Phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong quá trình dạy học hình học không gian 11 bậc thpt

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu tài liệu cùng với sự giúp đỡ của gia đình,
thầy cơ và bạn bè, tơi đã hồn thành khóa luận tốt nghiệp đại học.
Tôi xin chân thành cám ơn quý thầy, cô trong bộ mơn Tốn - khoa Khoa
học tự nhiên và tất cả các thầy, cô trƣờng Đại học Hồng Đức đã cung cấp cho tôi
những nền tảng về kiến thức thơng qua những giờ giảng trên lớp để tơi có thể
hồn thành khóa luận tốt nghiệp của mình.
Xin tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới thầy Phạm Anh Giang đã tận tình giúp đỡ,
chỉ bảo tơi trong suốt thời gian nghiên cứu, thực hiện đề tài này.
Xin gửi lời cám ơn tới cô Nguyễn Thị Tuyên, tập thể lớp 11A6 và 11A7 trƣờng
THPT Hoằng Hóa 4 đã tạo điều kiện cho tôi tiến hành thực nghiệm đề tài.
Bản thân tôi đã có nhiều cố gắng trong hồn thành khóa luận nhƣng chắc
chắn khơng tránh khỏi những thiếu sót cần đƣợc góp ý. Rất mong nhận đƣợc ý
kiến đóng góp của q thầy, cơ giáo và bạn đọc.
Xin kính chúc sức khỏe và thành cơng!
Thanh Hóa, ngày 06 tháng 05 năm 2017
Sinh viên thực hiện đề tài

Lê Thị Hà

i


MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... i
MỤC LỤC ............................................................................................................ ii
DANH MỤC VIẾT TẮT .................................................................................... v
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu...................................................................................................... 4

3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................................... 4
4. Giả thuyết khoa học........................................................................................................ 4
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................................... 4
6. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................................ 5
7. Những đóng góp của khóa luận .................................................................................... 5
8. Cấu trúc của khóa luận ................................................................................................... 5
NỘI DUNG ........................................................................................................................ 6
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................................... 6
1.1. Một số vấn đề cơ bản của tƣ duy ............................................................................... 6
1.1.1. Khái niệm tƣ duy ...................................................................................................... 6
1.1.2. Đặc điểm của tƣ duy ................................................................................................ 6
1.1.3. Các giai đoạn của một quá trình tƣ duy ................................................................. 8
1.1.4. Các thao tác của một quá trình tƣ duy .................................................................... 9
1.1.5. Một số loại hình tƣ duy toán học .......................................................................... 11
1.2. Tƣ duy thuật giải........................................................................................................ 12
1.2.1. Thuật giải và quy tắc tựa thuật giải....................................................................... 12
1.2.2. Khái niệm tƣ duy thuật giải ................................................................................... 17
1.2.3. Một số ví dụ dạy học phát triển tƣ duy thuật giải khi dạy học nội dung hình
học khơng gian .................................................................................................................. 18
1.3. Dạy học giải bài tập toán .......................................................................................... 28
1.3.1. Dạy học giải bài tập toán ....................................................................................... 28
1.3.2. Các chức năng của bài tập toán học ..................................................................... 29
1.3.3. Dạy học sinh phƣơng pháp giải bài tập toán ....................................................... 31
1.3.4. Rèn luyện năng lực tƣ duy thuật giải cho học sinh thông qua việc giải bài
tập toán .............................................................................................................................. 33
1.4. Sự cần thiết của việc phát triển tƣ duy thuật giải cho học sinh ở trƣờng phổ thông 36
ii


1.5. Vấn đề rèn luyện và phát triển tƣ duy thuật giải trong mơn Tốn ở trƣờng

phổ thơng .......................................................................................................................... 37
1.5.1. Vai trò của việc rèn luyện và phát triển tƣ duy thuật giải trong dạy học tốn ở
trƣờng phổ thơng............................................................................................................... 37
1.5.2. Những tƣ tƣởng chủ đạo để phát triển tƣ duy thuật giải trong dạy học toán .... 39
1.6. Thực trạng của vấn đề phát triển và rèn luyện tƣ duy thuật giải cho học sinh
trong dạy học mơn Tốn nói chung và Hình học 11 ........................................... 40
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 .................................................................................. 44
Chƣơng 2. VẬN DỤNG QUY TRÌNH THUẬT GIẢI, TỰA THUẬT GIẢI
ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 .......................................... 45
2.1. Phân tích nội dung Sách giáo khoa .............................................................. 45
2.1.1. Đặc điểm cơ bản của mơn hình học khơng gian ....................................... 45
2.1.2. Nội dung hình học khơng gian 11 ............................................................. 47
2.2. Một số quy trình thuật giải, tựa thuật giải trong dạy học hình học khơng
gian 11 ở trƣờng phổ thơng ................................................................................. 52
2.2.1. Quy trình 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ............................... 52
2.2.2. Quy trình 2: Xác định giao điểm của một đƣờng thẳng và một mặt phẳng. .. 60
2.2.3. Quy trình 3: Xác định hình chiếu vng góc của một điểm trên một mặt phẳng 65
2.2.4. Quy trình 4: Xác định thiết diện của một hình đa diện bởi mặt phẳng chứa
đƣờng thẳng a và song song với đƣờng thẳng b, a và b chéo nhau ........................ 71
2.2.5. Quy trình 5: Xác định thiết diện của một hình đa diện bởi mặt phẳng qua
điểm M và song song với hai đƣờng thẳng a, b chéo nhau ................................. 73
2.2.6. Quy trình 6: Xác định thiết diện của một hình đa diện bởi mặt phẳng qua
điểm M và vng góc với đƣờng thẳng d cho trƣớc ........................................... 79
2.2.7. Quy trình 7: Xác định thiết diện của một hình đa diện bởi mặt phẳng (α) đi
qua đƣờng thẳng a và vng góc với mặt phẳng (β) (a khơng vng góc với (β)) .. 81
2.2.8. Quy trình 8: Xác định góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng ..................... 82
2.2.9. Quy trình 9: Xác định góc giữa hai mặt phẳng ......................................... 84
2.2.10. Quy trình 10: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc ............................ 86
2.2.11. Quy trình 11: Tìm khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau .......... 87
2.3. Sử dụng phần mềm Cabri 3D vào dạy học giải bài tập hình học khơng gian ..... 89

2.4. Hƣớng dẫn học sinh vận dụng các quy trình tựa thuật giải ......................... 94
2.4.1. Vai trò của kiến thức phƣơng pháp và những con đƣờng truyền thụ kiến
thức phƣơng pháp ................................................................................................ 95
2.4.2. Giảng dạy lý thuyết về quy trình ............................................................... 96
iii


KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 ................................................................................ 110
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ...................................................... 111
3.1. Mục đích thực nghiệm................................................................................ 111
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm ở trƣờng phổ thông trung học ............. 111
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm............................................................................... 111
3.2.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................. 111
3.3. Đề bài và kết quả kiểm tra.......................................................................... 112
3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm ................................................................... 114
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 ................................................................................ 117
KẾT LUẬN ...................................................................................................... 118
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 120

iv


DANH MỤC VIẾT TẮT

Viết tắt

Từ đƣợc viết tắt

TDTG

Tƣ duy thuật giải

SGK

Sách giáo khoa

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

THPT

Trung học phổ thơng

HHKG

Hình học khơng gian

HĐ

Hoạt động

ĐC

Đối chứng

TN

Thực nghiệm

L1

Lần 1

L2

Lần 2

L3

Lần 3

v


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Trong giai đoạn đất nƣớc đang phát triển, cơng cuộc cơng nghiệp hóa,
hiện đại hóa đƣợc đặc biệt quan tâm. Để đáp ứng đƣợc yêu cầu này cần phải có
nguồn nhân lực có đủ khả năng, trình độ làm chủ cơng cụ lao động trong nền sản
xuất tự động hóa. Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ƣơng
Đảng Cộng sản Hồ Chí Minh (khóa IV, 1993) đã chỉ rõ: “Mục tiêu giáo dục đào
tạo phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có
năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thể
hiện mục tiêu lớn của đất nước”. Trƣớc tình hình đó, bên cạnh việc đổi mới mục
tiêu, nội dung chƣơng trình sách giáo khoa ở mọi bậc học, ngành giáo dục cần

phải thay đổi phƣơng pháp đào tạo để phù hợp với giai đoạn hiện nay. Nghị
quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng Cộng sản Hồ Chí
Minh (khóa VIII, 1997): “Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối
truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng
bước áp dụng những phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá
trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu, …”.
Luật giáo dục năm 2005 quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với
đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng
làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác
động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Theo
PGS.TS Nguyễn Phú Lộc [17]: “Đổi mới phương pháp dạy học hiện nay của
nước ta là một yêu cầu cấp bách, việc dạy học trong nhà trường phổ thơng theo
hướng tích cực đã được nhà nước ta quan tâm và đẩy mạnh. Việc tìm kiếm các
mơ hình dạy học hiệu quả mơn Tốn chính là đổi mới giáo dục”.
1.2. Ở trƣờng phổ thơng, mơn Tốn là một “cơng cụ” cung cấp kiến thức,
kỹ năng, phƣơng pháp, góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ thơng của con
ngƣời lao động mới làm chủ tập thể. Mơn Tốn có vai trị rất quan trọng, nó
giúp học sinh có đƣợc cơ sở cần thiết để học tập các mơn học khác. Vì vậy việc
1


dạy học Tốn có hiệu quả sẽ quyết định đến chất lƣợng chung của ngành giáo
dục. Theo [28]: “Nước Pháp là một nước có truyền thống Tốn học lâu đời đã
từng cung cấp cho nhân loại nhiều nhà toán học xuất sắc. Họ cũng không tán
thành kiểu ra đề thi quốc tế và do đó khơng mở lớp chun tốn để luyện học
sinh thi vì làm như vậy là đào tạo “thợ tốn” chứ khơng phải đào tạo nhà tốn
học”. Vì thế, nhiệm vụ của ngƣời giáo viên là phải mở rộng trí tuệ, hình thành
năng lực, kỹ năng cho học sinh chứ khơng phải là làm đầy trí tuệ của các em
bằng cách truyền thụ các tri thức đã có. Việc mở rộng trí tuệ địi hỏi giáo viên

phải biết cách dạy cho học sinh tự suy nghĩ, phát huy hết khả năng, năng lực của
bản thân mình để giải quyết vấn đề mà học sinh gặp phải trong quá trình học tập
và trong cuộc sống. Hơn thế nữa, trong thời đại bùng nổ công nghệ thông tin
theo hƣớng ngày càng hiện đại hóa, con ngƣời ngày càng sử dụng nhiều phƣơng
tiện khoa học kĩ thuật hiện đại thì năng lực suy luận, tƣ duy và sáng tạo giải
quyết vấn đề càng trở nên cấp thiết hơn trƣớc đây. Khơng có một nhà giáo dục
nào lại từ chối việc dạy cho học sinh cách tƣ duy vấn đề, nhƣng làm thế nào để
đạt đƣợc điều đó? Do vậy, bên cạnh việc rèn luyện cho học sinh tính tự giác,
tích cực, sáng tạo cần rèn luyện và phát triển cho học sinh những thao tác, cách
thức giải quyết vấn đề theo quy trình, có tính thuật giải là rất cần thiết.
1.3. Tƣ duy thuật giải có vai trị quan trọng trong dạy học mơn Tốn ở
trƣờng phổ thơng. Trong mơn tốn có nhiều dạng tốn đƣợc giải quyết nhờ thuật
giải, tựa thuật giải. Trong thực tế giảng dạy những bài tốn, những dạng tốn có
thuật giải, có quy tắc giải, đƣợc phân thành các bƣớc để giải thì học sinh lĩnh hội
tri thức một cách dễ dàng hơn. Thông qua các bƣớc hoạt động, yêu cầu bài toán
đƣợc giảm dần phù hợp với trình độ của học sinh, nó là định hƣớng để học sinh
giải quyết bài tốn đó.
Qua việc tìm tịi thuật giải, quy tắc tựa thuật giải để giải từng bài tốn, từng
dạng tốn, sẽ góp phần thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho học
sinh, nhƣ: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái qt hóa, tƣơng tự hóa, … Đồng
thời hình thành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ nhƣ: tính cẩn thận, chi tiết,
tính linh hoạt, tính độc lập, sáng tạo, kích thích hứng thú, ý thức tìm giải pháp
2


tối ƣu khi giải quyết công việc, … Mặt khác, qua đó giúp học sinh từng bƣớc
thích nghi với u cầu của xã hội.
Tuy nhiên, thực tiễn ở trƣờng phổ thông cho thấy vấn đề rèn luyện và phát
triển tƣ duy thuật giải chƣa đƣợc quan tâm đúng mức, chỉ diễn ra một cách tự
phát, chƣa có sự chỉ đạo và tài liệu hƣớng dẫn giáo viên thực hiện. Nhiều học

sinh còn bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực tƣ duy thuật giải sáng tạo.
Nhìn các đối tƣợng Toán học một cách rời rạc, chƣa thấy đƣợc mối liên hệ giữa
các yếu tố tốn học, khơng linh hoạt trong điều chỉnh hƣớng suy nghĩ khi gặp
trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn, áp dụng một cách máy móc những
kinh nghiệm đã có vào hồn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những yếu
tố thay đổi, học sinh chƣa có tính độc lập khi tìm lời giải bài tốn. Từ đó dẫn
đến một hệ quả là nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải tốn, đặc biệt là các bài
tốn địi hỏi phải có sáng tạo trong lời giải nhƣ các bài tập hình học không gian.
Giáo viên chƣa thành thạo trong việc khai thác các tình huống, các nội dung dạy
học nhằm rèn luyện và phát triển tƣ duy thuật giải cho học sinh. Do vậy, việc
phát triển tƣ duy thuật giải cho học sinh phổ thơng qua dạy học tốn là một u
cầu cấp bách.
1.4. Thực tế cho thấy, số cơng trình nghiên cứu về phát triển tƣ duy thuật
giải còn tƣơng đối ít, trong các cơng trình đó có thể kể đến:
Luận văn của thạc sĩ Nguyễn Thị Thanh Bình: “Góp phần phát triển tư duy
thuật giải của học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung lượng
giác 11” (2000) đã đề cập đến việc phát triển tƣ duy thuật giải cho học sinh
trong khi dạy nội dung lƣợng giác 11; Luận văn thạc sĩ của Chu Hƣơng Ly:
“Góp phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh Trung học phổ thông thông
qua dạy học một số nội dung phương trình” (2007). Các tác giả Nguyễn Bá
Kim, Nguyễn Cảnh Tồn, … cũng đã nói nhiều về tầm quan trọng của tƣ duy
thuật giải trong các sách của mình.
Các cơng trình đã đề cập đến nội dung kiến thức: Hệ thống số, lƣợng giác,
phƣơng trình mà chƣa đề cập đến nội dung kiến thức hình học khơng gian 11.

3


Chính vì những lý do nêu trên, chúng tơi chọn đề tài “Phát triển tư duy
thuật giải cho học sinh trong q trình dạy học Hình học khơng gian 11 bậc

THPT” làm đề tài khóa luận của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của khóa luận là xây dựng quy trình thuật giải, tựa
thuật giải để giải các bài tốn hình học khơng gian, góp phần nâng cao hiệu quả
dạy học hình học khơng gian và phát triển tƣ duy thuật giải cho học sinh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Khóa luận có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
3.1. Tƣ duy thuật giải là gì? Tại sao cần phải phát triển tƣ duy thuật giải
cho học sinh?
3.2. Để phát triển tƣ duy thuật giải cho học sinh cần dựa trên những cơ sở
lý luận nào?
3.3. Thực trạng của việc rèn luyện và phát triển tƣ duy thuật giải cho học
sinh trong dạy học mơn Tốn ở trƣờng Trung học phổ thơng nhƣ thế nào?
3.4. Có thể vận dụng thuật giải, tựa thuật giải với nội dung kiến thức Hình
học khơng gian 11 cho học sinh hay khơng?
3.5. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm là gì?
4. Giả thuyết khoa học
Có thể xây dựng đƣợc một số quy trình thuật giải, tựa thuật giải để giải
quyết các bài tốn hình học khơng gian. Nếu học sinh đƣợc luyện tập và sử dụng
các quy trình thuật giải, tựa thuật giải trong hình học khơng gian thì hiệu quả
giải tốn theo chủ đề này sẽ tốt hơn, góp phần nâng cao đƣợc chất lƣợng học tập
hình học khơng gian.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học,
các sách giáo khoa, sách bài tập, các tạp chí, sách, báo, tài liệu về các phƣơng
pháp tƣ duy toán học, các phƣơng pháp nhằm rèn luyện tƣ duy thuật giải tạo tính
sáng tạo tốn học cho học sinh phổ thông, các bài tập mang nhiều tính tƣ duy.
4

5.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: điều tra, quan sát, dự giờ,…
+ Điều tra chất lƣợng học sinh trƣớc và sau khi thử nghiệm.
+ Quan sát giờ dạy để tìm hiểu thực trạng về việc phát triển tƣ duy thuật
giải của giáo viên và học sinh.
+ Dự giờ các giáo viên trƣờng phổ thông giảng dạy để học hỏi kinh nghiệm
về việc phát triển tƣ duy thuật giải cho học sinh.
5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: dạy thực nghiệm, phiếu khảo sát
Thể hiện các thuật giải đã đề ra qua một số giờ dạy thực nghiệm ở một số
lớp trong thời gian thực tập sƣ phạm. Trên cơ sở đó kiểm tra, đánh giá, bổ sung
và sửa đổi để tăng thêm tính khả thi của đề tài.
6. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu tƣ duy thuật giải và phát triển nó trong q trình dạy học hình
học khơng gian 11 ở trƣờng phổ thơng.
7. Những đóng góp của khóa luận
7.1. Hệ thống cơ sở lý luận cho việc phát triển tƣ duy toán học cho học sinh.
7.2. Vận dụng quy trình thuật giải, tựa thuật giải trong dạy học hình học
khơng gian 11.
7.3. Kết quả nghiên cứu của khóa luận có thể dùng làm tài liệu tham khảo.
8. Cấu trúc của khóa luận
Ngồi ngồi phần Mở đầu, Kết luận và danh mục Tài liệu tham khảo, khóa
luận gồm có 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2: Vận dụng quy trình thuật giải, tựa thuật giải để giải tốn Hình
học khơng gian 11.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.
Trong khóa luận có 3 sơ đồ, 6 bảng, 53 hình vẽ.

5

NỘI DUNG
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề cơ bản của tƣ duy
1.1.1. Khái niệm tư duy
Theo quan niệm của Tâm lý học:“Tư duy là một q trình tâm lý phản ánh
những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ và liên hệ có tính quy luật bên trong
sự vật, hiện tượng trong thực tại khách quan mà trước đó ta chưa biết” [1]
Theo Từ điển triết học: “Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất
được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, q trình phản ánh tích cực thế giới
khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận, … Tư duy xuất hiện trong
quá trình hoạt động sản xuất của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một
cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp với quy luật của thực tại”. [26]
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
1.1.2.1. Tính “có vấn đề” của tư duy
Trong thực tế, tƣ duy chỉ nảy sinh khi gặp hồn cảnh, tình huống “có vấn
đề”. Nhƣng khơng phải bất cứ tác động nào của hoàn cảnh đều xuất hiện tƣ duy.
Trƣớc hết khi gặp tình huống có vấn đề, tức là tình huống có chứa đựng một
mục đích mới, một vấn đề mới, một cách thức giải quyết mới mà bằng vốn kiến
thức, phƣơng pháp cũ không thể giải quyết đƣợc mà cần đến những phƣơng
pháp tri thức mới để giải quyết vấn đề đó, tức là phải tƣ duy.
Thứ hai hồn cảnh có vấn đề phải đƣợc cá nhân nhận thức đƣợc đầy đủ,
đƣợc chuyển thành nhiệm vụ cá nhân, tức là cá nhân phải xác định cái gì đã biết,
cái gì chƣa biết và mối quan hệ giữa chúng nhƣ thế nào để tạo nhu cầu muốn
biết, muốn tìm cái mới.
1.1.2.2. Tính “gián tiếp” của tư duy
Con ngƣời sử dụng ngôn ngữ để tƣ duy, nhờ ngôn ngữ mà con ngƣời sử
dụng các kết quả nhận thức (quy tắc, công thức, quy luật, khái niệm, …) vào q
trình tƣ duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát, …) để nhận thức đƣợc cái
bên trong, bản chất của sự vật, hiện tƣợng. Nhờ đó mở rộng khơng giới hạn

những nhận thức của con ngƣời.
6


1.1.2.3. Tính “trừu tượng hóa và khái qt hóa” của tư duy
Trong một sự vật, hiện tƣợng bao giờ cũng có những thuộc tính đặc trƣng
cho đối tƣợng đó và có những thuộc tính chung khái qt của hàng loạt các đối
tƣợng cùng loại. Nhận thức cảm tính chỉ phản ánh từng sự vật riêng lẻ, rời rạc
chứ chƣa có khả năng hàng loạt sự vật cùng loại. Tƣ duy không chỉ phản ánh sự
vật, hiện tƣợng một cách riêng lẻ, cụ thể, mà có khả năng phản ánh sự vật, hiện
tƣợng một cách khái quát. Có nghĩa là tƣ duy có khả năng trừu xuất khỏi đối
tƣợng những thuộc tính khơng bản chất mà chỉ giữ lại những dấu hiệu bản chất
chung nhất đặc trƣng cho nhiều sự vật hiện tƣợng cùng loại.
Nhờ có tính trừu tƣợng và khái quát, tƣ duy không chỉ giải quyết những
nhiệm vụ hiện tại, mà còn cả những việc mai sau. Đồng thời, khi giải quyết
nhiệm vụ nào đó thì tƣ duy có thể hình thành các quy tắc, phƣơng pháp đƣợc sử
dụng trong các trƣờng hợp tƣơng tự.
1.1.2.4. Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngơn ngữ
Trong nhận thức cảm tính dù có ngơn ngữ hay khơng có ngơn ngữ tham gia
thì quá trình cảm giác, tri giác vẫn diễn ra. Nhƣng nếu khơng có ngơn ngữ thì
khơng có bất cứ q trình tƣ duy nào, bởi vì, ngơn ngữ là hình thức biểu đạt
những sản phẩm của tƣ duy (ý nghĩ, khái niệm…). Ngôn ngữ là một mặt không
thể tách rời của tƣ duy, khơng có ngơn ngữ thì khơng có tƣ duy. Ngƣợc lại, nếu
khơng có tƣ duy thì ngơn ngữ chỉ là một chuỗi âm thanh vô nghĩa, không có nội
dung. Nhƣng tƣ duy khơng phải là ngơn ngữ, mà tƣ duy và ngơn ngữ có mối
quan hệ biện chứng với nhau, đó là mối quan hệ giữa nội dung và hình thức.
1.1.2.5. Tư duy liên hệ mật thiết với nhận thức cảm tính
X.L.Rubinstein khẳng định: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư
duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy”. Tuy là nhận thức
cao hơn hẳn về chất so với nhận thức cảm tính, nhƣng tƣ duy khơng tách rời

nhận thức cảm tính. Tƣ duy mặc dù trừu tƣợng, khái quát đến mấy cũng phải
dựa vào các tài liệu trực quan mà cảm giác và tri giác đem lại. Hơn nữa, muốn
tƣ duy, trƣớc hết phải tri giác hồn cảnh có vấn đề, tri giác đƣợc các sự kiện.
Nhƣ vậy, tri giác là một khâu, là thành phần của quá trình tƣ duy. Kết quả của
7


q trình tƣ duy địi hỏi phải đƣợc kiểm tra bằng thực tiễn thơng qua các q
trình nhận thức cảm tính. Mặc khác, tƣ duy cũng ảnh hƣởng đến quá trình nhận
thức cảm tính, nhờ có tƣ duy mà ta có thể tri giác đối tƣợng một cách nhanh
chóng và chính xác hơn. Tƣ duy ảnh hƣởng đến tính lựa chọn, tính ý nghĩa và
tính ổn định của tri giác.
1.1.3. Các giai đoạn của một quá trình tư duy
Tƣ duy là một hoạt động trí tuệ, là một q trình giải quyết một nhiệm vụ
nào đó nảy sinh trong quá trình nhận thức hay trong hoạt động thực tiễn. Quá
trình tƣ duy bao gồm nhiều giai đoạn từ khi gặp tình huống có vấn đề và nhận
thức đƣợc vấn đề cho đến vấn đề đƣợc giải quyết, lúc này có thể gây ra vấn đề
mới, khởi đầu cho một hoạt động tƣ duy mới có thể phức tạp và lâu dài. Q
trình đó bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau đƣợc minh họa bởi sơ đồ sau (do
K. K. Plantônôv đƣa ra): (sơ đồ 1)
Xác định vấn đề

Xuất hiện các liên tƣởng

Sàng lọc liên tƣởng và hình
thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Chính xác hóa

Khẳng định

Phủ định

Giải quyết
vấn đề

Hoạt động tƣ duy
mới

Sơ đồ 1

8


1.1.3.1. Xác định vấn đề
Xuất hiện hồn cảnh có vấn đề là một điều kiện quan trọng của tƣ duy.
Hoàn cảnh có vấn đề chứa đựng các mâu thuẫn khác nhau (giữa cái đã biết và
cái chƣa biết, giữa cái đã có và cái chƣa có), con ngƣời càng có nhiều kinh
nghiệm trong lĩnh vực nào đó càng dễ dàng nhìn ra và đầy đủ những mâu thuẫn
đó. Chính vấn đề đƣợc xác định này quyết định toàn bộ những việc giải quyết
sau đó. Đây là giai đoạn đầu tiên và quan trọng nhất của quá trình tƣ duy.
1.1.3.2. Xuất hiện các liên tưởng
Xuất hiện trong đầu những tri thức kinh nghiệm, những liên tƣởng nhất
định có liên quan đến vấn đề đã đƣợc xác định.
1.1.3.3. Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết
Các tri thức, kinh nghiệm và liên tƣởng xuất hiện lần đầu tiên cịn mang
tính chất rộng rãi chƣa thực sát với nhiệm vụ đề ra. Trên cơ sở sàng lọc này, sẽ
hình thành cách giải quyết cho phù hợp với nhiệm vụ của tƣ duy. Chính sự đa

dạng của giả thuyết cho phép xem xét cùng một sự vật hiện tƣợng từ nhiều
hƣớng khác nhau để tìm ra cách giải quyết đúng đắn nhất.
1.1.3.4. Kiểm tra giả thuyết
Nếu giả thuyết đúng thì chính xác hóa, khẳng định giả thuyết và đi đến giải
quyết vấn đề.
Nếu giả thuyết sai thì phủ định, xây dựng giả thuyết mới, rồi kiểm tra lại.
1.1.3.5. Giải quyết vấn đề
Khi giả thuyết đã đƣợc kiểm tra và khẳng định thì nó sẽ đƣợc thực hiện và
đi đến câu trả lời đã đặt ra.
1.1.4. Các thao tác của một quá trình tư duy
1.1.4.1. Phân tích - tổng hợp
Phân tích là quá trình dùng trí óc để phân chia đối tƣợng nhận thức thành
những “bộ phận”, những thuộc tính, những mối liên hệ và quan hệ giữa chúng
để nhận thức đối tƣợng sâu sắc hơn.
Tổng hợp là q trình dùng trí óc để hợp nhất những “bộ phận” đã đƣợc
phân tích.
9


Nhƣ vậy, phân tích và tổng hợp có mối quan hệ mật thiết với nhau, bổ sung
cho nhau tạo thành sự thống nhất khơng tách rời đƣợc. Phân tích đƣợc tiến hành
trên cơ sở tổng hợp và ngƣợc lại tổng hợp đƣợc thực hiện trên cơ sở của phân tích.
Ví dụ: Để tìm cơng thức tính diện tích của hình thoi, ta chia hình thoi đó
thành hai tam giác cân rồi tính diện tích hai tam giác cân đó. Tổng diện tích hai
tam giác cân đó là diện tích của hình thoi. Nhƣ vậy, việc phân tích hình thoi
thành hai tam giác cân sau đó tổng hợp lại đi đến cơng thức tính diện tích hình
thoi là tích độ dài hai đƣờng chéo của hình thoi.
1.1.4.2. So sánh
Là sự xác định sự giống nhau và khác nhau, sự bằng nhau hay không bằng
nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất giữa các đối tƣợng nhận thức. Thao tác

này cũng có quan hệ chặt chẽ với phân tích và tổng hợp. So sánh là mọi sự hiểu
biết về tƣ duy. Nhờ có sự so sánh các sự vật hiện tƣợng với nhau mà ta có thể
lĩnh hội đƣợc các tài liệu học tập với tất cả tính đa dạng và độc đáo của chúng.
Ví dụ: So sánh hai khái niệm: Tứ giác và Tứ diện.
Giống nhau: có 4 đỉnh.
Khác nhau: Tứ giác: các điểm thuộc cùng 1 mặt phẳng.
Tứ diện: các điểm khơng cùng thuộc 1 mặt phẳng.
1.1.4.3. Trừu tượng hóa và khái qt hóa
Trừu tượng hố là q trình gạt bỏ khỏi đối tƣợng những bộ phận, thuộc
tính, quan hệ khơng cần thiết về phƣơng diện nào đó, chỉ giữ lại những yếu tố
cần thiết để tƣ duy.
Ví dụ: Khi nói đến hình lăng trụ, ta chỉ nghĩ đến hình có 2 đáy là hai đa giác
bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau, có các mặt bên là những
hình bình hành, các cạnh bên song song và bằng nhau mà để ý đến các thuộc tính
cụ thể nhƣ hình lăng trụ đứng, lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều, …
Khái quát hóa là q trình dùng trí óc để bao qt nhiều đối tƣợng khác nhau
thành một nhóm, một loại trên cơ sở có một số thuộc tính giống nhau nào đó.
Ví dụ: Từ các trƣờng hợp hình chữ nhật và hình vng nội tiếp trong đƣờng
trịn có thể khái qt hóa điều kiện để tứ giác nội tiếp trong đƣờng tròn.
10


Trừu tƣợng hóa và khái quát hóa có mối quan hệ mật thiết với nhau, chi
phối và bổ sung cho nhau nhƣ mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp nhƣng ở
mức độ cao hơn.
1.1.4.4. Cụ thể hóa
Là sự vận dụng những khái niệm, định luật quy tắc đã đƣợc khái quát hóa
vào hoạt động thực tiễn nhằm giải quyết những vấn đề cụ thể.
Ngồi ra, đặc biệt hóa, tổng quát hóa và tƣơng tự hóa cũng là những thao
tác tƣ duy có vai trị rất quan trọng trong q trình dạy học tốn ở trƣờng phổ

thơng. Đặc biệt hóa, tổng quát hóa, tƣơng tự hóa là những phƣơng pháp giúp
chúng ta mị mẫm, dự đốn để tìm lời giải của bài toán, mở rộng, đào sâu, hệ
thống hoá kiến thức và góp phần quan trọng trong việc hình thành những phẩm
chất trí tuệ cho học sinh.
Kết luận: Trong q trình tƣ duy các thao tác tƣ duy có quan hệ mật thiết
với nhau, chúng thống nhất với nhau theo một hƣớng xác định để giải quyết
nhiệm vụ tƣ duy.
Việc thực hiện các thao tác tƣ duy có thể không tuân theo một thứ tự nhất
định và cũng không nhất thiết phải sử dụng tất cả các thao tác tƣ duy của một
quá trình tƣ duy.
1.1.5. Một số loại hình tư duy tốn học
Hoạt động tƣ duy phụ thuộc vào đối tƣợng tƣ duy. Trong tốn học có một
số loại hình tƣ duy sau:
Tư duy hình thức và tư duy biện chứng;
Tư duy phê phán, tư duy giải toán và tư duy sáng tạo;
Tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp;
Tư duy thuật giải;
Tư duy hàm.
Sự phân chia các loại hình tƣ duy tốn học chỉ mang tính tƣơng đối. Hiện
nay chƣa có sự phân loại nào triệt để và thống nhất. Mặc dù mỗi loại hình tƣ duy
có những đặc điểm, đặc trƣng khác nhau nhƣng chúng khơng hồn tồn độc lập
với nhau, giữa chúng có sự liên hệ, hỗ trợ nhau. Tƣ duy thuật giải là một trong
11


những thành phần quan trọng của tƣ duy toán học. Phát triển tƣ duy thuật giải
trong mơn tốn sẽ góp phần phát triển tƣ duy toán học cho học sinh.
1.2. Tƣ duy thuật giải
1.2.1. Thuật giải và quy tắc tựa thuật giải
1.2.1.1. Thuật giải

a. Khái niệm
Trong quá trình nghiên cứu giải quyết các bài toán, ngƣời ta đã rút ra đƣợc
một số nhận xét sau:
Có nhiều bài tốn cho đến nay vẫn chưa tìm ra được một cách giải theo
kiểu thuật tốn và cũng khơng biết có tồn tại thuật tốn đó hay khơng;
Có nhiều bài tốn đã có thuật tốn để giải nhưng khơng chấp nhận được vì
thời gian giải theo thuật tốn đó q lớn hoặc các điều kiện cho thuật tốn đó
khó đáp ứng;
Có những bài tốn được giải theo những cách giải vi phạm thuật toán
nhưng vẫn chấp nhận được.
Từ những nhận định trên, ngƣời ta thấy rằng cần phải có những đổi mới
cho khái niệm thuật toán. Ngƣời ta đã mở rộng hai tiêu chuẩn của thuật tốn là
tính xác định và tính đúng đắn. Việc mở rộng tính xác định đối với thuật tốn
đƣợc thể hiện qua các thuật giải đệ quy và ngẫu nhiên. Tính đúng đắn của thuật
tốn khơng cịn bắt buộc đối với một số cách giải bài toán, nhất là cách giải gần
đúng. Trong thực tế, có nhiều trƣờng hợp, ngƣời ta chấp nhận các cách giải
thƣờng cho kết quả tốt nhƣng ít phức tạp và hiệu quả. Chẳng hạn, nếu giải một
bài tốn bằng thuật tốn tối ƣu địi hỏi máy tính thực hiện trong vịng nhiều năm
thì chúng ta có thể chấp nhận một giải pháp gần tối ƣu mà chỉ cần máy tính chạy
trong vịng vài ngày hoặc vài giờ.
Từ đó, Các cách giải chấp nhận được nhưng khơng hồn tồn đáp ứng đầy
đủ các tiêu chuẩn của thuật toán thường được gọi là các thuật giải. Khái niệm
mở rộng này của thuật toán đã mở rộng cho chúng ta trong việc tìm kiếm
phƣơng pháp để giải quyết các bài toán đƣợc đặt ra.

12


Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định nhằm mơ tả q
trình giải thì từ việc mơ tả q trình giải ấy, ngƣời ta đi đến khái niệm trực giác

về thuật giải nhƣ sau:
“Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ
dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem
lại kết quả là biến đổi thông tin vào (Input) của một lớp bài tốn thành thơng tin
ra (Output) mơ tả lời giải của lớp bài tốn đó”. [15]
“Thuật giải là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn
những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trên những đối tượng sao cho
sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu được kết quả mong muốn”. [20]
b. Tính chất
* Tính đơn trị
Tính đơn trị của thuật giải địi hỏi rằng các thao tác trong thuật giải phải
đơn trị. Nghĩa là hai phần tử cùng một cơ cấu thực hiện cùng một thao tác trên
cùng một đối tƣợng thì phải cho cùng một kết quả. Tính chất này nói lên tính
hình thức hóa của thuật giải nhờ đó ta có thể lập trình giao cho các thiết bị tự
động thực hiện thuật giải thay thế con ngƣời.
* Tính dừng
Tính dừng của thuật giải yêu cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao
tác đã chỉ ra phải đi đến kết thúc, thu đƣợc kết quả nhƣ mong muốn. Tính dừng
của thuật giải không quy định cụ thể mỗi thuật giải phải có bao nhiêu bƣớc, điều
đó phụ thuộc vào tính chất và độ phức tạp của bài toán nhƣng phải đảm bảo
khơng đƣợc lặp lại.
* Tính đúng đắn
Thuật giải phải đảm bảo tính đúng đắn tức là phải giải quyết đúng vấn đề
đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn. Thuật giải không cho phép kết
quả sai hoặc khơng đầy đủ, bỏ sót trƣờng hợp.
* Tính phổ dụng
Thuật giải phải áp dụng đƣợc cho một lớp bài toán có cùng cấu trúc với
những dữ liệu cụ thể khác nhau. Nhờ tính chất này, ngƣời ta sáng tạo ra những
thuật giải rồi từ đó xây dựng những chƣơng trình mẫu để giải từng lớp bài toán.
13

* Tính hiệu quả
Yêu cầu hiệu quả của thuật giải là tính tối ƣu. Tiêu chuẩn tối ƣu đƣợc hiểu là:
+ Thuật giải thực hiện nhanh, tốn ít thời gian.
+ Thuật giải dùng ít thiết bị lƣu trữ kết quả trung gian.
+ Đáp ứng đƣợc nhu cầu thực tiễn.
c. Các hình thức biểu diễn thuật giải
Thuật giải tồn tại dƣới nhiều hình thức khác nhau. Trong mơn tốn và trong
thực tế ngƣời ta thƣờng gặp những hình thức biểu diễn thuật giải sau:
- Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ tốn học.
- Sơ đồ khối.
- Ngơn ngữ phỏng trình.
- Ngơn ngữ lập trình.
Ví dụ: Giải phƣơng trình ax2 + bx + c = 0
Dạng 1: Ngôn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ tốn học.
Phƣơng pháp biểu diễn này khơng u cầu ngƣời viết thuật toán cũng nhƣ
ngƣời đọc thuật toán phải nắm vững các quy tắc. Tuy nhiên, cách biểu diễn này
thƣờng dài dịng, khơng thể hiện rõ cấu trúc thuật tốn, đơi lúc gây hiểu nhầm
hoặc khó hiểu cho ngƣời đọc.
Bƣớc 1: Xác định các hệ số a, b, c.
Bƣớc 2: Kiểm tra các hệ số a, b, c có khác 0 hay khơng?
- Nếu a = 0 thì chuyển sang bƣớc 3
- Nếu a  0 thì chuyển sang bƣớc 4
Bƣớc 3: Kết luận phƣơng trình có nghiệm x 

c
và chuyển sang bƣớc 6.
b

Bƣớc 4: Tính biểu thức  b2  4ac
Bƣớc 5:
- Nếu  0 thì kết luận phƣơng trình vơ nghiệm và chuyển sang bƣớc 6.
- Nếu  0 thì kết luận phƣơng trình có nghiệm kép x1  x2 
và chuyển sang bƣớc 6.
- Nếu  0 thì kết luận phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt
14

b
2a


x1 

b  
b  
; x2 
và chuyển sang bƣớc 6.
2a
2a

Bƣớc 6: Kết thúc.
Dạng 2: Sơ đồ khối.
Biểu diễn thuật giải bằng sơ đồ sẽ giúp ngƣời đọc theo dõi đƣợc sự phân
cấp các trƣờng hợp và quá trình xử lý của thuật giải một cách trực quan và dễ
hiểu. Phƣơng pháp này thƣờng đƣợc dùng trong những trƣờng hợp thuật giải có
tính rắc rối, khó theo dõi đƣợc q trình xử lý.
Để mơ tả thuật giải bằng sơ đồ khối ta dựa vào các nút lệnh sau:
Nút thao tác: Biểu diễn bằng hình chữ nhật

Nút điều khiển: đƣợc biểu diễn bằng hình thoi, trong đó ghi điều kiện cần
kiểm tra trong q trình tính tốn.

Nút khởi đầu, kết thúc: Thƣờng đƣợc biểu diễn bằng hình trịn thể hiện sự
bắt đầu hay kết thúc quá trình.

Cung: Đoạn nối từ nút này đến nút khác và có mũi tên chỉ hƣớng.

15


Sơ đồ thuật giải phƣơng trình trên: (sơ đồ 2)
Bắt đầu

Nhập a, b, c

Đúng

Sai

a0

Đúng

Sai

Sai

Đúng
Pt vô nghiệm

Thông báo nghiệm

Kết thúc
Sơ đồ 2
1.2.1.2. Quy tắc tựa thuật giải
a. Khái niệm
Trong quá trình dạy học, ta thƣờng gặp một số quy tắc chƣa mang đủ đặc
điểm đặc trƣng cho thuật giải, nhƣng có một số trong các đặc điểm đó và đã tỏ
rõ hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán.
16


Theo Nguyễn Bá Kim: “Quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy
hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến
đổi thơng tin vào của một lớp bài tốn thành thơng tin ra mơ tả lời giải của
bài tốn đó” [15]
b. Phân biệt quy tắc tựa thuật giải với thuật giải
Quy tắc tựa thuật giải phân biệt với thuật giải nhƣ sau:
Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc đó có thể chưa mơ tả hành động một cách xác định;
Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn không đơn trị;
Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem
lại kết quả là lời giải của lớp bài toán.
Mặc dù có một số hạn chế so với thuật giải nhƣng quy tắc tựa thuật giải vẫn
là tri thức phƣơng pháp quan trọng cho quá trình hoạt động và giải toán.
1.2.2. Khái niệm tư duy thuật giải
Tƣ duy thuật giải là một loại hình thức tƣ duy tốn học. Nó là phƣơng thức
tƣ duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động sau:
T1: Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một
thuật giải.

T2: Phân tích một q trình thành những thao tác đƣợc thực hiện theo
những trình tự xác định.
T3: Khái qt hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tƣợng riêng lẻ thành
một quá trình diễn ra trên một lớp đối tƣợng.
T4: Mơ tả chính xác q trình tiến hành một hoạt động.
T5: Phát hiện thuật giải tối ƣu để giải quyết bài tốn.
Trong đó, hoạt động T1 thể hiện năng lực thực hiện thuật giải. Các hoạt
động từ T2 đến T5 thể hiện năng lực xây dựng thuật giải. Cả 5 hoạt động trên
đƣợc gọi là các hoạt động của tƣ duy thuật giải.
Nhƣ vậy, có thể phát biểu rằng: “Tư duy thuật giải là phương thức tư duy biểu
thị khả năng tiến hành các hoạt động thực hiện và xây dựng thuật giải” [20]

17


Khái niệm tƣ duy thuật giải đƣợc xác định nhƣ trên là hoàn toàn phù hợp
với những kết quả nghiên cứu về hình thành văn hóa thuật giải. Trong [21], tác
giả Mônakhốp đã nêu lên những thành phần của văn hóa thuật giải bao gồm:
Hiểu bản chất của thuật giải và những tính chất của nó; hiểu bản chất
ngơn ngữ là phương tiện biểu diễn thuật giải;
Nắm vững các phương pháp và các phương tiện biểu diễn thuật giải;
Hiểu tính chất thuật giải của các phương pháp toán học và các ứng dụng
của chúng; nắm vững các thuật giải của giáo trình tốn phổ thơng;
Hiểu những cơ sở sơ cấp về lập trình cho máy tính điện tử.
Nhƣ vậy, “phát triển tư duy thuật giải là một điều kiện cần thiết góp phần
hình thành và phát triển văn hóa thuật giải cho học sinh”. [20]
Từ khái niệm về tƣ duy thuật giải, ta thấy rằng để phát triển tƣ duy thuật
giải cho học sinh trong dạy học toán, giáo viên phải tổ chức, điều khiển các hoạt
động tƣ duy thuật giải. Thơng qua hoạt động đó giúp học sinh nắm vững, củng
cố các quy tắc đồng thời phát triển tƣ duy thuật giải cho học sinh.

1.2.3. Một số ví dụ dạy học phát triển tư duy thuật giải khi dạy học nội
dung hình học khơng gian
Ví dụ 1: Hoạt động T1
Cho hình chóp tam giác S.ABC, gọi I là trung điểm cạnh SA và G là trọng
tâm của mặt bên (SBC). Dựng giao điểm của đường thẳng IG và mặt phẳng
(ABC). (Hình 1)
Hƣớng dẫn:
Áp dụng thuật giải:
Bƣớc 1: Chọn một mặt phẳng (Q) chứa a và có điểm chung với (P)
Bƣớc 2: Xác định giao tuyến b của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q)
Bƣớc 3: Xác định giao điểm M của hai đƣờng thẳng a và b
- Nếu có điểm M thì M là giao điểm của a và (P)
- Nếu khơng có điểm M thì khơng có giao điểm của a và (P)

18


Bài giải:

S

Bƣớc 1: Hình đã cho sẵn mặt phẳng
chứa IG là (AIG) và có điểm chung A với
mặt phẳng (ABC).

J

I

Bƣớc 2: Giao tuyến của mặt phẳng

G

(AIG) và mặt phẳng (ABC) là AM với M là
A

trung điểm BC.

C

Bƣớc 3: Trong mặt phẳng (AIG), IG

M

B

cắt AM tại K. Suy ra K là giao điểm của IG

K

Hình 1

và mặt phẳng (ABC)
Ví dụ 2: Học sinh làm bài tƣơng tự sau:

Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng thuộc một mặt phẳng. Gọi M, N là trung
điểm BC, AD, E là một điểm thuộc AB, F là một điểm thuộc AC. Tìm giao điểm
của MN và mặt phẳng (DEF). (Hình 2)

D

Bài giải:
Bƣớc 1: Chọn mặt phẳng (ADM)
Bƣớc 2: Trong mặt phẳng (ABC) gọi I là

N

giao điểm của AM và EF. Suy ra DI là giao

O

tuyến của hai mặt phẳng (ADM) và (DEF).
Bƣớc 3: Trong mặt phẳng (ADM), MN
cắt DI tại O. suy ra O là giao điểm của MN và

F
A

C
I

E

M
B

mặt phẳng (DEF).

Hình 2
Mục đích của bài tập này là yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động (T1). Do

đó cần hƣớng dẫ

ực hiện đúng theo trình tự các bƣớc đã nêu

trong quy tắc. Có thể dùng một phần bảng trình bày quy tắc giải bài tốn trong
từng trƣờng hợp, phần bảng cịn lại trình bày lời giải phù hợp với từng quy tắc.
Tiến hành nhất quán nhƣ vậy trong một thời gian nhất định sẽ hình thành ở học
sinh quy tắc giải bài toán dạng trên, đồng thời phát triển ở các em năng lực thực
hiện thuật giải.

19


3: Hoạt động T2
ịnh giao điểm của đƣờng thẳng và mặt phẳng, xác định
giao tuyến của hai mặt phẳng
chứng tỏ
,

si

,

sau:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, gọi N là trung điểm cạnh BC, O là tâm
tam giác ABC. Xác định hình chiếu vng góc của O trên mặt phẳng (SBC).
:
ịnh hình chiếu vng góc của điểm M
tren mặt phẳng (P) cho trƣớc, xác định đƣợc đƣờng thẳng qua M vuông góc với

(P)

.
- Trong (P) xác định một đƣờng thẳng d.
- Trong mặt phẳng (M, d) xác định đƣờng thẳng MK vng góc với d, K

thuộc d.
- Trong mặt phẳng (P) xác định đƣờng thẳng a vng góc với d tại K.
- Trong mặt phẳng (a, MK) xác định đƣờng thẳng MH vng góc với a, H
thuộc a. Khi đó H là hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng (P) .
Bài giải:

S

- Do hình chóp đều nên SO vng góc với
mặt phẳng (ABC). Suy ra SO vng góc với BC.
- Trong mặt phẳng (ABC), gọi N là trung

H

điểm BC suy ra ON vng góc với BC.
- Do SO và ON vng góc với BC nên BC

A

C

vng góc với mp (SON). Suy ra BC vng góc
với SN.
- Trong mặt phẳng (SON) kẻ OH vng

O
B

N
Hình 3

góc với SN, H thuộc SN. Suy ra H là hình chiếu vng góc của O trên mặt
phẳng (SBC). (Hình 3)
20