Bài giảng Thủy văn công trình - Chương 3

Chương 3: Thống kê xác suất ứng dụng
trong tính toán thủy văn


THUỶ VĂN CÔNG TRÌNH
Khoa Thuỷ văn – Tài nguyên nước
Bộ môn Thuỷ văn – Tài nguyên nước
1
3.1 Khái niệm về xác suất và tần suất
1. Các khái niệm cơ bản
 Phép thử: Thc hiện mt thử nghiệm và quan sát kt quả thc
hiện đối với mt hiện tượng ngẫu nhiên nào đó trong cùng
mt điều kiện nhất định.
 Kt quả của mt phép thử ngẫu nhiên gọi là bin cố ngẫu
nhiên, hoặc nói ngắn gọn là bin cố / bin cố cơ bản. Tp hợp
cc bin cố có thể xy ra trong mt php thử gọi l không gian
bin cố.



2
3.1 Khái niệm về xác suất và tần suất
Phân loại bin cố
 Bin cố chắc chắn: là bin cố nhất định phải xuất hiện trong
mt phép thử.
 Bin cố không thể có: là bin cố không thể xuất hiện trong
mt phép thử.
 Bin cố đc lp: là bin cố mà s xuất hiện của nó không phụ
thuc vào s xuất hiện của các bin cố khác
 Bin cố phụ thuc: là bin cố mà s xuất hiện của nó phụ
thuc vào s xuất hiện của bin cố khác

3
3.1 Khái niệm về xác suất và tần suất
Phân loại bin cố
 Bin cố tổng: bin cố C được gọi là bin cố tổng của hai bin cố A
và B nu hoặc A xuất hiện, hoặc B xuất hiện, hoặc cả A và B cùng
xuất hiện đều dẫn đn sự xuất hiện của C.
 Bin cố tích: Bin cố C được gọi là bin cố tích của hai bin cố A
và B khi và ch khi cả 2 bin cố A và B đng thi xuất hiện tạo nên.


4
A
B
A
B
C=A+B
C=A.B
3.1 Khái niệm về xác suất và tần suất
Xác suất
 Định nghĩa cổ điển: Xác suất xuất hiện của mt bin cố
A nào đó bằng tỷ số giữa số bin cố cơ bản thun lợi
cho A xuất hiện trên tổng các bin cố cơ bản của không
gian bin cố.
Công thức tính xác suất của bin cố A theo định nghĩa cổ
điển:


n là tổng số các bin cố cơ bản của không gian bin cố đang xét;
m là số bin cố cơ bản thun lợi cho bin cố A xuất hiện.

5
n
m
AP )(
3.1 Khái niệm về xác suất và tần suất
 Định nghĩa theo thống kê: Xác suất xuất hiện của mt
bin cố A nào đó là tần số xuất hiện của bin cố đó khi
số lần thc hiện phép thử tăng lên vô hạn.
Công thức tính xc suất theo định nghĩa thông kê:



n l số lần thc hiện php thử
m l số lần xuất hiện bin cố A


6
n
m
AP
n
lim
)(


3.2 Đại lượng ngẫu nhiên và luật phân bố
xác suất của đại lượng ngẫu nhiên
1. Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên

 Đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) l mt đại lượng m trong mt php thử
nó nhn mt gi trị có thể trong tp giá trị hay trong mt khoảng trên trục
số với xc suất tương ứng của nó.
Ký hiệu X = {x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
}
Phân loại:
o Đại lượng ngẫu nhiên ri rạc: Nu nó nhn mt số gi trị hữu hạn trong
khoảng xc định của nó.
o Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Nu nó nhn bất kỳ gi trị trong khoảng
xc định của nó
7
2. Lut phân bố xác suất của ĐLNN và Hàm phân bố xác suất
8

Giá
trị có thể của
ĐLNN
X
1

X
2

X
3

X…
Xn
Xác
suất (P)
P
1

P
2

P
3

P…
Pn
 
x
xxXxP
xf
x




lim
0
)(

2. Lut phân bố xác suất của ĐLNN và Hàm phân bố xác suất
9



x
dxxf )(
Ví dụ:
10
 Hàm mt đ xác suất chun có dạng:




2
)(
2
2
exp
2
1
)(
x
xf
mx
x


3. Tính chất và đ thị của hàm PPXS
11

PPXS
dạng F(x) = P(X≤ x)
PPXS dạng F(x) = P(X ≥ x)

1.
Giá trị F(x) ≥0 nhn giá trị trong
khoảng [0,1]
-
F(-∞) = P(x≤-∞) = 0;

F(+∞) = P(x≤+∞) = 1
-
Với (-∞ ≤ x ≤ +∞) ta có
(0 ≤ F(x) ≤ 1)
1.
Giá trị F(x) ≥0 nhn gi trị trong
khoảng [0,1]

-
F(-∞) = P(x≥-∞) = 1;

F(+∞) = P(x≥+∞) = 0
-
Với (-∞ ≤ x ≤ +∞) ta có
(0 ≤ F(x) ≤ 1)
2.
F(x) là hàm đng bin không giảm
trên
toàn trục số x
2

≥ x
1
thì F(x
2
)

≥ F(
x
1
). Đ thị luân đi lên
2.
F(x) là hàm nghịch bin không tăng
trên
toàn trục số x
2
≥ x
1
thì F(x
2)
≤ F(
x
1
). Đ thị luân đi xuống
3. F(x
) = P(X≤ x) liên tục trái tại mỗi
điểm
x
o
bất kỳ trên trục số
lim F(x) = F(x

o
)
3. F(x) = P(X≤ x)
liên tục trái tại mỗi
điểm
x
o
bất kỳ trên trục số
lim
F(x) = F(x
o
)

oo
xx


oo
xx


4. Các đặc trưng biểu thị của đại lng ngẫu nhiên (ĐLNN)
12
1: Kỳ vọng toán của ĐNN là mô men gốc bc nhất của hàm
mt đ xác suất ký hiệu m
x
= M[X] biểu thị mức đ tp trung
của ĐLNN

- Với ĐLNN liên tục m

x
=


- Với ĐLNN ri rạc m
x


nu xác suất p(x
i
) phân bố đều thì p(x
i
) = và kỳ vọng
toán sẽ là:


x
dxxfx )(.



n
i
ii
xpx
1
)(
n
1
4. Các đặc trưng biểu thị của đại lng ngẫu nhiên (ĐLNN)

13
3. Hệ số thiên lệch
Đ thị hàm mt đ có thể đối xứng(như phân bố chun)
hoặc không đối xứng quanh trục tung có gốc là kỳ vọng
tính đối xứng được đnh giá momen bc ba:
+ Đối với ĐLNN liên tục

+Đối với ĐLNN ri rạc


Hệ số thiên lệch ký hiệu Cs


dxxfmx
x
)()(
3
3





)()(
3
1
3 ix
n
i
i

xpmx 



3
3
x
s
C



4. Các đặc trưng biểu thị của đại lng ngẫu nhiên (ĐLNN)
14
2. Phương sai và khoảng lệch quân phương biểu thị mức đ phân tán của
ĐLNN
- Phương sai ký hiệu D
x
=M[ (x – m
x
)
2
] là kỳ vọng của kỳ vọng toán.

+ Đối với ĐLNN liên tục


+ Đối với ĐLNN ri rạc

- Khoảng lệch quân phương

- Hệ số phân tán: là đặc trưng không thứ nguyên biểu thị đ phân tán của
ĐLNN so với kỳ vọng ký hiệu C
v




dxxfmx
x
x
D
)()(
2




)()(
2
1
ic
n
i
i
x
xpmx
D




xx
D

x
x
v
m
C


4. Các đặc trưng biểu thị của đại lơng ngẫu nhiên (ĐLNN)
15
3. Hệ số thiên lệch
Đ thị hàm mt đ có thể đối xứng(như phân bố chun)
hoặc không đối xứng quanh trục tung có gốc là kỳ vọng
tính đối xứng được đnh giá momen bc ba:
+ Đối với ĐLNN liên tục


+Đối với ĐLNN ri rạc


Hệ số thiên lệch ký hiệu Cs


3.3 Khái niệm về mẫu và tổng thể,
phương pháp chọn mẫu
 Tổng thể Số lượng các giá trị có thể mà ĐLNN có
thể nhn được là lớn vô cùng. Tp hợp tất cả các

giá trị mà ĐLNN X có thể nhn được gọi là tổng
thể. Ký hiệu: N
 Mẫu Trong nghiên cứu không thể nào NC ht tất
cả các giá trị của tổng thể mà ch NC trên mt tp
giá trị với số lượng rất nhỏ. Tp hợp hữu hạn các
số liệu thu thp được của tổng thể gọi là mẫu.
Ký hiệu: n


16
3.3 Khái niệm về mẫu và tổng thể,
phương pháp chọn mẫu
 Các yêu cầu của mẫu trong thống kê:
o Tính đại biểu: mẫu được chọn có những tính chất của
tổng thể. Muốn vy, dung lượng mẫu phải đủ lớn đảm
bảo sai số lấy mẫu; mẫu phải bao gm các giá trị số đặc
trưng lớn, nhỏ và trung bình
o Tính đc lp: các số liệu của mẫu không phụ thuc lẫn
nhau
o Tính đng nhất: cùng loại, cùng nguyên nhân hình
thành hoặc cùng điều kiện xuất hiện
17
3.4 Hàm tần suất luỹ tích và hàm mật độ
tần suất
 Khái niệm
Trong thống kê toán thưng ch thu được hữu hạn các gía
trị của ĐLNN (mẫu có dung lượng n) tức là thu được các
giá trị ri rạc từ tổng thể mặc dù ĐLNN có thể là liên tục.
Do vy có thể dùng các công thức định nghĩa của ĐLNN
ri rạc để tính toán. Các hiện tượng thủy văn là ĐLNN liên

tục, các giá trị thu được ri rạc vì vy trong thủy văn qui
ước cách gọi riêng: Xác suất gọi là Tần suất và theo đó có
Hàm mt đ xác suất-Hàm mật độ tần suất; Hàm PPXS-
Hàm tần suất tích lũy



18

19
 Hàm phân bố xác suất của đại lượng ngẫu nhiên
dùng trong Thủy văn
Hàm phân bố xác suất F(x) l xc suất để cho
đại lượng ngẫu nhiên X nhn cc gi trị lớn hơn
hoặc bằng mt gi trị x, trong đó x l bin số nhn
cc gi trị có thể trên miền xc định của nó.
F(x) = P(X  x)


3.4 Hàm tần suất luỹ tích và hàm mật độ
tần suất
20
0
1
F(x)
x
Đ thị hm tan suat tich luy
3.4 Hàm tần suất luỹ tích và hàm mật độ
tần suất
21

Tính chất hàm phân bố xác suất:
 Luôn dương v nhn gi trị trong khoảng [0,1]
 F(-)=1
 F()=0
 L hm nghịch bin v không tăng trên ton trục số
 x
2
x
1
thì F(x
2
)F(x
1
)
 Liên tục bên phải tại mỗi điểm x
0


   
0
0
lim
0
xFxF
xx


3.4 Hàm tần suất luỹ tích và hàm mật độ
tần suất
22

 Công thức:


 Tính chất:

 1.

 2. Hm f(x) luôn dương v bin đổi từ 0 đn 1

 3.
   
dxxfxF
x



 
x
xxXxP
xf
x




lim
0
)(
 
1




dxxf
Hàm mật độ xác suất
3.4 Hàm tần suất luỹ tích và hàm mật độ
tần suất
23
x
f(x)
Đồ thị hàm mật độ xác suất dạng quả chuông
3.4 Hàm tần suất luỹ tích và hàm mật độ
tần suất
Đặc điểm của đồ thị hàm mật độ xác suất
 Hon ton nằm trên trục honh
 Hình dạng đ thị hàm mt đ tần suất có dạng hình quả
chuông
 Hm mt đ xc suất nhn trục 0x lm tiệm cn ngang
 Có mt gi trị cc đại
24
3.4 Hàm tần suất luỹ tích và hàm mật độ
tần suất
 Hàm tần suất luỹ tích/Hàm phân bố xác suất
Trong thống kê toán học, thưng ch thu được mẫu có
dung lượng n (ri rạc).
Mẫu n đó được coi là đại lượng ngẫu nhiên ri rạc.
F(x
i
) = P(X  x
i

)
Được gọi là hàm tần suất luỹ tích.
Đ thị của nó thưng được gọi là “đưng tần suất”
25