Các bài toán tựa cân bằng tổng quát và ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
¯x ∈ D f(¯x) = min
x∈D
f(x)
f : D → R D
X D
F
¯x ∈ D T (¯x), x − ¯x ≥ 0, ∀x ∈ D
D ⊂ R
n
T : D → R
n
¯x ∈ D f(x, ¯x) ≥ 0, ∀x ∈ D
D X f :
D × D → R f(x, x) = 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x, y X
ρ(x, y), x y
ρ(x, y) > 0, x = y ρ(x, y) = 0, x = y
ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀x, y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) ∀x, y, z.
ρ(x, y) X (X, ρ)
(X, .)
X . X → R

∀x ∈ X  x ≥ 0  x  = 0 x = 0
∀x, y ∈ X  x + y ≤ x  +  y 
∀x ∈ X ∀λ ∈ K  λx  = λ  x 
X K =
{R, C} ., . : X × X → K X
y, x = x, y, ∀x, y ∈ X x, y
y, x
x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y ∈ X;
λx, z = λx, z, ∀λ ∈ K;
x, x ≥ 0; x, x = 0 ⇔ x = 0.
X
| x, y |
2
≤ x, x.y, y, ∀x, y ∈ X.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
y = 0, λ ∈ K x + λy, x + λy ≥ 0
x, x + λy, x +
¯
λx, y + λ
2
y, y ≥ 0.
λ = −
x,y
y,y
x, x −
| x, y |
2
y, y
≥ 0.
x, x.y, y ≥| x, y |

2
.
x =

x, x
X.
X τ X
X
∅ ∈ τ X ∈ τ
{U
t
}
t∈T
⊂ τ ∪
t∈T
U
t
∈ τ
∀U
1
, U
2
∈ τ U
1
∩ U
2
∈ τ
τ
X X
τ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x + y x, y
V x + y U
x
x U
y
y
x

∈ U
x
, y

∈ U
y
x

+ y

+ ∈ V
αx α, x
V αx  > 0 U x
|α

− α| < , x

∈ U α

x


∈ V.
X
X
X
0 ∈ X
(X, τ)
x, y ∈ X, x = y U
x
x
U
y
y U
x
∩ U
y
= ∅
X, Y, Z, W
D ⊂ X
K ⊂ Z E ⊂ W C Y
2
Y
Y
F : X → 2
Y
x ∈ X Y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
F : D → 2
Y
• F C − C − x
0

∈ D
V 0 Y U x
0
X
F (x) ⊂ F (x
0
) + V + C
( F (x
0
) ⊂ F (x) + V − C)
x ∈ U ∩ domf
• F C − x
0
∈ D F C −
C − x
0
• F C − C − C −
D C − C − C −
∀x ∈ D
• F C − C −
αF (x) + (1 − α)F (y) ⊂ F (αx + (1 − α)y) − C
( F (αx + (1 − α)y) ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) + C)
∀x, y ∈ domF α ∈ [0, 1]
• F C − D x
1
, x
2
∈ D t ∈ [0, 1]
F (x
1

) ⊆ F (tx
1
+ (1 − t)x
2
) + C
( F (x
2
) ⊆ F (tx
1
+ (1 − t)x
2
) + C.
• F C − D x
1
, x
2
∈ D t ∈ [0, 1]
F (tx
1
+ (1 − t)x
2
)F (x
1
) ⊆ F (x
1
) − C
( F (tx
1
+ (1 − t)x
2

) ⊆ F (x
2
) − C.
F : K × D × D → 2
Y
Q : D × D → 2
K
C : K × D → 2
Y
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
• F (Q, C) −
{x
1
, x
2
, , x
n
} ⊆ D x ∈ co{x
1
, x
2
, , x
n
}
j ∈ {1, 2, , n}
F (y, x, x
j
) ⊆ F (y, x, x) + C(y, x), ∀y ∈ Q(x, x
j
).

