm điểm tinh thể học
3.1. Phân loại các nhóm điểm tinh thể học
3.2. Họ các điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci
3.3. Họ các nhóm điểm Sn
3.4. Họ các nhóm điểm Dn, Dnh, Dnd
3.5. Họ các nhóm điểm T, Th, Td

3.6. Họ các nhóm điểm O , Oh
3.7. Sự đối xứng của các phân tử
3.8. Sự đối xứng của các tinh thể
3.9. Nhóm đối xứng của các điểm đặc biệt trong các ô Wigner - Seitz của các mạng
hệ lập phương
Tham gia đóng góp
1/166
Cơ sở lý thuyết nhóm
Khái niệm về nhóm
Định nghĩa nhóm
Tập hợp G các yếu tố a, b, c,… được gọi là một nhóm nếu có các tính chất sau đây:
1) Trên tập hợp G tồn tại một phép tính gọi là phép nhân của nhóm. Phép tính này đặt
tương ứng với mỗi cặp hai yếu tố a và b bất kỳ của tập hợp G một yếu tố c cũng thuộc
tập hợp này, gọi là tích của a và ba và ký hiệu là ab :
a ∈ G, b ∈ G
tendsto: 2 args.ab = c ∈ G
2) Phép nhân của nhóm có tính chất kết hợp, nghĩa là với mọi yếu tố a, b, c của tập hợp
G ta luôn có
(ab) c = a (bc)
3) Trân tập hợp G tồn tại một yếu tố e, gọi là yếu tố đơn vị, mà với mọi yếu tố a ∈ G ta
luôn luôn có
e a = a e = a
4) Với mọi yếu tố a ∈ G bao giờ cũng có một yếu tố
(
a
−1
)
∈ G , gọi là nghịch đảo của
a, sao cho
a

-1
a = a a
-1
= e
Do tính chất kết hợp của phép nhân ta có thể viết
Các định nghĩa khác
Nếu phép nhân của nhóm G có tính chất giao hoán, nghĩa là với mọi cặp yếu tố a ∈ G,
b ∈ G ta luôn luôn có hệ thức a b = b a,
2/166
thì nhóm G được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel.
Nếu nhóm G chỉ có một số hữu hạn các yếu tố khác nhau thì nhóm này được gọi là nhóm
hữu hạn, còn số lượng các yếu tố khác nhau được gọi là cấp của nhóm. Trong trường
hợp ngược lại, khi nhóm G có vô số yếu tố khác nhau, nó được gọi là nhóm vô hạn.
Với các nhóm hữu hạn ta có thể trình bày quy tắc phân nhóm một cách cụ thể dưới dạng
một bảng nhân nhóm được thiết lập như sau. Ta kẻ một bảng vuông với số hằng và số
cột bằng số yếu tố của nhóm. Ở phía trái của bảng, đầu mỗi hang, và ở trên của bảng,
đầu mỗi cột, ta ghi tất cả các yếu tố khác nhau của nhóm theo một thứ tự nào đó g
1
, g
2
,
…, g
n
. Sau đó trên ô chung của hang thứ j và cột thứ j ta ghi yếu tố là tích g
j
g
i
. Nhìn
bảng phân nhóm ta thấy ngay quy tắc nhân nhóm đối với từng cặp yếu tố.
Bảng nhân nhóm

Nếu trong nhóm G có một tập hợp các yếu tố a
1
, a
2
, …, a
n
với tính chất sau đây: mọi
yếu tố của nhóm G đều có thể viết dưới dạng một tích mà mỗi thừa số là một trong các
yếu tố này (một yếu tố có thể được dùng làm thừa số nhiều lần), thì ta nói rằng nhóm G
được sinh ra bởi các yếu tố a
1
, a
2
, …, a
n
, còn các yếu tố này được gọi là các yếu tố sinh.
Nhóm hữu hạn được sinh ra bởi một yếu tố a, nghĩa là gồm các yếu tố có dạng a, a
2
, …,
a
n
= e, được gọi là nhóm vòng.
3/166
Nếu mọi yếu tố của nhóm G đều là một hàm liên tục của những thông số nào đó và hoàn
toàn được xác định bởi giá trị của những thông số này, thì nhóm G gọi là nhóm liên tục.
Ta quy ước rằng các thông số này là các biến số độc lập. Nếu mọi yếu tố của nhóm liên
tục G đều là hàm khả vi của các thông số độc lập, thì nhóm G được gọi là nhóm Lie.
Từ định nghĩa nhóm phát biểu ở trên suy ra ngay một số mệnh đề sau đây.
1. Mỗi nhóm chỉ có một yếu tố đơn vị.
2. Nghịch đảo của tích của hai yếu tố bằng tích các nghịch đảo của chúng theo thứ tự

