Độ nhạy của nghiệm hữu hiệu và điều kiện tối ưu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ HỒNG
ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM HỮU HIỆU
VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ HỒNG
ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM HỮU HIỆU
VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐỖ VĂN LƯU
Thái Nguyên - Năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Mở đầu 1
Nội dung 4
1 ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN
ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH 4
1.1 Bài toán nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Độ nhạy của đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Độ nhạy của diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 ĐỘ NHẠY VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NGHIỆM CỦA

BÀI TOÁN ĐA MỤC TIÊU PHI TUYẾN 19
2.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Điều kiện cần cấp 1 và cấp 2 cho nghiệm hữu hiệu . . . . . 22
2.3 Điều kiện đủ cấp hai cho nghiệm hữu hiệu . . . . . . . . . . 29
2.4 Phân tích độ nhạy của nghiệm hữu hiệu . . . . . . . . . . . 31
Kết luận 42
Tài liệu tham khảo 44
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mở đầu
Việc nghiên cứu sự phụ thuộc của nghiệm tối ưu của một bài toán tối
ưu đơn hoặc đa mục tiêu theo các tham số nhiễu đóng một vai trò quan
trọng trong lý thuyết tối ưu hóa. Ta gọi đó là các nghiên cứu về độ nhạy
(sensitivity) của nghiệm tối ưu. Các kết quả nghiên cứu theo hướng này
chỉ ra sự bảo toàn các tính chất nào đó của nghiệm tối ưu sau một nhiễu
nhỏ. Lí thuyết độ nhạy của nghiệm hữu hiệu có nhiều ứng dụng trong kinh
tế, vật lý, cơ học và một số ngành khoa học khác.
S. Bolitinéanu và B.D Craven [5] đã nghiên cứu độ nhạy của nghiệm
hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính trong trường hợp đa
diện chấp nhận được không suy biến. M. El Maghri [8] nghiên cứu độ nhạy
của nghiệm hữu hiệu của bài toán đa mục tiêu tuyến tính mà trong đó đa
diện chấp nhận được có thể suy biến. Tác giả thiết lập các điều kiện cần
và đủ cấp 2 cho đỉnh hữu hiệu và diện hữu hiệu của bài toán nhiễu.
S. Bolitinéanu và M. El Maghri [6] nghiên cứu các điều kiện đủ để
nghiệm hữu hiệu của bài toán nhiễu thuộc lớp C
1
theo tham số nhiễu. Ở
đây các tác giả nghiên cứu bài toán tối ưu đa mục tiêu phi tuyến khả vi
Fréchet, có các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức trong các không gian
Banach vô hạn chiều. Trong trường hợp hữu hạn chiều, các tác giả thiết

lập các điều kiện đủ để nghiệm hữu hiệu của bài toán nhiễu là Lipschitz
địa phương theo tham số nhiễu.
Luận văn trình bày các kết quả nghiên cứu về độ nhạy của đỉnh hữu
hiệu và diện hữu hiệu của bài toán đa mục tiêu tuyến tính nhiễu, độ nhạy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Fréchet và độ nhạy Lipschitz của nghiệm hữu hiệu của bài toán đa mục
tiêu phi tuyến với hàm các hàm khả vi Fréchet.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày các kết quả nghiên cứu của E. El Maghri [8] về
độ nhạy của nghiệm hữu hiệu của bài toán đa mục tiêu tuyến tính nhiễu.
Chú ý rằng các đỉnh của tập chấp nhận được có thể suy biến hoặc không
suy biến. Các điều kiện cần và đủ cấp 2 cho đỉnh hữu hiệu và diện hữu
hiệu của bài toán nhiễu được trình bày trong chương này.
Chương 2 trình bày các điều kiện cần và đủ cấp 1 và cấp 2 của S.
Bolitinéanu và E. El Maghri [6] cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu
đa mục tiêu phi tuyến với các hàm mục tiêu và ràng buộc khả vi Fréchet
trong không gian Banach cùng với các điều kiện đủ để nghiệm hữu hiệu
của bài toán nhiễu thuộc lớp C
1
theo tham số nhiễu. Trong trường hợp
hữu hạn chiều, các điều kiện đủ để nghiệm hữu hiệu của bài toán nhiễu
là Lipschitz địa phương theo tham số nhiễu cũng được trình bày trong
chương này.
Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Đỗ
Văn Lưu đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình làm luận
văn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc
trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến thầy.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng
Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên
đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành
viên trong lớp cao học toán K3b đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được
sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc.
Thái Nguyên, tháng 09 năm 2011.
Tác giả
Nguyễn Thị Hồng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Chương 1
ĐỘ NHẠY CỦA NGHIỆM HỮU
HIỆU CỦA BÀI TOÁN ĐA MỤC
TIÊU TUYẾN TÍNH
Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu của M. El Maghri [8] về
độ nhạy của nghiệm hữu hiệu của bài toán đa mục tiêu tuyến tính nhiễu.
Chú ý rằng các đỉnh của tập chấp nhận được có thể suy biến hoặc không
suy biến. Các điều kiện cần và đủ cấp hai cho đỉnh hữu hiệu dưới một
nhiễu nhỏ được trình bày cùng với các điều kiện cần và đủ cho diện hữu
hiệu nhiễu đi qua một đỉnh như vậy.
1.1 Bài toán nhiễu
Ta xét độ nhạy của bài toán đa mục tiêu tuyến tính nhiễu sau đây:
(P
p

