Xem xét & nghiên cứu Một số bài toán mở rộng trong lớp các bài toán vận tải mở rộng (Toán - Tin)

lời mở đầu
Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật, các bài toán tối u xuất
hiện ngày càng nhiều và tính phức tạp của chúng ngày càng lớn. Phạm vi và khả
năng ứng dụng của các bài toán tối u cũng ngày càng đa dạng và phong phú.
Lớp bài toán tối u quan trọng đợc nghiên cứu đầu tiên và đợc ứng dụng nhiều
nhất là bài toán quy hoạch tuyến tính (linear programming). Đó là mô hình toán học
của một lớp rộng lớn các bài toán ứng dụng trong kinh tế và kỹ thuật. Do đó cấu trúc
của lớp bài toán quy hoạch tuyến tính có nhiều tính chất rất tốt về mặt toán học, ngời
ta đã tìm đợc các thuật giải rất hữu hiệu cho bài toán này. Năm 1947 nhà toán học
Mỹ G.B. Dantzig đã nghiên cứu và đề xuất ra thuật toán đơn hình (simplex method)
để giải bài toán quy hoạch tuyến tính. Thuật toán đơn hình đợc phát triển mạnh mẽ
trong những năm sau đó và đợc xem là một phơng pháp kinh điển để giải các bài
toán quy hoạch tuyến tính. Đây là một phơng pháp đợc sử dụng có thể nói là rộng rãi
nhất. Có ba lý do chính:
Một là: Rất nhiều vấn đề thực tế, trong nhiều lĩnh vực khác nhau có thể đa về
bài toán quy hoạch tuyến tính.
Hai là: Trong nhiều phơng pháp giải các bài toán phi tuyến, bài toán tuyến tính
xuất hiện nh là một bài toán phụ cần phải giải trong nhiều bớc lặp.
Ba là: Phơng pháp đơn hình là phơng pháp hiệu quả để giải bài toán quy hoạch
tuyến tính.
Ngày nay, bằng thuật toán đơn hình và các dạng cải biên của chúng, ngời ta có
thể giải rất nhanh các bài toán QHTT cỡ lớn.
Lớp các bài toán vận tải là trờng hợp đặc biệt của quy hoạch tuyến tính, bởi vậy
có thể dùng các phơng pháp của quy hoạch tuyến tính để giải. Tuy nhiên, do tính
chất đặc thù riêng của nó, ngời ta xây dựng các phơng pháp giải riêng.
Thông thờng khi nói đến bài toán vận tải ta thờng liên hệ ngay đến bài toán vận
tải hai chỉ số, bởi đây là bài toán vận tải kinh điển có những phơng pháp giải hay.
Bên cạnh đó, ngời ta còn xét một số các bài toán vận tải mở rộng nh bài toán vận tải
Trang: 1

ba chỉ số, bài toán vận tải khoảng, bài toán vận tải đa mục tiêu và rất nhiều bài toán
khác, đó là các biến thể của bài toán vận tải kinh điển trên.
Trong khuôn khổ khoá luận này, em xem xét và nghiên cứu một số bài toán mở
rộng trong lớp các bài toán vận tải mở rộng đó. Đó là các bài toán: Bài toán vận tải
ba chỉ số (solid transport problem) không hạn chế và có hạn chế khả năng thông
qua, Bài toán vận tải ba chỉ số khoảng (interval solid transport problem) và giới
thiệu một số Bài toán vận tải đa mục tiêu.
Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với thày giáo hớng dẫn
Thạc sỹ Vũ Tiến Việt, ngời đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em trong quá trình hoàn
thành khoá luận này. Em cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của các
thầy cô trong khoa Toán - Tin, Học viện An ninh Nhân dân.
Trang: 2

Chơng I. Bài toán quy hoạch tuyến tính
Trong việc nghiên cứu các bài toán tối u nói chung, giải tích lồi giữ một vai trò
rất quan trọng. Nó đợc sử dụng làm cơ sở toán học trong việc xây dựng các thuật
toán.
Quy hoạch tuyến tính là một trong những lớp bài toán tối u đợc nghiên cứu
trọng vẹn cả về phơng diện lý thuyết lẫn thực hành, Bài toán vận tải là một dạng đặc
biệt của QHTT. Do đó chơng này nhằm giới thiệu một số khái niệm và kiến thức cơ
bản về giải tích lồi và QHTT.
1.1 Một số khái niệm về giải tích lồi
1.1.1 Không gian Euclude
Một vector n chiều trên trờng số thực là một bộ đợc sắp thứ tự gồm n số thực
x=(x
1
, x
2
, ..., x
n

). Các x
i
, i =1, ..., n gọi là các thành phần hay toạ độ của vector. Ví
dụ x=(4,5,10,20).
Hai vectơ x và y gọi là bằng nhau x=y, nếu x
i
=y
i
, i =1, ..., n.
Xét hai phép toán trên các vector:
Phép cộng: x+y=(x
1
+y
1
, x
2
+y
2
, ..., x
n
+y
n
)
Phép nhân: x=(x
1
, x
2
, ..., x
n
), R

Khi đó tập hợp tất cả các vector n chiều trong đó xác định phép cộng các vector,
nhân một số thực với vector nh trên tạo thành không gian tuyến tính n chiều trên tr-
ờng số thực R, ký hiệu R
n
.
Các vector x
(i)
R
n
, i =1, ..., m đợc gọi là độc lập tuyến tính nếu:
Trang: 3
mix
i
i
m
i
i
,1,00
)(
1
===

=


Nếu:

=
=
m

i
i
i
xx
1
)(

với ít nhất một
i
0 thì x gọi là tổ hợp tuyến tính của các
x
(i)
, i =1, ..., m. Hơn nữa nếu
i
> 0, i =1, ..., m và

=
=
m
i
i
1
1

thì x gọi là tổ hợp lồi
của các x
(i)
, i =1, ..., m.
Trong R
n

có n vector độc lập tuyến tính lập thành cơ sở của nó.
Giả sử e
(1)
, e
(2)
, ..., e
(n)
là một cơ sở của R
n
thì bất kỳ một vector x R
n
đều là tổ
hợp tuyến tính của các vector e
(1)
, e
(2)
, ..., e
(n)
. Ta gọi tích vô hớng của hai vector
x=(x
1
, x
2
, ..., x
n
) và y=(y
1
, y
2
, ..., y

n
), ký hiệu, <x,y>, là một số bằng.
Tích vô hớng là một dạng song tuyến tính, đối xứng, không âm, tức là:
1. <x,y> = <y, x>. x,y R
n
2. <x
(1)
+ x
(2)
, y >=< x
(1)
, y >+< x
(2)
, y>. x
(1)
, x
(2)
, y R
n
3. <x,y> = <x,y>. x,y R
n
4. <x,x> 0, x R
n
dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x= 0.
Độ dài của vector x=(x
1
, x
2
, ..., x
n

) là một số xác định bởi.
Khoảng cách giữa hai vector x và y là một số xác định bởi:
Không gian vector trong đó có tích vô hớng và khoảng cách nh trên gọi là
không gian Euclude.
1.1.2 Tập compact
Dãy {x
(k)
}R
n
k=1, 2, ... đợc gọi là có giới hạn x
(0)
khi k và viết
lim x
(k)
= x
(0)
, nếu
Trang: 4

=
=><=
n
i
i
xxxx
1
2
,
( )
0,lim

)0()(
=

xx
k
k


=
=><
n
i
ii
yxyx
1
,
k
( ) ( )

=
=><==
n
i
ii
yxyxyxyxyx
1
2
,,

Hình cầu tâm a bán kính là tập S={xR
n
:x-a }. Hình cầu này tạo nên
- lân cận của điểm a, hay gọi là lân cận của a.
* Nếu tập AR
n
chứa cùng với điểm x một lân cận của nó thì x gọi là điểm
trong của A. Nếu trong lân cận bất kỳ của x A có các điểm của A và các điểm
không thuộc A thì x gọi là điểm biên của tập hợp A.
* Một tập AR
n
gọi là giới nội nếu nó đợc chứa trong một hình cầu tâm O nào
đó, tức là tồn tại số đủ lớn sao cho với mọi xA,x . Một dãy {x
(k)
} hội tụ thì
bao giờ cũng giới nội.
* Một tập hợp GR
n
đợc gọi là mở nếu với mọi xG đều tồn tại một hình cầu
tâm x nằm gọn trong G. Một tập FR
n
đợc gọi là đóng nếu với mọi dãy hội tụ{x
(k)
}
F ta đều có:
Fx
k
k

)(
lim

Một tập chứa mọi điểm biên của nó là tập đóng.
* Tập C đợc gọi là tập Compact nếu từ mọi dãy vô hạn {x
(k)
} thuộc C đều có thể
trích ra một dãy con {x
(ki)
} hội tụ tới phần tử thuộc C. Tập C là Compact khi và chỉ
khi C đóng và giới nội. Tập Compact M của tập đóng C cũng đóng trong C. Tập con
đóng M của tập Compact cũng Compact.
Hàm f(x) liên tục trên tập Compact C thì sẽ đạt cực trị trên tập ấy.
1.1.3 Tập lồi
Cho hai điểm a, b R
n
. Ta gọi đờng thẳng qua a, b là tập điểm có dạng
xR
n
: x = a + (1-)b, R.
Đoạn thẳng nối hai điểm a, b là tập lồi các điểm có dạng
xR
n
:x = x + (1-)y, 0 1
* Một tập MR
n
đợc gọi là một đa tạp affine nếu với hai điểm bất kỳ
x, y M thì toàn bộ đờng thẳng đi qua hai điểm đó cũng thuộc M.
Tức là x + (1-)y M : x,y M, R.
* Một siêu phẳng trong không gian R

n
là tập hợp tất cả các điểm
x=(x
1
, x
2
, ..., x
n
) R
n
thỏa mãn phơng trình tuyến tính
Trang: 5

a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ ... + a
n
x
n
= trong đó a
1
, a
2
, ..., a

n
, R
* Tập hợp các điểm x=(x
1
, x
2
, ..., x
n
) R
n
thoản mãn bất phơng trình tuyến tính
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ ... + a
n
x
n
đợc gọi là nửa không gian đóng.
* Nửa không gian đợc cho bởi a
1
x
1
+ a
2

x
2
+ ... + a
n
x
n
< đợc gọi là nửa không
gian mở.
* Tập XR
n
đợc gọi là tập lồi nếu cùng với việc chứa hai điểm x, y nó chứa cả
đoạn thẳng chứa hai điểm ấy, tức là chứa tất cả các điểm có dạng:
x + (1-)y, 0 1
Ví dụ về các tập lồi: Không gian Euclide, các nửa không gian, mặt phẳng, nửa
mặt phẳng, hình chữ nhật, hình vuông, hình elip, hình hộp, hình cầu ...
* Một tập hợp là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng đợc gọi là
tập lồi đa diện.
Mệnh đề: Giao của hai tập lồi là một tập lồi.
Hệ quả 1. Giao của một số bất kỳ tập hợp lồi là tập lồi.
Hệ quả 2. Miền chứa nghiệm của một hệ bất phơng trình tuyến tính dạng.
là một tập lồi (đa diện lồi). Một tập lồi đa diện giới nội gọi là một đa diện. Giao
của tất cả các tập lồi chứa tập X gọi là bao lồi của nó, ký hiệu [X]
1.1.4 Hàm lồi
* Một hàm số f(x) xác định trên tập lồi C R
n
đợc gọi là hàm lồi trên C, nếu
với mọi x, y C và 0 1 ta có f(x + (1-)y) f(x) + (1-)f(y).
* Hàm f(x) đợc gọi là hàm lồi chặt nếu với mọi x, y C và 0 1 ta có. f(x
+ (1-)y) < f(x) + (1-)f(y).
* Hàm f(x) đợc gọi là hàm lõm (lõm chặt) nếu - f(x) là hàm lồi (lồi chặt)