ngược lại, nghĩa là
(a b)
-1
= b
-1
a
-1
3. Mỗi yếu tố của nhóm chỉ có một yêu tố nghịch đảo.
Định nghĩa yếu tố liên hợp
Yếu tố a của nhóm G được gọi là liên hợp với yếu tố b của nhóm này nếu có một yếu tố
nào đó c G mà
a c a
-1
= b
Có thể chứng minh được rằng quan hệ liên hợp là một quan hệ tương đương, nghĩa là
1
o
) Nếu a liên hợp với b thì b liên hợp với a (tính chất đối xứng).
2
o
) Yếu tố a liên hợp với chính nó (tính tự liên hợp).
3
o
) Nếu a liên hợp với b, b liên hợp với c thì a liên hợp với a (tính chuyển tiếp).
Lớp các yếu tố liên hợp
Vì rằng mối quan hệ liên hợp là một quan hệ tương đương cho nên tất cả các yếu tố của
nhóm G liên hợp với một yếu tố xác định nào đó đều liên hợp với nhau, và do đó ta có
thể chia nhóm G thành các tập hợp con mà tất cả các yếu tố trong mỗi tập hợp con đều
liên hợp với nhau. Mỗi tập hợp con các yếu tố liên hợp với nhau của nhóm G được gội
là một lớp các yếu tố liên hợp. Chú ý rằng hai lớp khác nhau không có một yếu tố chung

nào cả, nghĩ là không giao nhau.
4/166
Định nghĩa nhóm con
Một tập hợp con G
1
của nhóm G được gọi là nhóm con của nhóm G nếu đối với phép
nhân của nhóm G tập hợp G
1
này cũng tạo thành một nhóm, nghĩa là nếu G
1
thỏa mãn
những điều kiện sau đây:
1) Nếu a và b là hai yếu tố của G
1
thì tích ab cũng là một yếu tố của G
1
:
a ∈ G
1
,b ∈ G
1
implies: 2 args. a b ∈ G
1
Ta nói rằng tập hợp con G
1
là kín đối với phép nhân nhóm:
G
1
G
1

G
1
2) Tập hợp con G1 chứa yếu tố đơn vị e của nhóm G:
e ∈ G
1
3) Nếu a là một yếu tố của G
1
thì a
-1
cũng là một yếu tố của G
1
:
a ∈ G
1
⇒
a
-1
in: 2 args.G
1
Ta nói rằng tập hợp G
1
là kín đối với phép nghịch đảo:
G
−1
1
G
1
Dễ thấy rằng từ các điều kiện 1) và 3) suy ngay ra điều kiện 2). Thực vậy, lấy một yếu
tố tùy ý a của tập hợp con G
1

. Theo điều kiện 3) ta có
a ∈ G
1
⇒ a
-1
in: 2 args. G
1
Theo điều kiện 1) thì
a ∈ G
1
, a
-1
in: 2 args. G
1
⇒ e = a a
-1
in: 2 args. G
1
Đó là điều kiện 2). Chú ý rằng phép nhân của nhóm con G1 chắc chắn có tính chất kết
hợp, vì đó là phép nhân của nhóm G.
Định nghĩa tích trực tiếp của hai nhóm
Cho hai nhóm G1 và G2 hoàn toàn độc lập với nhau, với các yếu tố a
1
, b
1
, c
1
, … G
1
và

a
2
, b
2
, c
2
, … G
2
. Xét tập hợp G
1
⊗ G
2
mà mỗi yếu tố là một cặp
{
a
1
,a
2
}
,
{
b
1
,b
2
}
,
{
c
1

,c
2
}
5/166
, … gồm hai yếu tố của hai nhóm. Ta định nghĩa tích của hai yếu tố của G
1
⊗ G
2
như
nhau:
{
a
1
,a
2
}{
b
1
,b
2
}
=
{
a
1
b
1
,a
2
b

2
}
Gọi e
1
và e
2
là hai yếu tố đơn vị của G
1
và G
2
, a
1
-1
và a
2
-1
là hai yếu tố nghịch đảo của
a
1
và a
2
trong G
1
và G
2
. Ta coi là yếu tố đơn vị của G
1
⊗ G
2
, {a

1
-1
và a
2
1
} là yếu tố
nghịch đảo của {a
1
, a
2
}trong G
1
⊗ G
2
. Tập hợp G
1
⊗ G
2
với phép nhân nhóm, với yếu
tố đơn vị và yếu tố nghịch đảo định nghĩa như vậy tạo thành một nhóm, gọi là tích trực
tiếp G
1
⊗ G
2
của hai nhóm đã cho. Tính chất kết hợp của phép nhân trên G
1
⊗ G
2
suy
ra từ tính chất kết hợp của phép nhân trên từng nhóm G

1
và G
2
.
Có những nhóm mà các yếu tố có bản chất khác nhau nhưng các phép tính toán dưới dóc
độ là các yếu tố của nhóm thì lại tương tự nhau. Sự tương tự đó được phát biểu như sau.
Định nghĩa sự đồng cấu và sự đẳng cấu
Nhóm G
1
gọi là đồng cấu với nhóm G
2
nếu có một phép tương ứng giữa các yếu tố a
1
,
b
1
, c
1
… của G
1
với các yếu tố a
2
, b
2
, c
2
… của G
2
,
G