• F (Q, C)−
{x
1
, x
2
, , x
n
} ⊆ D x ∈ co{x
1
, x
2
, , x
n
}
j ∈ {1, 2, , n}
F (y, x, x) ⊆ F (y, x, x
j
) − C(y, x), ∀y ∈ Q(x, x
j
).
F : D → 2
X
{t
1
, t
2
, , t
n
} ⊂ D co{t
1

, t
2
, , t
n
} ⊆
n
∪
j=1
F (t
j
).
F : K × D × D → 2
X
Q : D × D → 2
K
F Q − KKM
{t
1
, t
2
, , t
n
} ⊂ D x ∈ co{t
1
, t
2
, , t
n
} t
j

∈ {t
1
, t
2
, , t
n
}
0 ∈ F (y, x, t
j
) ∀y ∈ Q(x, t
j
)
F : K × D × E → 2
X
Q : D × E → 2
K
F Q − KKM
{t
1
, t
2
, , t
n
} ⊂ E {x
1
, x
2
, , x
n
} ⊂ D

x ∈ co{x
i
1
, x
i
2
, , x
i
k
} t
i
j
∈ {t
i
1
, t
i
2
, , t
i
n
} 0 ∈ F (y, x, t
j
)
∀y ∈ Q(x, t
i
j
)
R K ×D
R (y

α
, x
α
) → (y, x) R(y
α
, x
α
)
α R(y, x)
R K × D × D
R Q − KKM {t
1
, t
2
, , t
n
} ⊂ D
x ∈ co{t
1
, t
2
, , t
n
} t
j
∈ {t
1
, t
2
, , t

n
} R(y, x, t
j
)
y ∈ Q(x, t
j
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X
D X
F : D → 2
D
∃¯x ∈ D ¯x ∈ F(¯x)
D
X F : D → 2
D
∀x ∈ D x ∈ F(x) F (x)
∀y ∈ D F
−1
(y)
∃¯x ∈ D F (¯x) = ∅
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X, Y, Z D ⊆ X K ⊆ Z
S : D × K → 2
D
, T : D × K → 2
K
, F : K × D × D × D → 2
Y
(¯x, ¯y) ∈ D × K

1/ ¯x ∈ S(¯x, ¯y);
2/ ¯y ∈ T (¯x, ¯y);
3/ 0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z), ∀z ∈ S(¯x, ¯y)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(GQEP )
I
S, T F
(GQEP )
I
F
D, K, S, T G : K × D × D → R
(¯x, ¯y) ∈ D × K
1/ ¯x ∈ S(¯x, ¯y);
2/ ¯y ∈ T (¯x, ¯y);
3/ G(¯y, ¯x, ¯x) = min
z∈S(¯x,¯y)
G(¯y, ¯x, z),
(GQEP )
I
M : K × D × D → 2
X
, F : K × D × D × D → 2
X
M(y, x, z) = {t ∈ D | G(y, x, z) ≥ G(y, x, t)}, (y, x, z) ∈ K × D × D;
F (y, x, t, z) = t − M(y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D.
0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z), ∀z ∈ S(¯x, ¯y),
G(¯y, ¯x, ¯x) = min
z∈S(¯x,¯y)
G(¯y, ¯x, z).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

D, K, S, T g : K × D × D → R
g(y, x, x) = 0 ∀x ∈ D, y ∈ K
(¯x, ¯y) ∈ D × K
1/ ¯x ∈ S(¯x, ¯y);
2/ ¯y ∈ T (¯x, ¯y);
3/ g(¯y, ¯x, z) ≥ 0, ∀z ∈ S(¯x, ¯y).
M : K × D × D → 2
X
, F : K × D × D × D → 2
X
M(y, x, z) = {t ∈ D | g(y, x, z) ≥ g(y, x, t)}, (y, x, z) ∈ K × D × D;
F (y, x, t, z) = t − M(y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D.
(GQEP )
I
0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z), ∀z ∈ S(¯x, ¯y),
g(¯y, ¯x, z) ≥ 0, ∀z ∈ S(¯x, ¯y).
D, K, S, T R(y, x, t, z)
y ∈ K; x, t, z ∈ D R
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(¯x, ¯y) ∈ D × K
1/ ¯x ∈ S(¯x, ¯y);
2/ ¯y ∈ T (¯x, ¯y);
3/ R(¯y, ¯x, ¯x, z) , ∀z ∈ S(¯x, ¯y)
(GQEP )
I
M : K × D × D → 2
X
, F : K × D × D × D → 2
X
M(y, x, z) = {t ∈ D | R(y, x, t, z) }, (y, x, z) ∈ K × D × D;

F (y, x, t, z) = t − M(y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D.
R(¯y, ¯x, ¯x, z) , ∀z ∈ S(¯x, ¯y),
0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z), ∀z ∈ S(¯x, ¯y)
D, K, S, T H, G
K × D × D Y C : K × D → 2
Y
(¯x, ¯y) ∈ D × K
1/ ¯x ∈ S(¯x, ¯y);
2/ ¯y ∈ T (¯x, ¯y);
3/ H(¯y, ¯x, z) ⊂ G(¯y, ¯x, ¯x) + C(¯y, ¯x), ∀z ∈ S(¯x, ¯y).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(GQEP )
I
M : K × D × D → 2
X
, F : K × D × D × D → 2
X
M(y, x, z) = {t ∈ D | H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t)+C(y, x)}, (y, x, z) ∈ K×D×D;
F (y, x, t, z) = t − M(y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D.
H(¯y, ¯x, z) ⊂ G(¯y, ¯x, ¯x) + C(¯y, ¯x), ∀z ∈ S(¯x, ¯y),
0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z), ∀z ∈ S(¯x, ¯y).
D, K, S, T G : K × D × D → 2
Y
C : K × D → 2
Y
G(y, x, x) ⊆ C(y, x) ∀(y, x, x) ∈ K×D×D
(¯x, ¯y) ∈ D × K
1/ ¯x ∈ S(¯x, ¯y);
2/ ¯y ∈ T (¯x, ¯y);
3/ G(¯y, ¯x, z) ⊂ C(¯y, ¯x), ∀z ∈ S(¯x, ¯y).

(GQEP )
I
M : K × D × D → 2
X
, F : K × D × D × D → 2
X
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M(y, x, z) = {t ∈ D | G(y, x, z) ⊆ G(y, x, t)+C(y, x)}, (y, x, z) ∈ K×D×D;
F (y, x, t, z) = t − M(y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D.
G(¯y, ¯x, z) ⊂ C(¯y, ¯x), ∀z ∈ S(¯x, ¯y),
0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z), ∀z ∈ S(¯x, ¯y).
D, K, S, T C : K × D × D × D → 2
Y
G : K × D × D × D → 2
X
(¯x, ¯y) ∈ D × K
1/ ¯x ∈ S(¯x, ¯y);
2/ ¯y ∈ T (¯x, ¯y);
3/ α
i
(G(¯y, ¯x, ¯x, z), C(¯y, ¯x, ¯x, z)), ∀z ∈ S(¯x, ¯y).
α
1
= {(M, N) ∈ 2
Y
× 2
Y
| M  N};
α
2

= {(M, N) ∈ 2
Y
× 2
Y
| M ⊆ N};
α
3
= {(M, N) ∈ 2
Y
× 2
Y
| M ∩ N = ∅};
α
4
= {(M, N) ∈ 2
Y
× 2
Y
| M ∩ N = ∅}.
M : K × D × D → 2
D
, F : K × D × D × D → 2
Y
M(y, x, z) = {t ∈ S(x, y) | α
i
(G(y, x, t, z), C(y, x, t, z))};
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
F (y, x, t, z) = t − M(y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D.
(GQEP )
I

α
i
(G(¯y, ¯x, ¯x, z), C(¯y, ¯x, ¯x, z)), ∀z ∈ S(¯x, ¯y),
0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z), ∀z ∈ S(¯x, ¯y).
X, Y, Z
D ⊆ X, K ⊆ Z
S : D × K → 2
D
;
T : D × K → 2
K
;
F : K × D × D × D → 2
Y
S
T
(x, y) ∈ D × K ∃t ∈ S(x, y) 0 ∈ F (y, x, t, z)
∀z ∈ S(x, y)
(y, x) ∈ K × D
A = {t ∈ S(x, y) | 0 ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ S(x, y)}
F
(¯x, ¯y) ∈ D × K
¯x ∈ S(¯x, ¯y)
¯y ∈ T (¯x, ¯y)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z) ∀z ∈ S(¯x, ¯y)
M : D × K → 2
D
M(y, x) = {t ∈ S(x, y) | 0 ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ S(x, y)}, (x, y) ∈ D × K.
(i) (iv) M(y, x)

M
x
β
→ x y
β
→ y t
β
∈ M(x
β
, y
β
) t
β
→ t
t ∈ M(y, x) t
β
∈ S(x
β
, y
β
)
t ∈ S(x, y)
t
β
∈ M(x
β
, y
β
) 0 ∈ F (y
β

, x
β
, t
β
, z) ∀z ∈ S(x
β
, y
β
)
x
β
→ x z ∈ S(x, y)
z
β
∈ S(x
β
, y
β
) z
β
→ z 0 ∈ F(y
β
, x
β
, t
β
, z
β
)
∀z

β
∈ S(x
β
, y
β
)
(y
β
, x
β
, t
β
, z
β
) → (y, x, t, z) F
0 ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ S(x, y) t ∈ M(y, x) M
P : D × K → 2
D×K
P (x, y) = M(y, x) × T (x, y), (x, y) ∈ D × K.
M
M
P M
T
(¯x, ¯y) ∈ D × K (¯x, ¯y) ∈
P (¯x, ¯y) = M(¯x, ¯y) × T (¯x, ¯y)
¯x ∈ S(¯x, ¯y)
¯y ∈ T (¯x, ¯y)
0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z) ∀z ∈ S(¯x, ¯y)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
D

X K
Z
T : D × K → 2
K
;
G : K × D × D → 2
X
T
(x, y) ∈ D × K G(y, x, .) : D → 2
D
G (x, y) ∈ D × K
A = {t ∈ D | t ∈ G(y, x, z), ∀z ∈ D}
(¯x, ¯y) ∈ D × K
¯y ∈ T (¯x, ¯y)
¯x ∈ G(¯y, ¯x, z) ∀z ∈ D
F : K × D × D × D → 2
X
F (y, x, t, z) = t − G(y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D.
G(y, x, .)
∩
z∈D
G(y, x, z) = ∅
t ∈ G(y, x, z), ∀z ∈ D 0 ∈ F (y, x, t, z)
∀z ∈ D
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
{t ∈ D | 0 ∈ F(y, x, t, z), ∀z ∈ D} = {t ∈ D | t ∈
G(y, x, z), ∀z ∈ D} = A
(¯x, ¯y) ∈ D × K
¯y ∈ T (¯x, ¯y)
0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z) ∀z ∈ D

¯x ∈ G(¯y, ¯x, z) ∀z ∈ D
D, K, T G : K × D × D → 2
X
T
(y, x) ∈ K × D x − G(y, x, .) : D → 2
D
G (x, y) ∈ D × K
A = {t ∈ D | t ∈ x − G(y, x, z), ∀z ∈ D}
(¯x, ¯y) ∈ D × K
¯y ∈ T (¯x, ¯y)
0 ∈ G(¯y, ¯x, z) ∀z ∈ D
F : K × D × D × D → 2
X
F (y, x, t, z) = t − x + G(y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D.
x − G(y, x, .)
∩
z∈D
G(y, x, z) = ∅.
t ∈ D, t ∈ (x − G(y, x, z)), ∀z ∈ D
0 ∈ t − x + G(y, x, z), ∀z ∈ D.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên