Phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu
hạn
Bởi:
Lê Văn Tâm
Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số để giải các bài toán được mô tả bởi
các phương trình vi phân riêng phần cùng với các điều kiện biên cụ thể.
Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạp của bài toán.
Các miền liên tục được chia thành nhiều miền con (phần tử). Các miền này được liên
kết với nhau tại các điểm nút. Trên miền con này, dạng biến phân tương đương với bài
toán được giải xấp xỉ dựa trên các hàm xấp xỉ trên từng phần tử, thoả mãn điều kiện trên
biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữa các phần tử.
Về mặt toán học, phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) được sử dụng để giải gần
đúng bài toán phương trình vi phân từng phần (PTVPTP) và phương trình tích phân, ví
dụ như phương trình truyền nhiệt. Lời giải gần đúng được đưa ra dựa trên việc loại bỏ
phương trình vi phân một cách hoàn toàn (những vấn đề về trạng thái ổn định), hoặc
chuyển PTVPTP sang một phương trình vi phân thường tương đương mà sau đó được
giải bằng cách sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, vân vân.
PPPTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm trên toàn miền xác định V của nó mà chỉ trong
những miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định của hàm.Trong PPPTHH miền V
được chia thành một số hữu hạn các miền con, gọi là phần tử. Các miền này liên kết với
nhau tại các điểm định trước trên biên của phần tử được gọi là nút. Các hàm xấp xỉ này
được biểu diễn qua các giá trị của hàm (hoặc giá trị của đạo hàm) tại các điểm nút trên
phần tử. Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần
tìm của bài toán.
Trong việc giải phương trình vi phân thường, thách thức đầu tiên là tạo ra một phương
trình xấp xỉ với phương trình cần được nghiên cứu, nhưng đó là ổn định số học
(numerically stable), nghĩa là những lỗi trong việc nhập dữ liệu và tính toán trung gian
không chồng chất và làm cho kết quả xuất ra xuất ra trở nên vô nghĩa. Có rất nhiều cách
để làm việc này, tất cả đều có những ưu điểm và nhược điểm. PPPTHH là sự lựa chọn
tốt cho việc giải phương trình vi phân từng phần trên những miền phức tạp (giống như
những chiếc xe và những đường ống dẫn dầu) hoặc khi những yêu cầu về độ chính xác

Phương pháp phần tử hữu hạn
1/4
thay đổi trong toàn miền. Ví dụ, trong việc mô phỏng thời tiết trên Trái Đất, việc dự báo
chính xác thời tiết trên đất liền quan trọng hơn là dự báo thời tiết cho vùng biển rộng,
điều này có thể thực hiện được bằng việc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn.
Ứng dụng
Phương pháp Phần tử hữu hạn thường được dùng trong các bài toán Cơ học (cơ học kết
cấu, cơ học môi trường liên tục) để xác định trường ứng suất và biến dạng của vật thể.
Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn cũng được dùng trong vật lý học để giải các
phương trình sóng, như trong vật lý plasma, các bài toán về truyền nhiệt, động lực học
chất lỏng, trường điện từ.
Lịch sử
Phương pháp phần tử hữu hạn được bắt nguồn từ những yêu cầu giải các bài toán phức
tạp về lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây dựng và kỹ thuật hàng không. Nó
được bắt đầu phát triển bởi Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942).
Mặc dù hướng tiếp cận của những người đi tiên phong là khác nhau nhưng họ đều có
một quan điểm chung, đó là chia những miền liên tục thành những miền con rời rạc.
Hrennikoff rời rạc những miền liên tục bằng cách sử dụng lưới tương tự, trong khi
Courant chia những miền liên tục thành những miền có hình tam giác cho cách giải thứ
hai của phương trình vi phân từng phần elliptic, xuất hiện từ các bài toán về xoắn của
phần tử thanh hình trụ. Sự đóng góp của Courant là phát triển, thu hút một số người
nhanh chóng đưa ra kết quả cho PPVPTP elliptic được phát triển bởi Rayleigh, Ritz, và
Galerkin. Sự phát triển chính thức của PPPTHH được bắt đầu vào nửa sau những năm
1950 trong việc phân tích kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng, và đã thu được
nhiều kết quả ở Berkeley (xem Early Finite Element Research at Berkeley) trong những
năm 1960 trong ngành xây dựng. Phương pháp này được cung cấp nền tảng toán học
chặt chẽ vào năm 1973 với việc xuất bản cuốn Strang và tổng kết trong An Analysis of
The Finite element Method và kể từ đó PPPTHH được tổng quát hóa thành một ngành
của toán ứng dụng, một mô hình số học cho các hệ thống tự nhiên, được ứng dụng rộng
rãi trong kĩ thuật, ví dụ như điện từ học và động lực học chất lỏng.

Sự phát triển của PPPTHH trong cơ học kết cấu đặt cơ sở cho nguyên lý năng lượng, ví
dụ như: nguyên lý công khả dĩ, PPPTHH cung cấp một cơ sở tổng quát mang tính trực
quan theo quy luật tự nhiên, đó là một yêu cầu lớn đối với những kỹ sư kết cấu.
Bài toán minh họa
Chúng ta sẽ minh họa việc sử dụng PPPTHH từ hai ví dụ mà phương pháp chung có thể
là ngoại suy. Chúng ta xem như người đọc đã quen thuộc với tính toán và đại số tuyến
Phương pháp phần tử hữu hạn
2/4
tính. Chúng ta sẽ sử dụng bài toán một chiều, tại đây, hàm f được xác định bởi u và u
một hàm ẩn của x, u’’ là đạo hàm cấp 2 của u theo x
Ví dụ cho bài toán hai chiều là bài toán Dirichlet
Ở đây, miền Ω là một miền đơn liên mở trong mặt phẳng (x,y), có biên ∂Ω rất “đẹp” (ví
dụ: một đa tạp trơn hoặc một đa giác), uxx và uyy là đạo hàm riêng cấp hai theo biến x
và y.
Ở ví dụ P1, có thể giải trực tiếp bằng cách lấy nguyên hàm. Tuy nhiên, phương pháp
này chỉ thực hiện được trong không gian một chiều và không thể giải được trong trường
hợp không gian có hơn hai chiều hoặc trong bài toán u + u’’ = f. Chính vì lí do này mà
chúng ta sẽ phát triển phát triển PPPTHH cho trường hợp P1 và phác họa tổng quát của
PPPTHH cho trường hợp P2.
Lời giải sẽ bao gồm hai bước, nó phản ánh hai bước chủ yếu phải thực hiện để giải một
bài toán biên bằng PPPTHH. Ở bước đầu tiên, chúng ta sẽ biểu diễn lại bài toán biên
trong dạng gần đúng của nó hoặc dạng biến phân. Rất it hoặc không có máy tính được
dùng để thực hiện bước này, việc này được làm bằng tay ở trên giấy. Bước thứ hai là rời
rạc hóa, dạng gần đúng được rời rạc trong một không gian hữu hạn chiều. Sau bước thứ
hai này, chúng ta sẽ có biểu thức cụ thể cho toàn bộ bài toán nhưng lời giải của bài toán
trong không gian hữu hạn chiều tuyến tính chỉ là lời giải gần đúng của bài toán biên. Bài
toán trong không gian hữu hạn chiều này sau đó được giải bằng máy tính.
So sánh PPPTHH với phương pháp sai phân hữu hạn (PPSPHH)
PPSPHH là một phương pháp khác để giải phương trình vi phân từng phần. Sự khác
nhau giữa PPPTHH và PPSPHH là:

• PPSPHH xấp xỉ bài toán phương trình vi phân; còn PPPTHH thì xấp xỉ lời giải
của bài toán này
• Điểm đặc trưng nhất của PPPTHH là nó có khả năng áp dụng cho những bài
toán hình học và những bài toán biên phức tạp với mối quan hệ rời rạc. Trong
khi đó PPSPHH về căn bản chỉ áp dụng được trong dạng hình chữ nhật với mối
Phương pháp phần tử hữu hạn
3/4
quan hệ đơn giản, việc vận dụng kiến thức hình học trong PPPTHH là đơn giản
về lý thuyết.
• Điểm đặc trưng của phương pháp sai phân hữu hạn là có thể dễ dàng thực hiện
được.
• Trong một vài trường hợp, PPSPHH có thể xem như là một tập con của
PPPTHH xấp xỉ. Việc lựa chọn hàm cơ sở là hàm không đổi từng phần hoặc là
hàm delta Dirac. Trong cả hai phương pháp xấp xỉ, việc xấp xỉ được tiến hành
trên toàn miền, nhưng miền đó không cần liên tục. Như một sự lựa chọn, nó có
thể xác định một hàm trên một miền rời rạc, với kết quả là toán tử vi phân liên
tục không sinh ra chiều dài hơn, tuy nhiên việc xấp xỉ này không phải là
PPPTHH.
• Có những lập luận để lưu ý đến cơ sở toán học của việc xấp xỉ phần tử hữu hạn
trở lên đúng đắn hơn, ví dụ, bởi vì trong PPSPHH đặc điểm của việc xấp xỉ
những điểm lưới còn hạn chế.
• Kết quả của việc xấp xỉ bằng PPPTHH thường chính xác hơn PPSPHH, nhưng
điều này còn phụ thuộc vào nhiều vấn đề khác và một số trường hợp đã cho kết
quả trái ngược.
Nói chung, PPPTHH là một phương pháp thích hợp để phân tích các bài toán về kết
cấu (giải các bài toán về biến dạng và ứng suất của vật thể dạng khối hoặc động lực
học kết cấu), trong khi đó phương pháp tính trong động lực học chất lỏng có khuynh
hướng sử dụng PPSPHH hoặc những phương pháp khác (như phương pháp khối lượng
hữu hạn).Những bài toán của động lực học chất lỏng thường yêu cầu phải rời rạc hóa bài
toán thành một số lượng lớn những “ô vuông” hoặc những điểm lưới (hàng triệu hoặc

hơn), vì vậy mà nó đòi hỏi cách giải phải đơn giản hơn để xấp xỉ các “ô vuông”. Điều
này đặc biệt đúng cho các bài toán về dòng chảy ngoài, giống như dòng không khí bao
quanh xe hơi hoặc máy bay, hoặc việc mô phỏng thời tiết ở một vùng rộng lớn. Có rất
nhiều bộ phần mềm về phương pháp phần tử hữu hạn, một số miễn phí và một số được
bán.
Phương pháp phần tử hữu hạn
4/4