) min C(p)x,
A(p)x = b(p),
x ≥ 0,
trong đó [C(.), A(.), b(.)] : N (0) → R
r×n
× R
m×n
× R
m
là các hàm của
tham số nhiễu p ∈ N (0), N (0) là lân cận của điểm gốc 0 ∈ R
q
. Ở đây ta
có thể giả thiết rằng bài toán không nhiễu tương ứng với p = 0. Đa diện
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
chấp nhận được của (P
p
) là
Γ(p) = {x ∈ R
n
: A(p)x = b(p), x ≥ 0}.
Với mỗi p, tập các nghiệm hữu hiệu (nghiệm Pareto) và tập các nghiệm
hữu hiệu yếu của (P
p
) tương ứng là
E
e
(p) = {x ∈ Γ(p) : x


∈ Γ(p), C(p)x

≤ C(p)x, C(p)x

= C(p)x},
và
E
w
(p) = {x ∈ Γ(p) : x

∈ Γ(p), C(p)x

< C(p)x}.
Để đơn giản cho việc trình bày, ta kí hiệu E
σ
(p) là tập điểm σ-hữu
hiệu phụ thuộc vào việc lựa chọn σ ∈ {w, e}.
Với p = 0, ta kí hiệu
(P
0
) := (P), Γ(0) := Γ, C(0) := C, A(0) := A, b(0) := b.
Với mỗi p, xét ánh xạ đa trị E(., p) : R
r
→ 2
Γ(p)
xác định với mọi
λ ∈ R
r
bởi
E(λ, p) = arg min

x∈Γ(p)
λ
T
C(p)x, (1.1)
trong đó λ
T
là chuyển vị của vectơ λ. Ta có kết quả vô hướng hóa sau đây
(xem [14]):
E
σ
(p) = E(Λ
σ
, p), (1.2)
trong đó
Λ
σ
=

R
r
+
\{0}, nếu σ = w,
intR
r
+
, nếu σ = e.
Tất cả các kết quả trình bày trong chương này đúng trong trường hợp
tổng quát hơn khi nón thứ tự R
r
+

được thay tương ứng bởi một tập con
đóng bất kỳ Q và một nón lồi nhọn có phần trong không rỗng. Quan hệ
thứ tự bộ phận được xác định tương ứng bởi
y

≤ y ⇔ y − y

∈ Q,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
và
y

< y ⇔ y − y

∈ intQ.
Trong trường hợp này R
r
+
được thay thế trong Λ
σ
bởi nón cực của Q
khi σ = w và bởi nón cực chặt của Q khi σ = e.
Giả thiết tổng quát
(i) C(.) là liên tục tại p = 0 và b(.) là lớp C
2
tại p = 0.
(ii) A có hạng đầy (tức là rank A=m) và m < n.
1.2 Độ nhạy của đỉnh
Giả sử v là một đỉnh của đa diện Γ. Như vậy rank A = m. Khi đó tồn

tại B ⊂ {1, . . . , n} sao cho (sắp xếp lại các hàng nếu cần):
v =

A
−1
B
b
0

(1.3)
trong đó A
−1
B
b ≥ 0, A
−1
B
là ma trận nghịch đảo của A
B
(rank A
B
= m)với
phân hoạch A = [A
B
A
N
] (sắp xếp lại các cột của A nếu cần) và N =
{1, . . . , n}\B. Cũng sắp xếp lại các biến, ta có thể viết:
Γ = {x =

x

B
x
N

∈ R
n
: x
B
+ A
−1
B
A
N
x
N
= A
−1
B
b, x ≥ 0}. (1.4)
Cùng cách phân hoạch ma trận A(p) = [A
B
(p)A
N
(p)]. Thế thì với mọi
p gần 0, do tính liên tục của ánh xạ A(.), ma trận A
B
(p) là khả nghịch,
và do đó
Γ(p) = {x =


x
B
x
N

∈ R
n
: x
B
+ A
−1
B
(p)A
N
(p)x
N
= A
−1
B
(p)b(p), x ≥ 0}.
(1.5)
Vì vậy ta có thể xác định nhiễu của v bởi
v(p) =

A
−1
B
(p)b(p)
0


(1.6)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Nhắc lại rằng nếu A
−1
B
b > 0 thì đỉnh v hoặc cơ sở B được gọi là không
suy biến, và trong trường hợp này, B là cơ sở duy nhất xác định v theo
(1.3). Ngược lại, v là đỉnh suy biến và nó có thể xác định bởi một số cơ sở
suy biến. Như vậy, giả sử
B(v) = {B ⊂ {1, . . . , n} : B xác định v}. (1.7)
Nhận xét 1.1
Khi v là không suy biến thì với mọi p gần 0, do tính liên tục, A
−1
B
(p)b(p) >
0. Khi đó theo (1.5), (1.6), v(p) là đỉnh của Γ(p) với mọi p gần 0. Do đó
nó là đỉnh nhiễu của v. Ta có thể thấy trong ví dụ sau đây khi v là suy
biến, v(p) được cho bởi (1.6) có thể không là điểm chấp nhận được với bất
kỳ B ∈ B(v) và p = 0.
Ví dụ 1.1
Với mỗi tham số nhiễu p ∈ R, ta xét bài toán
min x
1
,

x
1
− x
2

= p,
x
1
≥ 0, x
2
≥ 0.
Ta có v = (0, 0) là đỉnh suy biến của đa diện không nhiễu Γ(p = 0).
Nhưng với mọi p < 0, v(p) = (p, 0) cho bởi (1.6) với B = {1} là không
chấp nhận được, và với mọi p > 0, v(p) = (0, −p) với B = {2} cũng không
chấp nhận được.
Do đó, ta tìm một số điều kiện đảm bảo rằng với mọi p gần 0, v(p) là
đỉnh chấp nhận được của đa diện Γ(p). Ta xét các tập chỉ số:
D = {i ∈ B : (A
−1
B
b)
i
= 0}, (1.8)
và
D
c
= {i ∈ B : (A
−1
B
b)
i
> 0}. (1.9)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Sắp xếp lại phân hoạch các cột của A

