Khảo sát biến dạng thân máy tiện bằng phương pháp phần tử hữu hạn

MỤC LỤC
Trang

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP
--------------------------

LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT
NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY




‘’KH

ẢO SÁT BIẾN DẠNG THÂN MÁY TIỆN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ’’







Học viên:
Nguyễn Thế Đoàn
Hướng dẫn Khoa học:
PGS.TS Trần Vệ Quốc

THÁI NGUYÊN 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


4



MỤC LỤC
Trang
Mở đầu ………………………………………………………………………………………… 7
Chương I: CÁC DẠNG KẾT CẤU HIỆN ĐẠI CỦA THÂN MÁY TIỆN
……………….

9
Chương II: CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

12
2.1 Các phương pháp tính sức bền trong cơ học………………………………………….. 12
2.1.1 Phương pháp nhân biểu đồ Veresaghin kết hợp với phương trình vi phân đường
đàn hồi…………………………………………………………………………………………
12
2.1.2 Phương pháp phần tử hữu hạn……………………………………………………… 13
2.2 Các dạng đối tượng của bài toán sức bền trong thiết kế hiện đại……………………. 23

2.2.1. Chi tiết dạng thanh………………………………………………………………….
23
2.2.2 Chi tiết dạng dầm…………………………………………………………………… 23
2.2.3 Chi tiết dạng khối.……………..…………………………………………………… 23
2.3. Các kiểu phần tử của bài toán phần tử hữu hạn và sử dụng………………………….
24
2.3.1. Phần tử kiểu đường…………………………………………………………………
24
2.3.2. Phần tử kiểu đa giác………………………………………………………………..
24
2.3.3. Phần tử kiểu tứ diện………………………………………………………………...
25
2.3.4. Các kiểu khác……………………………………………………………………….
25
2.4. Các bước thực hiện bài toán phần tử hữu hạn………………………………………..
25
2.5. Các bài toán ứng dụng phương phần tử hữu hạn…………………………………….
27
2.5.1. Bài toán cơ học…………………………………………………………………….
27
2.5.2. Bài toán truyền nhiệt……………………………………………………………….
29
2.5.3. Bài toán dòng chất lưu……………………………………………………………...
33
2.5.4. Giới hạn nghiên cứu của đề tài…………………………………………………….
33
2.6. Các mô hình toán học của phương pháp phần tử hữu hạn…………………………..
34
2.6.1. Phương trình mô tả chuyển vị……………………………………………………..
34

2.6.2. Phương trình mô tả lực nút…………………………………………………………
34
2.6.3. Phương trình vi phân đường đàn hồi……………………………………………….
34
2.7. Giới thiệu một số phần mền tính FEM……………………………………………….
34
2.7.1. Ansys………………………………………………………………………………..
34
2.7.2. Catia………………………………………………………………………………...
37
2.7.3. Cosmos Design Star………………………………………………………………
2.7.4. Mechanical Destop………………………………………………………………….
38
40
2.8. Lựa chọn công cụ chính và công cụ hỗ trợ…………………………………………..
41
2.8.1. Công cụ chính………………………………………………………………………
41
2.8.2. Công cụ hỗ trợ……………………………………………………………………..
41

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


5



2.8.3. Nhận dạng lẫn nhau……………………………………………………………….
41

2.9. Tổng quan về mô hình cấu trúc………………………………………………………
41
2.9.1. Tổng quan về xây dựng mô hình…………………………………………………...
41
2.9.2. Các bước tiến hành…………………………………………………………………
43
2.9.3. Các hệ trục toạ độ………………………………………………………………….
49
2.9.4. Sử dụng chuột và mặt phẳng làm việc…………………………………………….
53
2.9.5. Mô hình thông qua các đối tượng hình học………………………………………..
54
2.9.6. Phát sinh lưới………………………………………………………………………
57
2.9.7. Hiệu chỉnh mô hình…………………………………………………………………
63
2.9.8. Sinh lưới thích ứng …………………………………………………………………
67
2.9.9. Phát sinh trực tiếp…………………………………………………………………..
71
2.9.10. Mô hình đường ống ……………………………………………………………….
71
2.9.11. Hiệu chỉnh số nút và phần tử……………………………………………………...
73
2.10. Xây dựng mô hình hình học…………………………………………………………
76
2.10.1. Giới thiệu………………………………………………………………………….
76
2.10.2. Các sản phẩm kết nối……………………………………………………………..
78

