bài giảng môn xác suất thống kê xác suất biến cố

ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
1
11
CHƯƠNG 1:
XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

I/ Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên:

Phép thử ngẫu nhiên:

là việc thực hiện 1 thí nghiệm/ thực nghiệm, hoặc
việc quan sát 1 hiện tượng tự nhiên trong 1 số điều
kiện nhất đònh. Nó có thể dẫn đến kết cục này hoặc
kết cục khác (có ít nhất 2 kết cục). Và việc làm này
có thể thực hiện bao nhiêu lần cũng được.

Quy ước: Một đồng xu có 1 mặt Hình và 1 mặt Chữ
được gọi là đồng xu Sấp Ngữa, với quy ước

mặt Hình = Sấp , mặt Chữ = Ngữa.
2
33

Vd1: Tung 1 đồng xu Sấp Ngữa (cân đối, đồng chất),
xét xem mặt nào xuất hiện (mặt nào được lật lên).

Đây là 1 phép thử ngẫu nhiên?

Vd2: Ném hòn đá xuống nước, xét xem hòn đá chìm
hay nổi.


Đây là 1 phép thử ngẫu nhiên?

Vd3: Hai vợ chồng cãi nhau. Xét xem họ có ly dò
nhau không.

Đây là 1 phép thử ngẫu nhiên?

VD4:

Bắn 1 phát súng vào bia.

Đây là 1 phép thử NN?

VD5:

Hộp có 7 bi Trắng và 5 bi Xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 bi
ra xem màu.

Đây là 1 phép thử NN?

VD6:

Hộp có 7 bi Trắng. Lấy ngẫu nhiên 1 bi ra xem màu.

Đây là 1 phép thử NN?

VD7: (Phim “Hãy yêu đi rồi sẽ biết”)

Yêu 1 người khác giới tính.


Đây là 1 phép thử NN?

Từ đây trở đi khi ta nói phép thử thì có nghóa là
phép thử NN.
4
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
2
55
Các kết cục của phép thử NN gọi là các biến cố.
Có 3 loại biến cố: bc ngẫu nhiên
, bc chắc chắn, bc
không thể có
BcNN: là bc có thể xảy ra hoặc không xả
y ra khi thực
hiện phép thử. Ký hiệu A, B, C,…
Bc chắc chắn: là bc luôn xả
y ra khi thực hiện phép thử.
Ký hiệu 
Bc không thể có: là bc không thể xả
y ra khi thực hiện
phép thử. Ký hiệu  (hoặc )
Ta chỉ nghiên cứu bcNN mà thôi.
66

Vd1:

Tung 1 con xúc xắc (cân đối, đồng chất), xét xem mặt
nào xuất hiện.


(Con xúc xắc có các mặt được đánh số nút từ 16)

Đặt: A= bc xuất hiện mặt có số nút <=6

B= bc xuất hiện mặt có số nút là 7

C= bc xuất hiện mặt có số nút là số chẳn

Biến cố nào là biến cố chắc chắn, bc ktc, bcNN?
77

VD2:

Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con.
(Một người chỉ có thể là trai hoặc là gái, không xét hifi)

Đặt: A = bc gia đình có 1 trai, 1 gái.
B = bc gia đình có 2 con.
C = bc gia đình có 3 con.

Bc nào là bccc, bcktc, bcNN?
88

Vd3:

Hộp có 8 bi: 6 bi Trắng, 2 bi Xanh. Lấy ngẫu nhiên
ra 3 bi xem màu.

Đặt A= bc lấy được 3 bi T

B= bc lấy được 3 bi X
C= bc lấy được 3 bi

Bc nào là bccc, bcNN, bcktc?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
3
99
II) QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ

Thông thường sinh viên coi nhẹ phần này, cho rằng
“
chuyện nhỏ như con thỏ”, “không có gì mà ầm ỉ”.
Phải tính xác suất cái này, xác suất cái kia thì mới
“Xứng danh đại anh hùng”! Học xác suất mà “không
thấy xác suất đâu”, học các quan hệ này thì chán chết!

Tuy nhiên khi gặp bài toán xác suất đòi hỏi phải biết
cách
tự phân tích, tự đặt các biến cố, diễn tả câu hỏi đề
cho theo các biến cố
đã đặt thì lại không làm được,
hoặc diễn tả không đúng!

Hoặc đọc bài giảng trong sách thì lại không hiểu tại
sao người ta biến đổi được như vậy!
 Nếu đã hiểu rõ về các quan hệ giữa các biến cố thì các
vấn đề trên đúng là “
chuyện nhỏ như con thỏ”!


Vậy bạn thích “con thỏ” nào !?
1010
II/QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ:
 1)Kéo theo:

bc A gọi là kéo theo bc B nếu bc A xảy ra thì dẫn
đến bc B xảy ra, khi thực hiện phép thử. Ký hiệu:
AB hay AB

Vd1:

Một sv mua 1 tờ vé số.

Đặt A= bc sv này trúng số độc đắc
B= bc sv này trúng số
AB hay BA ?
1111
1)KÉO THEO
 VD2: Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con.

Đặt A= bc gia đình có con trai.
B= bc gia đình có 2 con trai.

AB hay BA ?

VD3: Xét 1 học sinh đi thi đại học khối A.

Đặt A= bc học sinh này thi đậu
B= bc học sinh này có điểm Toán là 10


AB hay BA ?
1212
2) TƯƠNG ĐƯƠNG (BẰNG NHAU):

bc A gọi là bằng bc B nếu bc A xảy ra thì bc B xảy
ra, và ngược lại bc B xảy ra thì bc A xảy ra, khi thực
hiện phép thử. Ký hiệu A=B hay AB
 Vậy A=B nếu AB và BA

Vd1:

Tung 1 con xúc xắc.

Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút chẳn
B= bc con xx xh mặt có số nút là: 2,4,6
C= bc con xx xh mặt có số nút là: 2,4
A=B? A=C?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
4
13
2) T
ƯƠNG ĐƯƠNG
 VD2:

Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con.

(Một người chỉ có thể là trai hoặc là gái, không xét hifi)

A= bc gia đình có 1 con trai


B= bc gia đình có 1 con gái

C= bc gia đình có con trai

D= bc gia đình có ít nhất 1 con trai

E= bc gia đình có nhiều nhất 1 con trai

A=B? A=C? C=D? C=E?
13 1414
2)TƯƠNG ĐƯƠNG

Vd3:

Hộp có 8 bi: 6T, 2 X. Lấy 2 bi ra xem màu.

Đặt A= bc lấy được 1 bi T
B= bc lấy được 1 bi X
C= bc lấy được 3 bi T
D= bc lấy được bi T

A=B? A=C? A=D?
1515
2)TƯƠNG ĐƯƠNG

Vd4:

Hộp có 8 bi: 4T, 2X, 2Đỏ. Lấy 2 bi ra xem màu.


Đặt A= bc lấy được 1 bi T
B= bc lấy được 1 bi X
A=B?
16
2)TƯƠNG ĐƯƠNG

VD5:

Hộp có 7 bi Trắng và 5 bi Xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi.

A= bc lấy được ít nhất 2 bi T

B= bc lấy được nhiều nhất 1 bi X

C= bc lấy được nhiều nhất 2 bi X

D= bc lấy được 2 bi T

E= bc lấy được 1 bi X

D=E? A=B ? A=C ?
16
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
5
1717
3)TỔNG (HP):

bc C gọi là tổng của 2 bc A và B, ký hiệu C=A+B
hay C=AB.


C xảy ra nếu có ít nhất 1 trong 2 bc A hoặc B xảy ra,
khi thực hiện phép thử.

Câu hỏi: Vậy A và B cùng xảy ra khi thực hiện phép
thử được hông?
1818
3)HP

Vd1:

Tung 1 con xúc xắc. Xét xem mặt nào xuất hiện.

Đặt C= bc con xx xh mặt có số nút chẳn.
B= bc con xx xh mặt có số nút là 2
A= bc con xx xh mặt có số nút là 4,6
D= bc con xxxh mặt có số nút là 2,4

C= A+B? C= A+D?
3)HP

VD2:

Có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 1 phát đạn vào bia.
 A= bc người thứ nhất bắn trúng

B= bc người thứ hai bắn trúng

C= bc bia trúng đạn


C= A+B?
19 2020
3)HP

Vd3: Lớp có 50 sv, trong đó có: 20 sv giỏi AV, 15
sv giỏi PV, 7 sv giỏi cả 2 ngoại ngữ trên.

Chọn NN 1 sv trong lớp.

Đặt A= bc sv này giỏi Anh
B= bc sv này giỏi Pháp
C= bc sv này giỏi ít nhất 1 ngoại ngữ.
D= bc sv này giỏi cả 2 ngoại ngữ
C= A+B? D= A+B?

Dùng biểu đồ Venn minh họa?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
6
2121
3)HP

Vd4:

Hộp có 9 bi T và 7 bi X. Lấy NN 3 bi từ hộp.

Đặt A= bc lấy được 2 bi T và 1 bi X
B= bc lấy được 3 bi T
C= bc lấy được ít nhất 2 bi T
D= bc lấy được nhiều nhất 1 bi X

C= A+B? D= A+B?
2222

Tổng quát: C= A1+A2+ +An .
C xảy ra nếu có ít nhất 1 bc Ai xảy ra, khi thực hiện
phép thử

VD1: Có 3 người đi thi

Ai= bc người thứ i thi đậu

C= bc có ít nhất 1 người thi đậu

C= A1+A2+A3

Vd2: Kiểm tra chất lượng n sản phẩm.
Đặt Ai= bc sp thứ i xấu.
C= bc có ít nhất 1 sp xấu

C= A1+A2+ +An

Vậy “hiểu” dấu + giữa các biến cố nghóa là gì?
2323
4)TÍCH (GIAO):

bc C gọi là tích của 2 bc A và B, ký hiệu C= A.B
hay C= AB

C xảy ra nếu cả 2 bc A và B cùng xảy ra, khi thực
hiện phép thử.

2424
4)TÍCH

Vd1:

Tung 1 con xúc xắc. Xét xem mặt nào xuất hiện.

Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút là 2,4
B= bc con xx xh mặt có số nút là 2,6
C= bc con xx xh mặt có số nút là 2
D= bc con xx xh mặt có số nút là 2,4,6

C= A.B? C= A.D?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
7
4)TÍCH
 VD2:

Có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 1 phát đạn vào bia.

A= bc người thứ nhất bắn trật

B= bc người thứ hai bắn trật

C= bc bia không trúng đạn

C= A.B? C= A+B?
25 2626
4)TÍCH


Vd3:

Lớp có 50 sv, trong đó có: 20 sv giỏi AV, 15 sv giỏi
PV, 7 sv giỏi cả 2 ngoại ngữ trên.

Chọn NN 1 sv trong lớp.
 Đặt A= bc sv này giỏi Anh
B= bc sv này giỏi Pháp
C= bc sv này giỏi cả 2 ngoại ngữ
C= A.B?
27
4)TÍCH

VD4: Một sinh viên được gọi là có mái tóc highlight
kiểu “tắc kè bông” khi trên đầu vừa có cọng tóc màu
xanh, vừa có cọng tóc màu vàng.

Lớp có 40 sv, trong đó có 5 sinh viên tóc màu vàng, 7
sinh viên tóc màu xanh, 3 sinh viên tóc “tắc kè bông”.

Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp.