B
và các hàng của A
−1
B
như sau:
A
B
= [A
D
A
D
c
], A
−1
B
=

(A
−1
B
)
D
(A
−1
B
)
D
c

.

Với mọi chỉ số i ∈ D, ta kí hiệu hàng thứ i của (A
−1
B
)
D
bởi A
−1
i
và với bất
kỳ chỉ số j, k ∈ {1, . . . , q},
∂
j
b :=
∂b
∂p
j
(0), ∂
2
kj
b :=
∂
2
b
∂p
j
∂p
k
(0),
∂
j

A
D
c
:=
∂A
D
c
∂p
j
(0), ∂
2
kj
A
D
c
:=
∂
2
A
D
c
∂p
j
∂p
k
(0).
Bổ đề sau đây trình bày điều kiện cần và đủ cấp 2 cho tính chấp nhận
được của v(p) với mọi p gần 0.
Bổ đề 1.1
Cho B ∈ B(v) và v(p) được xác định bởi (1.6).

1. Các điều kiện sau đây là các điều kiện cần để với mọi p gần 0, v(p) ∈
Γ(p):
(i) Với mọi i ∈ D, vectơ
J
(i)
= (A
−1
i
{∂
j
b − ∂
j
A
D
c
(A
−1
B
)
D
c
b})
j=1 q
= 0,
và
(ii) Với mọi i ∈ D, q × q− ma trận đối xứng thực
H
(i)
=


A
−1
i
{(∂
k
A
D
c
(A
−1
B
)
D
c
∂
j
A
D
c
+ ∂
j
A
D
c
A
D
c
∂
k
A

D
c
− ∂
2
kj
A
D
c
)
× (A
−1
B
)
D
c
b − (∂
k
A
D
c
(A
−1
B
)
D
c
+ ∂
j
A
D

c
A
D
c
)∂
k
b + ∂
2
kj
b}

(k,j)
là bán xác định dương.
2. Các điều kiện sau đây là các điều kiện đủ để với mọi p gần 0,
v(p) ∈ Γ(p):
(i)Với mọi i ∈ D , vec tơ J
(i)
= 0,
và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
(ii)Với mọi i ∈ D, ma trận H
(i)
là xác định dương.
Chứng minh
Tính chấp nhận được của v(p) theo (1.5), (1.6) tương đương với A
−1
B
(p)b(p) ≥
0. Điều này tương đương với

(A
−1
B
)
D
(p)b(p) = (A
−1
i
(p)b(p))
i∈D
≥ 0,
bởi vì theo (1.9) và tính liên tục (A
−1
B
)
D
c
(p)b(p) > 0 với mọi p gần 0. Kí
hiệu v
i
(p) = A
−1
i
(p)b(p) với mỗi i ∈ D. Sử dụng (1.8) ta suy ra v
i
(p) ≥ 0
tương đương với v
i
(p) ≥ v
i

(0) với mọi p gần 0. Điều đó có nghĩa là 0 ∈ R
q
là cực tiểu địa phương của mỗi hàm vô hướng p → v
i
(p) (∀i ∈ D.)
Do đó, Jacobian

∂v
i
∂p
j
(0)

j=1 q
= 0 (1.10)
và ma trận Hessian

∂
2
v
i
∂p
k
∂p
j
(0)

(k,i)={1, ,q}
2
(1.11)

bán xác định dương là các điều kiện cần. Điều kiện đủ là (1.10) đúng và
ma trận Hessian cho bởi (1.11) là xác định dương. Như vậy ta sẽ chỉ ra
rằng (1.10) và (1.11) tương ứng là J
(i)
và H
(i)
được cho trong bổ đề.
Từ A
−1
B
(p)A
B
(p) = I
m
, trong đó I
m
là m × m− ma trận đồng nhất.
Với mọi j ∈ {1, . . . , q}, ta có
∂A
−1
B
∂p
j
(p) = −A
−1
B
(p)
∂A
B
∂p

j
(p)A
−1
B
(p). (1.12)
Từ đó suy ra với mọi i ∈ D,
∂A
−1
i
∂p
j
(p) = −A
−1
i
(p)
∂A
B
∂p
j
(p)A
−1
B
(p). (1.13)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Sử dụng (1.13) và đạo hàm một tích, ta nhận được
∂v
i
∂p
j

(p) =
∂(A
−1
i
(p)b(p))
∂p
j
(p)
= A
−1
i
(p)

−
∂A
B
∂p
j
(p)A
−1
B
(p)b(p) +
∂b
∂p
j
(p)

.
(1.14)
Với p = 0, theo (1.8), (1.14) ta nhận được J

(i)
của bổ đề. Mặt khác, để
xác định các hệ số Hessian của v
i
tại 0, ta đánh giá đạo hàm riêng của
(1.14) bằng cách sau:
∂
2
v
i
∂p
k
∂p
j
(p) =
∂A
−1
i
∂p
k
(p)

−
∂A
B
∂p
j
(p)A
−1
B

(p)b(p) +
∂b
∂p
j
(p)

+ A
−1
i
(p)

−
∂
2
A
B
∂p
k
∂p
j
(p)A
−1
B
(p)b(p)
−
∂A
B
∂p
j
(p)

∂(A
−1
B
(p)b(p))
∂p
k
(p) +
∂
2
b
∂p
k
∂p
j
(p)

.
Sử dụng (1.10) và cách đánh giá (∂v
i
/∂p
j
)(0), ta nhận được
∂(A
−1
B
(p)b(p))
∂p
k
(0) = (A
−1

B
)
D
c

−
∂A
D
c
∂p
k
(0)(A
−1
B
)
D
c
b +
∂b
∂p
k
(0)

. (1.15)
Cuối cùng, bằng cách sử dụng (1.8), (1.15 ) để đánh giá (∂
2
v
i
/∂p
k

∂p
j
)(0)
ta nhận được H
(i)
. Bổ đề được chứng minh. 
Nhận xét 1.2
Nếu ta chỉ nhiễu vế phải của tập chấp nhận được, nghĩa là A(p) ≡ A(0)
không phụ thuộc vào p, thì với mọi i ∈ D:
J
(i)
= A
−1
i
∇b(0), và H
(i)
=
m

j=1
(A
−1
i
)
j
∇
2
b
j
(0),

trong đó (A
−1
i
)
j
(tương ứng b
j
) là thành phần thứ j của vectơ A
−1
i
(tương
ứng b) và ∇ là toán tử đạo hàm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Ví dụ sau đây cho thấy rằng ngay cả khi v là σ- hữu hiệu, thì v(p) vẫn
có thể không là σ- hữu hiệu với bất kỳ p = 0.
Ví dụ 1.2
Với mỗi tham số nhiễu p > 0, xét bài toán
min (x
2
− px
1
, x
2
− 2px
1
),

0 ≤ x
1

≤ 1,
0 ≤ x
2
≤ 1.
Trong ví dụ này, ta có Γ(p) ≡ Γ(0) = [0, 1]×[0, 1] và E
e
(0) = E
w
(0) =
đoạn thẳng đóng nối điểm gốc với điểm (1,0) trong R
2
. Mặt khác, với p > 0,
ta có E
e
(p) = E
w
(p) = {(1, 0)}. Đỉnh v(p) ≡ v(0) = (0, 0) là σ- hữu hiệu
với p = 0 và không là σ-hữu hiệu với mọi p > 0.
Vì vậy ta tìm các điều kiện đảm bảo rằng v là σ-hữu hiệu và bảo đảm
tính chất này với độ nhiễu nhỏ.
Ta phân hoạch ma trận C = [C
B
C
N
]. Do (1.4), (1.3) ta nhận được
∀x ∈ Γ, C
x
= C
B
x

B
+ C
N
x
N
=

C
N
x
N
+ C
v
, (1.16)
trong đó

C
N
là rút gọn của ma trận C theo N tức là

C
N
= C
N
− C
B
A
−1
B
A

N
. (1.17)
Ta cũng xét tập sau:
S(v) := {B ∈ B(v) : B thỏa mãn điều kiện đủ của bổ đề 1.1}. (1.18)
Định lý sau đây chỉ ra rằng trong hầu hết các trường hợp, đỉnh nhiễu
vẫn là σ-hữu hiệu ngay cả trong trường hợp suy biến.
Định lý 1.1
Cho v là đỉnh bất kỳ (suy biến hoặc không) của đa diện Γ
1. v là σ- hữu hiệu của (P) khi và chỉ khi :
∃λ ∈ Λ
σ
, ∃B ∈ B(v) : λ
T

C
N
≥ 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
2. Mỗi khẳng định sau đây là một điều kiện đủ để với mọi p gần 0, v(p)
cho bởi (1.6) theo cơ sở B, là đỉnh σ-hữu hiệu của (P
p
):
(i)
∃λ ∈ Λ
σ
, ∃B ∈ S(v) : λ
T

C

N
> 0,
hoặc
(ii) Ma trận A(p) ≡ A(0), C(p) ≡ C(0) không phụ thuộc vào p, (tức
là chỉ có nhiễu vế phải của tập chấp nhận được) và
∃λ ∈ Λ
σ
, ∃B ∈ B(v) : λ
T

C
N
≥ 0.
Chứng minh
1. Ta có thể tách chặt một đỉnh từ đa diện của nó:
∃d ∈ R
n
\ {0} : ∀x ∈ Γ \ {v}, d
T
v < d
T
x. (1.19)
Mặt khác, bởi vì v là σ-hữu hiệu của (P), theo (1.2) tồn tại λ ∈ Λ
σ
sao
cho v ∈ E(λ, 0), tức là ∀x ∈ Γ, λ
T
Cv ≤ λ
T
Cx. Từ (1.19) suy ra với mọi

k ∈ N
∗
, đỉnh v là nghiệm tối ưu duy nhất của mỗi bài toán nhiễu vô hướng
sau đây:
min
x∈Γ
c(k)x, (1.20)
trong đó c(k) := λ
T
C + (1/k)d
T
. Trong thuật toán đơn hình (xem [13])
với mỗi bài toán vô hướng (1.20), cần xác định cơ sở tối ưu cho nghiệm tối
ưu v duy nhất của (1.20). Vì vậy tiêu chuẩn tối ưu đơn hình sau đây đúng
∀k ∈ N
∗
, ∃B
k
∈ B(v) :

c
N
k
(k) ≥ 0, (1.21)
trong đó

c
N
k
(k) = c

N
k
(k) − C
B
k
(k)A
−1
B
k
A
N
k
là hàm mục tiêu rút gọn và
N
k
= {1, , n}\B
k
. Mặt khác, ta có

c
N
k
(k) = λ
T

C
N
k
+
1

k

d
T
N
k
, (1.22)
trong đó

d
T
N
k
= d
T
N
k
− d
T
B
k
A
−1
B
k
A
N
k
và


C
N
k
cho bởi (1.17). Nhưng dãy
(B
k
)
k
thuộc tập hữu hạn B(v) cho bởi (1.7). Do đó tồn tại dãy dừng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
(B
k
j
)
j
⊂ B(v), tức là
∃J ∈ N
∗
: ∀j ≥ J, B
k
j
= B
k
J
.
Đặt B = B
k
J
. Khi đó N = N

k
J
và theo (1.21), (1.22) ta có
∀j ≥ J, λ
T

C
N
+
1
k
j

d
T
N
≥ 0.
Cho j  +∞ ta nhận được điều kiện cần. Ta có ngay điều ngược lại.
Thật vậy, nếu λ
T

C
N
≥ 0 thế thì theo (1.4), (1.16) ta có
∀x ∈ Γ, λ
T
Cx = λ
T
(


C
N
x
N
+ Cv) ≥ λ
T
Cv,
có nghĩa là v ∈ E(λ, 0). Do đó theo (1.2) v là σ- hữu hiệu của (P).
2. Bây giờ giả thiết rằng tồn tại B ∈ S(v), trong đó S(v) được cho
bởi (1.18). Theo bổ đề 1.1, với mọi p gần 0, v(p) cho bởi (1.6) theo cơ sở
B, tức là B ∈ B(v(p)) là đỉnh của Γ(p). Giả sử rằng điều kiện (i) đúng và
xét ma trận sau:

C
N
(p) = C
N
(p) − C
B
(p)A
−1
B
(p)A
N
(p). (1.23)
Bởi vì p →

C
N
(p) liên tục tại p = 0, từ (i) suy ra với mọi p gần 0

λ
T

C
N
(p) > 0,
và do B ∈ B(v(p)), khẳng định 1 áp dụng cho bài toán (P
p
) ta suy ra v(p)
là σ- hữu hiệu của (P
p
) với mọi p gần 0. Bây giờ nếu ta giả sử điều kiện
(ii) đúng, thế thì ma trận

C
N
(p) ≡

C
N
. Do đó, λ
T

C
N
(p) ≥ 0 với mọi p.
Vì vậy, chứng minh giống như trên ta suy ra điều phải chứng minh. 
Nhận xét 1.3
Khi lấy λ = 1, dễ thấy rằng định lý 1.1 cũng áp dụng được cho bài
toán tuyến tính vô hướng (bài toán (P) với r = 1).

Nhận xét 1.4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Trong trường hợp không suy biến, ta có thể bỏ cụm từ ”∃B ∈ B(v)”
trong định lí 1.1 bởi vì bất kì đỉnh không suy biến nào cũng xác định bởi
cơ sở duy nhất B (tức là B(v) có một phần tử). Ta cũng có thể bỏ cụm
từ ”∃B ∈ S(v)” bởi vì do nhận xét 1.1, v(p) ∈ Γ(p) với mọi p gần 0.
1.3 Độ nhạy của diện
Cho F là một diện của đa diện đi qua một đỉnh của nó (suy biến hoặc
không suy biến), trong đó đỉnh v cho bởi (1.3). Ta biết rằng F có thể được
xác định bởi B ∈ B(v) và I ⊂ {1, , n} (nói chung I ⊂ N trừ khi v là
không suy biến) tức là
F = {x = (x
B
, x
N
) ∈ Γ : x
I
= 0} (1.24)
Nhiễu của F là diện sau đây của đa diện nhiễu Γ(p)
F (p) = {x ∈ Γ(p) : x
I
= 0} (1.25)
Cũng như trong phần trước, ta sẽ trình bày các điều kiện cần và đủ để
diện F (p) là σ- hữu hiệu (tức là F (p) ⊂ E
σ
(p)) với mọi p gần 0.
Định lý 1.2
Giả sử F là một diện đi qua đỉnh v (suy biến hoặc không) của đa diện
Γ.

1. F là σ- hữu hiệu của (P) nếu và chỉ nếu:
∃λ ∈ Λ
σ
, ∃B ∈ B(v), ∃I ⊂ N : λ
T

C
I
≥ 0, λ
T

C
N\I
= 0.
(

C
I
có các cột

C
i
(∀i ∈ I) và

C
N\I
có các cột khác của

C
N

).
2. Mỗi khẳng định sau đây là một điều kiện đủ để với mọi p gần 0,
F (p) cho bởi (1.25) là diện σ- hữu hiệu của (P
p
):
(i) Các cột của ma trận

C
N\I
sau đây là độc lập tuyến tính trong
R
r
, và
∃λ ∈ intΛ
σ
, ∃B ∈ S(v), ∃I ⊂ N : λ
T

C
I
> 0, λ
T

C
N\I
= 0,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
hoặc
(ii) Các ma trận A(p) ≡ A(0), C(p) ≡ C(0) là hằng số (tức là chỉ

có nhiễu vế phải của tập chấp nhận được), và
∃λ ∈ Λ
σ
, ∃B ∈ S(v), ∃I ⊂ N : λ
T

C
I
≥ 0, λ
T

C
N\I
= 0.
Chứng minh
Trước hết ta cần bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.2
Cho F là một diện của đa diện P ⊂ R
n
. Khi đó tồn tại d ∈ R
n
sao
cho:
∀x

∈ F, ∀x ∈ P \ F, d
T
x

< d

T
x.
Chứng minh
Ta biết rằng mỗi đa diện P ⊂ R
n
có thể viết dưới dạng:
P = {x ∈ R
n
: a
T
j
x ≤ b
j
, ∀j ∈ {1, . . . , l}},
và mỗi diện F của P có dạng:
F = {x ∈ R
n
: a
T
j
x = b
j
, ∀j ∈ J},
trong đó J ⊂ {1, . . . , l}. Đặt d = −

j∈J
a
j
. Lấy x ∈ P \ F , khi đó tồn
tại j


∈ J sao cho a
T
j

x < b
j

. Lấy x

∈ F, ta có ngay
d
T
x

= −b
j

−

j∈J\{j

}
b
j
< −a
T
j

−


j∈J\{j

}
a
T
j
x = d
T
x.
Bổ đề được chứng minh . 
Bây giờ ta chứng minh định lý 1.2.
1. Bởi vì F là diện σ- hữu hiệu của (P), tồn tại λ ∈ Λ
σ
sao cho
F ⊂ E(λ, 0) cho bởi (1.1) (xem [14]) và từ bổ đề 1.2, ta suy ra
∀k ∈ N
∗
, F = arg min
x∈Γ
c(k)x, (1.26)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
trong đó c(k) = λ
T
C + (1/k)d
T
, và d được cho bởi bổ đề 1.2. Do v ∈ F,
theo nhận xét 1.3 và khẳng định 1 của định lý 1.1 áp dụng với mỗi bài
toán vô hướng (1.26), ta nhận được:

∀k ∈ N
∗
, ∃B
k
∈ B(v) :

c
N
k
(k) ≥ 0. (1.27)
Do c(k)x =

c
N
k
(k)x
N
k
+ c(k)x, theo (1.26) rõ ràng
∀k ∈ N
∗
, F = {x = (x
B
k
, x
N
k
) ∈ Γ : x
I
k

= 0}, (1.28)
trong đó I
k
= {i ∈ N
k
:

c
i
(k) > 0}. Do đó, theo (1.27), N
k
\ I
k
= {i ∈
N
k
:

c
i
(k) = 0}. Nhưng dãy (B
k
)
k
nằm trong tập hữu hạn B(v) cho bởi
(1.7). Vì vậy tồn tại một dãy dừng (B
k
j
)
j

⊂ B(v), tức là
∃J ∈ N
∗
, ∀j ≥ J, B
k
j
= B
k
J
.
Đặt B = B
k
J
. Ta suy ra N = N
k
J
và vì thế ta có dãy (I
k
j
)
j
nằm trong
tập hữu hạn {I ⊂ N}. Bằng lý luận tương tự ta có thể thay I
k
j
bởi I với
mọi j đủ lớn. Do đó B ∈ B(v) và I ⊂ N. Hơn nữa, ∀j ≥ J,

c
I

(k
j
) = λ
T

C
I
+
1
k
j

d
T
I
> 0,
λ
T

c
N\I
(k
j
) = λ
T

C
N\I
+
1

k
j

d
T
N\I
= 0.
Cho j  +∞, ta nhận được λ
T

C
I
≥ 0 và λ
T

C
N\I
= 0 và điều kiện cần
được chứng minh.
Ngược lại, điều kiện Karush-Kuhn-Tucker cho bài toán vô hướng rút
gọn
min λ
T

C
N
x
N
,


A
−1
B
A
N
x
N
≤ A
−1
B
b,
x
N
≥ 0,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
là
λ
T

C
N
− µ
T
N
+ ν
T
B
A
−1

B
A
N
= 0,
∀i ∈ N, (µ
N
)
i
(x
N
)
i
= 0,
∀j ∈ B, (ν
B
)
j
(A
−1
B
A
N
x
N
− A
−1
B
b)
j
= 0,

µ
N
≥ 0, ν
B
≥ 0, x
N
≥ 0, A
−1
B
A
N
x
N
− A
−1
B
b ≤ 0.
Theo (1.4), (1.24 ) ta suy ra với mọi

x = (

x
B
,

x
N
) ∈ F , các điểm
x
N

=

x
N
, µ
N
= λ
T

C
N
và ν
B
= 0 thỏa mãn các điều kiện này. Do đó,

x
N
là nghiệm tối ưu của bài toán rút gọn. Do vậy, từ (1.1), (1.4), (1.16) ta suy
ra

x ∈ E(λ, 0). Như vậy, theo (1.2) ta có F ⊂ E
σ
(0), nghĩa là F là điểm
σ- hữu hiệu của (P).
2. Bởi vì B ∈ S(v) xác định trong (1.18), từ bổ đề 1.1 ta suy ra với
mọi p gần 0, v(p) xác định trong (1.6) theo cơ sở B, là một đỉnh của Γ(p).
Do đó, với mọi p gần 0, F (p) là một diện của Γ(p) đi qua đỉnh v(p). Giả
sử (i) đúng. Do tính liên tục của ánh xạ (λ, p) → (λ
T
)


C
N
(p), ta suy ra
với mỗi λ gần λ và mỗi p gần 0.
λ
T

C
I
(p) > 0. (1.29)
Bởi vì với p = 0, ma trận

C
N\I
(p) = [

C
i
(p)]
i∈N\I
có hạng cột đầy (sắp
xếp lại các hàng nếu cần) ta có thể viết

C
N\I
(p) =


C


N\I
(p)

C

N\I
(p)

, (1.30)
với

C

N\I
(0) là khả nghịch. Do tính liên tục ta suy ra với mọi p gần 0, ma
trận

C

N\I
(p) là khả nghịch. Nhưng λ
T

C
N\I
(0) = 0 và λ = 0 (do λ ∈ Λ
σ
).
Do vậy

λ
T
= [λ
T
λ
T
], λ
T
= −λ
T

C

N\I
(0)

C

N\I
(0)
−1
. (1.31)
Với mọi p gần 0, xét vectơ
λ
T
(p) = [−λ
T

C


N\I
(p)

C

N\I
(p)
−1
λ
T
]. (1.32)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Do tính liên tục của ánh xạ p → λ(p), ta suy ra λ(p) ∈ intΛ
σ
⊂ Λ
σ
với mọi p gần 0 bởi vì do (1.31), λ(0) = λ ∈ intΛ
σ
. Theo (1.29), (1.30),
(1.32) ta có
λ
T
(p)

C
I
(p) > 0,
λ
T

(p)

C
N\I
(p) = 0.
Như vậy với mọi p gần 0, khẳng định 1 áp dụng cho diện F (p) chỉ ra
rằng nó là σ- hữu hiệu của bài toán nhiễu (P
p
). Điều kiện đủ cho (ii) ta
có ngay bởi vì

C
N\I
(p) ≡

C
N\I
và

C
I
(p) ≡

C
I
kéo theo λ
T

C
N\I

(p) = 0 và
λ
T

C
I
(p) ≥ 0. Từ đó ta áp dụng khẳng định 1 tương tự như (i). Định lý
được chứng minh. 
Nhận xét 1.5
Khi lấy λ = 1, ta thấy rằng định lý 1.2 cũng áp dụng được cho bài
toán quy hoạch tuyến tính vô hướng (bài toán (P) với r = 1).
Nhận xét 1.6
Nếu σ = e thì Λ
σ
là tập mở trong R
r
vì vậy intΛ
σ
= Λ
σ
và ta có
thể bỏ "int" trong (i) của định lý 1.2. Cũng theo (1.31), (1.32), điều kiện
"λ ∈ intΛ
σ
" có trong (i) có thể yếu đi chỉ với "λ

∈ intΛ

σ
", trong đó Λ


σ
là hình chiếu của Λ
σ
trên trục λ

.
Nhận xét 1.7
Trường hợp riêng, diện F quy về đỉnh v, xảy ra khi và chỉ khi I = N.
Khi đó, ma trận

C
N\I
là rỗng và nó có hạng cột đầy. Hơn nữa, do nhận
xét trước, do λ

là rỗng, ta có thể bỏ "int" trong định lý 1.2.
Nhận xét 1.8
Trong trường hợp không suy biến, như nhận xét 1.4, chúng ta có thể
bỏ "∃B ∈ B(v)" và " ∃B ∈ S(v)" trong định lý 1.2. Ta cũng có thể bỏ
"∃I ⊂ N" do sự không suy biến của v ∈ F .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Chương 2
ĐỘ NHẠY VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI
ƯU CHO NGHIỆM CỦA BÀI
TOÁN ĐA MỤC TIÊU PHI
TUYẾN
Chương này trình bày các điều kiện cần và đủ cấp 1, cấp 2 cho nghiệm
hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu phi tuyến khả vi có ràng buộc,

và các điều kiện đủ cho độ nhạy Fréchet của nghiệm hữu hiệu của bài
toán nhiễu. Trong trường hợp hữu hạn chiều, chúng tôi trình bày điều
kiện đủ cho độ nhạy Lipschitz và sự tồn tại đạo hàm theo phương của
nghiệm hữu hiệu của bài toán nhiễu. Các kết quả trong chương này là của
S. Bolitinéanu và M. El Maghri [6]
2.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ
Xét các không gian Banach thực X, Y, Z. Không gian Y được trang bị
một nón lồi đóng, nhọn Q, tức là αQ + βQ ⊂ Q với mọi α, β ∈ [0, +∞)
và Q ∩ (−Q) = {0}. Nón Q xác định quan hệ thứ tự bộ phận
y 
Q
y

⇐⇒ y

− y ∈ Q.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Cho F, G, H là các ánh xạ khả vi cấp 2 theo nghĩa Fréchet
(F, G, H) : X → Y × Z × R
m
.
Ta xét bài toán tối ưu vectơ sau đây:
(V OP) min F(x),
G(x) = 0,
H(x) ∈ R
m
−
.
Tập chấp nhận được của (VOP) kí hiệu là:

S = {x ∈ X : G(x) = 0, H(x) ∈ R
m
−
}.
Ta xét ba loại nghiệm của bài toán (VOP). Điểm x
∗
∈ S là:
(i) Nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (VOP) khi và chỉ khi x ∈ S
sao cho F (x
∗
) − F (x) ∈ intQ, trong đó intQ là phần trong (tô pô) của Q;
(ii) Nghiệm hữu hiệu của (VOP) khi và chỉ khi x ∈ S sao cho :
F (x
∗
) − F (x) ∈ Q \ {0};
(iii) Nghiệm hữu hiệu chính thường của (VOP) (xem [4]) khi và chỉ
khi tồn tại một nón lồi đóng nhọn K với Q \ {0} ⊂ intK, sao cho x ∈
S để F(x
∗
) − F (x) ∈ K \ {0}.
Các tập điểm hữu hiệu chính thường, điểm hữu hiệu và điểm hữu hiệu
yếu được kí hiệu lần lượt là E
p
, E
e
, E
w
. Rõ ràng là
E
p

⊂ E
e
⊂ E
w
(2.1)
Để đơn giản cho việc trình bày, chúng ta sẽ kí hiệu E
σ
là tập điểm σ-
hữu hiệu phụ thuộc vào sự lựa chọn σ ∈ {p, e, w}.
Hàm Lagrange L : X × Y
∗
× Z
∗
× R
m
→ R của bài toán vectơ (VOP)
được cho bởi
L(x, λ, u, v) = λ, F(x) + u, G(x) +
m

i=1
v
i
h
i
(x),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
trong đó (λ, u, v) là các nhân tử Lagrange; Y
∗

và Z
∗
là các đối ngẫu tô pô
của Y và Z; λ, y là giá trị của λ ∈ Y
∗
tại y ∈ Y . Kí hiệu
(h
i
)
i=1, ,m
= H
Với x
∗
∈ S, ta kí hiệu tập chỉ số của các ràng buộc tích cực là
I(x
∗
) = {i ∈ {1, . . . , m} : h
i
(x
∗
) = 0}.
Nón cực và nón cực chặt là
Q
+
= {λ ∈ Y
∗
: λ, y ≥ 0, ∀y ∈ Q},
Q
0
+

= {λ ∈ Y
∗
: λ, y > 0, ∀y ∈ Q \ {0}}.
Với λ ∈ Y
∗
, ta xét bài toán vô hướng hóa của (VOP):
(P
λ
) minλ, F(x),
x ∈ S.
Tập nghiệm tối ưu của (P
λ
) là ánh xạ đa trị E : Y
∗
→ 2
S
, xác định với
mọi λ ∈ Y
∗
bởi
E(λ) := arg min
x∈S
λ, F(x).
Để đơn giản các ký hiệu, ta đặt:
Λ
σ
=

Q
+

\{0}, nếu σ = w,
Q
0
+
, nếu σ = p.
(2.2)
Nhắc lại kết quả vô hướng hóa sau (xem [12]):
E
σ
⊃

λ∈Λ
σ
E(λ). (2.3)
(2.3) trở thành đẳng thức nếu Y là phản xạ và (VOP) là lồi (tức là S là
tập lồi và F là Q-lồi:
∀x, x

∈ X và α ∈ [0, 1], αF (x)+(1−α)F (x

)−F(αx+(1−α)x

) ∈ Q).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Chú ý rằng trong trường hợp này ta giả thiết G là afin và h
i
(i = 1 . . . m)
là các hàm lồi.
Điểm x

∗
∈ S được gọi là σ- hữu hiệu địa phương của (VOP), σ ∈
{p, e, w}, khi và chỉ khi S được thay bởi S ∩ N (x
∗
) trong định nghĩa điểm
σ- hữu hiệu, trong đó N (x
∗
) là lân cận của x
∗
.
Nhận xét 2.1
Kết quả vô hướng hóa (2.3) cũng đúng cho điểm σ- hữu hiệu địa
phương, khi xét E(λ) là tập nghiệm tối ưu địa phương của (P
λ
).
Nhận xét 2.2
Theo nhận xét trên và các bao hàm thức (2.1)- (2.3), dễ dàng thấy
rằng với bài toán (VOP) lồi, mọi nghiệm σ- hữu hiệu địa phương là nghiệm
σ- hữu hiệu toàn cục.
2.2 Điều kiện cần cấp 1 và cấp 2 cho nghiệm hữu
hiệu
Trong phần này ta sẽ xét các trường hợp σ ∈ {e, w} và (VOP) có hữu
hạn hàm mục tiêu, tức là
Y = R
r
, Q = R
r
+
, F = (f
1

, . . . , f
r
).
với tập chỉ số I ⊂ {1, . . . , l} và V = (v
1
, . . . , v
l
), ta kí hiệu |I| là bản số
của I và V
I
= (v
i
)
i∈I
.
Với x
∗
∈ S, ta xét tập
K
σ
(x
∗
) = arg max
J∈J
σ
(x
∗
)
|J|,
trong đó :

J
σ
(x
∗
) =

{J ⊂ {1, . . . , r} : ∃x
J
∈ S, F
J
(x
∗
) − F
J
(x
J
) ∈ R
|J|
+
\ {0}}, nếu σ = e,
{J ⊂ {1, . . . , r} : ∃x
J
∈ S, F
J
(x
∗
) − F
J
(x
J

) ∈ intR
|J|
+
}, nếu σ = w.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên