Cận sai số cho bất đẳng thức lồi



ĐẠIHỌCTHÁINGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 








NGUYỄN ĐÌNH LONG






CẬN SAI SỐ
CHO BẤT ĐẲNG THỨC LỒI







LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC








Thái Nguyên, năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1





ĐẠIHỌCTHÁINGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 







NGUYỄN ĐÌNH LONG

CẬN SAI SỐ
CHO BẤT ĐẲNG THỨC LỒI



Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ







Thái Nguyên, năm 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2

i

MỤC LỤC
Trang
MỤCLỤC i

BẢNGKÝHIỆU ii

LỜI NÓI ĐẦU iii

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1
1.1.Tậplồi 1

1.2.Hàmlồi 4

1.3.Dướiviphân 7

Chương 2: CẬN SAI SỐ ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC LỒI CÓ RÀNG
BUỘC VÀ KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC 11

2.1.Kháiniệmcậnsaisố 11

2.2.Cậnsaisốđốivớibấtđẳngthứclồikhôngcóràngbuộc 14

2.3.Cậnsaisốđốivớibấtđẳngthứclồicóràngbuộc 21

Chương 3: CẬN SAI SỐ VỚI MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT 33

3.1.Tậpthửcompact(Compacttestsets) 33


3.2.Nónhìnhkem(Theice-creamcone) 34

3.3.Bấtđẳngthứckhảvilồi(Convexdifferentiableinequalities) 36

KẾT LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41





Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3
ii


BẢNG KÝ HIỆU

x S
phầntử
x
thuộctập
S


y S
phầntử
y
khôngthuộctập
S




tậprỗng

C S

C
làmộttậpconcủa
S


C S
giaocủahaitập
C
và
S


C S
hợpcủahaitập
C
và
S

\
C S
hiệucủahaitập
C
và

S


L
phầnbùtrựcgiaocủa
L
trongkhônggianvéctơ

C S
tíchđềcáccủahaitập
C
và
S


C S
tổngcủahaitập
C
và
S
trongkhônggianvéctơ

C S
tổngtrựctiếpcủahaitập
C
và
S
trongkhônggianvéctơ

C

vịtựtập
C
theotỉsố



trongkhônggianvéctơ

x
vớimọi
x


x
tồntại
x


sup ( )
x K
f x
supremumcủatập


( ):
f x x K



inf ( )

x K
f x
infimumcủatập


( ):
f x x K


co
A
baolồicủatập
A

co
A
baolồiđóngcủatập
A

cl
A
baođóngcủatập
A

int
A
phầntrongcủatập
A

x

chuẩncủa
x
trongkhônggianđịnhchuẩn
X


tậpsốthực
n

khônggianEuclide
n
-chiều
B
quảcầuđơnvịtrong
n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4


0
điểmgốctrongkhônggiantuyếntinh
X

,
x y
tíchvôhướngtrongkhônggianHilbert
( ; )
N x A
nónpháptuyếncủa
A

tại
x

( ; )
T x A
nóntiếpxúcvới
A
tại
x

dom( )
f
miềnhữuhiệucủa
f

epi( )
f
tậptrênđồthịcủa
f

dist( , )
x y
khoảngcáchgiữahaiđiểm
x
và
y

dist( , )
x S
khoảngcáchtừđiểm

x
tớitập
S

dist( , )
C D
khoảngcáchgiữahaitập
C
và
D

aff( )
A
baoafincủatập
A

ri
A
tậphợpcácđiểmtrongtươngđốicủa
A


( )
L f
tậpmứcdướicủahàm
f


( )
C f

tậpmứctrêncủahàm
f


( ; )
f x d
đạohàmtheophương
d
củahàm
f
tại
x


( )
f x
dướiviphâncủahàm
f
tại
x

*
f
hàmliênhợpvớihàm
f

X
khônggianlồiđịaphương
*
X

khônggianliênhợp(tôpô)củakhônggian
X


S
nónlùixa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5
iii

LỜI NÓI ĐẦU


Cho


  
 :
n
f
làmộthàmnửaliêntụcdưới.Bàitoánxácđịnh
cậnsaisốtoàncụccủahàm
f
làđitìmđiềukiệncầnvàđủchosựtồntạicủa
hằngsố


0
saocho





dist( , ) ( )
x S f x
vớimọi


n
x
,(1)
trongđó


  

: : ( ) 0
n
S x f x
là mộttập lồiđóng,khácrỗngtrong

n
,
“
dist
” là khoảng cách từ một điểm
x
 bất kỳ tới một tập cố định (chuẩn
Euclid),và



( ) ma ( ( ),0)
f x x f x
.
Quátrìnhnghiêncứucậnsaisốtrongnhữngnămgầnđâynhậnđượcnhiều
sựchúý.Năm1975Robinson


16
đãthiếtlậpcậnsaisốtoàncụccủamột
tậplồi,đóngbấtkỳtrongkhônggianđịnhchuẩnvớigiảthiết
S
bịchặnvàcó
phần trong khác rỗng. Tiếp đó Mangasarian


14
 nghiên cứutập lồi, đóng


n
S
xácđịnhbởihệhữuhạnbấtđẳngthứclồikhảvivàthiếtlậpcậnsai
số toàn cục với giả thiết Slater và tiêu chuẩn hạn chế tiệm cận. Sau đó
AuslendervàCrouzeix


4
mởrộngkếtquảcủaMangasarianchonhữnghàm
khôngkhảvi.Năm1994LuovàLuo



12
nghiêncứuhệbấtđẳngthứcbậc
hai,lồivàthiếtlậpcậnsaisốtoàncụcchỉvớigiảthiếtSlater(khôngcóđiều
kiệnràngbuộcnàonữa).TiếpđóKlatte


10
nghiêncứuliênhệgiữatínhliên
tụcHaussdorffcủanghiệmvớihệbấtđẳngthứccó“nhiễu”vàcậnsaisốtoàn
cụccủahệkhôngnhiễu.Li


13
nhậnđượcmộtsốtínhchấtthúvịcủacậnsai
sốtrêntậpcompactchonhữngbấtđẳngthứclồikhảvitheokhíacạnhtiêu
chuẩnhạnchế.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6

Gầnđây,Deng


6,7
xâydựngcậnsaisốcủatậplồiđóngxácđịnhbởi
nhữnghàmlồi thựcsựđóngtrongkhônggianBanach, vớiđiềukiệnSlater
trênnhữnghàmlùixatươngứng.DengvàHu



8
nhậnđượcnhữngkếtquả
cậnsaisốchoquyhoạchnửaxácđịnh.
Kháiniệmcậnsaisốcóvaitròquantrọngtronggiảitíchbiếnphânvàlý
thuyếttốiưu.Nóliênhệchặtchẽcácbàitoánvềđiềukiệntốiưu,điềukhiển
tốiưu,cựctiểu

-xấpxỉ…
Gầnđây,cáctácgiảcủabàibáo


11
bằngcáchđặc biệthóamộtcách
thích hợp đã thống nhất và mở rộng nhiềukếtquảđãbiết đến naycho hệ
thốngbấtđẳngthứclồi.
Trongluậnvănnày,tácgiảsẽtrìnhbàybàitoáncậnsaisốtoàncụccho
bấtđẳngthứclồitronghaitrườnghợp,bấtđẳngthứclồikhôngcóràngbuộc
vàbấtđẳngthứclồicóràngbuộc.Bàitoánđượcchonhưsau:
Cho


:
n
f
  
 
làmộthàmnửaliêntụcdưới.


1

Cho


  

: : ( ) 0
n
S x f x
làmộttậplồiđóng,khácrỗngtrong
n

,
tìmdềukiệntồntạisố
0


saocho



dist( , ) ( )
x S f x
,vớimọi


n
x
.




2
Cho


n
C
làmộttậplồiđóng,khácrỗngvà

  
1
( , 0]
S C f
,tìm
điềukiệntồntạisố


0
saocho




dist( , ) ma ( ( ) , dist( , ))
x S x f x x C
,vớimọi


n
x

.
Luậnvăngồmbachương
Chương1:Trìnhbàycáckiếnthứccơsởcủagiảitíchlồivềtậpafin,tậplồi,
nónlồi,hàmlồi,cựctrịcủahàmlồi,đạohàmtheophương,dướiviphân.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7

Chương2:Trìnhbàymộtsốđiềukiệncầnvàđủchosựtồntạicủacậnsaisốđối
vớibấtđẳngthứclồikhôngcóràngbuộcvàbấtđẳngthứclồicóràngbuộc.
Chương3:Trìnhbàymộtsốđiềukiệncầnvàđủchosựtồntạicủacậnsaisố
đốivớitậpcompact,nónkem,bấtđẳngthứckhảvilồi.
Đểhoànthànhluậnvănnày,tácgiảđãnhậnđượcsựgiúpđỡhướngdẫn
tậntìnhcủaPGS.TS.TrươngXuânĐứcHà.Tácgiảxinbàytỏlòngbiếtơn
sâusắctớicôgiáocủamình.
TácgiảcũngxinchânthànhcảmơntớicácthầycôtrongViệnToánHọc,
TrườngĐạihọcSưphạmTháiNguyênđãgiảngdạyvàtạođiềukiệnthuận
lợitrongquátrìnhhọctậpvànghiêncứu.
Bảnluậnvănchắcchắnsẽkhôngtránhkhỏinhữngkhiếmkhuyếtvìvậy
rấtmongnhậnđượcsựđónggópýkiếncủacácthầycôgiáovàcácbạnhọc
viênđểluậnvănđượchoànchỉnh.

TháiNguyên,tháng7,năm2012
Họcviên



NguyễnĐìnhLong.







Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8
 1

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trongchươngnàychúngtôitrìnhbàykháiquátnhữngkiếnthứcgiảitích
lồivềtập afin, tậplồi, nón lồi, hàm lồi, cựctrịcủa hàm lồi,đạo hàmtheo
phương,dướiviphân.Cáckếtquảchủyếuđượctríchdẫntrong


1
,


2
,


3
.
Sauđây,taluôngiảthiết
n
A


làmộttậpconkhácrỗng.
1.1. Tập lồi
1.1.1. Tập afin

Tập
A
làtậpafinnếu
 
,
a b A
,

 

thì


 
  
1
a b A
.
Giaocủatấtcảcáctậpafinchứatập
A
đượcgọilàbaoafincủatập
A
,vàký
hiệulà
aff( )
A
.Dễthấyrằng
aff( )
A
làtậpafinnhỏnhấtchứatập

A
.
Tập


n
L
làkhônggianconnếu
 
   

, ,  ,
a b L
thì
 
 
a b L
.
Mộttậpafin

( 1)
n
chiềutrong

n
đượcgọilàsiêuphẳng.

1.1.2. Mệnh đề. Tập



n
L
là không gian con nếu và chỉ nếu
L
là tập afin
chứa
0
.

1.1.3. Tập lồi
Tập
A
làmộttậplồinếu

 
   
 
, ,  0,1
a b A
thì
 
  
(1 )
a b A
.
Baolồicủamộttập


n
A

làgiaocủatấtcảcáctậplồichứa
A
.Kýhiệulà
co
A
.Dễthấyrằngđâylàtậplồinhỏnhấtchứa
A
.
Giaocủatấtcảcáctậplồiđóngchứa
A
đượcgọilàbaolồiđóngcủatập
A
,
vàkýhiệulà
co
A
.Dễthấyrằng
co
A
làtậplồiđóngnhỏnhấtchứa
A
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9
 2

Mộtđiểm
a
củatậplồi
A
gọilàđiểmtrongtươngđốinếuvớimọi


x A
đều
cómộtsố


0
saocho
 
  
( )
x a A
.
Tậphợpcácđiểmtrongtươngđốicủa
A
kýhiệulà
ri
A
.
Nhậnxét:
ri
A
làtậplồi,mọitậplồi
A
đềucó
 
ri
A
.
Mộtđiểmbiêncủatậplồi

A
làmộtđiểmcủabaođóngcủa
A
màkhôngphải
làđiểmtrongtươngđốicủa
A
.

1.1.4. Ví dụ . Cáctậpchosauđâylàcáctậplồithườnggặp.


1
Trongmặtphẳnghaytrongkhônggian3chiều,mọihìnhquenbiếtnhư
đoạnthẳng,hìnhtamgiác,hìnhchữnhật,khốilậpphương,hìnhtròn,hình
cầu…đềulànhữngtậplồi.


2
Mọitậpafin.


3
Hìnhcầu


   
( , ) :
n
B a r x a x r
.



4
Hìnhellipsoit
 


    
2
: ( )
T
n
E x x a M x a r
(
M
làmatrậnxác
địnhdương).


5
Cácnửakhônggianđóng



  : ,
n
x a x
;




  : ,
n
x a x
,
haycácnửakhônggianmở



  : ,
n
x a x
;



  : ,
n
x a x
,
trongđó

  
 
,  0, 
n
a a
.

1.1.5. Mệnh đề . Cho

A
là tập lồi. Khi đó


i

int
A
,
cl
A
là lồi;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10
 3




ii


cl cl(int )
A A
;



iii



int(cl ) int
A A
.

1.1.6. Nón lồi
Tập


n
A
 được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu

   
, 0
x A
 ta có


x A
.
A
đượcgọilànóncóđỉnhtại
0
x
nếu

0
( )
A x
lànóncóđỉnhtại0.

Nón
A
cóđỉnhtại0đượcgọilànónlồinếu
A
làmộttậplồi,cónghĩalà:
 
   
, , , 0
x y A
tacó
 
 
x y A
.
Véctơ


*
n
x
đượcgọilàvéctơpháptuyếncủatậplồi
A
tại
x
nếu:
 
*
, 0
x x x


 
x A
.
Tậptấtcảcácvéctơpháptuyếncủatậplồi
A
tại

x A
đượcgọilànónpháp
tuyếncủa
A
tại
x
.


     
* n *
( ; ) : : , 0,
N x A x x x x x A
.
Cho
A
làmộttậplồi.Véctơ

0
y
đượcgọilàmộtphươnglùixacủa
A


nếu


  
     

: 0 , ,x y A x A
.
Tậptấtcảcácphươnglùixacủamộttậplồi
A
cùngvớivéctơ0làmthành
mộtnónlồi.Nónlồiấygọilànónlùixacủatập
A
.

1.1.7. Ví dụ . Cáctậpsauđâylàcácnónlồigốctại
0
trong
n





i



  
  

1, ,
( ) : 0, 1,2,
n
n i
i n
(Orthantkhôngâm).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11
 4



ii



  
  
1, ,
( ) : 0, 1,2,
n
n i
i n
(Orthantdương).

1.2. Hàm lồi
Giảsử
X
làkhônggianlồiđịaphương,
S
làmộttậpconcủa

X
vàcho
mộthàmtùyý


   
: ,f X
làhàmsốxácđịnhtrên
X
.
Kíhiệu



dom( ) : ( )f x X f x
   
làmiềnhữuhiệucủa
f
.



epi( ) ( , ) : ( )
f x t X f x t
   

làtậptrênđồthịcủa
f
.




( ) : ( )L f x X f x


  
làtậpmứcdướicủahàm
f
.



( ) : ( ) 
C f x X f x


  
làtậpmứctrêncủahàm
f
.

1.2.1. Định nghĩa.
Cho
X
làkhônggianlồiđịaphương.Mộthàm


: ,f X
   


được
gọilàhàmlồi,nếuvớimọi
,
x y X

và


0,1


,tacó
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ).
f x y f x f y
   
    

Hàm
f
đượcgọilàhàmlõmnếuhàm
( )
f

làhàmlồi.
Hàm
f
gọilàchínhthườngnếu
dom( ) 
f
 

và
( ) ,
f x
 
vớimọi
x X

.

1.2.2. Ví dụ . Cáchàmsauđâylàcáchàmlồi


1
Xétkhônggian
n

.Lấy
n
a


cốđịnhvà
t


.Khiđóhàmafin



: ,

n
f
   
 
,xácđịnhbởi
( ) ,
f x a x t
 
,
n
x



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12
 5

làhàmlồi,trongđó
,
a x
làtíchvôhướngtrong
n

,đượcđịnhnghĩa:
1/2
2
1
,
n
i

i
a x x

 

 
 

,


1
, ,
n
a a a

,


1
, ,
n
x x x

.


2
Hàmchỉcủamộttậplồi
C


0 khi 
( ) 
khi 
C
x C
I x
x C





 



làmộthàmlồi.


3
Cho
*
X
 
.Vớimọi
x X

,hàm
( / )

S x

đượcxácđịnhnhưsau:


( / ) sup ( ) :S x x
 
   
,
đượcgọilàhàmgiávàlàhàmlồi.


4
Cho
X
làkhônggianđịnhchuẩnvà
A X

làtậplồi.Hàmkhoảngcách


dist( , ) inf :
x A x a a A
  

làhàmlồi.

1.2.3. Định nghĩa. Cho
S
làmộttậpconcủakhônggianlồiđịaphương

X

và


: ,f S
   

.Hàm
f
đượcgọilànửaliêntụcdướitạimộtđiểm
x S

nếu
lim inf ( ) ( )
y x
f y f x


.

1.2.4. Mệnh đề. Cho hàm


: ,f X
   

, các điều kiện sau là tương
đương:




i

Epi
của
f
là một tập đóng trong
X


.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13
 6




ii
Với mỗi



, tập mức dưới


( ) : ( )L f x X f x


  

là đóng.



iii

f
là hàm nửa liên tục dưới trên
X
.

1.2.5. Định nghĩa . Hàm


: ,f X
   

đượcgọilàLipschitzđịa
phươngtại
x
vớihằngsốLipschitz
K
nếutồntạimộtlâncận
U
của
x
sao
cho:
( ) ( ) ,
f x f y K x y

  
vớimọi
,
x y U

.
Hàm
f
 đượcgọi là Lipschitz địa phương trên
S
 nếu nó Lipschitz tại mọi
điểmthuộc
S
.

1.2.6 Định lí. Cho
f
là một hàm lồi chính thường trên
X
. Các khẳng định
sau là tương đương:



i

f
là liên tục tại mọi điểm;




ii

f
là bị chặn trên mọi tập mở;



iii



int epi( )f
 
;



iv



int dom( )f
 
và
f
là Lipschitz địa phương trên mọi tập
bị chặn chứa trong



int dom( )f
 
;

( )
v



int dom( )f
 
và
f
là liên tục trên


int dom( )f
 
.

1.2.7. Định nghĩa. Chomộthàmlồi


: ,f X
   

,
dom( )
C f


là
mộttậplồikhácrỗngvà
x C

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14
 7




i

x C

làđiểmcựctiểutoàncụccủahàm
f
nếuvớimọi
x C

tacó

( ) ( )
f x f x

vớimọi
x C

.




ii

x C

làđiểmcựctiểuđịaphươngcủahàm
f
nếucómộtlâncận
W
của

x C

saocho
( ) ( )
f x f x

vớimọi
W C
x
 
.

1.2.8. Mệnh đề. Mọi cực tiểu địa phương của một hàm lồi
: ,f X
 
  
 

trên một tập
dom( )
C f

khác rỗng đều là cực tiểu toàn cục.
ký hiệu argmin


( ):
f x x C

là tập các điểm cực tiểu của
( )
f x
trên
C
.

1.2.9. Định lí. Cho một hàm lồi


: ,f X
   

và cho một tập lồi
int(dom( ))
C f

. Khi đó ta có



argmin ( ): 0 ( ) ( ; )
x f x x C f x N x C
     
.

1.2.10. Hệ quả. Với
int
x C

là điểm cực tiểu khi và chỉ khi
0 ( )
f x
 
.

Cho
X
làmộtkhônggianlồiđịaphươngHausdorffvà
f
làhàmxác
địnhtrênkhônggian
X
.

1.3. Dưới vi phân
1.3.1. Định nghĩa. Cho
f
làhàmlồitừ
X

vào


,
  

,
,
x d X

.Đạo
hàmtheophương
d
củahàm
f
tại
x
,kýhiệulà
( ; )
f x d

,đượcđịnhnghĩalà
giớihạnsau:
0
( ) ( )
( ; )=lim
f x d f x
f x d





 

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15
 8

Giớihạnnàyluôntồntại,cóthểhữuhạnhoặcbằng
,
 
.

1.3.2. Định lí. Giả sử
f
là hàm lồi chính thường trên
X
. Khi đó, hàm
f
có
đạo hàm theo phương tại mọi điểm
dom( )
x f

và
0
( ) ( )
( ; )=inf
f x d f x
f x d





 

.

1.3.3. Mệnh đề. Cho
x C

xác định và
n
d


,
P
là một phép chiếu. Khi
đó
( )
0
( )
lim ( )
C
C
T x
t
P x td x
P d

t

 

.

1.3.4. Định nghĩa. Chohàmlồichínhthường


:f X
  

,véctơ
* *
x X

đượcgọilàdướigradientcủa
f
tạiđiểm
x
nếuthỏamãn

*
, ( ) ( )
x x x f x f x
  

x X
 
. 

Tậptấtcảcácdướigradientcủa
f
tại
x
đượcgọilàdướiviphâncủahàm
f

tại
x
vàđượckýhiệulà
( )
f x




* * *
( ) : , ( ) ( ), 
f x x X x x x f x f x x X
       
.
Hàm
f
đượcgọilàkhảdướiviphântại
x
nếu
( )
f x
  
.


Dướiđâylàmộtsốvídụvềdướiviphâncủanhữnghàmlồichúngtahaygặp.
1.3.5. Ví dụ


1
Dướiviphâncủahàm
( )
f x x

là


 
* * *
* * * *
: 1 khi 0
( )
: , , 1 khi 0
x X x x
f x
x X x x x x x

  

 

   




Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16
 9



2
Hàmafin
: 
n
f

 
,xácđịnhbởi
( ) ,f x c x

 
,với
, 
n
c x


,



códướiviphânvớimọi
n
x



và


( )
f x c
 
.

1.3.6. Định lí. Giả sử hàm
f
là hàm lồi chính thường trên
X
và
dom( )
x f

.
Khi đó:
* *
( ) ( ; ) , ,
x f x f x d x d d X

     
.

1.3.7. Định lí. Mọi hàm lồi chính thường
f
trên

X
có dưới vi phân khác
rỗng tại mỗi điểm
int(dom( ))
x f

.

1.3.8. Mệnh đề. Cho
f
là một hàm lồi, đóng, chính thường và
dom( )
S f


là một tập khác rỗng, đóng và bị chặn . Khi đó tập


( ) ( ) :
f S f x x S
    

là khác rỗng, đóng và bị chặn. Ký hiệu



    
* *
: sup : ( )x x f S
,

ta có
 ( ; ) 
f x z z



,
, 
x S z X
   
.

1.3.9. Mệnh đề. Cho
f
là một hàm lồi, chính thường. Cho
x
là một điểm sao
cho hàm
f
khả dưới vi phân nhưng
f
không đạt cực tiểu tại
x
, khi đó nón
pháp tuyến của


: ( ) ( )
C z f z f x
 

tại
x
là bao đóng của nón lồi sinh bởi
( )
f x

.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17
 10

1.3.10. Mệnh đề. Cho
f
là một hàm lồi chính thường và
x
là một điểm trong
tương đối của
dom( )
f
sao cho
( )
f x
không là cực tiểu của
f
. Một véc tơ
*
x

là véc tơ pháp tuyến của



: ( ) ( )
C z f z f x
 
tại điểm
x
nếu và chỉ nếu tồn
tại một số

không âm sao cho
*
( )
x f x

 
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18
 11

Chương 2
CẬN SAI SỐ ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC LỒI CÓ RÀNG BUỘC
VÀ KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC
Bàitoánxácđịnhcậnsaisốtoàncụccủamộthàmsốcóliênhệchặtchẽ
vớicácbàitoánkhác:bàitoántốiưuhóa,bàitoánbấtđẳngthứcbiếnphân,…
Vìlýdođómàbàitoáncậnsaisốđượcnhiềunhàtoánhọcquantâmnghiên
cứu.Trongchươngnàychúngtôinhắclạicáckháiniệmcơbảnvềcậnsaisố,
và trình bày bài toán cận sai số toàn cục cho bất đẳng thức lồi trong hai
trườnghợp,khôngcóràngbuộcvàcóràngbuộc.Cáccôngcụđượcsửdụng
làdướiviphânhàmlồivànónlồitronggiảitíchlồi.Nộidungtrìnhbàyởđây
đượclấychủyếutrongchương2củabàibáo


11
.

2.1. Khái niệm cận sai số
Cho



: ,
n
f
   
 
làmộthàmnửaliêntụcdưới.Địnhnghĩatập
lồiđóng
S
nhưsau



: : ( ) 0
n
S x f x
  

.


1

Tínhkhoảngcáchtừmộtđiểm
x
tớitập
S
làmộtcôngviệcphứctạp.Vìthế,
chúngtatìmcáchđánhgiákhoảngcáchtừmộtđiểmbấtkỳtrong
n


tớitập
S
thôngquamộthằngsốnhânvớimộthàmcóthểtínhđượcđolườngsựvi
phạmcủaràngbuộc
( ) 0
f x

.Nóicáchkhác,chúngtatìmđiềukiệncầnvà
đủchosựtồntạicủahằngsố
0


đểcóbấtđẳngthứcsau

dist( , ) ( )
x S f x



,vớimọi
n
x


(2)
Mộtbấtđẳngthức(2)đượcgọi là“cận sai số toàn cục”củatập
S
.Trong
trườnghợptổngquáthơnvới

n
C


làmộttậplồiđóngkhácrỗngvà
S
là
tậpđượccho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19
 12




: : ( ) 0
S x C f x
  
,(3)
chúngtasẽđitìmcậnsaisốtoàncụccódạng:

dist( , ) max( ( ) ,dist( , ))
x S f x x C



,vớimọi
n
x



.(4)
Cậnsaisốtoàncụccủahàmlồi
f
cóthểkhôngtồntại,vàsauđâylàmột
sốvídụminhhọa.

2.1.1. Ví dụ
Xéthàmlồiđóngchínhthường:
 
2
1
2
2
1 2 1 2
nêú 0
, 0 nêú 0
nêúkhác
x
x
x
f x x x x





  









Cho
( ) ( ) 1
f x f x
 

.Địnhnghĩa
2
1
1
2
k
k
x k
k
k
 
 
 
 
 
 

 
 
 

 
 
,
k
=1,2,….
Vớitập
S
đượcđịnhnghĩabởi(1)tacó

2
1
dist( , ) 1
4
k
x S k
k
 

Thậtvậy,đặt

2
1
,
1
2
k
u v k
k
k
 

 
 
 
 
 

 
 
 
 
 


,
k
=1,2,….
Nêntacó
k
x u v
 


.Tiếptheo,chúngtasẽxácđịnhtập
S
trongcáctrường
hợpsau
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20
 13





1
Với
1 2
0
x x
 
tacó
(0,0) 1
f
 
nên
(0,0)
S

.



2
Với
2
0
x

tacó
 
2 2
1 1 2

1 2
2 1
, 1
x x x
f x x
x x

  
,
dođónếu


1 2
, 0
f x x

thì
2
1 2
x x

.



3
Cáctrườnghợpkháckhôngthỏamãn.
Vậytập
S
đượcxácđịnh







2
1 2 1 2
, : , 0
S x x f x x
  







2 2
1 2 1 2
= , :
S w x x x x
  


.
Khiđótacó


w w

dist , inf inf
k k
S S
x S x w u v w
 
    
 
  



w
inf (w ) dist( , )
u S
v u v S v
 
    
 
  
 


2
1 1
1 
4
4
k k
k
k

   
.
Khoảngcáchnàydầntiếntới

khi
k
tiếntớivôcực.Tuynhiên,talạicó
2
2
( )
 ( ) 1 0
1
2
k
k k
f x
k k

  

,
nótiếndầntới0khi
k
 
.Suyra,khôngthểtồntạibấtkỳhằngsố
, 0
 


saochovớimọi

k

dist( , ) ( )
k k
x S f x



.
Vìvậykhôngthểcócậnsaisốđốivớihàmnày.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21
 14

Trongvídụtrênhàm
f
làkhôngđặtchỉnh(notwell-posed).Nhắclạirằng
mộthàmlồi


:
n
f
  
 
làđặtchỉnh(well-posed)nếumọidãydừng
củahàm
f
làdãycựctiểuhóa;điềunàycónghĩalà
[ lim 0, ( ), ] lim ( ) inf  ( )
n

k k k k
k k
x
a a f x k f x f x
 

     

.
Điềukiệnnàyrõràngkhôngđúngvớihàm
f

vàdãy


k
x
.

2.1.2. Ví dụ
Chohàmlồi
f
:

2 2
1 1 2
( ) :
f x x x x
  
,

2
1 2
( , )x x 

.
Khácvớihàm
f
trongvídụ2.1.1,hàmnàycógiátrịhữuhạn.Chúngtadễ
nhậnthấyrằngvớitập
S
đượcxácđịnhbởi(1)tacó


2
1 1
( , 0) : 0
S x x
  

.
Do đó
S
 có phần trong rỗng. Ta có dãy điểm


: ( ,1)
k
x k 
 có tính chất
dist( , ) 1

k
x S

vớimọi
k
nhưng

2
( ) ( ) 1 0
k k
f x f x k k

     
,khi
k
 
.
Vìvậykhôngthểcócậnsaisốđốivớihàmnày.

Tiếptheo,chúngtađitìmcậnsaisốtoàncụcchomộtbấtđẳngthứclồi
khôngcóràngbuộc.
2.2. Cận sai số đối với bất đẳng thức lồi không có ràng buộc
Trongmụcnàychúngtalàmviệcvớitập
S
xácđịnhbởi(1).Kếtquảsau
đâyđưarađiềukiệncầnvàđủchocậnsaisốtoàncục(2)đượcthỏamãn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22
 15

2.2.1. Định lí. Cho



:
n
f
  
 
là một hàm lồi đóng, chính thường
và


: ( ) 0
n
S x f x
  

. Với số
0


, các phát biểu sau là tương đương.
( )
a
Cận sai số toàn cục (2) thỏa mãn,
( )
b
Với mọi
1
(0)
x f



và
( ; )
d N x S

,

1
( ; )
f x d d




. (5)
( )
c
Với mọi
1
(0)
x f


và
( ;dom( )) ( ; )
d T x f N x S
 
thì (5) đúng.
Chứng minh.

( ) ( )
a b

: Giả sử rằng có cận sai sốtoàn cục (2) dược thỏa
mãn.Cho
1
(0)
x f


và
( ; )
d N x S

.Khiđóvớimọi
0


,
dist( , )
x d S d
 
 
.
Theo(2)chúngtacó
dist( , ) ( )
x d S f x d
  
  


( )
d f x d
  
  
.
Dođó
1
( ) ( )
f x d f x d
  

  
.
Chiacảhaivếcho
0


,nhớrằng
( ) 0
f x

,vàtínhgiớihạnkhi
0


tacó
1
0
( ) ( )
lim

f x d f x
d






 

.
Suyra
1
( ; )
f x d d




.
Vậyphátbiểu
( )
b
đãđượcchứngminh.
( ) ( )
b c

:Giảsửrằng
1
(0)

x f


và
( ;dom( )) ( ; )
d T x f N x S
 
nênta
cũngcó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23
 16

1
(0), ( ; )
x f d N x S

 
.
Ápdụngchứngminhcủaphầntrêntacóđiềuphảichứngminh.
( ) ( )
c a

:Cho
x S

xácđịnh.Khôngmấttínhtổngquátgiảsử
( )
f x
 
.

Xétphépchiếu:
minimize
1
( ) ( )
2
T
x u x u
 

với
u S

.
Kýhiệuđiểmchiếu
( )
S
x

của
x
là
x
,đâylàvéctơduy nhất
x S

thỏa
mãn
( ; )
x x N x S
 

. Do
dom( )
f
 là lồi nên
( ;dom( ))
x x T x f
 
. Tiếp
theo,chúngtasẽchỉra
( ( )) 0
S
f x


bằngphươngphápchứng minhphản
chứng. Giả sử ngược lại
( ( )) 0
S
f x


. Khi đó với
0


 đủ bé, véc tơ
( )
x x x

 

thuộc vào
S
vàkhoảng cáchtừ
( )
x x x

 
tới
x
làbé hơn
khoảngcáchtừ
( )
S
x

tới
x
;điềunàymâuthuẫnvớitínhchấtgầnnhấtcủa
điểm chiếu
( )
S
x

. Do đó điều giả sử
( ( )) 0
S
f x


 là không đúng nên

( ( )) 0
S
f x


.Từgiảthiết


c
,chúngtacó
1
( ( ); ( )) ( )
S S S
f x x x x x
   


  
.
Mặtkhác,chúngtacó
( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ); ( ))
S S S
f x f x f x f x f x x x
  


    
.
Trongđóbấtđẳngthứccóđượclàdotínhlồicủahàm
f

.Kếthợphaiđiều
trên,tađược
dist( , ) ( ) ,
x S f x



vớimọi
n
x


.
Dođóchúngtacócậnsaisốtoàncục(2)dướigiảthiết


c
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24
 17

Tiếptheo,chúngtôiđưaravàiđiềukiệncầnđểphátbiểu


c
củaĐịnhlí
2.2.1thỏamãn,vàdođótập



: ( ) 0
n
S x f x
  

cóđượccậnsaisốtoàn
cục.Vìmụcđíchnày,chúngtôichứngminhmộtbổđề.

2.2.2. Bổ đề. Cho


:
n
f
  
 
là một hàm lồi đóng, chính thường và


: ( ) 0
n
S x f x
  

. Cho
n
L


là một không gian con tuyến tính

song song với bao afin của
dom( )
f
. Giả sử tồn tại một véc tơ
ˆ
n
x


sao
cho
ˆ
( ) 0
f x

. Khi đó với mọi
1
(0) ri(dom( ))
x f f

 
ta có
( ; ) ( )
N x S L f x L

   

.
Do đó
( ; ) ( ;dom( )) ( )

N x S T x f f x

  

.
Chứng minh. Cho
1
(0) ri(dom( ))
x f f

 
.Đểđơngiảnhóakýhiệu,và
khôngmấttínhtổngquátgiảsửrằng
x
làđiểmgốctọađộ.Vớigiảthiếtnày,
khônggiancon
L
đồngnhấtvớibaoafincủa
dom( )
f
.Chúngtacó
n
L L

 

,
trongđó

làphéptoán tổng trựctiếpvà

L

làphầnbùtrựcgiaocủa
L
.
Địnhnghĩamộthàmmới
g
trên
L
làhạnchếcủahàm
f
trên
L
.Khiđó
g
là
hàmlồiđóngchínhthườngtrên
L
thỏamãnđiềukiệnSlater;hơnnữađiểm
gốc tọa độ là điểm trong của
dom( )
g L

. Theo mệnh đề 1.3.10 (Hệ quả
23.7.1trong


17
),trongkhônggian
L

tacóđẳngthứcsau
1
(0; ( , 0]) (0)
N g g


  
.
Đểchứngminhđẳngthức
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25