A= bc sv này có tóc màu vàng

(Chỉ cần có 1 cọng tóc màu vàng là A xảy ra)

B= bc sv này có tóc màu xanh

C= bc sv này có tóc “tắc kè bông”


C= A.B ?
27 2828
4) TÍCH
 Vd5:

Chọn NN 1 lá bài từ bộ bài tây 52 lá.

Đặt A= bc có được lá già.
B= bc có được lá cơ
C= bc có được lá già cơ.

C=A.B?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
8
2929
4)TÍCH

Tổng quát: C = A1.A2 An.
C xảy ra nếu tất cả các Ai cùng xảy ra, khi thực hiện
phép thử

VD1: Có 3 người đi thi

Ai= bc người thứ i thi rớt

C= bc tất cả đều thi rớt

C = A1.A2.A3


Vd2: Kiểm tra chất lượng n sp.

Đặt Ai= bc sp thứ i tốt

C= bc tất cả các sp đều tốt

C = A1.A2 An

Vậy “hiểu” dấu . giữa các biến cố nghóa là gì?
4)K
ẾT HP TỔNG VÀ
T
ÍCH
VD6: Hộp 1 có 6 bi T và 4 bi X. Hộp 2 có 7 bi T và 3 bi X.

Lấy NN từ hộp 1 ra 2 bi và lấy NN từ hộp 2 ra 1 bi.

A= bc lấy được 2 bi T từ hộp 1

B= bc lấy được 1 bi T từ hộp 2

C= bc lấy được 3 bi T (trong 3 bi lấy ra)

D= bc lấy được 1T 1X từ hộp 1

E= bc lấy được 2T 1X (trong 3 bi lấy ra)

F= bc lấy được 1X từ hộp 2


C=A.B? C=D.B?

E=B.D? E=A.F? E= A.F+D.B?
30
3131
5)XUNG KHẮC:

A và B gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời
xảy ra, khi thực hiện phép thử. Ký hiệu A.B=

Với 2 biến cố A, B thì ta có 4 trường hợp:
A xr, Bxr
A xr, Bkxr
A kxr, Bxr
A kxr, Bkxr
Vậy trường hợp nào ứng với xung khắc?
3232
5)XUNG KHẮC

Vd 1:

Tung 1 con xúc xắc.
đặt A= bc được mặt có số nút chẳn.
B= bc được mặt có số nút là 2.
C= bc được mặt có số nút lẻ.
D= bc được mặt có số nút 1, 3

Xác đònh A.B? A.C?

A,B xung khắc? A,C xk? A,D xk?

ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
9
3333
5)XUNG KHẮC

Ví dụ 2: Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn
đỏ. Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu.

(Từ quá khứ đến hiện tại, 1 viên phấn hoặc toàn Trắng
hoặc toàn Đỏ; chưa thấy 1 viên phấn có khúc T và
khúc Đ cùng lúc. Còn tương lai thì vô đònh!)

Đặt T= bc được viên phấn T.
Đ= bc được viên phấn Đ.
A= bc lấy được 1 viên phấn
T,Đ xung khắc? T,A xk?
5)XUNG KHẮC

VD3:

Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con.

(Một người chỉ có thể là trai hoặc là gái,
không xét hifi)

A= bc gia đình có 0 con trai

B= bc gia đình có 1 con trai


C= bc gia đình có 2 con trai

A,B xk? A,C xk? B,C xk?
34
3535
5)XUNG KHẮC
 Ví dụ 4:

Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ.
Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu.

Đặt A= bc được 1 viên phấn T.
B= bc được 1 viên phấn Đ.
C= bc được 2 viên phấn T
D= bc lấy được viên phấn T
A,B xung khắc? A,C xk? B,D xk?
3636
5)Xung khắc

VD5: Lớp có 50 sv, trong đó có 7 sv tóc highlight 7 màu
(đỏ, xanh, vàng, lục, lam, chàm, đen), 15 sv tóc highlight
màu vàng, các sv còn lại tóc màu đen.

Chọn NN 1 sv trong lớp.
 A= bc sv này có tóc màu đen (chỉ cần có 1 cọng tóc đen)

B= bc sv này có tóc màu vàng

A, B xung khắc?


VD6: giả thiết giống VD5. Lấy NN 2 sinh viên.

A= bc 2 sv này có tóc màu đen

B= bc 2 sv này có tóc màu vàng

A, B xung khắc?

VD7: giống VD6. Nhưng lớp chỉ có 1 sv có tóc 7 màu.
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
10
3737
5)Xung khắc

VD8: Bộ bài tây có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 1 lá.

A= bc lấy được lá ách
B= bc lấy được lá cơ

A, B xung khắc?

VD9: Bộ bài tây có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 2 lá.

A= bc lấy được 2 lá ách
B= bc lấy được 2 lá cơ

A, B xung khắc?
5) X
UNG KHẮC

 VD10: Lớp có 7 sv nam và 5 sv nữ. Chọn NN từ lớp ra
2 sv, rồi lại chọn NN tiếp 2 sv nữa (từ 10 sv còn lại).

A= bc chọn được 2 sv nam lần 1

B= bc chọn được 2 sv nam lần 2

A, B có xung khắc?

VD11: Lớp có 3 sv nam và 5 sv nữ. Chọn NN từ lớp ra
2 sv, rồi lại chọn NN tiếp 2 sv nữa (từ 6 sv còn lại).

A= bc chọn được 2 sv nam lần 1

B= bc chọn được 2 sv nam lần 2

A, B có xung khắc?
38
5) X
UNG KHẮC

VD12:

Lớp 1 có 7 sv nam và 5 sv nữ, chọn NN từ lớp 1 ra 2
sv. Lớp 2 có 4 sv nam và 6 sv nữ, chọn NN từ lớp 2
ra 2 sv.

A= bc chọn được 2 nam từ lớp 1

B= bc chọn được 1 nam 1 nữ từ lớp 2


A, B có xung khắc?
39 4040
6)ĐỐI LẬP:
 A, B gọi là đối lập
nếu

A và B không đồng
thời xả
y ra, và 1 trong 2 bc A hoặc B phải
xả
y ra, khi thực hiện phép thử. Ký hiệu:
biến cố đối lập của A ký hiệu là
A
hay A*
 Với 2 bc A,B ta có 4 trường hợp xảy ra:
A xr, Bxr
A xr, Bkxr
A kxr, Bxr
A kxr, Bkxr
Vậy trường hợp nào ứng với đối lập?

ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
11
4141
6)ĐỐI LẬP

Nhận xét sau đúng hay sai?
A, A* đối lập  A+A* = 

và A.A* = 


Nhận xét sau đúng hay sai?
A,B xung khắc  A,B đối lập
4242
6)ĐỐI LẬP
 Vd1:

Tung 1 con xúc xắc.
A= bc xuất hiện mặt có số nút chẳn
B= bc xuất hiện mặt có số nút lẻ
C= bc xuất hiện mặt có số nút là : 2 hoặc 4
D= bc xuất hiện mặt có số nút là : 1, 3, 5, 6
E= bc xuất hiện mặt có số nút là : 1, 2, 4
A,B đối lập? B,C đối lập?
C,D đối lập? D,E đối lập?
43
6)ĐỐI LẬP

VD2: Xét phụ nữ sinh con. (Không xét con hifi)

A= bc sinh con trai

B= bc sinh con gái

A, B đối lập?

VD3: Xét một sinh viên đi thi môn XSTK


(Thi đạt nếu điểm từ 5-10, thi rớt nếu điểm từ 0-4)

A= bc sinh viên thi đậu

B= bc sinh viên thi rớt

C= bc sinh viên có điểm thi từ 0-3

A, B đối lập?

A, C đối lập?
43 4444
6)ĐỐI LẬP

Ví dụ 4:

Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ. Lấy
NN 1 viên phấn ra xem màu.

Đặt T= bc được viên phấn T.
Đ= bc được viên phấn Đ.
A= bc lấy được 1 viên phấn
T,Đ đối lập? T,A đối lập?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
12
4545
6)ĐỐI LẬP

Ví dụ 5:


Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ. Lấy
NN 2 viên phấn ra xem màu.

Đặt B= bc được 2 viên phấn T.
C= bc được 2 viên phấn Đ.
A= bc lấy được nhiều nhất 1 viên phấn Đ
D= bc lấy được viên phấn T
B,C đối lập? A,C đối lập? C,D đối lập?
4646
6)ĐỐI LẬP

Ví dụ 6:

Hộp phấn có: 10 viên phấn trắng, 9 viên phấn đỏ. Lấy
NN 9 viên phấn ra xem màu.

Đặt A= bc được ít nhất 1 viên phấn T.
B= bc được 9 viên phấn Đ.
C= bc lấy được ít nhất 2 viên phấn T
D= bc lấy được ít nhất 8 viên phấn Đ
E= bc lấy được nhiều nhất 2 viên phấn T
F= bc lấy được nhiều nhất 6 viên phấn Đ
A,B đối lập? C,D đối lập? E,F đối lập?
B
IỂU ĐỒ VENN MINH HỌA CÁC
LOẠI
QUAN HỆ
47
6

BIS
)
BIẾN CỐ HIỆU
 Biến cố C gọi là hiệu của biến cố A với biến cố B, ký
hiệu là C= A\B hay C= A-B

Biến cố C xảy ra nếu bc A xảy ra nhưng biến cố B
không xảy ra

Xem mỗi biến cố là 1 tập hợp thì bc C= A\B là phần
hình tô màu, tức là những gì thuộc tập A nhưng không
thuộc tập B

48
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
13
6
BIS
)
BIẾN CỐ HIỆU
 VD1: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

a) A= {1, 4} , B= {2, 3, 5, 6}  A\B= {1, 4}

b) A= {1, 3, 4} , B= {2, 3, 5, 6}  A\B= {1, 4}

c) A= {1, 3, 4, 5} , B= {2, 3, 5, 6}  A\B= {1, 4}

d) A= {1, 3, 5, 6} , B= {2, 3, 5, 6}  A\B= {1}


Nhận xét 1:

A\B = A.B*

c) B*= {1, 4}  A.B*= {1, 4} = A\B

d) B*= {1, 4}  A.B*= {1} = A\B

B\A = B.A*
49
6
BIS
)
BIẾN CỐ HIỆU

VD1: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

c) A= {1, 3, 4, 5} , B= {2, 3, 5, 6}  A\B= {1, 4}

d) A= {1, 3, 5, 6} , B= {2, 3, 5, 6}  A\B= {1}

Nhận xét 2:

A = (A\B)+A.B , với (A\B) và A.B xung khắc nhau

Biến cố B dùng tách (phân hoạch) bc A ra thành tổng
của 2 bc xung khắc nhau

c) A.B = {3, 5} , A\B= {1, 4}  A = (A\B)+A.B


d) A.B = {3, 5, 6} , A\B= {1}  A = (A\B)+A.B

B = (B\A)+A.B , với (B\A) và A.B xung khắc nhau
50
6
BIS
)
BIẾN CỐ HIỆU

VD1: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A= {1, 3, 4, 5} , B= {2, 3, 5}

 A\B= {1, 4} , A.B= {3, 5} , B\A= {2}
 A+B= {1, 2, 3, 4, 5}

Nhận xét 3:

A+B = (A\B)+A.B+(B\A) , với (A\B) và A.B và (B\A)
xung khắc từng đôi với nhau
51
6
BIS
)
BIẾN CỐ HIỆU

VD2: Có 2 người đi thi

A= bc người thứ nhất thi đậu


B= bc người thứ hai thi đậu

A\B= A.B* = bc chỉ có người thứ nhất thi đậu

B\A= B.A* = bc chỉ có người thứ hai thi đậu

AB*+A*B = bc chỉ có 1 người thi đậu

VD3:

A= chàng yêu nàng

B= nàng yêu chàng

A\B = anh yêu em mà em chẳng yêu anh (oa oa oa!)

A.B = chúng mình cùng yêu nhau đi nào (là lá la!)
52
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
14
5353
7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI:

Nhóm biến cố A, B, C xung khắc từng đôi nếu A,B
xung khắc; A,C xung khắc; B,C xung khắc.
 Nhóm (họ) n biến cố A1,A2, ,An gọi là xung khắc
từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong nhóm là xung
khắc nhau (nghóa là Ai.Aj = , với mọi ij)

5454
7)NHÓM BIẾN CỐ XUNG KHẮC TỪNG ĐÔI:

VD1:

Tung 1 con xúc xắc

Đặt A= bc con xx xh mặt có số nút là 1,2
B= bc con xx xh mặt có số nút là 4,6
C= bc con xx xh mặt có số nút là 5
D= bc con xx xh mặt có số nút là lẻ
A,B,C xktđ? A,B,D xktđ?
5555
7)XKTĐ

Vd2:

Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ, 3
viên phấn Xanh. Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu.

T= bc được viên phấn T
Đ= bc được viên phấn Đ
X= bc được viên phấn X

T,Đ,X xktđ?
5656
7)XKTĐ

Vd3:


Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ. Lấy
NN 2 viên phấn ra xem màu.

A= bc được 2 viên phấn T
B= bc được 2 viên phấn Đ
C= bc được 1 viên phấn T

A,B,C xktđ?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
15
5757
7)XKTĐ
 Ví dụ 4:

Khối tứ diện có 4 mặt: 1 mặt sơn xanh, 1 mặt sơn
trắng, 1 mặt sơn vàng, mặt còn lại ½ sơn xanh và ½
sơn vàng. Chọn ngẫu nhiên 1 mặt của tứ diện để xem
màu.

T= bc chọn được mặt có sơn T
 (Chỉ cần mặt có dính tí xíu sơn trắng là T xảy ra)
X= bc chọn được mặt có sơn X
V= bc chọn được mặt có sơn V

X,T,V xk tđ?
5858
8)NHÓM BC ĐẦY:

Nhóm n biến cố A1,A2, ,An gọi là đầy nếu

A1+A2+ +An = 

Vd 1:

Tung một con xúc xắc
A= bc mặt 1,2 xh
B= bc mặt 3,4 xh
C= bc mặt 4,5,6 xh
D= bc mặt lẻ xh
A,B,C đầy? A,B,D đầy?
59
8)NHÓM BC ĐẦY:

VD2:

Hộp có 7 bi T và 6 bi X. Lấy ngẫu nhiên 4 bi từ hộp.

A= bc lấy được 4 bi T
 B= bc lấy được 3 bi T

C= bc lấy được nhiều nhất 1 bi T

D= bc lấy được nhiều nhất 2 bi T

E= bc lấy được nhiều nhất 3 bi T

A, B, C đầy?

A, B, D đầy?


A, B, E đầy?
59 6060
9)NHÓM BC ĐẦY ĐỦ (VÀ XUNG KHẮC TỪNG
ĐÔI):

A1,A2, ,An gọi là nhóm bc đầy đủ (và xktđ) nếu
A1,A2, ,An là nhóm bc đầy và là nhóm bc xktđ

Nhận xét:

A, A* là 2 biến cố đối lập thì A, A* là nhóm bc đầy đủ
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
16
6161
9)NHÓM BC ĐĐ (VÀ XKTĐ)

Vd1: Tung một con xúc xắc
A= bc mặt 1,2 xh
B= bc mặt 3,4 xh
C= bc mặt 4,5,6 xh
D= bc mặt 5,6 xh
E= bc mặt 5 xh
A,B,C đđ (và xktđ)?
A,B,D đđ (và xktđ)?
A,B,E đđ (và xktđ)?
6262
9)NHÓM BC ĐĐ (VÀ XKTĐ)

Vd2:


Hộp phấn có: 9 viên phấn trắng, 2 viên phấn đỏ, 3
viên phấn Xanh. Lấy NN 1 viên phấn ra xem màu.

T= bc được viên phấn T
Đ= bc được viên phấn Đ
X= bc được viên phấn X

T,Đ,X là nhóm bc đđ (và xktđ)?
6363
9)NHÓM BC ĐĐ (VÀ XKTĐ)

Vd3:

Hộp phấn có: 5 viên phấn trắng, 3 viên phấn Xanh.
Lấy NN 2 viên phấn ra xem màu.

A= bc được 2 viên phấn T
B= bc được 2 viên phấn X
C= bc được 1 viên phấn X.

A,B,C là nhóm bc đđ (và xktđ)?
6464
10)BIẾN CỐ SƠ CẤP:

Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân chia thành
tổng các biến cố khác. Biến cố sơ cấp là kết cục đơn
giản nhất có thể có của phép thử.

Tập hợp các bc sơ cấp tạo thành không gian các bc sơ

cấp, hay không gian mẫu. Ký hiệu 

Bcsc còn được gọi là kết cục tối giản

Biến cố sơ cấp đồng khả năng: Các biến cố sơ cấp
gọi là đồng khả năng xảy ra nếu khả năng xảy ra của
các biến cố là như nhau, khi thực hiện phép thử.
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
17
6565
10) BIẾN CỐ SƠ CẤP
 Vd1:

Tung 1 con xúc xắc, xét xem mặt nào xuất hiện.

Ai= bc con xúc xắc xuất hiện mặt có số nút là i, i=1,…,6

B= bc con xúc xắc xuất hiện mặt có số nút chẳn

Ta có: Ai, i=1,6 là các bc sơ cấp (đồng khả năng)
B không là bcsc (đkn) vì: B= A2+A4+A6
= {A1, A2, , A6} : kg mẫu

Lưu ý:
A1+A2+ +A6 = 
6666
10) BIẾN CỐ SƠ CẤP
 Chú ý Vd1:


Tung 1 con xúc xắc, xét xem mặt nào xuất hiện.

B= bc con xúc xắc xh mặt có số nút chẳn

A= bc con xúc xắc xh mặt có số nút lẻ

Ai= bc con xúc xắc xuất hiện mặt có số nút là i, i=1,…,6

Ta có A+B = 

Nếu ta “cố xem” A, B là 2 bc “sơ cấp” đồng khả năng
thì ta chỉ tính được xác suất của A, B mà thôi; ta
không
thể tính được xác suất
của các Ai.

Điều này cực kỳ nguy hiểm!!!
6767
10)BC SƠ CẤP

Vd2:

Xét gia đình có 2 con.

1) Hãy xác đònh các bc sơ cấp (đồng khả năng) và kg
mẫu?

2) Đặt:
A= bc gia đình có 0 Trai
B= bc gia đình có 1 Trai

C= bc gia đình có 2 Trai

A, B, C là các bc sơ cấp đồng khả năng?
6868
10)BC SƠ CẤP

Giải vd2:

1) = {TT, TG, GT, GG}

2) Ta chỉ có thể “cố xem” A, B, C là các bc “sơ cấp”
không đồng khả năng.

Để tính xác suất theo đònh nghóa cổ điển thì ta chỉ
quan tâm các bc sơ cấp
đồng khả năng.

Vd3:

Tung 1 đồng xu sấp ngữa (cân đối, đồng chất) 2 lần.
Hãy xác đònh các bc sơ cấp (đkn) và kg mẫu?
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
18
6969
10)BC SƠ CẤP

Giải VD3:
 = {SS, SN, NS, NN}


BT1: Tung 1 đồng xu sấp ngữa 3 lần.
Hãy xác đònh các bcsc (đkn) và kg mẫu.

BT2: Tung 1 con xúc xắc và 1 đồng xu sấp ngữa.
Hãy xác đònh các bcsc (đkn) và kg mẫu.

BT3: Tung 1 con xúc xắc 2 lần.
Hãy xác đònh các bcsc (đkn) và kg mẫu.
7070
10)BC SƠ CẤP

BT4: Hộp có 3 bi T, 2 bi X. Lấy từ hộp ra 2 bi xem
màu. Có 3 cách lấy:
Cách 1: Lấy NN 2 bi (lấy 1 lần, và lần đó lấy cả 2 bi)
Cách 2: Lấy lần lượt 2 bi (lấy 2 lần, mỗi lần 1 bi. Lần
1 lấy 1 bi ra xem màu rồi bỏ bi đó ra ngoài luôn, sau
đó lấy 1 bi nữa lần 2)
Cách 3: Lấy có hoàn lại (nói hoàng gia) (hoặc bỏ lại-
nói dân giả) 2 bi (lấy 2 lần, mỗi lần 1 bi. Lần 1 lấy 1 bi
ra xem màu rồi bỏ bi đó trở lại hộp, sau đó lấy tiếp 1
bi nữa lần 2)

Hãy xác đònh các bc sơ cấp (đkn), kg mẫu
ứng với từng cách lấy.
7171
HDBT4:

C1: có C(2,5)= 10 bcsc

C2: có A(2,5)= 20 bcsc


C3: có 5
2
= 25 bcsc

Tự nghỉ cách ghi các bcsc này, rất thú vò!

HD:

Đánh số các bi
THEO BẠN, CÁC ĐIỀU SAU ĐÚNG HAY SAI?

BT5:

Hộp có 3 bi T và 2 bi X. Lấy ngẫu nhiên từ hộp
ra 1 bi.

Đặt:

T: biến cố lấy được bi T

X: biến cố lấy được bi X

T, X là 2 biến cố sơ cấp vì T+X = 

T, X là 2 biến cố sơ cấp đồng khả năng xảy ra
72
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
19

7373
III)TÍNH CHẤT
III) T
ÍNH CHẤT

VD:

Xét = {1,2,3,4,5,6}

A= {1,3,6}  A* = {2,4,5}

B= {1,3,4}  B* = {2,5,6}
Vậy A*.B* = {2,5}

Và A+B = {1,3,4,6}  (A+B)* = {2,5}

Ta thấy: (A+B)* = A*.B*
74
7575
III)TÍNH CHẤT

Vd1: Kiểm tra chất lượng 4 sản phẩm.
Đặt Ak= bc sp thứ k tốt. Biểu diễn các bc sau theo Ak:

A= bc cả 4 sp đều tốt
B= bc có 3 sp tốt , C= bc có ít nhất 1 sp xấu
D= bc có ít nhất 1 sp tốt , E= bc có tối đa 1 sp xấu

Giải: A= A1.A2.A3.A4
B= A1*.A2.A3.A4+ A1.A2*.A3.A4

+A1.A2.A3*.A4+ A1.A2.A3.A4*
C= A1*+A2*+A3*+A4* , C= A*
D= A1+A2+A3+A4 , D*= A1*.A2*.A3*.A4*
E= A+B
7676
Tính chất:

VD2: Có 2 sinh viên đi thi.

A= bc sv 1 thi đậu , B= bc sv 2 thi đậu
Hãy diễn tả các biến cố sau theo A, B :

1) Cả hai sv đều thi đậu

2) Không có ai thi đậu

3) Có ít nhất một người thi đậu

4) Chỉ có sv 1 thi đậu

5) Sinh viên 1 thi đậu

6) Chỉ có một sv thi đậu

7) Có nhiều nhất một người thi đậu

8) Có sv thi đậu
 9) Hai sv có cùng kết quả thi
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014

20
7777
Giải:

1) AB

2) A*B*

3) A+B

4) AB*

5) AB+AB* = A (tại sao?)

6) AB*+A*B

7) A*B*+(A*B+AB*) = (AB)* = A*+B*
(có ít nhất 1 người thi rớt)

8) (AB*+A*B)+AB = A+B (tại sao?)

9) AB+A*B*
7878
Bài tập 1:

Có 3 sv đi thi. A, B, C lần lượt là bc sv 1, 2, 3 thi đậu.

Hãy diễn tả các bc sau theo A, B, C :

1) Cả 3 đều thi đậu


2) Không có ai thi đậu

3) Có 2 người thi đậu

4) Có 1 người thi đậu

5) Có ít nhất 1 người thi đậu

6) Có nhiều nhất 1 người thi đậu

7) Có nhiều nhất 1 người thi rớt

8) Có nhiều nhất 2 người thi rớt

9) Chỉ có sv 1 thi đậu
 10) Chỉ có sv 1 thi rớt

11) SV 1 thi đậu
7979
BT2:

Hộp có 3 bi T, 2 bi X. Lấy lần lượt 2 bi từ hộp.

Ti= bc lấy được bi T ở lần lấy thứ i, i=1,2

Biểu diễn các biến cố sau theo các Ti (xét cho 2 bi lấy
ra):

1) Lấy được 0 bi T


2) Lấy được 1 bi T

3) Lấy được 2 bi T

4) Lấy được ít nhất 1 bi T

5) Lấy được 2 bi cùng màu

6) Lấy được nhiều nhất 1 bi T

7) Lấy được bi T
8080
Giải:

1) T1*T2*

2) T1T2*+T1*T2

3) T1T2

4) T1+T2

5) T1T2+T1*T2*
 6) (T1T2)*

7) T1+T2
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
21

8181
BT3:
 Hộp 1 có: 2 bi T, 3 bi X. Hộp 2 có: 2 bi T, 2 bi X. Lấy 1
bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2, rồi sau đó lấy ngẫu nhiên 2 bi
từ hộp 2 ra.

A= bc lấy được bi T từ hộp 1

Bi= bc lấy được i bi T từ hộp 2, i=0,2

Biểu diễn các biến cố sau theo A, Bi (xét cho 3 bi lấy
ra):

1) Lấy được 3 bi T

2) Lấy được 1 bi T

3) Lấy được 2 bi T

4) Lấy được 0 bi T

5) Lấy được bi T
8282
Giải:

1) AB2

2) AB0+A*B1

3) AB1+A*B2


4) A*B0

5) (A*B0)*= A+B0*= A+B1+B2
8383

BT4: Hộp 1 có: 3 bi T, 2 bi X. Hộp 2 có: 3 bi T, 3 bi X.

Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 bi.

Ai= bc lấy được i bi T từ hộp 1, i=0,2

Bi= bc lấy được i bi T từ hộp 2, i=0,2

Hãy diễn tả các bc sau theo Ai, Bi (xét cho 4 bi lấy ra):
 1) Lấy được 4 bi X

2) Lấy được 1 bi T

3) Lấy được 2 bi T

4) Lấy được 3 bi T

5) Lấy được 4 bi T

6) Lấy được ít nhất 1 bi T

7) Lấy được nhiều nhất 2 bi T

8) Lấy được 3 bi cùng màu


9) Lấy được 4 bi cùng màu
8484
Giải:

1) A0B0

2) A1B0+A0B1

3) A0B2+A2B0+A1B1

4) A2B1+A1B2

5) A2B2

6) (A0B0)*

7) = 1)+2)+3)

8) = 2)+4)

9) = 1)+5)
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
22
8585
Bình loạn:

Qua các ví dụ trên bạn có thấy được lợi ích của việc
học Xác suất?!


Một nàng trước khi “trao thân gởi phận” cho chàng
luôn muốn chàng hứa là: chàng yêu nàng và không yêu
ai khác nữa!

Nếu nàng không học XS thì sẽ nói: “anh có hứa yêu
em không” (lúc đó chàng mừng thầm trong bụng!)

Nếu nàng đã học XS thì sẽ nói: “anh có hứa chỉ yêu
một mình em không” (lúc đó chàng ôm bụng khóc
thầm!)
8686
IV/ ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT:
 1) Khái niệm: Xác suất của 1 biến cố là 1 con số
đặc trưng cho khả năng xảy ra của biến cố đó
khi thực hiện phép thử.

2) Đn cổ điển: Thực hiện 1 phép thử NN. Giả sử
có n bc sơ cấp xảy ra.
Các bcsc này gọi là đồng khả năng xảy ra nếu
các bcsc này có khả năng xảy ra như nhau, khi
thực hiện phép thử (không có bcsc nào ưu tiên
hay xảy ra hơn bcsc nào).

Bcsc mà khi nó xảy ra kéo theo bc A xảy ra gọi
là bcsc thuận lợi cho bc A.
8787
2)ĐN CỔ ĐIỂN

P(A) = số bcsc thuận lợi cho A / số bcsc đkn xảy ra

= |A| / ||

Tính chất:
0<= P(A) <=1 với A là bc bất kỳ.

P()= || / || = 0/ ||= 0 , P()= || / || = 1
A là biến cố ngẫu nhiên thì 0 < P(A) < 1
8888
2)ĐN CỔ ĐIỂN
 Vd1: Tung 1 con xúc xắc, xét xem mặt nào xuất hiện.

Ai= bc xh mặt có số nút i
B= bc xh mặt có số nút chẵn
C= bc xh mặt có số nút là: 2 hoặc 3
D= bc xh mặt có số nút là: 1,4,5,6
E= bc xh mặt có số nút là: 4,5,6

Ta có: Ai là bcsc, = {A1, A2, A3, A4, A5, A6}

P(Ai)= 1/6

P(B)= 3/6= 1/2 , P(C)= 2/6= 1/3 ,
P(D)= 4/6= 2/3 , P(E)= 3/6= 1/2
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
23
8989
2)ĐNCĐ (NHẬN XÉT VD1)

C,E xung khắc. P(C+E)= 5/6

C+E= bc xh mặt có số nút là: 2,3,4,5,6
Vậy 5/6 = P(C+E) = P(C)+P(E) = 2/6+3/6

C,D đối lập: P(C)+P(D)= 2/6+ 4/6 = 1
Vậy P(D) = 1- P(C) hay P(C*)= 1-P(C)

B,C không xung khắc
B.C= bc xh mặt có số nút là 2 , P(B.C)= 1/6
B+C= bc xh mặt có số nút là: 2,3,4,6
P(B+C)= 4/6
Vậy P(B+C)= P(B)+P(C)-P(B.C)
4/6 = 3/6 + 2/6 – 1/6
2)ĐNCĐ (NHẬN XÉT VD1)

Tổng quát:

A, B không xung khắc:
P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB)

A, B xung khắc:
P(A+B)= P(A)+P(B)
A, A* đối lập
P(A*)= 1-P(A)
P(A)= 1-P(A*)
90
9191
2)ĐNCĐ

Vd2:


Hộp có 10 bi T, 4 bi X. Lấy ngẫu nhiên 2 bi (lấy một
lần 2 bi) ra xem màu.

Tính xs :
a) Lấy được 2 bi T?
b) Lấy được 1 bi T, 1 bi X?
c) Lấy được 2 bi X?
d) Lấy được 3 bi T?
9292
2)ĐNCĐ

Giải VD2:

Phép thử: lấy ngẫu nhiên 2 bi từ 14 bi  Có C(2,14)
cách lấy  ||= C(2,14)

a) A= bc lấy được 2 bi T
Trong C(2,14) cách lấy trên, ta thấy có C(2,10) cách
lấy được 2 bi T  |A|= C(2,10)
Vậy P(A)= |A| / || = C(2,10) / C(2,14)= 45/91
 b) B= bc lấy được 1 bi T, 1 bi X
Trong C(2,14) cách lấy trên, ta thấy có C(1,10)*C(1,4)
cách lấy được 1 bi T, 1 bi X
 |B|= C(1,10)*C(1,4)
Vậy P(B)= |B| / || = C(1,10)*C(1,4) / C(2,14)
= 10*4 / 91 = 40/91
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
24
9393

2)ĐNCĐ (GIẢI VD2 -TIẾP)

c) C= bc lấy được 2 bi X
P(C) = C(2,4) / C(2,14) = 6/91
d) D= bc lấy được 3 bi T
P(D)= 0 / C(2,14) = 0
9494
2)ĐNCĐ

Nhận xét:

Để tính xs của bc A ta thực hiện 2 bước sau:

b1) Từ giả thiết bài toán (việc thực hiện phép thử) ta
tính số bcsc đkn xảy ra  ||

b2) Trong các bcsc đkn xảy ra, ta tính số bcsc thuận
lợi cho bc A  |A|

Xác suất của bc A là: P(A)= |A| / ||
95
2)ĐNCĐ
 VD3:

Hộp có 5 bi T và 9 bi X. Lấy NN 4 bi từ hộp. Tính
xác suất lấy được 2 bi T?

Giải:

P(2T2X)= C(2,5)C(2,9) / C(4,14)


BT1: Hộp có 5 bi T và 3 bi V và 6 bi Đ. Lấy NN 4
bi từ hộp.

1) Tính xác suất lấy được 2 bi T?

2) Đáp số có giống VD3 không?
95
Í
CH LI CỦA CÔNG THỨC
P(A)= 1-P(A*)
VD4: Hộp có 10 bi T và 8 bi X. Lấy ngẫu nhiên ra 7 bi.

a) Tính xác suất lấy được ít nhất 1 bi T?

b) Tính xác suất lấy được nhiều nhất 6 bi T?

Giải:

a) F= bc lấy được ít nhất 1 bi T

F*= bc lấy được 0 bi T (7 bi X)

P(F*)= C(7,8) / C(7,18)  P(F)= 1-P(F*)

b) K= bc lấy được nhiều nhất 6 bi T

K*= bc lấy được 7 bi T

P(K*)= C(7,10) / C(7,18)  P(K)= 1-P(K*)

96
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
29/12/2014
25
9797
BT2: Theo bạn lập luận sau đúng hay sai, tại sao?

Xét một gia đình có 2 con.

Ta có 3 trường hợp:

A= gia đình có 0 con trai (2 con gái)
B= gia đình có 1 con trai
C= gia đình 2 con trai

Ta có 3 trường hợp xảy ra nên :
P(A)= P(B)= P(C)= 1/3
9898
BT3: Theo bạn lập luận sau đúng hay sai, tại sao?

Hộp có 3 bi T, 2 bi X. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 bi
xem màu.

Ta có 3 trường hợp xảy ra:

A= lấy được 0 bi T (2 bi X)
B= lấy được 1 bi T (1 bi X)
C= lấy được 2 bi T

Ta có 3 trường hợp xảy ra nên:

P(A)= P(B)= P(C)= 1/3
9999
BT4: Theo bạn lập luận sau đúng hay sai, tại sao?

Hộp có 3 bi T, 2 bi X. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 bi
xem màu.

Ta có 2 trường hợp xảy ra:

A= lấy được bi T
B= lấy được bi X

Ta có 2 trường hợp xảy ra nên:
P(A) = P(B) = 1/2
100100
3) ĐN XÁC SUẤT THEO THỐNG KÊ:

P(A)= |A| / ||

Hạn chế của đònh nghóa cổ điển?