1
∋ a
1
→ a
2
∈ G
2
,
Sao cho ứng với mỗi yếu tố a
1
in: 2 args. G
1
có một yếu tố duy nhất a
2
in: 2 args. G
2
gọi là ảnh hưởng của a
1
trong G
2
, mỗi yếu tố a
2
in: 2 args. G
2
là ảnh hưởng của ít nhất
một yếu tố a
1
in: 2 args. G
1
, và phép tương ứng này bảo toàn phép nhân nhóm, nghĩa là

nếu tương ứng với a1 in: 2 args. G
1
có a
2
in: 2 args. G
2
, tương ứng b
1
in: 2 args. G
1
có
b
2
in: 2 args. G
2
, thì tương ứng có a
1
b
1
in: 2 args. G
1
, có a
2
b
2
in: 2 args. G
2
:
Nếu sự tương ứng nói trên là duy nhất theo cả hai chiều, nghĩa là nếu mỗi yếu tố a
2

in: 2 args. G
2
chỉ là ảnh hưởng của một yếu tố duy nhất a
1
in: 2 args. G
1
, và do đó có
phép tương ứng ngược lại
G
2
∋ a
2
→ G
1
∈ a
1
thì gọi là có phép tương ứng 2 chiều
G
1
∋ a
1
↔a
2
∈ G
2
6/166
thì ta gọi hai nhóm G
1
và G
2

là đẳng cấu.
Từ điều kiện bảo toàn phép nhân nhóm suy ra rằng ảnh hưởng của yếu tố đơn vị e
1
trong
G
1
phải là yếu tố đơn vị e
2
trong G
2
, ảnh hưởng của hai yếu tố nghịch đảo với nhau a
1
và a
2
-1
của G
2
.
Về phương diện cấu trúc đại số thì hai nhóm đẳng cấu có cấu trúc đại giống hệt nhau và
có thể xem là cùng một nhóm, nghĩa là ta không phân biệt các nhóm đẳng cấp với nhau
khi ta chỉ quan tâm đến cấu trúc đại số của chúng.
7/166
Các ví dụ về nhóm
1. Tập hợp R các số thực tạo thành các nhóm với phép nhân nhóm là phép cộng thông
thường: tổng x + y của hai số thực x và y được xem là tích của hai yếu tố x và y của
nhóm. Ta biết rằng phép cộng các số thực có tính chất kết hợp. Yếu tố đơn vị của nhóm
là số 0. Nghịch đảo của yếu tố x là yếu tố -x. Vì phép cộng các số thực có tính chất giao
hoán nên R là một nhóm giao hoán. Tương tự như vậy, tập hợp R
n
các vectơ trong không

gian vectơ thực n chiều tạo thành nhóm với phép nhân nhóm là phép cộng các vectơ:
tổng x+y của hai vectơ được xem là tích của hay yếu tố x và y, yếu tố đơn vị là vectơ 0
(tất cả các thành phần đều bằng không), nghịch đảo của yếu tố x là yếu tố -x. Đây là một
nhóm giao hoán. Nhóm các số nguyên là một nhóm con của nhóm các số thực đối với
phép cộng.
2. Tập hợp R – {0} các số thực khác không cũng như tập hợp C – {0} các số phức khác
không đều tạo thành nhóm đối với phép nhân nhóm là phép nhân thông thường có tính
kết hợp. Yếu tố đơn vị của nhóm là số 1. Nghịch đảo của x là
1
x
. Các nhóm này cũng là
các nhóm giao hoán. Nhóm các số dương khác không là nhóm con của nhóm các số thực
khác không đối với phép nhân, nhóm các số thực khác không là nhóm con của nhóm các
số phức khác không đối với phép nhân.
3. Tập hợp các ma trận n x n có nghịch đảo tạo thành nhóm đối với phép nhân ma trận.
Ta nhắc lại rằng nếu A và B là hai ma trận với các yếu tố ma trận A
ij
và B
ij
, i, j = 1, 2,
…, n, thì AB là ma trận với các yếu tố ma trận
(AB)
ik
= ∑
k = 1
n
A
ik
B
kj

≡ A
ik
B
kj
Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp, nhưng nói chung không giao hoán. Yếu tố đơn
vị của nhóm là ma trận đơn vị I mà các yếu tố ma trận bằng
I
ij
= δ
ij
Yếu tố nghịch đảo của ma trận A là ma trận nghịch đảo A
− 1
A
− 1
A = AA
− 1
= I
Chú ý rằng ma trận tích AB có nghịch đảo là
(AB)
− 1
= B
− 1
A
− 1
Tùy theo các yếu tố ma trận là các số thực hay các số phức mà nhóm này được ký hiệu
là GL(n, R) hay GL (n, C). Vì các ma trận trên có thể thay đổi liên tục cho nên các nhóm
8/166
này những nhóm liên tục. Khi không cần chỉ rõ các yếu tố ma trận là các số thực hay số
phức thì ta viết GL(n). Nhóm GL (n, R) là nhóm con của nhóm GL (n, C).
Tập hợp các ma trận n x n với định thức bằng 1 cũng tạo thành nhóm đối với phép nhân

ma trận, vì rằng nếu A có định thức bằng 1 thì A
-1
cũng vậy,
detA
− 1
=
1
detA
= 1
nếu A và B đều có định thức bằng 1 thì tích AB cũng vậy,
det (AB) = (det A) (det B) = 1
Tùy theo các yếu tố ma trận là các số thực hay số phức mà ta ký hiệu nhóm này là SL (n,
R) hay SL (n, C), còn khi không cần chỉ rõ số thực hay số phức thì ta ký hiệu là SL (n).
Nhóm SL (n) là nhóm con của nhóm GL (n).
4. Tập hợn các ma trận trực giao n x n tạo thành nhóm đối với phép nhân ma trận. Ta
nhắc lại rằng ma trận chuyển vị A
T
của ma trận A có các yếu tố ma trận sau đây
(A
T
)
ij
= A
ij
Từ định nghĩa này suy ra rằng
(A B)
T
= B
T
A

T
Ma trận thực n x n, ký hiệu là O, có tính chất
O
T
O = O O
T
= I
gọi ma trận trực giao. Từ đây ta có ngay
(O
-1
)T = O = (O
-1
)
-1
,
Nghĩa là O
-1
cũng là ma trận trực giao. Dễ thử lại rằng nếu O
1
và O
2
là hai ma trận trực
giao
O
1
T
= O
1
− 1
, O

2
T
= O
2
− 1
Thì tích O
1
O
2
cũng là ma trận trực giao
(O
1
O
2
)T = O
2
T
O
1
T
= O
2
− 1
O
1
− 1
= (O
1
O
2

)
-1
.
9/166
Quả thật các ma trận trực giao n x n tạo thành nhóm, ký hiệu là O
(
n
)
.
Tương tự, các ma trận trực giao n x n với định thức bằng 1 cũng tạo thành nhóm ký hiệu
là SO(i).
5. Tập hợp các ma trận unita n x n tạo thành nhóm đối với phép nhân ma trận. Ta nhắc
lại rằng ma trận liên hợp hermitic A
+
của ma trận A có các yếu tố ma trận sau đây
(A
+
)
ij
= (A
ji
)*,
nghĩa là
A
+
= (A
T
) *
Từ định nghĩa này suy ra rằng
(A B)

+
= B
+
A
+
.
Ma trận phức n x n, ký hiệu là U, có tính chất
U
+
U = UU
+
= I
nghĩa là
U
+
=U
-1
gọi là ma trận của unita. Từ đây ta có ngay
(U
-1
)
+
= U = (U
-1
)
-1
,
Nghĩa là U
-1
cũng là mà trạn unita. Dễ thử lại nếu U

1
và U
2
là hai ma trận unita,
U
1
+
= U
1
− 1
, U
2
+
= U
2
− 1
,
thì tích U
1
U
2
cũng là ma trận unita,
(U
1
U
2
)
+
= U
2

+
U
1
+
= U
2
− 1
U
1
− 1
= (U
1
U
2
)
-1
Quả thật là các ma trận unita n x n tạo thành nhóm, gọi là nhóm U(n).
10/166
Tương tự, các ma trận unita n x n với định thức bằng 1 cũng tạo thành nhóm, gọi là
nhóm SU(n). Nhóm SU(n) là nhóm con của nhóm U(n).
6. Tập hợp các phép tịnh tiến của một không gian thực n chiều tạo thành nhóm đối với
phép nhân nhóm định nghĩa như sau: thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến, ta được phép
tịnh tiến gọi là tích của chúng. Ký hiệu là T
a
và T
b
hai phép tịnh tính không gian trong
đó điểm r bất kỳ chuyển thành r + a và r + b,
T
a

: r → r + a,
T
b
: r → r + b.
Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến này, ta có
T
b
∙T
a
: r → r + a → r + b + a
Hai phép tịnh tiến này cho kết quả tương đương với phép tịnh tiến T
b+a
T
b+a
: r → r + b + a.
Vậy ta có
T
b+a
= T
b
∙ T
a
Yếu tố đơn vị của nhóm là
T
0
= I
Dễ thử lại rằng
T
-a
= (T

a
)
-1
Các nhóm tịnh tiến không gian thực n chiều tạo thành nhóm tịnh tiến T(n). Đó là một
nhóm giao hoán. Nhóm tịnh tiến đẳng cấu với nhóm các vectơ trong không gian mà
phép nhân nhóm là phép cộng các vectơ.
7. Tập hợp các phép biến đổi tuyến tính không kỳ dị của một không gian vectơ n chiều
tạo thành nhóm đối với phép nhân nhóm định nghĩa như sau: thực hiện liên tiếp hai phép
biến đổi tuyến tính không kỳ dị A rồi đến B, ta được kết quả tương đương với thực hiện
một phép biến đổi tuyến tính không kỳ dị ký hiệu là BA và được coi là tích của A và B.
Xét hệ các vectơ cơ sở độc lập tuyến tính e
1
, e
2
, …, e
n
của không gian n chiều đã cho.
Biến đổi tuyến tính A chuyển các vectơ này thành các vectơ e
1
'
, e
2
'
, , e
n
'
11/166
Ae
i
= e

i
'
gọi là không kỳ dị nếu có biến đổi tuyến tính ký hiệu là A
-1
chuyển ngược lại các vectơ
e
i
'
thành e
i
,
A
-1
e
i
'
= e
i
Định nghĩa tích của hai phép biến đổi mà ta phát biểu vắn tắt ở trên được cụ thể hóa như
sau. Xét một vectơ bất kỳ r trong không gian vectơ n chiều đã cho. Phép biến đổi tuyến
tính không kỳ dị A chuyển vectơ này thành vectơ r
’
:
r
→
A r
’
= Ar.
Tiếp theo sau phép biến đổi A ta thực hiện phép biến đổi tuyến tính không kỳ dị B. Phép
biến đổi này chuyển thành vectơ r

’
thành vectơ r
’’
r
’
→
B r
’’
= Br
’
= B (Ar).
Kết quả là ta thu được một phép biến đổi tuyến tính chuyển vectơ r thành vectơ r
’’
ký
hiệu là (BA):
r
’
→
AB r
’’
= Br
’
= B (Ar) = (BAr)
Ta coi biến đổi (BA) này là tích của hai biến đổi A và B và còn ký hiệu nó là BA. Yếu tố
đơn vị của nhóm là phép đồng nhất I:
Ie
i
= e
i
Vì các vectơ cơ sở e

1
, e
2
, …, e
n
là độc lập tuyến tính cho nên tất cả các vectơ e
i
'
đều có
thể được biểu diễn dưới dạng các tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở này
e
'
i
= e
j
A
ji
Ma trận với các yếu tố ma trận A
ij
hoàn toàn xác định phép biến đổi A
Ae
i
= e
j
A
ji
Ta cũng ký hiệu ma trận này là A. Tương tự như vậy, phép biến đổi B được diễn tả bởi
ma trận B với các yếu tố ma trận B
kj
,

12/166
Be
j
= e
k
B
kj
Tác dụng liên tiếp hai phép biến đổi A và B, ta có
B Ae
i
= B (e
j
A
ji
) = (Be
j
) A
ji
= e
k
B
kj
A
ji
= e
k
(B A)
ki
Vậy biến đổi tích B A có ma trận là tích của hai ma trận của hai phép biến đổi B và A.
Biến đổi đồng nhất có ma trận là ma trận đơn vị. Biến đổi nghịch đảo có ma trận là ma

trận nghịch đảo. Vậy nhóm các biến đổi tuyến tính không kỳ dị của không gian vectơ n
chiều đẳng cấu với nhóm GL(n) các ma trận n x n có nghịch đảo mà ta đã xét ở trên. Ta
cũng gọi đó là nhóm GL (n).
8. Tập hợp các phép quay của không gian Euclide thực n chiều quanh gốc tọa độ tạo
thành nhóm đối với phép nhân nhóm định nghĩa như sau: thực hiện hai phép quay liên
tiếp ta được một phép quay thứ ba là tích của chúng. Phép biến đổi đồng nhất (không
quay tí nào cả) là yếu tố đơn vị. Phép quay ngược lại là yếu tố nghịch đảo. Ta nhắc lại
rằng trong không gian Euclide thực n chiều ta có thể chọn hệ vectơ đơn vị cơ sở e
1
, e
2
,
…, e
n
trực giao chuẩn hóa, nghĩa là thỏa mãn điều kiện
(e
i
, e
j
) = δ
ij
, i, j = 1, 2, …, n
Trong phép quay O các vectơ này chuyển thành e
1
'
, e
2
'
, , e
n

'
cũng trực giao chuẩn hóa
(e
1
'
, e
2
'
) = δ
ij
Thay vào đây các biểu thức viết ở trên biểu diễn e
'
i
qua e
j
và dùng tính chất trực giao
chuẩn hóa của các vectơ e
i
, ta thu được hệ thức
O
ki
O
kj
= δ
ij
Vậy ma trận O với các yếu tố ma trận Oij thỏa mãn điều kiện
O
T
O = I
Nhân từ bên phải cả hai vế với O

-1
, ta có
O
T
= O
-1
nghĩa là ma trận của phép quay phải là ma trận trực giao. Từ điều kiện ma trận trực giao
còn suy ra rằng
det O
T
∙ det O = (det O)
2
= 1
13/166
nghĩa là
det O = ± 1
Vì mà trận của phép biến đổi đồng nhất có định thức bẳng +1, mà các phép quay lại là
các phép biến đổi liên tục, cho nên định thức không thể nhảy từ +1 sang -1. Vậy ta phải
có
det O = 1
Tóm lại, nhóm các phép quay trong không gian Eucide thực n chiều đẳng cấu với nhóm
SO(n). Ta cũng gọi nhóm quay này là nhóm SO(n).
9. Trong không gian Euclide phức n chiều với tích vô hướng xác định dương có các tính
chất sau đây
(b, a
1
+ a
2
) = (b, a
1

