Cái nhìn sơ lược về nền toán học hiện đại

CÁI NHÌN SƠ LƯỢC
VỀ NỀN TỐN HỌC
HIỆN ĐẠI


THỜI KÌ CỔ ĐẠ I
TỐN HỌC SƠ CẤP

THỜI KÌ TỐN HỌC
GẮN LIỀN VỚI CÁC
YẾU TỐ , ĐẠI
LƯỢNG BẤT BIẾN
Thời kỳ đầu, thời kỳ của toán
học về các đại lượng bất biến,
tức là các đại lượng lấy những
giá trị cố định. Trước hết, tốn
học đã đóng góp vào sự hình
thành cơ sở của lơgic hình thức,
nhờ vậy tư duy có lập luận
chính xác, chặt chẽ. Điều đó
góp phần hình thành nên các
nguyên tắc của tư duy khoa
học.

Thí dụ từ quan hệ a=b,b=c suy
ra a=c. Tuy nhiên, khái niệm
bằng nhau ở đây là bất biến,
bất động, cố định.
Đối với các lĩnh vực tri thức
khác, ở thời kỳ này mới chỉ có
cơ học và thiên văn học là

tương đối phát triển. Toán học
đã thơng qua hai khoa học này
góp phần vào cuộc cách mạng
của Copecních thay hệ địa tâm
bằng hệ nhật tâm. Sự phát
triển của một thế giới quan mới
gắn liền với cuộc cách mạng
mà Copecních thực hiện địi hỏi
phải có một nền tốn học mang
những tư tưởng mới về chất ra
đời (đó là toán học về các đại
lượng biến đổi ở thời kỳ cổ
điển)


CHƯƠNG 1
GIAI ĐOẠN PHÁT TRIỂN CỦA
TOÁN HỌC GẮN LIỀN VỚI
HƠI THỞ CỦA TRIẾT HỌC


QUÁ TRÌNH PHÁT TRIỂN
ĐƯỢC CHIA LÀM 3 THỜI KÌ

THỜI KÌ CỔ ĐẠI
TỐN HỌC SƠ CẤP
Đây là giai đoạn tốn học về
các đại lượng bất biến (từ thế
kỷ thứ V trước cơng ngun
đến thế kỷ XVII)

THỜI KÌ CỔ ĐIỂN
TỐN HỌC CỔ ĐIỂN
Giai đoạn toán học nghiên cứu
về các đại lượng biến đổi (từ
thế kỷ XVIII đến cuối thế kỷ
XIX)

THỜI KÌ HIỆN ĐẠI
TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI
Trong giai đoạn hiện đại,
thành tựu nổi bật của toán
học là tư tưởng cấu trúc. Thực
chất của tư tưởng này là cho
phép ta tiếp cận một cách
trừu tượng và khái quát các
đối tượng có bản chất rất khác
nhau để vạch ra quy luật
chung của chúng.


CÁC KHUYẾT ĐIỂM
TOÁN HỌ C CỔ ĐẠ I
Tuy nhiên, ở thời kỳ này, các quan niệm của cơ học Niutơn chi phối hầu hết cách
xem xét các sự vật, hiện tượng của thế giới xung quanh. Do cơ học Niutơn lấy số
lượng bất biến, cố định của toán học làm chuẩn mực để tính tốn khối lượng của
nó, nên quan điểm này tạo cơ sở cho hình thành chủ nghĩa duy vật siêu hình máy
móc. Thế giới quan của chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc đã ảnh hưởng lâu
dài đến sự phát triển của toán học và các lĩnh vực khác của khoa học tự nhiên.
Mặt khác, những thành tựu trong sự phát triển của số học, hình học cũng đã tạo

ra mối liên hệ đầu tiên với những quan niệm của phép biện chứng ngây thơ cổ
đại. Chẳng hạn, vấn đề quan hệ giữa số thực và số ảo, giữa vô hạn và hữu hạn...
Như vậy ở thời kỳ này, mặc dù tốn học có đóng góp vào sự hình thành và phát
triển một số yếu tố biện chứng, song nhìn chung nó chỉ dừng lại ở việc góp phần
hình thành và củng cố thế giới quan chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc. Do sự
phát triển của thực tiễn và nhận thức, tất yếu dẫn tới sự ra đời của toán học về
các đại lượng biến đổi.


THỜI KÌ CỔ ĐIỂN
TỐN HỌC CỔ ĐIỂN

SỰ PHÁT TRIỂN
TỐN HỌC GẮN
LIỀN VỚI CÁC ĐẠI
LƯỢNG BIẾN ĐỔI
Ở thời kỳ này, các nhà kinh
điển chú ý đến tốn học, trước
hết vì những tư tưởng về vận
động, về các mối liên hệ, được
phát triển trong toán học sớm
hơn ở các khoa học tự nhiên
thực nghiệm khác. Thật vậy,
trong lập luận của giải tích
tốn và phép tính vi phân,
người ta đã dùng các khái niệm
như hàm số, giới hạn, liên tục,
gián đoạn vô hạn, hữu hạn...

Nói theo ngơn ngữ tốn học,

tức là có sự tương tự về cấu
trúc hay sự đẳng cấu giữa các
lĩnh vực có bản chất khác nhau.
Có thể nói rằng tư tưởng cấu
trúc là một trong những cơ sở
lý luận cho sự ra đời của các
khoa học tổng hợp như logic
toán, điều khiển học, tin học,
toán lý, toán sinh, toán kinh
tế...
Về phương diện thực tiễn, trên
cơ sở sự tương tự về cấu trúc
giữa các quá trình diễn ra
trong giới tự nhiên vô sinh, sự
sống và xã hội (tư duy) người
ta đã chế tạo ra hệ thống máy
tự động, hoạt động theo cơ chế
tương tự bộ não và các giác
quan con người.


CÁI HAY CỦA THỜI KÌ CỔ
ĐIỂN SO VỚI CỔ ĐẠ I
Vào thời kỳ trước đó, do những điều kiện lịch sử nhất định, thế giới quan siêu hình
máy móc đang thống trị trong khoa học tự nhiên, sự ra đời và phát triển tư tưởng
vận động, liên hệ của toán học đã giáng một đòn mạnh mẽ vào thế giới quan
siêu hình “mà điểm trung tâm là quan niệm về tính bất di bất dịch tuyệt đối của
tự nhiên”. Thật vậy, sự ra đời của phép tính vi phân, giải tích tốn học đã tạo cho
các nhà khoa học một phương tiện mới trong nhận thức về các hiện tượng, sự vật,
q trình trong tự nhiên. Nhờ đó, người ta mới phát hiện ra định luật vạn vật hấp

dẫn ở thế kỷ XVII, quy luật truyền sóng và truyền nhiệt ở thế kỷ XVIII. Sự ra đời
thuyết tương đối của Anhxtanh ở thế kỷ XIX chính là nhờ sự phát triển từ trước
của hình học phi Ơclít. Như vậy, tốn học đã thơng qua vật lý học, đóng góp vào
cuộc cách mạng thế giới quan, thay chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc dựa
trên cơ học Niutơn (với đặc điểm là khối lượng bất biến, không gian và thời gian
tách biệt nhau) bằng chủ nghĩa duy vật biện chứng mà sự ra đời của thuyết
tương đối Anhxtanh và những lý thuyết khoa học hiện đại khác là ví dụ (với đặc
điểm là khối lượng, không gian và thời gian không tách rời nhau).


XÁC
SUẤT
Một thành tựu quan trọng khác của toán học thời kỳ này là sự ra đời của
tưởng thống kê – xác suất. Tư tưởng thống kê – xác suất khẳng định sự tồn
tại khách quan của cái ngẫu nhiên. Thế giới khơng chỉ có những cái tất
nhiên mà có cả những cái ngẫu nhiên. Ngẫu nhiên và tất nhiên liên hệ chặt
chẽ và bổ sung cho nhau. Tư tưởng thống kê- xác suất cho ta một quan niệm
mới mềm dẻo và chính xác hơn về sự phụ thuộc lẫn nhau, giữa các sự vật,
hiện tượng, q trình. Nó vượt hơn hẳn quan điểm quyết định luận chặt chẽ
coi sự phụ thuộc liên hệ giữa các sự vật chỉ là đơn tại chặt chẽ và tính tất
nhiên thống trị tuyệt đối trong giới tự nhiên. Sự tồn tại cái ngẫu nhiên bổ
sung vào bức tranh khoa học chung về thế giới.


NHẬN XÉT
CHUNG

KẾT LUẬN
GIAI ĐOẠN
TOÁN CỔ

ĐIỂN

GIẢI PHÁP MẠNH HÙNG

Như vậy, các tư tưởng vận động, liên hệ
và thống kê – xác suất đã góp phần
hình thành tư duy biện chứng và là cơ
sở khoa học để luận chứng cho thế giới
quan duy vật biện chứng.

Tuy nhiên, toán học thời kỳ này cũng
mang những hạn chế nhất định. Nó
chưa đáp ứng được những nhu cầu của
nền sản xuất từ cơ khí hố chuyển sang
nền sản xuất tự động hoá, của sự phát
triển khoa học từ giai đoạn phân tích,
thực nghiệm sang khoa học liên ngành
tổng hợp ở trình độ lý thuyết. Những
địi hỏi ấy tất yếu dẫn toán học tới một
thời kỳ phát triển mới – toán học nghiên
cứu các cấu trúc và thuật toán.


THỜI KÌ HIỆN ĐẠ I
SỰ HÌNH THÀNH TƯ DUY TRỪU TƯỢNG

NỀN TOÁN TƯ
DUY TRỪU TƯỢNG
GẮN LIỀN VỚI
CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

Trong thế kỉ XIX, các ngành
khoa học cao cấp cổ điển vẫn
tiếp tục phát triển. Tuy nhiên
sự tiến hóa từ trực giác sang
tính chặt chẽ đã có những
thành tựu đáng kể, vì thế tốn
học dần dần được giải phóng
khỏi những ràng buộc truyền
thống và sự khái quát và sự
trừu tượng trở thành một trong
những khuynh hướng chính của
thời đại.

Nói theo ngơn ngữ tốn học,
tức là có sự tương tự về cấu
trúc hay sự đẳng cấu giữa các
lĩnh vực có bản chất khác nhau.
Có thể nói rằng tư tưởng cấu
trúc là một trong những cơ sở
lý luận cho sự ra đời của các
khoa học tổng hợp như logic
toán, điều khiển học, tin học,
toán lý, toán sinh, toán kinh
tế...
Về phương diện thực tiễn, trên
cơ sở sự tương tự về cấu trúc
giữa các quá trình diễn ra
trong giới tự nhiên vơ sinh, sự
sống và xã hội (tư duy) người
ta đã chế tạo ra hệ thống máy

tự động, hoạt động theo cơ chế
tương tự bộ não và các giác
quan con người.


Như vậy cả về phương diện lý luận và thực tiễn, tốn học hiện
đại đóng vai trị nền tảng trong q trình nhất thể hố các
khoa học. Hơn nữa, tư tưởng cấu trúc của tốn học cịn phản
ánh sâu sắc sự thống nhất vật chất của thế giới.
Sự thống nhất của toán học với thế giới quan triết học biểu hiện ở chỗ
chúng xác nhận những tư tưởng cơ bản của chủ nghĩa duy vật: tư tưởng
về sự thống nhất vật chất của thế giới và tính có thể nhận thức được của
thế giới đó. Các khoa học khác như vật lý học, sinh học đã có những đóng
góp quan trọng vào việc luận chứng cho sự thống nhất này. Có thể nói
rằng cùng với sự phát triển của khoa học và thực tiễn các lý thuyết toán
học ngày càng có khả năng đi sâu vào việc luận chứng cho tư tưởng về
sự thống nhất vật chất của thế giới. Chẳng hạn, cùng một phương trình