Trang: 6
.
...
....................
...
...
2211
22222121
11212111







+++
+++
+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa

* Hàm f(x) xác định trên C đạt cực tiểu tuyệt đối tại x* C nếu
f(x
*
) f(x): xC

* Hàm f(x) đạt cực tiểu địa phơng tại x*

C nếu tồn tại lân cận mở U của x*
sao cho f(x*) f(x): xC U
Mệnh đề 1: Bất kỳ điểm cực tiểu địa phơng nào của hàm lồi trên tập lồi cũng là
điểm cực tiểu tuyệt đối.
Hệ quả: Bất kỳ điểm cực đại địa phơng nào của hàm lõm cũng là cực đại tuyệt
đối.
Mệnh đề 2: Cực đại của một hàm lồi (nếu có) trên một tập lồi có điểm cực biên
bao giờ cũng đạt tại một điểm cực biên.
1.2 Bài toán Quy hoạch tuyến tính
QHTT bắt nguồn từ những nghiên cứu của nhà toán học Nga nổi tiếng, Viện sỹ
L.V. Kantorovich trong một loạt các công trình về bài toán kế hoạch hoá sản xuất,
công bố năm 1938. Năm 1947 nhà toán học Mỹ G.B. Dantzig đã nghiên cứu và đề
xuất phơng pháp đơn hình (Simplex method) để giải bài toán QHTT. Năm 1952 ph-
ơng pháp đơn hình đã đợc chạy trên máy tính điện tử của Mỹ.
1.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính
Bài toán tổng quát.
Để nhất quán lập luận ta xét bài toán tìm cực đại, sau đó ta xét cách chuyển bài
toán tìm cực tiểu sang tìm cực đại. Bài toán tổng quát của QHTT có dạng:
Ký hiệu: A=(a
ij
)
mxn
là ma trận với các phần tử a
ij
(1.1) gọi là hàm mục tiêu, (1.2) là các rằng buộc.
Nếu gặp bài toán Min, tức là
Trang: 7
( )

Dx
xcxf
j
n
j
j

=

=
min
1
( )
1.1max
1


=
j
n
j
j
xc
( ) ( )
( )
3.1,...,1,0
2.1...,,1,,,
1
njx
mibxa

j
i
n
j
jij
=
==

=

Thì giữ nguyên ràng buộc và đa về bài toán Max bằng cách
Nếu bài toán Max có phơng án tối u là x* thì bài toán min cũng có phơng án là
x* và f
min
=-

f
max
Thật vậy, vì x* là phơng án tối u của bài toán Max nên ta có:
Chứng tỏ x* là phơng án tối u của bài toán Min và
Dạng chuẩn và dạng chính tắc.
Ngời ta thờng xét bài toán quy hoạch tuyến tính dới hai dạng sau:
-Dạng chuẩn:
-Dạng chính tắc:
Đa bài toán QHTT về dạng chuẩn hoặc dạng chính tắc.
Bất kỳ QHTT nào cũng có thể đa về một trong hai dạng chuẩn hoặc chính tắc
nhờ các phép biến đổi tuyến tính sau:
Trang: 8
( )
Dx

xcxf
j
n
j
j

=

=
max
1
Dxxcxc
hayDxxcxcf
n
j
jj
n
j
jj
j
n
j
j
n
j
jj

=

==
==
,
,
11
*
11
*
max

=
==
n
j
jj
fxcf
1
max
*
min
njx
mibxa
xc
j
i
n
j
jij
n
j

jj
,...,1,0
,...,1,
max
1
1
=
=



=
=
njx
mibxa
xc
j
i
n
j
jij
j
n
j
j
,...,1,0
,...1,
max
1
1

=
==



=
=

i) Một ràng buộc
Có thể đa về ràng buộc bằng cách nhân hai vế với (-1) và viết
lại
ii) Một ràng buộc đẳng thức
có thể thay bằng hai ràng buộc bất đẳng thức:
iii) Một biến x
j
không bị ràng buộc dấu có thể thay thế bởi hiệu của hai biến
không âm bằng cách đặt:
iv) Một ràng buộc bất đẳng thức
Có thể đa về ràng buộc đẳng thức bằng cách đa vào biến phụ y
i
0:
Về nguyên tắc, áp dụng nhiều lần các phép biến đổi (i), (ii) và (iii) ta có thể đa
một bài toán QHTT bất kỳ về dạng chuẩn, sau đó áp dụng nhiều lần phép biến đổi
(iv) ta sẽ đa nó về dạng chính tắc.
Giải bài toán QHTT bằng phơng pháp hình học.
Xét bài toán QHTT dới dạng chuẩn với hai biến số:
Trang: 9

=

n
j
ijij
bxa
1
i
n
j
jij
bxa
=

=
1
i
n
j
jiji
n
j
jij
bxabxa


==
11
,
0,0,
=
++

jjjjj
xxxxx với
ij
n
j
ij
bxa


=
1
i
n
j
ijij
byxa
=+

=
1
ij
n
j
ij
bxa


=
1
.''

1
ij
n
j
ij
bxa


=



=
=+
=
+
2,1,0
,...,1,
max
2111
2211
jx
mibxaxa
D
xcxc
j
iii

Từ ý nghĩa hình học ta biết rằng mỗi bất phơng trình tuyến tính a
i1

x
1
+a
i2
x
2

b
i
xác
định một nửa mặt phẳng.
Nh vậy miền ràng buộc D đợc xác định nh là giao của một nửa mặt phẳng và sẽ
là một đa giác lồi trên mặt phẳng. Phơng trình c
1
x
1
+c
2
x
2
=

khi

thay đổi sẽ xác
định trên mặt phẳng các đờng thẳng song song với nhau mà ta sẽ gọi là các đờng
mức (với giá trị mức

). Mỗi điểm D sẽ nằm trên một đờng mức với mức
Bài toán đặt ra có thể phát biểu theo ngôn ngữ hình học nh sau: trong số các đ-

ờng mức cắt tập D, hãy tìm đờng mức với gía trị lớn nhất.
Nếu dịch chuyển song song các đờng mức theo hớng vector pháp tuyến của
chúng thì giá trị mức sẽ tăng, nếu dịch chuyển theo hớng ngợc lại thì giá
trị mức sẽ giảm. Vì vậy để giải bài toán đặt ra, ta có thể tiến hành nh sau.
Bắt đầu từ một đờng mức cắt D, ta dịch chuyển song song các đờng mức theo h-
ớng vector pháp tuyến (c
1
,c
2
) cho đến khi việc dịch chuyển tiếp theo làm cho đờng
mức không còn cắt D nữa thì dừng. Điểm của D (có thể nhiều điểm) nằm trên đờng
mức cuối cùng này sẽ là lời giải tối u cần tìm, còn giá trị của hàm mục tiêu tại đó
chính là giá trị tối u của bài toán.
Ví dụ: Xét bài toán:
f(x)= 4x
1
+5x
2
max
Xét đờng mức: 4x
1
+5x
2
=10. Đờng mức này đi qua hai điểm (0,2) và (2.5,0). Ta
có x*=(3,2), f
max
=22

Trang: 10
0,0

3
72
82
21
2
21
21







+
+
xx
x
xx
xx
( )
21
, xxx
=
.
2211
xcxc
+=

( )

21
,ccn
=
y
n
*x
x

và x* là một đỉnh của D. Qua phơng pháp hình học ta thấy rằng:
- Nếu quy hoạch tuyến tính có phơng án tối u thì có ít nhất một đỉnh là tối u. Sở
dĩ nói ít nhất vì có trờng hợp đờng mức ở vị trí giới hạn trùng với một cạnh của D thì
tất cả các điểm trên cạnh này là phơng án tối u, trong đó có hai đỉnh.
- Nếu miền ràng buộc D giới nội và khác rỗng thì chắc chắn có phơng án tối u.
- Nếu miền ràng buộc không giới nội nhng hàm mục tiêu bị chặn trên ở trên
miền ràng buộc thì cũng chắc chắn có phơng án tối u.
1.2.2 Một số tính chất chung
Mệnh đề 1: Tập hợp tất cả các phơng án của một bài toán QHTT là tập lồi.
Tập lồi D các phơng án của một bài toán QHTT xác định bởi toàn bộ các ràng
buộc (1.2) và (1.3). Tập D có thể là rỗng, hoặc là một đa diện lồi hoặc là một tập lồi
đa diện không giới nội.
Nếu D là một đa diện lồi thì bài toán có phơng án, hơn nữa giá trị tối u của hàm
mục tiêu trên đa diện lồi là hữu hạn và việc tìm phơng án tối u đa đến việc chọn các
điểm của đa diện D có số đỉnh (điểm cực biên hay phơng án cực biên) hữu hạn.
Mệnh đề 2: Hàm mục tiêu của bài toán QHTT sẽ đạt Max tại điểm cực biên của
tập D. Nếu hàm mục tiêu không chỉ nhận Max tại một điểm cực biên của tập lồi D
mà tại nhiều điểm cực biên thì nó sẽ đạt giá trị cực đại tại những điểm là tổ hợp lồi
của các điểm đó.
Ký hiệu A
j
, j=1, ..., n là các vector cột của ma trận A.

Khi ấy hệ ràng buộc Ax =b có thể viết:
x
1
A
1
+ x
2
A
2
+ ... + x
n
A
n
= b (1.4)
Mệnh đề 3: Nếu các vector A
1
, A
2
, ..., A
k
là độc lập tuyến tính và thoả mãn
x
1
A
1
+x
2
A
2
+...+x

n
A
n
=b
trong đó x
j
>
0, j=1,...k thì điểm
Trang: 11

x=(x
1
,x
2
,...,x
k
,0,...,0)
là điểm cực biên của tập lồi đa diện D.
Mệnh đề 4: Nếu x =(x
1
,x
2
,...,x
n
) là điểm cực biên của tập lồi đa diện D thì các
vector A
j
trong biểu diễn (1.4) ứng với các thành phần x
j
> 0 lập thành hệ độc lập

tuyến tính. Vì ma trận A có m dòng nên từ đây suy ra rằng điểm cực biên không có
quá m thành phần dơng.
Các mệnh đề 3 và mệnh đề 4 có thể gộp lại thành một mệnh đề sau:
Mệnh đề 5: Để x =(x
1
,x
2
...,x
n
) là phơng án cực biên của QHTT dới dạng chính
tắc thì cần và đủ là các vector cột A
j
của ma trận A ứng với các thành phần x
j
> 0 là
độc lập tuyến tính.
1.2.3 Phơng pháp đơn hình giải bài toán QHTT
Cơ sở của phơng pháp này đơc G.B. Dantzig công bố năm 1947 có tên gọi là
phơng pháp đơn hình. Sở dĩ có tên gọi nh vậy là vì những bài toán đầu tiên đợc giải
bằng phơng pháp đó có các ràng buộc dạng:
Mà tập hợp các điểm xR
n
thoả mãn các ràng buộc trên là một đơn hình trong
không gian n chiều.
Đờng lối chung và cơ sở của thuật toán.
i) Đờng lối chung.
Phơng pháp đơn hình dựa trên hai nhận xét sau: nếu bài toán QHTT có phơng
án tối u, đa diện lồi D có một số hữu hạn đỉnh. Nh vậy phải tồn tại thuật toán hữu
hạn. Thuật toán gồm hai giai đoạn:
- Giai đoạn 1: Tìm một phơng án cực biên (một đỉnh).

- Giai đoạn 2: Kiểm tra điều kiện tối u đối phơng án tìm đợc ở giai đoạn 1. Nếu
điểu kiện tối u đợc thoả mãn thì phơng án đó là tối u. Nếu không, ta chuyển sang ph-
ơng án cực biên mới sao cho cải tiến giá trị hàm mục tiêu. Tiếp theo lại kiểm tra điều
kiện tối u đối với phơng án mới.
Ngời ta thực hiện một dãy các thủ tục nh vậy cho đến khi nhận đợc phơng án tối
u, hoặc đến tình huống bài toán không có phơng án tối u.
Trang: 12
( )
5.1,...,1,0,1
1
njxx
j
n
j
j
==

=

ii) Cơ sở của thuật toán.
Xét bài toán QHTT dới dạng chính tắc:
< c, x > max (1.6)
Ax

= b (1.7)
x 0 (1.8)
Trong đó A là ma trận kích thớc mxn và giả sử rằng hạng của ma trận A là m
(điều này không làm mất tính tổng quát). x là một vector.
Giả sử x là một phơng án cực biên nào đó. Ta ký hiệu:
J* = {j| x

j
> 0} (1.9)
Vì các vector A
j
, jJ* là độc lập tuyến tính nên |J*| m (|J*| là số số phần tử
x
j
>0).
* Phơng án cực biên x đợc gọi là không thoái hoá nếu | J* |= m, thoái hoá nếu
|J*| < m.
Ta chọn một hệ thống m vector độc lập tuyến tính {A
j
, j J}sao cho J J*.
Hệ thống đó gọi là cơ sở của x, các vector {A
j
, j J} và các biến {x
j
, j J} đợc gọi
là các vector và các biến cơ sở tơng ứng. Các vector và các biến A
j
, x
j
, j J gọi là các
vector và các biến phi cơ sở tơng ứng.
Nếu x không thoái hoá thì tồn tại một cơ sở duy nhất, đó là J=J*.
Mỗi vector A
k
phi cơ sở có thế biểu diễn dới dạng tổ hợp tuyến tính của các
vector cơ sở:
Trong đó các hệ số z

jk
đợc xác định duy nhất bởi việc giải hệ phơng trình:
Bài toán QHTT đợc gọi là không thoái hoá nếu tất cả các phơng án cực biên của
nó đều không thoái hoá.
Giả sử bài toán không thoái hoá và ta đã tìm đợc một phơng án cực biên x=(x
1
,
x
2
,...x
m
, 0,...0) và cơ sở của nó A
1,
, A
2
,...A
m
.
Trang: 13
( )
11.1,1, miaaz
ikij
Jj
jk
==


( )
10.1

=
Jj
jjkk
AzA

Đối với phơng án cực biên này ta có:
với giá trị của hàm mục tiêu:
Ta tính các đại lợng sau:
Kí hiệu:
Định lý 1.1: (Tiêu chuẩn tối u). Nếu đối với phơng án cực biên
x=(x
1
,x
2
,...,x
m
,0...0) các điều kiện sau đợc thỏa mãn
thì x* là phơng án tối u.
Chú ý:
Trong (1.10) nếu A
j
là một vector cơ sở, khi đó tồn tại chỉ một hệ số z
jj
=1, tất
cả các hệ số khác đều bằng 0 và ta có:
và trong thực hành để kiểm tra điều kiện tối u của phơng pháp cực biên x ta chỉ
cần kiểm tra

k

0, kJ (1.18)
Ngời ta có thể chứng minh rằng nếu bài toán không thoái hoá thì (1.16) cũng
là điều kiện cần của tối u.
Định lý 1.2: Nếu tồn tại một chỉ số k sao cho
k
< 0 thì ngời ta có thể tìm đợc ít
nhất một phơng án x mà đối với nó Z > Z
0
.
Công thức tìm phơng án x:
Nhân (1.10) với

nào đó ta có:
Lấy (1.12) trừ đi (1.19) từng vế ta có:
Trang: 14
( )
12.1,....,1,0,
1
mjxbAx
j
m
j
jj
=>=

=
( )
13.1
1
0

=
=
m
j
jj
zxc
( )
14.1
1

=
=
m
j
kjjk
Zcz
( )
15.1
1
k
m
j
jjkkkk
cczcZ
==

=
( )
16.1,.....,2,1,0 nk

k
=
( )
17.1,0 Jjcc
jjj
==
)19.1(
1
kj
m
j
jk
AAz

=

=
( )
)20.1(
1
bAAzx
kj
m
j
jkj
=+

=

Nếu các hệ số của các vector A
j
, j=1,.....,m và A
k
trong (1.20) không âm, khi đó
ta có một phơng án mới x mà đối với nó hàm mục tiêu f có giá trị
Trong (1.12) tất cả các biến x
j
, j=1,...,m đều dơng. Vì vậy có thể tìm đợc

> 0
sao cho
Nếu đối với chỉ số k mà
k
< 0, tồn tại z
jk
> 0, jJ thì giá trị

lớn nhất còn thoả
mãn (1.22) có thể xác định bởi hệ thức :
Nếu ta thay

trong (1.20) và (1.21) bởi

o
thì thành phần thứ r sẽ bằng 0:
x
r
-

o
z
rk
=0.
Nh vậy ta nhận đợc phơng án mới x với cơ sở A
j
, jJ\ {r}{k}=J.
Nếu z
jk
0, j J thì tất cả các thành phần x
j
-

z
jk
trong (1.22) sẽ không âm

>0, nghĩa là ta luôn có phơng án

>0, nhng từ (1.21) ta dễ thấy giá trị hàm mục
tiêu tiến tới + khi

tiến tới +.
Trong thực hành Dantzig đã chứng minh rằng các bớc lặp sẽ giảm đáng kể nếu
ta thay vector A
s
thoả mãn:
và khi đó vector A
r
đợc xác định theo công thức:

Ta có phơng án cực biên mới x mà các thành phần của nó có dạng:
nếu j r
nếu j=r
và cơ sở của nó là
Trang: 15
( )
23.10min
0
rk
r
jk
jk
j
Jj
z
x
z
z
x
=

>=


{ }
( )
24.10min
<=
kk
k
s
( )
25.1,0min
rs
r
js
js
j
s
z
x
Jjz
z
x
=

>=

( )






=
,/
,/
'
rsr
jsrsrj
j
zx
zzxx
x
( )
26.1
{ } { } ( )
27.1\', srJJjA
j
=
( )

29.3,.....,1,0:' mjzxx
jkjj
==

)21.1('
0 k
ZZ
=

)22.1(,.....,1,0:' mjzxx
jkjj
==


Trên cơ sở lý thuyết đã nhận đợc, ta chuyển sang xét thuật toán đơn hình.
Thuật toán đơn hình
Giả sử ta đã đa QHTT về dạng chính tắc:

cx=Z max
Ax=b
x0
Bớc 1: Xây dựng bảng đơn hình xuất phát. Tìm một phơng án cực biên xuất
phát x và cơ sở của nó A
j
, jJ.
Xác định các số z
jk
bởi hệ phơng trình:
Đối với mỗi k J , tính các ớc lợng:
Còn với jJ thì

j
= 0.
Tính giá trị hàm mục tiêu
Bớc 2: Kiểm tra tối u.
Nếu
k
0, k J thì x là phơng án tối u, dừng thuật toán. Trái lại, chuyển
sang bớc 3.
Bớc 3: Tìm vector đa vào cơ sở. Có hai khả năng xảy ra:
Tồn tại kJ sao cho
k
< 0 và z
jk
0, jJ thì bài toán QHTT không có
lời giải tối u (Z không bị chặn trên). Dừng thuật toán.
Đối với mỗi kJ sao cho
k
< 0 đều tồn tại j

J: z
jk
> 0. Khi đó chọn chỉ
số s theo tiêu chuẩn:
Đa vector A
s
vào cơ sở.
Trang: 16
{ }
0min
<=

kks
kj
Jj
jk
AAz
=


kj
Jj
jkk
ccz
=




=
Jj
jj
xcZ
0

Bớc 4: Tìm vector loại khỏi cơ sở. Xác định
Và đa vector A
r
ra khỏi cơ sở.
Bớc 5: Chuyển sang phơng án cực biên mới và cơ sở mới. Cơ sở mới là {A
j
,j

J} với J= J\{r} z{s}. Phơng án cực biên mới x đợc tính theo (1.26), khai
triển của các véc tơ A
k
theo các cơ sở mới đợc tính theo công thức (1.28). Quay lên
bớc 2.
Chú ý. Đối với bài toán min thì tiêu chuẩn tối u là
k

0 (k) và vector A
s
đợc chọn đa vào cơ sở theo công thức:
Công thức đổi cơ sở và bảng đơn hình.
Ta xét các công thức chuyển từ phơng án cực biên x với cơ sở J sang phơng án
cực biên x với cơ sở J.
Ta đã có công thức (1.26) để tính các thành phần của x. Bây giờ ta thiết lập
công thức tính các số z
jk
. Ta có:
Mặt khác
Thay biểu thức của A
r
vào ta đợc:
Đây là công thức biểu diễn A
k
qua cơ sở mới J =J\{r}{s}. Bởi vậy ta có:
nếu jr

nếu j=r
Trang: 17
rs

r
js
rs
j
s
z
x
z
z
x
=






>=
0min

{ }
Jk
kks
>=
,0max

=
=




rjJj
jjss
rs
r
Jj
jjss
AzA
z
A
AzA
,
1
s
rs
rk
j
rjJj
js
rk
jk
rjJj

jjss
rs
rk
riJj
jjkk
A
z
z
A
z
z
zAzA
z
z
AzA
+








=

+=


,,,


+==
rjJj
rrkjjkj
Jj
jkk
AzAzAzA
,,
( )
( )
,28.1
,/
,/
'






=
rsrk

jsrsrkjk
jk
zz
zzzz
z
( )
29.1''
'
kj
Jj
jkk
ccz
=


{ }
0,,
=
xbAxxc

Sau khi có z
jk
ta tính:
Để dễ tính toán, trong mỗi bớc lặp ta thiết lập bảng đơn hình (xem bảng 1.1).
Nếu tất cả các số trong dòng cuối (trừ hàm mục tiêu f) đều không âm, nghĩa là

k
0 k, khi đó x là phơng án tối u.
Bảng 1.1
c

j
Cơ
sở
Ph
án
c
1
... c
j
... c
r
... c
m
... c
k
... c
s
... c
n
A
a
... A
j
... A
r
... A
m
...A
k
... A

s
... A
n
c
1
.
..
c
j
.
..
c
r
.
..
c
m
A
1
...
A
j
...
A
r
.
..
A
m
x

1
.
..
x
j
.
..
x
r
.
..
x
m
1 .
..
0 .
..
0 .
..
0
0 .
..
1 .
..
0 .
..
0
0 .
..
0 .

..
1 .
..
0
0 .
..
0 .
..
0 .
..
1
z
1k
.
..
z
jk
.
..
z
rk
.
..
z
mk
z
1s
...
z
js

.
..
z
rs
.
..
z
ms
z
1n
...
z
jn
.
..
z
rn
.
..
z
mn
f
0... 0... 0... 0 ...
k
...
s
...
n
Nếu dòng cuối (không kể f ) có những số âm thì xem thử có cột nào cắt dòng
cuối ở một số âm mà mọi số trong cột đó đều âm hay không. Nếu có cột nào nh thế

thì bài toán không có phơng án tối u. Nếu trái lại thì chọn cột sao cho
Rồi chọn ( trong số các dòng cắt cột s ở những số dơng ) dòng r sao cho:
Cột s gọi là cột quay. Vector A
r
đợc đa vào cơ sở. Dòng r gọi là dòng quay.
Vector A
r
bị đa ra khỏi cơ sở.
Phần tử z
rs
> 0 là giao của cột quay và dòng quay gọi là phần tử chính của phép
quay. Các phần tử z
js
, j r gọi là phần tử quay.
Các công thức (1.26), (1.29) gọi là các công thức đổi cơ sở. Bảng đơn hình mới
suy đợc từ bảng cũ bằng cách thay c
r
, A
r
trong dòng quay bằng c
s
, A
s
. Sau đó thực
hiện các phép biến đổi dới đây:
Trang: 18
{ }
0min
<=
kks

>==
0min
js
js
j
rs
r
r
z
z
x
z
x


i) Chia mỗi phần tử ở dòng quay cho phần tử chính đợc số 1 ở vị trí của z
rs
cũ.
Kết quả thu đợc là dòng chính.
ii) Lấy mỗi dòng khác trừ đi tích của dòng chính nhân với phần tử quay tơng

ứng đợc số 0 ở mọi vị trí còn lại của cột quay.
Dòng mới = dòng cũ tơng ứng - dòng chính x phần tử quay
Lu ý rằng sau phép quay thì ở vị trí
s
ta thu đợc số 0 vì lúc này A
s
trở thành
vector đơn vị cơ sở, nghĩa là ta đã làm mất số âm nhỏ nhất ở dòng cuối của bảng cũ.
Toàn thể phép biến đổi trên gọi là phép quay xung quanh phần tử chính z
rs
. Sau
khi thực hiện phép quay ta có một phơng án mới và một cơ sở mới. Nếu cha đạt yêu
cầ nghĩa là còn
k
<1 thì ta lại tiếp tục quá trình.
Chú ý: Trong bảng đơn hình ở bảng 1.1, không giảm tổng quát ta coi các vector
cơ sở đợc đánh số A
1
, A
2
, ..., A
m
, nghĩa là J = {1,2, ..., m}.
Trang: 19

Chơng 2. Bài toán vận tải và bài toán vận tải mở rộng
2.1 Bài toán vận tải hai chỉ số
2.1.1 Phát biểu bài toán và tính chất
Có m địa điểm A
1

, A
2
, ..., A
n
cùng sản xuất một loại hàng hóa với các lợng hàng
tơng ứng là a
1
, a
2
, ..., a
n
.
Có n nơi tiêu thụ loại hàng hóa đó B
1
, B
2
, ..., B
n
với các yêu cầu tơng ứng là b
1
,
b
2
, ..., b
n
.
Để đơn giản ta sẽ gọi
A
i
là điểm phát i, i=1, ..., m

B
j
là điểm thu j, j=1, ..., n
Hàng có thể chở từ một điểm phát bất kỳ (i) đến một điểm thu bất kỳ (j)
Ký hiệu:
c
ij
- chi phí chuyên chở một đơn vị hàng từ điểm phát (i) đến điểm thu (j).
x
ij
- lợng hàng chuyên chở từ (i) đến (j).
Bài toán đặt ra là: xác định những đại lợng x
ij
cho mọi con đờng (i,j) sao cho
tổng chi phí chuyên chở là nhỏ nhất với giả thiết là:
Tức là lợng hàng phát ra bằng đúng lợng hàng yêu cầu ở các điểm thu (điều
kiện cân bằng thu phát).
Dạng toán học của BTVT là:
Trang: 20

= =

m
i
n
j
ijij
xc
1 1
)1.2(min

=>
==
==
==



= =
=
=
m
i
n
j
jiji
ij
m

i
jij
n
j
iij
Ibaba
njmix
njbx
miax
1 1
1
1
)(;0,
)4.2(,1;,1,0
)3.2(,1,
)2.2(,1,

Hệ rằng buộc (2.2), (2.3) có m + n phơng trình, m x n ẩn, tuy nhiên do (I) nên
bất kỳ phơng trình nào trong m + n phơng trình cũng là hệ quả của các phơng trình
còn lại và có thể bỏ đi. Thật vậy, hệ rằng buộc có thể viết dạng (2.5).
Giả sử ta cộng các phơng trình từ thứ (m+1) tới thứ (m+n) rồi trừ đi tổng các
phơng trình từ thứ (2) tới thứ (m) thì ta đợc phơng trình thứ (1). Do đó số phơng trình
cực đại của hệ (2.2), (2.3) không quá m + n-1.
Ký hiệu ma trận của hệ (2.5) là A.
X = (x
11
, x
12
, ..., x
ij,

..., x
mn
) - Vector cột mxn thành phần.
C = (c
11
, c
12
, ..., c
ij,
..., c
mn
) - Vector hàng mxn thành phần.
P = (a
1
,

a
2
, ..., a
m
, b
1
, b
2
, ..., b
n
) - Vector cột vế phải.
Ta đa BTVT về dạng.
Ta gọi P
ij

là cột của ma trận A ứng với biến x
ij
. Vector này có 2 thành phần bằng
1 tại dòng thứ i và dòng thứ m+j còn các thành phần khác bằng 0.
Trang: 21
)5.2(
)(
.....
)2(
)1(...
)(...
.....
)2(...
)1(...
21
222212
112111
21
222221
111211

+=++
+=++
+=+++
=+++
=+++
=+++
nm
m
m
m
bxxx
bxxx
bxxx
axxx
axxx
axxx
nmnnn
m
m
mmnmm
n
n

=
><
)8.2(0
)7.2(
)6.2(,min
X
PAX
XC

Định nghĩa 1: Vector X thỏa mãn (2.7), (2.8) đợc gọi là một phơng án của
BTVT.
Một phơng án đạt cực tiểu (2.6) gọi là phơng án tối u.
Một phơng án X gọi là phơng án cơ sở nếu vector cột P
ij
của ma trận A tơng ứng
với các x
ij
> 0 là độc lập tuyến tính.
Định lý 2.1: BTVT luôn có phơng án tối u.
Chứng minh:
1) Trớc hết ta chứng minh BTVT luôn có phơng án.
2) Sau đó chứng minh rằng miền rằng buộc giới nội.
a) Đặt :
Ta thấy:
Lập thành một phơng án, vì rằng x
ij
0

b) Vì các hệ số trong (2.2), (2.3) và các đại lợng a
i
, b
j
không âm và hữu hạn nên
mọi x
ij
đều bị chặn trên. Thực vậy x
ij
không thể lớn hơn các số tơng ứng a
i
, b
j
.
Vì vậy miền rằng buộc là khác rỗng và giới nội (đa diện lồi). Đa diện này có 1
số hữu hạn đỉnh. Theo thuật toán đơn hình, xuất phát từ một phơng án cực biên, sau
một số hữu hạn bớc ta phải đi tới một phơng án cực biên tối u.
Định nghĩa 2:
- Một ô (i,j) mà x
ij
gọi là ô sử dụng.
- Tập các ô sau đợc gọi là một dây truyền trong T
(i
1
,j
1
), (i
1
,j
2

), (i
2
,j
2
), (i
2
,j
3
), ..., (i
s
,j
s+1
) (2.9)
hoặc: (i
1
,j
1
), (i
2
,j
1
), (i
2
,j
2
), (i
3
,j
2
), ..., (i

s+1
,j
s
) (2.10)
Trang: 22

= =
>==
m
i
n
j
ji
baS
1 1
0
njmi
S
ba
x
ji
ij
,1;,1,
===
njb
S
ab
S
ba
x

mia
S
ba
S
ba
x
j
m
i
ij
m
i
ji
m
i
ij
i
n
j
ji
n
j
ji
n
j
ij
,1,
,1,
1
11

1
11
====
====




=
==
=
==

Mỗi cặp ô liền nhau trong dây truyền đợc xếp trong một hàng hoặc trong một
cột.
Dây truyền đợc gọi là kín hay là một chu trình nếu: j
s+1
= j
1
hoặc i
s+1
= i
1
Gọi G là tập hợp các ô sử dụng:
G = {(i,j) | x
ij
> 0 } |G| m+n-1
- Một phơng án X của BTVT đã cho đợc gọi là không thoái hóa nếu
|G| = m+n-1
Ngợc lại là thoái hóa nếu |G| m+n-1

- Nếu một tập hợp con thực sự của G lập thành chu trình thì ta có một chu trình
con của G.
Định lý 2.2: Hệ thống vector P
ij
của BTVT là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi
các ô tơng ứng với các vector của hệ thống không tạo thành chu trình.
Chứng minh: Cần. Ký hiệu P
ij
= { P
ij
(i,j) G}. Giả sử P
ij
là hệ độc lập tuyến
tính, ta phải chứng minh G không lập thành chu trình.
Bằng phản chứng, nếu có một chu trình tạo nên bởi các ô tơng ứng với một số
vector của hệ P
ij
thì nó có dạng:
(i
1
,j
1
), (i
1
,j
2
), (i
2
,j
2

), (i
2
,j
3
), ..., (i
s
,j
s+1
) với j
s+1
= j
s

khi đó rõ ràng:
P
i1,j1
- P
i1j2
+ P
i2j2
- ... - P
isjs
- P
isj1
= 0
tức là hệ P
ij
phụ thuộc tuyến tính, mâu thuẫn với giả thiết.
Đủ: Giả sử G không lập thành chu trình. Ta phải chứng minh hệ P
ij

là độc lập
tuyến tính.
Bằng phản chứng, giả sử hệ P
ij
là phụ thuộc tuyến tính. Mỗi vector P
ij
có dạng:
(
1
, ...,
i
, ...,
m
,
m+1
, ...,
m+j
, ...,
m+n
)
với thành phần
i
=
m+j
= 1 còn các tọa độ khác bằng 0.
Nếu hệ P
ij
phụ thuộc tuyến tính, tức là có một tổ hợp tuyến tính của các vector
P
ij

bằng 0. Điều đó có nghĩa là trong thành phần của tổ hợp này ngoài vector dạng
P
i1j1
, phải có các vector P
i1jk
và vector P
iej1
. Nhng điều đó chứng tỏ rằng các ô {(i,j)} t-
ơng ứng với hệ thống P
ij
lập thành chu trình.
Trang: 23

Điều này trái với giả thiết. Vậy hệ P
ij
là độc lập tuyến tính.
Hệ quả: Vector X là phơng án cực biên khi và chỉ khi tập các ô sử dụng tơng
ứng không lập thành chu trình.
Chứng minh: Coi BTVT là một QHTT thì X là phơng án cực biên khi và chỉ khi
các vector P
ij
ứng với x
ij
> 0 là độc lập tuyến tính, theo định lý 2.2 thì điều đó xẩy ra
khi và chỉ khi tập các ô sử dụng tơng ứng không lập thành chu trình.
Định lý 2.3: Giả sử X là một phơng án của BTVT và tập G của nó lập thành chu
trình, thế thì bao giờ cũng có thể điều chỉnh đợc X để chuyển sang một phơng án mới
X không xấu hơn mà tập G không lập thành chu trình.
Chứng minh:
Giả sử K là một chu trình nào đó của G ta phân ra trong K tập các ô chẵn K

+
và
tập các ô lẻ K
-
(xen kẽ nhau). Không giảm tổng quát có thể coi:
(nếu không ta quy ớc lại các ô chẵn và lẻ trên K)
Ký hiệu: = min{x
ij
(i,j) K
-
} (2.12)
Ta chuyển X X nh sau:
Rõ ràng X vẫn còn là phơng án của BTVT vì rằng:
Vì mỗi hàng hay cột chỉ chứa 2 ô sử dụng nên và (-) triệt tiêu nhau.
Hàm mục tiêu không tăng vì
Trang: 24
)11.2(
_
),(),(



+
K
c
K
c
ji
ij
ji

ij
)13.2(
),(,
),(,
),(,









+
=

+
Kjix
Kjix
Kjix
x
ij
ij
ij
ij

==
==



=
=
m
i
jij
n
j
iij
ij
njbx
miax
jix
1
'
1
'

'
,1,
,1,
),(,0
),()(',
),(
'
),(
'
XC
K
xc
K
cxcxcXC
i j
ji
ijij
ji
ijijij
i j
ijij
++=><

+



Do phép biến đổi (2.13) và xác định bởi (2.12), sẽ có một ô thuộc K
-
trớc đây

x
ij
> 0 bây giờ x
ij
= 0. Ta loại ô đó ra khỏi G do đó khỏi K và phá đợc chu trình K.
Nếu còn chu trình nào khác ta lại phá bằng cách tơng tự. Vì vậy ta luôn có thể giả
thiết rằng phơng án đang xét có các ô sử dụng không lập thành chu trình.
Hệ quả: Mọi phơng án X đều có thể chuyển về phơng án cức biên X không xấu
hơn X.
2.1.2 Cách tìm phơng án xuất phát
Phơng pháp góc tây bắc.
Lập bảng T, ta ghi số liệu vào bảng đó, luôn xuất phát từ ô ở góc trên, bên trái.
b
j

a
i
b
1
... b
j
... b
n
a
1
x
ịj
...
a
i

...
a
m
Ta bắt đầu phân phối vào ô (1,1) lợng hàng:
x
11
= min(a
1
, b
1
)
- Nếu x
11
= a
1
thì ta xóa hàng 1. Lập bảng mới có b
1
= b
1
- x
11
. Tiếp tục quá
trình, bắt đầu từ ô (2,1).
- Nếu x
11
= b
1
thì ta xóa cột 1. Lập bảng mới có a
1
= a

1
- x
11
. Tiếp tục quá trình,
bắt đầu từ ô (1,2).
Một lần phân phối nh vậy ta đợc một tải lợng x
ij
> 0 và bỏ bớt đi đợc một hàng
(hoặc cột) của bảng T. Bảng mới cuối cùng chỉ còn lại một ô (m, n) và do cân bằng
thu phát nên cực tiể đạt cả ở hàng, cả ở cột sau khi phân phối lợng còn lại. Do đó ta
xóa cả cột n và hàng m đi. Tổng số hàng và cột là m + n mỗi lần phân phối bỏ đi đợc
1 hàng (hoặc cột), lần cuối cùng bỏ cả cột n và hàng m, nên phơng án thu đợc có
không quá m + n - 1 ô sử dụng, không lập thành chu trình, tức là có phơng án cực
biên.
Phơng pháp cớc phí tối thiểu trong toàn bảng.
Trang: 25