) + (b, a
2
)
(b
1
+ b
2
, a) = (b
1
, a) + (b
2
, a)
(b, a) = (a, b)
*
,
(b, λa) = λ(b, a)
với mọi số phức λ và do đó
( λb, a) = λ
*
(b, a)
tập hợp các phép biến đổi tuyến tính từ u bảo toàn tích vô hướng của hai vectơ bất kỳ
(ua, ub) = (a, b)
Tạo thành nhóm đối với phép nhân của hai phép biến đổi được định nghĩa là sự thực
hiện liên tiếp hai phép biến đổi đó.
Trong không gian vectơ đang xét ta hãy chọn hệ vectơ đơn vị cơ sở trực giao chuẩn hóa
e
1
, e
2
, …, en,

(ei, ej) = δij, i, j = 1, 2, …, n
Phép biến đổi từ U chuyển các vectơ này thành các vectơ đơn vị mới e
1
'
, e
2
'
, , e
n
'
e
i
'
= Ue
i
= e
j
u
ji
14/166
Vì biến đổi U bảo toàn các tính vô hướng cho nên
(e
i
'
e
j
'
) = ( U e
i
, U e

j
)= (e
k
, e
i
) U
ki
U
ij
= U
ki
U
kj
= U
ik
+
u kj = δ
ij
Trong đó U
+
là ma trận liên hợp hermitic của U. Do đó ta có hệ thức
U
+
U = I
hay là
U
+
= U
-1
Ma trận của các phép biến đổi U bảo toàn tích vô hướng trong không gian Euclide phức

n chiều là các ma trận unita n x n. Vậy nhóm các phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích
vô hướng trong không gian Euclide phức n chiều đẳng cấu với nhóm U (n). Ta cũng gọi
đó là nhosmm U (n). Nếu ta đặt thêm điều kiện định thức của các phép biến đổi phải
bằng 1 thì ta có nhóm SU(n).
15/166
Nhóm SO(3) các phép quay không gian Euclide thực ba
chiều
Trong mục này ta khảo sát chi tiết nhóm SO(3) các phép quay không gian Euclide thực
ba chiều, vì đây là nhóm đối xứng rất thường gặp trong nhiều lĩnh vực vật lý lượng tử:
vật lý nguyên tử, vật lý hạt nhân, vật lý hạt sơ cấp. Ta bắt đầu từ việc nghiên cứu các
phép quay của mặt phẳng xOy quanh gốc tọa độ, tạo thành nhóm SO(2). Đó chính là
nhóm quay không gian ba chiều quanh trục cố định Oz, một nhóm con của nhóm SO(3).
Mỗi phép quay của mặt phẳng xOy được đặc trưng bởi góc quay φ và ký hiệu là O(φ).
Thực hiện liên tiếp hai phép quay các góc φ
1
và φ
2
, ta được phép quay góc φ
1
+ φ
2
là
tích của hai phép quay nói trên
O(φ
1
) O(φ
2
) = O (φ
1
+ φ

2
)
Tất cả các phép quay này giao hoán với nhau cho nên SO(2) là nhóm giao hoán. Mọi
yếu tố O(φ) của nhóm này đều hoàn toàn được xác định bởi giá trị của thông số φ thay
đổi liên tục từ 0 đến 2 Π. Do đó SO (2) là nhóm liên tục một thông số. Trong phép quay
O(φ) các vectơ đơn vị cơ sở i và j chuyển thành vectơ đơn vị mới i’ và j’ liên hệ với i và
j bởi các hệ thức (xem hình 1.1)
i ' = i cos φ + j sin φ
j ' = -i sin φ + j cos φ
Hai công thức này có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau:
(i
'
j
'
)=(i j )
[
cos φ
sin φ
−sin φ
cos φ
]
16/166
Vậy ma trận của phép biến đổi O (φ) là
O (φ)=
[
cos φ
sin φ
−sin φ
cos φ
]

Dễ dàng thử lại rằng O (φ) là ma trận trực giao
O (φ)
T
O (φ) = O (φ)O (φ)
T
= I
có định mức bằng 1,
det O (ϕ) = 1,
và thỏa mãn điều kiện
O (φ
1
) O (φ
2
) = O (φ
1
+ φ
2
)
Ma trận O (φ) hoàn toàn xác định phép quay tương ứng. Vì các yếu tố ma trận của nó là
các hàm khả vi của φ cho nên O (φ) là nhóm Lie.
Trong phép quay O (φ)vectơ r với các thành phần x và y,
r= xi + yj,
chuyển thành vectơ r’ với các thành phần x’ và y’,
r ’ = x i ’ + y j ’.
Mặt khác, vì r ’, i ’, j ’ thu được từ r, i, j sau cùng một phép quay cho nên hệ thức giữa r
’ và i ’, j ’ có dạng giống hệt như hệ thức giữa r và i, j, cụ thể là
r ’ = x i ’ + y j ’
Thay vào đây các biểu thức diễn tả i ’ và j ’ theo ivà j, ta suy ra
x ’ = cos φ x - sin φy
y ’ = sin φx + cos φy