tăng trưởng của nền kinh tế... Như vậy, tư tưởng cấu trúc của toán học
hiện đại góp phần quan trọng vào sự nhận thức những cơ sở nền tảng
của sự tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung thế giới quan, phương
pháp luận sâu sắc. Đồng thời nó là một trong những cơ sở khoa học để
luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng về sự thống nhất vật
chất của thế giới.

Nhận xét chung về tốn hiện đại

có thể diễn tả sự phân huỷ chất phóng xạ, sự sinh sản của vi khuẩn, sự

KẾT LUẬN
Những kết quả trên đây được củng cố vững chắc hơn khi xem xét ảnh
hưởng của toán học đối với sự phát triển của khoa học tự nhiên hiện đại,
đặc biệt đối với những ngành tiếp cận thế giới vi mô. Dựa vào sự tương tự
về cấu trúc, người ta phát hiện ra mối liên hệ, quan hệ và sự thống nhất
giữa các lý thuyết vật lý khác nhau. Đặc biệt, trên cơ sở những lý thuyết
hình thức (trừu tượng) của toán học, người ta đã phát hiện ra những hạt
mới trước khi chúng được phát hiện nhờ thực nghiệm.

Điển hình là việc phát hiện ra positron
trong cơ học lượng tử nhờ biểu diễn nó
bằng một phương trình z căn bậc hai.

Các cuộc cách mạng trong hoá học
(hoá học lượng tử)

Trong sinh học (lý thuyết di truyền),
sinh học phân tử...

Đối với khoa học nhân văn, khả năng hình thành tốn kinh tế, tốn tâm lý,
tốn xã hội... sẽ góp phần củng cố thế giới quan duy vật biện chứng trong
nhận thức nhân văn và xã hội.


GIỚI THIỆU VỀ
GIÁO SƯ ĐẶNG
ĐÌNH ÁNG
Giáo sư đầu tiên của
nước Việt Nam
Ơng đã có hơn 130 cơng

trình nghiên cứu tốn học có
giá trị được cơng bố ở nước
ngồi, nhiều sách giáo khoa
và chuyên đề., đã đào tạo 12
tiến sĩ trong nước có những
cơng trình tương đương với
tiến sĩ thế giới.

Nhà tốn học với
chiếc sáo bạc
Ơng say mê tiếng sáo tre từ
nhỏ ở làng. Chiếc sáo bạc
ông mua ở Mỹ năm 1956 trở
thành một người người bạn
đồng hành “bất khả ly thân”
của ông, giống như chiếc đàn
vĩ cầm của Einstein . . Ơng
khơng những thích âm nhạc
riêng cho mình, "mà ơng thật
sự quan tâm tới đời sống,
sinh hoạt âm nhạc, với giới
hoạt động âm nhạc tại thành
phố này”

Tấm gương tinh thần
tự học
Ông là một tấm gương lớn
của sự tự học và phấn đấu.
Ông đã tự học để thi tú tài I
ở Hà nội, rồi Tú Tài II ở Sài

Gòn, tự học Anh ngữ, rồi tự
học tại đại học Kansas để rút
ngắn chương trình cử nhân,
tự tìm tịi học hỏi khi về Việt
Nam làm việc, và cứ như thế
trong suốt cuộc đời nghiên
cứu và giảng dạy của ơng.

NGƯỜI MANG TỐN
HỌ C HIỆ N ĐẠ I VÀO
PHÍA NAM




Ơng là người đã mang tốn học hiện đại vào phía
Nam đầu thập niên 60, được giao chức vụ Khoa
trưởng Khoa Toán của ĐH Khoa học Sài gòn lúc 34
tuổi để làm cuộc cải cách giáo dục toán ở đại học,
cùng với cuộc cải cách đại học, phong trào chuyển
ngữ cả miền Nam đang diễn ra lúc đó. Ơng đã
đem ngọn gió mới vào đại học, gây một sự hưng
phấn trong các sinh viên toán.
Toán học khơng những được hiện đại hố mà cịn
được nâng cấp lên bậc cao học. Sinh viên được
hướng dẫn bước vào đường nghiên cứu và có thể
cơng bố kế quả nghiên cứu của mình ở những tạp
chí quốc tế, dưới sự hướng dẫn của vị giáo sư trẻ
vừa tốt nghiệp. Ông vừa dạy, vừa nghiên cứu, vừa
tự học thêm. Tinh thần đại học của Humboldt – sự

kết hợp nghiên cứu và giảng dạy − thấm đượm ở
ông.


CHƯƠNG 2
MỘT SỐ THÀNH TỰU TIÊU
BIỂU TRONG GIAI ĐOẠN
HIỆN ĐẠI


NHẬ N XÉT CHUNG
Trong thế kỉ XIX, các ngành khoa học cao cấp cổ điển vẫn
tiếp tục phát triển. Sự tiến hóa từ trực giác sang tính chặt
chẽ đã có những thành tựu đáng kể, toán học dần dần
được giải phóng khỏi những ràng buộc truyền thống và sự
khái quát và sự trừu tượng trở thành một trong những
khuynh hướng chính của thời đại.
Ba sự kiện nổi bật thế kỉ XIX thể hiện rõ khuynh hướng
trừu tượng hóa rất cao là: một trong những lĩnh vực hình
học, một trong những lĩnh vực đại số học, và một trong
những lĩnh vực giải tích.


Sự kiện đầu tiên
HÌNH HỌC PHI EUCLIDE
NĂM 1829

Sự kiện hình học là sự kiện xảy ra đầu tiên trong các sự kiện
nêu trên, đó là sự khám phá ra mơn hình học phi mâu thuẫn
và tự nhất quán với hình học Euclide : hình học phi Euclide.

Vào năm 1829. ba nhà toán học Lobachevsky, Bolyai, Gauss đã
thay tiên đề V của Euclide“ Từ một điểm ngồi đường thẳng
ta có thể dựng duy nhất một đương thẳng song song với
đường thẳng ấy” bởi tiên đề“ Từ một điểm nằm ngoài đường
thẳng ta dựng được ít nhất hai đường thẳng song song với
đường thẳng ấy”, và như vậy một lĩnh vực hình học mới ra đời.
Sự ra đời của hình học phi Euclide có ý nghĩa quan trọng là
giải phóng khỏi quan điểm cổ truyền tồn tại ở thế kỉ trước đó
là chỉ có một thứ hình học duy nhất là hình học Euclit.

VỀ MẶT TƯ DUY
Như vậy, từ nay
con đường thênh
thang rộng mở
cho hình học là có
thể sáng tạo ra
kiểu hình học khác
nhau

Con người có khả
năng sáng tạo ra
nhiều hình
học“nhân tạo” nên
hình học khơng cịn
nhất thiết phải gắn
bó với khơng gian
vật lý của thế giới
thực tại

Các nhà tốn học

khơng cịn lo lắng cho
các tiên đề của mình
đưa ra có phù hợp với
không gian vật lý hay
không hoặc đúng sai ra
sao mà từ lúc này họ có
quyền tự do dưa ra tiên
đề của mình


Định đề hai đường song song
Qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước, ta vẽ được
một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Đây là “định đề hai đường song song” nổi tiếng. Nó thể hiện sự thiên tài của
Euclid vì đã nhận ra sự cần thiết của nó.
Một hệ quả logic của định đề này là Định lí Pythagoras phát biểu rằng tổng ba
góc của một tam giác ln bằng 180 độ.

Hình học Lobachewsky
Định đề vừa nói ở trên có vẻ quá hiển nhiên nên người ta chưa từng nghĩ nó có
thể hoặc có lẽ nên thay đổi. Nhưng một vài nhà tốn học, Lobachewsky là một
trong số đó, đã nghĩ tới cái xảy ra khi định đề trên được thay thế bởi định đề
sau đây:
" Qua một điểm cho trước nằm ngồi một đường thẳng cho trước, có thể vẽ
hai đường thẳng khác nhau cùng song song với đường thẳng đã cho"
Chúng ta có thể vẽ một hình như sau, trong đó hai đường thẳng tách biệt được
vẽ qua điểm P, một hướng sang trái và một hướng sang phải.

Nó chẳng phải là một giả thiết lạ hay sao?
Nói cho hợp lí thì chẳng có gì sai khi giả sử
người ta có quyền tự do lựa chọn những giả
thiết căn bản bất kì miễn là chúng khơng mâu
thuẫn nhau. Nhưng hai đường thẳng trong
hình vẽ ở trên trơng khơng có vẻ gì song song
với đường thẳng đã cho! Ngun nhân hai
đường thẳng trong hình vẽ ở trên, một hướng
sang phải và một hướng sang trái, khơng có
vẻ song song với đường thẳng đã cho là vì
hình được vẽ trong một mặt phẳng bình
thường, nơi chỉ có hình học Euclid đúng cịn
hình học mới thì khơng!

Vậy tại sao lại gọi là hình học Lobachewsky?

Gauss, nhà tốn học nổi
tiếng nhất thời ấy,
khơng dám mạo hiểm
với những quan niệm
mới này vì sợ ảnh
hưởng đến danh tiếng
của ơng.

Bolyai thì dũng cảm
xơng pha, nhưng ông
đã không phát triển
những khái niệm mới
sâu sắc và trọn vẹn
như Lobachewsky.

Lobachewsky là người
đầu tiên giới thiệu các
khái niệm một cách
rộng rãi, và cịn phát
triển chúng sau đó
trong một số bài báo.
Vì thế, bộ mơn hình học
mới được gọi là hình
học Lobachewsky.


Hình học Riemann là gì?
Riemann, một nhà tốn học người Đức, vào khoảng năm 1854, đã nghĩ tới việc
thay thế định đề hai đường song song bằng định đề sau đây:
" Qua một điểm cho trước không thuộc một đường thẳng cho trước, không vẽ
được đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho"
Một hệ quả logic của giả thiết này đưa ơng đến với một bộ mơn hình học
trong đó tổng ba góc của một tam giác lớn hơn 180 độ.
Bộ mơn hình học này được gọi là hình học Riemann.

Những định lí nào đúng trong cả ba bộ mơn hình học?
Những định lí hình học Euclid khơng phụ thuộc vào định đề hai đường song
song thì vẫn khơng thay đổi. Ví dụ, các định lí sau đây là đúng trong cả ba
bộ mơn hình học:
(i) Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
(ii) Hai góc đáy của một tam giác cân thì bằng nhau.


Đâu là chỗ khác nhau giữa

ba bộ mơn hình học?
Trong hình học Euclid:
(i) Tổng ba góc của một tam giác ln bằng 180 độ.
(ii) Hai đường thẳng song song thì khơng bao giờ gặp nhau, cho dù có kéo
dài ra bao xa, và luôn luôn cách nhau một khoảng không đổi.
(iii) Hai tam giác có thể có ba góc bằng nhau nhưng diện tích khác nhau. Hai
tam giác như vậy được gọi là tam giác đồng dạng, và tam giác này là hình
phóng to của tam giác kia.
(iv) Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ vẽ được một đường vng
góc với đường thẳng đó.
(v) Tỉ số của chu vi của một đường trịn và đường kính của nó bằng p.
Trong hình học Lobachewsky:
(i) Tổng ba góc của một tam giác luôn nhỏ hơn 180 độ, và lượng nhỏ hơn tỉ lệ
với diện tích của tam giác.
(ii) Hai đường thẳng song song thì khơng bao giờ gặp nhau, nhưng khoảng
cách giữa chúng nhỏ dần đi khi kéo dài chúng ra xa.
(iii) Chỉ hai tam giác bằng nhau về diện tích mới có ba góc bằng nhau, cho
nên hai tam giác có diện tích khác nhau khơng bao giờ có thể đồng dạng.
Trong bộ mơn hình học này, khi một tam giác tăng diện tích, thì tổng số đo ba
góc của nó giảm.
(iv) Qua một điểm nằm ngồi một đường thẳng, chỉ vẽ được một đường vng
góc với đường thẳng đó giống như trong hình học Euclid.
(v) Tỉ số của chu vi của một đường trịn và đường kính của nó ln lớn hơn p,
và tỉ số đó càng lớn khi diện tích vịng trịn càng lớn.
Trong hình học Riemann:
(i) Tổng ba góc của một tam giác ln lớn hơn 180o.
(ii) Mỗi cặp đường thẳng nằm trong một mặt phẳng phải cắt nhau.
(iii) Tam giác càng lớn thì góc càng lớn.
(iv) Có thể vẽ vơ số đường vng góc từ một điểm đến một đường thẳng cho
trước.

(v) Tỉ số của chu vi của một đường trịn và đường kính của nó ln nhỏ hơn p,
và giảm khi diện tích của vòng tròn tăng.


Bộ mơn hình học nào đúng?
Mỗi bộ mơn hình học đều đúng nhưng chỉ trên những mặt mà nó có nghĩa
thơi.
Hình học Euclid áp dụng cho những hình vẽ trên một tờ giấy hoặc trên một
mặt phẳng.
Hình học phi Euclid của Riemann rất gần đúng cho những hình vẽ trên bề mặt
của một hình cầu.
Hình học phi Euclid của Lobachewsky đúng cho những hình vẽ trên một mặt
gọi là giả cầu.

Mặt giả cầu là mặt tròn xoay thu được bằng cách quay đường cong gọi là
tractrix xung quanh trục thẳng đứng Oy.
Các tam giác vẽ trên những mặt khác nhau được thể hiện trong hình bên dưới:


Sự kiện thứ hai
ĐẠI SỐ KHƠNG GIAO
HỐN
NĂM 1843

Sự kiền thứ hai trong ba sự kiện trên đã xảy ra trong đại số
học là sự sáng tạo ra một đại số khơng giao hốn vào năm
1843. Đầu thế kỉ XIX, Peacook, Morgan là những người đầu
tiên chú ý sự tồn tại cấu trúc đại số. Năm 1843, Hamilton
thông qua nghiên cứu vật lý, đã phát hiện ra đại số
quaternionn , trong đó luật giao hốn khơng cịn đúng nữa.

Một năm sau, Gausmann đã cho xuất bản đầu tiên cuốn
Audehnungslehre nổi tiếng của mình trong đó đã phát triển
tồn bộ các lớp cấu trúc đại số có cấu trúc khác nhau với cấu
trúc của số học.

VỀ MẶT TƯ DUY

Năm 1857, Caylay
đã nghĩ ra đại số
ma trận và đây
cũng là loại đại số
không giao hốn

Các cơng trình về
các hệ thống đại số
khác nhau phản
ánh ý thức về sự
khái quát hóa trừu
tượng hóa cao độ

Bằng cách thay thế
những tiên đề khác
nhau của đại số thơng
thường bằng những tiên
đề nhất qn với những
tiên đề cịn lại ta có thể
có hệ thống đại số khác
nhau cần được nghiên
cứu

Sự kiện thứ ba
SỐ HỌC HĨA GIẢI TÍCH
TỪ NĂM 1821

Sự kiện thứ ba là sự kiện toán học sâu sắc của thế kỉ XIX đã
xảy ra trong lĩnh vực giải tích tốn học là việc số học hóa giải
tích. Năm 1821, Cauchy đã đạt một bước tiến khổng lồ khi thực
hiện hành công gợi ý của D’Alembert bằng cách phát triển lý
thuyết giới hạn chấp nhận đươc rồi sau đó định nghĩa sự hội
tụ, tính liên tục, tính khảvi và tích phân xác định bằng lý
thuyết về giới hạn. Năm 1874, Weierstrass đưa ra một ví dụ về
hàm liên tục mà khơng có đạo hàm. Riemann thì đưa ra hàm
liên tục tại số vô tỉ nhưng gián đoạn tại số hữu tỉ .

VỀ MẶT TƯ DUY
Vào cuối thế kỉ
XIX, Dedekind,
Cantor, Peano thiết
lập cơ sở cho giải
tích trên hệ thống
các số tự nhiên đơn
giản và cơ bản hơn
nhiều so với cơ sỡ
hệ thống số thực.

Cantor đã xây
dựng thành công lý
thuyết tập hợp hầu
như mọi ngành

toán học đều bị
ảnh hưởng bởi lý
thuyết này

Các thủ tục tiên đề
trong tốn học và rất
nhiều khơng gian trừu
tượng ra đời, các lý
thuyết tổng quát về thứ
nguyên và độ đo đã
được tạo ra và xuất
hiện một ngành toán
học mới là Topo học


CHƯƠNG 3
TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI QUA
CÁC GIẢI THƯỞNG FIELD


GIẢI THƯỞNG FIELDS

ĐƠN VỊ TRAO: HỘI LIÊN HIỆP TOÁN HỌC QUỐC TẾ
Được trao lần đầu tiên: 1936

Giải thưởng Fields là giải thưởng mang tên nhà toán học
Canada John Charles Fields được trao 4 năm một lần
trong mỗi Đại hội Toán học thế giới kể từ năm 1936 tại
Canada cho những nhà tốn học dưới 40 tuổi.
Thời kì đầu vào những năm 1930, Huy Chương Fields có những mục

Lịch sử của giải

tiêu rất khác biệt: nó bắt nguồn từ việc làm dịu đi những căng thẳng

thưởng Fields là

giữa các quốc gia hơn là tơn vinh những học giả có thành tích nổi

lời mời gọi những

bật. Thật vậy, những hội đồng đầu tiên cố tình tránh việc chọn các

nhà tốn học
ngày nay cùng
suy nghĩ một cách

nhà toán học trẻ xuất sắc nhất mà thay vào đó khích lệ những cá
nhân chưa có tên tuổi. Họ dùng giải thưởng này để định hình ngành
tốn học trong tương lai, chứ khơng chỉ đánh giá các kết quả trong
quá khứ và hiện tại của nó.

sáng tạo về tương
lai và về thơng

Tuy nhiên, với ngành tốn học

Năm 1966 Ủy ban Huy chương

ngày càng lớn mạnh và mở rộng,

Fields đã quyết định chỉ trao giải

số lượng những nhà tốn học và

truyền tải thơng

cho các nhà tốn học dưới 40 tuổi.

sự đa dạng về xuất thân của họ

qua giải thưởng

Và danh tiếng, thay vì là một điều

khiến hội đồng rất khó để đạt

nổi tiếng nhất của

kiện loại trừ các ứng cử viên trước

được sự đồng thuận trong việc

mình.

đây, giờ lại trở thành một điều kiện

chọn lựa ai đó phù hợp với một

lựa chọn tiên quyết.

tiêu chí mơ hồ: “rất tiềm năng,

điệp họ muốn

nhưng chưa có tên tuổi”.