2.10.3. Sử dụng các lệnh trong phần mềm………………………………………………..
78
2.11. Tạo mô hình phần tử hữu hạn………………………………………………………
80
2.11.1. Tổng quan…………………………………………………………………………
80
2.11.2. Các thuộc tính cơ bản của phần tử………………………………………………...
81
2.11.3. Các thuộc tính kết hợp của phần tử……………………………………………….
86
2.11.4. Điều khiển mật độ lưới……………………………………………………………
87
2.12. Đặt tải……………………………………………………………………………….
87
2.12.1. Định nghĩa tải……………………………………………………………………..
87
2.12.2. Hệ toạ độ nút (Nodal Coordinate System - NCS)……………………………......
88
2.12.3. Các ràng buộc chuyển vị…………………………………………………………..
89
2.12.4. Lực tập trung………………………………………………………………………
89
2.12.5. Kiểm tra các kết quả………………………………………………………………
89
CHƯƠNG III : MÔ HÌNH HỌC VÀ MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN CỦA BÀI
TOÁN THÂN MÁY TIỆN………………………………………………………………….
91
3.1. Xây dựng mô hình hình học thân máy……………………………………………….
3.1.1. Cụm thân máy……………………………………………………………………..
91

91
3.1.2. Mô hình hình học với Mechanical Destop…………………………………………
99
3.1.3. Mô hình FEM của thân máy……………………………………………………….
100
3.2. Xác định các thông số cơ bản của mô hình hình học…………………………
101
3.2.1. Thông số cơ học của vật liệu………………………………………………………
101

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


6



3.2.2. Thông số hình học của mô hình……………………………………………………
101
3.3. Tính toán bộ tham số ngoại lực tác động tĩnh lên trục chính và thân máy………….
102
3.3.1. Chế độ cắt tính toán…….…………………………………………………………..
102
3.3.2. Tính lực cắt………………………………….………………………………………
102
Chương IV: TÍNH TOÁN PHÂN TÍCH THÂN MÁY TIỆN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ
HỮU HẠN TRÊN HỆ THỐNG COSMOS/ANSYS………………………………………………..
104
4.1. Sơ đồ tính…………………………………………………………………………….
104

4.2. Phân tích hệ thống ngoại lực tác dụng……………………………………………….
104
4.3. Đơn vị tính…………………………………………………………………………..
107
4.4. Ứng dụng phần mềm Ansys/Cosmoss….……………………………………………..
107
4.4.1. Khởi động chương trình Ansys, giao diện Ansys………………………………….
107
4.4.2. Xây dựng mô hình học……………………………………………………………..
108
4.4.3. Định hướng bài toán……………………………………………………………….
108
4.4.4. Tạo mô hình phần tử hữu hạn………………………………………………………
109
4.4.5. Khai báo các thuộc tính của vật liệu………………………………………………..
109
4.4.6. Khai báo các điều kiện biên………………………………………………………..

110
4.4.7. Đặt tải trên mô hình…………………………………………………………………
110
4.4.8. Giải………………………………………………………………………………….
111
4.4.9. Kết quả………………………………………………………………………………
111
4.5. Kết quả dạng dữ liệu………………………………………………………………….
120
4.6. Đánh giá và kết luận …..………………………………………………………………
121
4.6.1. Đánh giá …………………………….………………………………………………

121
4.6.2. Kết luận…..…………………………………………………………………………
121
TÀI LIỆU THAM KHẢO. …………………………………………………………………… 124
PHỤ LỤC. …………………………………………………………………………………… 126









Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


7



MỞ ĐẦU

Phương pháp phần tử hữu hạn đã được ứng dụng vào cơ học từ rất lâu, nó
thường được sử dụng để khảo sát các mô hình có những đặc điểm cơ học phức tạp.
Do đặc điểm quản lý thông tin về nút (lực nút, chuyển vị nút) nên khối lượng tính
toán sơ cấp rất lớn. Phương pháp phần tử hữu hạn chỉ thực sự có ý nghĩa khi được
ứng dụng máy tính.
Ngày nay với sự phát triể n của kỹ thuật gia công và các phần mền hỗ trợ
thiết kế. Trong thực tế xuất hiện rất nhiều các loại chi tiết không thuộc kiểu chi tiết