Các công thức này còn được viết dưới dạng ma trận như sau
17/166
[
x
'
y
'
]
=
[
cos φ
sin φ
−sin φ
cos φ
] [
x
y
]
Các phép quay mặt phẳng xOy xung quanh gốc tọa độ O đồng thời cũng là các phép
quay của không gian ba chiều quanh trục Oz. Ký hiệu các vectơ đơn vị cơ sở của không
gian Euclide ba chiều là i, j, k, phép quay góc φ quanh trục Oz là Cz(φ). Phép quay này
chuyển các vectơ đơn vị cơ sở nói trên thành các vectơ đơn vị cơ sở mới sau đây.
i ’ = i cos φ + j sin φ,
j ’ = -i cos φ + j cos φ,
k ’ = k
Do đó ma trận của phép quay C
z
(φ) có dạng
C
z

(φ)=
[
cos φ
sin φ
0
−sin φ
cos φ
0
0
0
1
]
Tương tự như vậy, ma trận của các phép quay góc φ quanh các trục Ox và Oy, ký hiệu
là C
z
(φ) và C
y
(φ), có dạng
C
x
(φ)=
[
1
0
0
0
cos φ
sin φ
0
−sin φ

cos φ
]
C
y
(φ)=
[
cos φ
0
−sin φ
0
1
0
sin φ
0
cos φ
]
Xét nhóm quay trong không gian ba chiều SO(3). Mọi phép quay không gian ba chiều
quanh gốc tọa độ O đều có thể được thực hiện dưới dạng tổ hợp của ba phép quay liên
tiếp sau đây: phép quay góc φ quanh trục Oz chuyển các trục tọa độ Ox và Oy thành Ox’
và Oy’, phép quay góc θ quanh trục mới Ox’ chuyển các trục mới Oy’ và Ox thành Oy’’
và Oz’’, phép quay góc ψ quanh trục mới Oz’’ (xem hình 1.2). Ba thông số φ, θ, ψ gọi là
ba góc Euler. Ký hiệu phép quay với ba góc Euler.
18/166
φ, θ, ψ là O( ψ, θ,φ). Ma trận của phép quay này là tích của ba ma trận tương ứng với các
phép quay quanh các trục Oz, Ox’ và Oz’’, cụ thể là
O( ψ, θ,φ) = Cz( ψ) Cx( θ) Cz(φ).
Thay vào đây các biểu thức của Cx(φ), Cz( ψ) và Cx( θ), ta thu được
O (ψ, θ, φ) =
Các góc ψ và φ thay đổi từ 0 đến 2 π, còn góc θ thay đổi từ 0 đến π. Nhóm SO(3) là
nhóm Lie ba thông số.

Trong đoạn trước ta đã định nghĩa các yếu tố liên hợp. Bây giờ ta hãy chứng minh tính
chất liên hợp của hai phép quay cùng một góc quanh hai trục khác nhau.
19/166
Mệnh đề . Trong nhóm quay SO(3) hai phép quay cùng một góc quanh hai trục quay
khác nhau luôn luôn liên hợp với nhau.
Chứng minh. Ký hiệu các vectơ đơn vị cơ sở i, j, k của hệ tọa độ Descartes là e
i
, i = 1, 2,
3 và giả sử n và n’ là hai vectơ đơn vị có chung điểm đầu là gốc tọa độ O. Có một phép
quay R nào đó chuyển vectơ n thành vectơ n’ và giả sử rằng trong phép quay này các
vectơ đơn vị cơ sở e
i
chuyển thành e
i
'
. Các phép quay góc φ quanh các trục n và n’ ký
hiệu là Cn(φ) và Cn
’
(φ). Trong hệ tọa độ với các vectơ đơn vị cơ sở e
i
'
phép quay Cn
’
(φ)
có các yếu tố ma trận giống hệt như các yếu tố má trận của phép quay Cn(φ) trong hệ
tọa độ với các vectơ đơn vị cơ sở e
i
. Nói khác đi, nếu
C
n

(φ) e
i
=e
j
A
ji
thì
C
n'
(φ) e
i
'
=e
j
'
A
ji
Thay
e
i
'
= R ei
vào hệ thức (4)
C
n’
(φ) R e
i
= Re
j
A

ji
rồi nhân cả hai vế với R
-1
từ bên trái, ta thu được
R
-1
Cn’ (φ) Re
i
= e
j
A
ji
So sánh với hệ thức (3), ta suy ra rằng
R
-1
C
n’
(φ) R = C
n
(φ)
hay là
C
n’
(φ) = RC
n
(φ)R
-1
Ta còn viết lại hệ thức này như sau
C
Rn

(φ)=RC
n
(φ)R
-1
20/166
Vậy C
Rn
(φ) và C
n
(φ) là hai yếu tố liên hợp với nhau của nhóm SO(3).
Bây giờ bẳng những lập luận tổng quát chúng ta hãy thiết lập biểu thức của phép quay
C
n
(δφ) một góc vô cùng bé δφ quanh trục quay hướng theo vectơ đơn vị n trong phép
gần đúng cấp 1 theo δφ. Ta hãy đặc trưng phép quay góc δφ quanh trục quay hướng theo
vectơ n bằng vectơ δφ có giá trị bằng δφ và hướng theo trục quay,
δφ = nδφ.
Ma trận C
n
(δφ) phải quy về ma trận đơn vị I khi đặt δφ = 0, cho nên nó có dạng
C
n
(δφ) = I + X (δφ)
Trong đó ma trận X (δφ) là đại lượng bé cấp 1 theo δφ. Bỏ qua số hạng cấp 2, ta có
[
C
n
(δφ)
]
− 1

= I − X(δφ)
Mặt khác
[
C
n
(δφ)
]
T
= I +
[
X(δφ)
]
T
Từ điều kiện ma trận C
n
( δφ) là ma trận trực giao
[
C
n
(
δφ
)
]
T
=
[
C
n
(δφ)
]

− 1
suy ra rằng ma trận X (δφ) phải là ma trận phản đối xứng
[
X(δφ)
]
T
= − X(δφ)
T
Ta thấy rằng trong số chín yếu tố ma trận của X (δφ) thì ba yếu tố chéo phải bằng không
[
X(δφ)
]
ii
= 0
sáu yếu tố không nằm trên đường chéo chia thành ba cặp, mỗi cặp gồm hai yếu tố bằng
nhau về độ lớn và ngược dấu nhau,
[
X(δφ)
]
ij
= −
[
X(δφ)
]
ji
,i ≠ j
Vậy ma trận X( δφ) chỉ chứa ba thông số độc lập. Ta có thể chọn ba thàn phần δφ
k
, k =
1, 2, 3, của vectơ δφ làm ba thông số độc lập này và viết

X( δ φ) = - i δ φ S = - i δ φ
k
S
k
21/166
trong đó S
k
, k = 1, 2, 3, là ba ma trận phản đối xứng 3 x 3 độc lập tuyến tính với nhau.
Ta đưa them đơn vị ảo –i vào công thức vừa viết để cho thuận tiện sau này. Vì các yếu
tố ma trậ của X( δφ) phải là các số thực cho nên các yếu tố ma trận của các ma trận S
k
phải là các số ảo.
Từ các biểu thức vừa viết ở trên của C
n
(δφ) và X (δφ) suy ra rằng các phép quay góc vô
cùng bé δφ quanh các trục Ox, Oy, và Oz có các ma trận sau đây
C
x
(δφ)= I - i δφ S
1
C
y
(δφ)= I - i δφ S
2
C
z
(δφ)= I - i δφ S
3
Các ma trận Sk, k = 1, 2, 3, gọi là các vi tử của các phép quay quanh ba trục tọa độ. Ta
lại cũng đã biết các biểu thức (1a) - (1c) của các phép quay C

x
( φ), C
y
( φ), C
z
( φ) với
các góc quay φ bất kỳ. Dùng các biểu thức này rồi thay φ bằng δφ vô cùng bé và chỉ giữ
lại các số hạng cấp 1 theo δφ, ta suy ra
C
x
(δφ)=
[
1
0
0
0
1
δφ
0
−δφ
1
]
,
C
y
(δφ)=
[
1
0
−δφ

0
1
0
δφ
0
1
]
,
C
z
(δφ)=
[
1
δφ
0
−δφ
1
0
0
0
1
]
,
So sánh các biểu thức này với các công thức biểu diễn các ma trận C
x
( δφ), C
y
( δφ) và
C
z

( δφ) qua các vi tử S
1
, S
2
, S
3
mà ta đã viết ở trên, ta thu được
S
1
=
[
0
0
0
0
0
i
0
−i
0
]
22/166
S
2
=
[
0
0
−i
0

0
0
i
0
0
]
S
3
=
[
0
i
0
−i
0
0
0
0
0
]
Dễ thử lại rằng ba ma trận S
1
, S
2
, S
3
thỏa mãn các hệ thức giao hoán sau đây
[
S
1

,S
2
]
= i S
3
,
[
S
2
,S
3
]
= i S
1
,
[
S
3
,S
1
]
= i S
2
hay là dưới dạng thu gọn
[
S
i
,S
j
]

= i ε
ijk
S
k
,
Trong đó ε
ijk
là tenxơ hoàn toàn phản đối xứng hạng 3 trong không gian ba chiều, với
ε
123
= 1
23/166