truyền thống (Trục, dầm, thanh) điều này điều này đòi hỏi phải có công cụ tính mới.
Bên cạnh đó các hệ vật phức tạp khi tính toán sức bền được ứng dụng Phương pháp
phần tử hữu hạn cho hiệu quả kinh tế và kỹ thuật tốt nhất.
Xuất phát từ tình hình nói trên, việc hệ thống hoá các kiểu phần tử trong bài
toán cơ học và xây dựng các mô hình tính cho một số chi tiết phức tạp trong chế tạo
máy đang là một vấn đề cấp bách. Vì vậy đòi hỏi phải đầu tư nghiên cứu sâu.
Tuy nhiên, mặc dù có cố gắng nhiều trong việc xây dựng ý tưởng mô hình
nhưng nội dung của luận văn còn nhiều thiếu sót và còn nhiều những điểm mới cần
được đề xuất và trao đổi, thảo luận thêm. Tác giả rất mong và trân trọng mọi sự
đóng góp, phê bình của các thầy giáo và đồng nghiệp đối với luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Đào tạo sau Đại học Trường
Đại học KTCN, Ban Giám hiệu và Ban Chủ nhiệm Khoa Kỹ thuật Công nghiệp
Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp đã hết sức tạo điều khiện thuận lợi cho em
trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo trong Hội đồng bảo vệ Đề cương luận văn
Thạc sỹ đã góp ý, chỉnh sửa và phê duyệt đề cương để luận văn của em được hoàn
thành với nội dung tốt nhất.
Đặc biệt, em xin trân trọng cảm ơn PGS TS Trần Vệ Quốc, Hiệu trưởng
Trường Cao đẳng Nghề kỹ thuật Thiết bị Y tế - Hà Nội đã tận tình hướng dẫn em
trong suốt quá trình xây dựng ý tưởng mô hình và hoàn thành nội dung luận văn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


8



Xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp, các cộng tác viên đã giúp đỡ, thảo
luận và đề xuất những giải pháp tốt nhất trong quá trình viết luận văn và xây dựng

mô hình thiết bị thử nghiệm.
Xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, cổ vũ về tinh thần và
vật chất cho bản thân trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.

HỌC VIÊN


Nguyễn Thế Đoàn





















Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9



CHƯƠNG I : CÁC DẠNG KẾT CẤU HIỆN ĐẠI CỦA THÂN MÁY TIỆN
1.1. Thân máy tiện thường.






Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


10



1.2. Thân máy tiện CNC.






Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11











Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


12



CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
2.1. Các phương pháp tính sức bền trong cơ học.
2.1.1. Phương pháp nhân biểu đồ Veresaghin kết hợp với phương trình vi
phân đường đàn hồi.
* Thành lập công thức: Dựa theo công thức tích phân Mor, ta có nhận xét như sau:
- Mô men uốn do tải trọng gây ra M
x
là hàm số bất kì f(z).
-Mô men uốn M
k

do lực đơn vị gây ra là hàm số bậc nhất ta có thể phân tích là:
M
k
=F(z) =az+b (2.1)
Giả sử EJ =const, ta tính tích phân:
I=
( ) ( ) (
)( ) ( ) ( )
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
+=+==
l l l l l
kx
dzzfbdzzzfadzbazzfdzzFzfdzMM
0 0 0 0 0
......
(2.2)
Ta nhận thấy: f(z).dz là diện tích của hình gạch gạch, cho nên:
( )
( )
c
l
zf
zSdzzzf ...
0
Ω==
∫
(mô men tĩnh của hình phẳng giới hạn bởi đường f(z) với
trục f(z))

( )

Ω=
∫
l
dzzzf
0
..
là diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đường f(z)
Thay vào ta được:
( )
ccc
bzabzaI
η
.... Ω=+Ω=Ω+Ω=
(2.3)

* Phép nhân biểu đồ:
- Vẽ biểu đồ mô men uốn
do tải trọng gây nên, ta được
biểu đồ mô men được ký
hiệu là M
P
. Giả sử ta tính
được diện tích của biểu đồ
M
P
là
Ω
và trọng tâm C của
biểu đồ.
- Tại điểm cần tính chuyển

C f(z)

Ω


0 z
z dz l
z
c
F(z)


c
η

Hình 2.1 z

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


13



vị ta đặt 1 lực đơn vị (P
k
=1) và vẽ biểu đồ mô men do lực đơn vị đó gây nên. Ta
được biểu đồ M
k
gọi là biểu đồ đơn vị. Gióng từ trọng tâm C của biểu đồ M

P
xuống
biểu đồ M
k
ta được tung độ tương ứng là
η
.
Khi đó chuyển vị của điểm K được xác định như sau:
f
k
= (M
p
).(M
k
) =
1
EJ
Ω.
η
(2.4)
Ta có quy tắc nhân biểu đồ sau: Lấy diện tích của biểu đồ M
p
nhân với tung độ
tương ứng với trọng tâm của biểu đồ M
p
lấy trên biểu đồ M
k
Phương pháp sử dụng các phương trình vi phân: phức tạp, độ chính xác
tương đối cao nhưng việc xác định kết quả của bài toán tại các điểm khác nhau trên
chi tiết là rất khó khăn và phức tạp.

2.1.2. Phương pháp phần tử hữu hạn.
Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM – Finite Element Method) là một
phương pháp số, dùng để giải các bài toán cơ học. Tư tưởng của phương pháp này
là chia phần tử ra thành một tập hợp hữu hạn các miền con liền nhau nhưng không
liên kết hoàn toàn với nhau trên khắp từng mặt biên của chúng. Trường chuyển vị
ứng, ứng suất, biến dạng được xác định trong từng miền con. Mỗi miền con được
gọi là một phần tử hữu hạn. Dạng phần tử có thể là thanh, thanh dầm, tấm, vỏ, khối.
Các phần tử được kết nối với nhau thông qua các nút, nút được đánh số theo thứ tự
từ 1 đến n (n số nút của phần tử)
Là phương pháp cho độ chính xác cao và kiểm tra kết quả rất thuận tiện.
Ngày nay duới sự trợ giúp của máy vi tính nên phương pháp này đã và đang được
ứng dụng mạnh mẽ.
Phương pháp này xây dựng công thức dựa trên cơ sở ha i phương pháp:
phương pháp biến phân (phương pháp Rayleigh –Ritz) và phương pháp weighted
residuals (phương pháp Galerkin). Các phương trình cơ bản đều được suy ra từ các
phương trình cân bằng tĩnh học bởi các giá trị đặc trưng của điều kiện biên.
Quá trình xây dựng các phương trình cân bằng của phương pháp phần tử hữu
hạn dựa trên phương pháp Galerkin:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


14



[ ]




==
≤≤=
ba
ubuuau
bxaxfxuL
)()(
)()(

Trước hết ta chia đoạn [a,b] thành n miền con (hình 2.1). Các miền con này
được gọi là các phần tử trong phương pháp phần tử hữu hạn (FEM).

Hình 2.2. Quá trình phân chia các miền và nội suy các hàm quan hệ.
Giả thiết rằng, ta có thể tính toán xấp xỉ
u
của chuyển vị u thông qua phương
trình các miền nhỏ có dạng là các đoạn thẳng trong miền con.

Trong đó:
u
i
– giá trị u của phần tử thứ i.
N
i
(x) – là hàm quan hệ (hàm hình dạng) của các nút thứ i.

Trong đó:
e - số phần tử (e = 1, 2, ... n).
x
i
- toạ độ của điểm nút thứ i (i = 1, ..., e-1, e, ..., n, n+1).

( )
e
ie
N
- giá trị của hàm quan hệ tại nút i
e
(i
e
= 1
e
, 2
e
).
ξ – là gia số của 1 điểm tuỳ ý trên phần tử đang xét, ξ = x – x
e
= x – x
1e
(h
(e)
≥
ξ ≥ 0).
h
(e)
- chiều dài của phần tử đang xét, h
(e)
= x
1e
- x
e
= x

2e
– x
1e

(2.6)
(2.5)
(2.7)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


15



Các hàm quan hệ thường được sử dụng là hàm bậc nhất hoặc hàm bậc hai.
Nói chung, hàm bậc hai cho lời giải tốt hơn hàm bậc nhất.
Phương pháp Galerkin đưa ra cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn thông
qua hàm trọng số w
i
(x) bằng với hàm quan hệ N
i
(x).
w
i
(x) = N
i
(x) (i = 1, 2, ..., n + 1)
Phương trình Galerkin:

Trong FEM, toàn bộ các phương trình đại số có các ẩn số là u(x) tại nút u
i
và
các vi phân du/dx, (dx/di)
i
được suy ra từ phương trình tích phân trên thông qua các
điều kiện biên tại các nút. Dưới sự trợ giúp của máy tính thì việc giải các phương
trình trên tại tất cả các nút để từ đó đưa ra giá trị của u
i
và dx/di là rất nhanh và dễ
dàng.
*. Biến dạng phẳng (hai chiều) trong FEM
Nhìn chung, giá trị biến dạng được xác định nhờ giải các phương trình vi
phân riêng thông qua phương trình cân bằng quan hệ ứng suất - biến dạng hoặc các
phương trình liên kết (quan hệ biến dạng - chuyển vị) và các phương trình quan hệ
thông qua các điều kiện biên. Các lời giải chính xác chỉ có thể nhận được trong các
bài toán kết cấu tĩnh và nói chung không thể nhận được lời giải trong các kết cấu
kín. Để khắc phục các khó khăn này, phương pháp FEM đã đưa ra cách giải bằng
phương pháp số hoá rất mạnh cho lời giải gần đúng nhận được với biến dạng nhận
được rất đa dạng. Phương pháp FEM giả thiết phân tích chi tiết thành các miền có
hình dạng và kích thước khác nhau (phần tử), các phương trình gần đúng khác nhau
tạo lập bởi các phương trình đại số và số hoá quá trình tính toán các biến dạng. Các
phần tử có dạng: đoạn thẳng (có một kích thước); tam giác và chữ nhật (hai kích
thước); khối tứ diện, khối hộp và khối lăng trụ (có 3 kích thước).
Bước 1: Phân tích đối tượng thành các phần tử.
Bước 2: Xác định kiểu phần tử hoặc các hàm quan hệ, xác định gần đúng
hàm quan hệ chuyển vị và biến dạng trong các phần tử.
*. Phương pháp FEM trong phân tích biến dạng phẳng
(2.8)
(2.9)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


16



Bước 3: Xác định ma trận độ cứng, xây dựng mối quan hệ giữa lực và
chuyển vị trong mỗi phẩn tử.
Bước 4: Xây dựng ma trận độ cứng chung, xác định quan hệ giữa chuyển vị
và lực trên toàn vật thể.
Bước 5: Đưa các điều kiện biên (tải trọng, chuyển vị) vào ma trận độ cứng
chung.
Bước 6: Giải phương trình quan hệ (bước 5).
Bước 7: Xác định giá trị ứng suất và biến dạng
→
x
F
*. Khảo sát mối quan hệ của ứng suất, biến dạng và chuyển vị trong biến dạng
phẳng
a. Phương trình cân bằng
Xét sự cân bằng của của một phân tố diện tích chữ nhật trong một vật thể
trên hệ toạ độ vuông góc với biến dạng hình 2.1. Phân tố chịu tác dụng của hai lực
và
→
y
F
lần lượt theo hai phương x và y, phương trình cân bằng biến dạng của
phân tố (2.9):

Hình 2.3.Tr ạng thái ứng suất và biến dạng của phân tố diện tích phẳng trong hệ xoy.
Trong đó:
+ σ
x
, σ
y
- các ứng suất pháp.
+ τ
xy
= τ
yx
- các thành phần ứng suất tiếp.
(2.10)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


17



b. Quan hệ biến dạng và chuyển vị
y
u
x
v
y
v

x
u
xy
y
x
∂
∂
∂
∂
γ
∂
∂
ε
∂
∂
ε
+=
=
=

Trong đó:
ε
x
- biến dạng pháp tuyến theo phương x.
ε
y
- biến dạng pháp tuyến theo phương y.
γ
xy
- biến dạng góc trên mặt phẳng x-y.

u, v - chuyển vị theo hai phương của trục x và y.
c. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng
Theo định luật hook ta xây dựng được công thức quan hệ như sau:

Hoặc

E - mô đun đàn hồi dọc.
ν - hệ số Poisson.
(2.11)
(2.12)
(2.13)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


18



G - mô đun đàn hồi trượt:
( )
ν
+= 12GE

e
v
- biến dạng thể tích,
V
V
e

v
∆
=
và e
v
= ε
x
+ ε
y
+ ε
z.
- Ứng suất phẳng: σ
z
= 0; τ
yz
= τ
zy
= 0; τ
xz
= τ
zx
= 0.

- Biến dạng phẳng: ε
z
= γ
yz
= γ
zx
= 0

Đặt:


Thay vào trên ta có:
Ứng suất phẳng
Biến dạng phẳng
Ứng suất phẳng
Biến dạng phẳng
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


19




Trong đó:

d. Điều kiện biên
Khó khăn chủ yếu gặp phải khi giải các phương trình vi phân là không xác
định được các hằng số trong phương trình. Để khử bỏ các khó khăn trên, ta phải đặt
các điều kiện giới hạn của ứng suất hoặc chuyển vị trên biên của bề mặt vật bị biến
dạng. Các điều kiện đó được gọi là điều kiện biên.

Các kiểu điều kiện biên:
- Điều kiện biên là các tải trọng đặt trên bề mặt.
- Điều kiện biên là các chuyển vị.
Xét một phần của một vật bị biến dạng, trong đó ứng suất đã được xác định
bởi S
σ
và bề mặt chính, Chuyển vị được xác định bởi S
u
. Tổng hợp bề mặt của vật
bị biến dạng được xác định bởi S = S
σ
+ S
u
.
Chú ý: ta không thể đặt đồng thời cả hai điều kiện của ứng suất và chuyển vị
trên một phần bề mặt của vật bị biến dạng.
- Điều kiện biên tải trọng do S
σ
xác định bởi phương trình:

Trong đó:
*
x
t
,
*
y
t
- là hình chiếu của lực t
*

trên hai trục x và y.
Phương trình điều kiện cân bằng của bề mặt:
(2.18)
(2.19)
(2.20)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


20




Trong đó: α – là góc giữa véc tơ đơn vị pháp (n) đặt tại một điểm của một
phần tử nhỏ trên phần bề mặt S
σ
và trục x. Tại các bề mặt tự do không chịu lực tác
dụng thì
*
x
t
= 0,
*
y
t
= 0.

Hình 2.4. Quan hệ giữa các phần tử theo hai phương.
- Điều kiện biên về chuyển vị S

u
xác định bởi phương trình:

Trong đó:
u
,
v
- là hình chiếu chuyển vị u của S
u
lên hai phương x và y.
Điều kiện biên được sử dụng nhiều nhất là các chuyển vị, tại ngàm và gối thì
chuyển vị: u = 0 và (hoặc) v=0 (hình 2.4).
e. Công thức biến phân trong biến dạng
Nguyên lý di chuyển khả dĩ
- Nguyên lý: nếu một vật bị biến dạng và cân bằng thì công khả dĩ của ngoài
lực sẽ bằng năng lượng đàn hồi khả dĩ.
δW = δU
Trong đó: δW - công khả dĩ của ngoại lực.
δU - năng lượng đàn hồi khả dĩ trên một chuyển vị khả dĩ.
- Xét một vật thể đàn hồi bị liên kết và chịu lực tác dụng:
+ Phần bị liên kết A
k
(điều kiện biên): các chuyển vị đã biết u.
(2.21)
(2.22)
(2.23)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21



+ Phần chịu lực A
s
: các lực bề mặt (ứng suất, lực) đã biết P, bên trong vật
(trọng lực, lực hút) ρf
m
đã biết nhưng chuyển vị u chưa biết.
+ Nếu một vật di chuyển khả dĩ δu làm nó di chuyển và biến dạng nhỏ. Nếu
chuyển vị này có δu = 0 trên A
k
còn trên A
s
và bên trong vật thì δu # 0 thì:
dAupudVf
s
A
T
V
T
mA
∫∫
+=
δδρδ
W

dV
V

T
δεσδ
∫
=U

→
dAupudVfdV
s
A
T
V
T
mA
V
T
∫∫∫
+=
δδρδεσ

Nguyên lý trong biến dạng phẳng
Nguyên lý di chuyển khả dĩ sử dụng trong việc nghiên cứu biến dạng phẳng
thông qua biểu thức:

trong đó:
D - tất cả các miền của vật bị biến dạng phẳng
S
σ
- tất cả các phần của bề mặt vật của vật bị biến dạng (S = S
σ
U S

u
).
F
x
và F
y
– đã được xác định ở (2.1)
t – là chiều dày phần tử.
Từ phương trình trên ta có thể xác định được toàn bộ các biến của bài toán
biến dạng phẳng của vật.
f. Các công thức cơ bản của FEM với biến dạng phẳng
1. Ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vi [B]
Xét vật biến dạng có phần tử ở dạng tam giác (hình vẽ) để từ đó suy ra biểu
thức quan hệ giữa biến dạng - chuyển vị trong biến dạng phẳng:
(2.19)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


22




Hình 2.5: a. Ph ần tử tam giác biến dạng là hằng số. b. Tính liên tục của chuyển vị.
Ma trận quan hệ giữa chuyển vị của cả phần tử và chuyển vị của các nút trên

phần tử:

Ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị:

Trong đó các giá trị xác địng như sau:


(2.28)
(2.29)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


23



[B] – ma trận quan hệ giữa
{ }
e
δ
và ε.
2. Ma trận quan hệ giữa ứng suất - biến dạng [D]


3. Phương trình độ cứng của phần tử:

F
ε0
- lực liên kết giữa tại các nút của phần tử

F
F
- lực tác dụng lên phần tử
[K]
{ }
δ
- lực biến dạng của phần tử
4. Phương trình độ cứng của vật thể:

2.2.3.1. Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết phương pháp
lực: Dựa vào lý thuyết của phương pháp lực khó tự động hoá.
2.2.3.2. Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết phương pháp
chuyển vị:

Dựa vào lý thuyết của phương pháp chuyển vị dễ tự động hoá nên
được sử dụng phổ biến trong các phần mềm để giải quyết bài toán tổng quát.
2.2. Các dạng đối tượng của bài toán sức bền trong thiết kế hiện đại.
2.2.1. Chi tiết dạng thanh.


2.2.2. Chi tiết dạng dầm.

(2.29)
(2.30)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


24

2.2.3. Chi tiết dạng khối.


2.3. Các kiểu phần tử của bài toán phần tử hữu hạn và sử dụng.
2.3.1. Phần tử kiểu đường.

2.3.2. Phần tử kiểu đa giác.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


25




2.3.3. Phần tử kiểu tứ diện.


2.3.4. Các kiểu khác.


2.4. Các bước thực hiện bài toán phần tử hữu hạn.
- Chia vật liệu ra thành nhiều phần tử sao cho tính chất vật lý của mỗi phần tử ờ gần
biên sao cho thật nhuyễn. Nếu làm như vậy, ta có thể dùng các phần tử đơn giản

thay vì dùng các phần tử phức tạp.
- Tìm phiếm hàm,tìm điều kiện biên.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


26



- Dùng các hàm số tạo hình tìm ra các ma trận cứng của các phần tử.
- Kết nối các phần tử với nhau qua các nút,sẽ có hệ thống phương trình cấu trúc.
- Giải hệ thống phương trình để xác định các ẩn số là chuyển vị sau đó suy ra độ
biến dạng và ứng suất.
- Kết quả sẽ thoả mãn các điều kiện biên, các điều kiện vật lý.

Thuật toán giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn.

Start
Định nghĩa bài toán:
- Số bậc tự do.
- Số nút ở gốc.
- Số phần tử.
- Số liệu về vật liệu.
- Chọn tọa độ các điểm nút ở gốc.
- Gán trị cho các arrays = 0
(Xác định được bộ
nhớ, array)
i = 1
- Loại phần tử.
- Các bậc tự do.
- Ma trận A, D.
- Ma trận cứng của phần tử.
- Ghép vào ma trận cứng cấu trúc.

i = n
- Điều kiện biên.

- Sửa đổi lại hệ thống phương trình.
- Giải hệ phương trình.

Những đặc biệt cho bài
toán (mặt tiếp xúc).
- Kết quả.
- Biểu diễn kết quả.
End
Bài toán phi tuyến
n: Số phần tử trong cấu trúc
i = i+1
No
Yes

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


27



2.5. Các bài toán ứng dụng phần tử hữu hạn.
2.5.1. Bài toán cơ học.
Dưới tác dụng của tải trọng làm cho độ bền của các chi tiết máy bị ảnh
hưởng, khi tải trọng tác dụng vượt quá giới hạn cho phép dẫn đến ứng suất phát
sinh σ, chuyển vị (chuyển vị góc θ và chuyển vị dài f) lớn hơn giá trị cho phép ([σ],
[θ], [f]) chi tiết bị phá huỷ. Tuỳ theo đặc tính của các dạng tải trọng tác dụng mà
các chi tiết máy có thể có các dạng hỏng khác nhau. Trong các bài toán sức bền khi
chịu tải trọng tĩnh các chi tiết máy xảy ra các dạng bài toán sau:
- Bài toán kéo (nén):

- Bài toán trọng uốn:

- Bài toán chịu lực phức tạp:

- Bài toán hệ thanh chịu lực:


Hình 2.6. Các dạng bài toán
Khảo sát mô hình sau: