Một số đặc trưng của đa tạp hyperbolic hầu phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————-
HOÀNG THIỆN CHÍ
MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG
CỦA ĐA TẠP HYPERBOLIC HẦU PHỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS PHẠM VIỆT
ĐỨC
THÁI NGUYÊN - NĂM 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Đa tạp hầu phức . . . . . . . . . 6
1.1.1. Cấu trúc phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Nhận xét. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. Cấu trúc hầu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5. Đa tạp hầu phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Không gian các dạng vi phân và ánh xạ đạo hàm . . . . . . 9
1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3. Định lý (Newlander - Nirenberg). . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4. Nhận xét. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức . 11
1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2. Bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3. Bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.5. Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.6. Hệ quả. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.7. Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.8. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.9. Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.10. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
1.3.11. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.12. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.13. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.14. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.15. Họ đồng liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.16. Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục. . . . . . . . . . . . . . 19
1.4. Giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức
20
1.4.1. Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.3. Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.4. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.5. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.6. Nhận xét. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Chương 2. Một số đặc trưng của đa tạp hyperbolic hầu
phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1. Tính hyperbolic của đa tạp hầu phức compact. . . . 22
2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2. Định lý Brody. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.3. Bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.4. Bổ đề tham số hoá của Brody. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.5. Bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Tính hyperbolic của đa tạp hầu phức . . . . . . 30
2.2.1. Bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2. Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.4. Hệ quả. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.5. Hệ quả. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.6. Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
2.3. Đặc trưng của tính chất ∆
∗
-thác triển đối với đa tạp hầu phức
34
2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.3. Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.4. Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.5. Bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.6. Nhận xét. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.7. Hệ quả. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.8. Nhận xét. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Mở đầu
Đa tạp hầu phức là tổng quát hoá một cách tự nhiên của đa tạp
phức. Nghiên cứu lớp đa tạp phức hay đa tạp hầu phức hiện nay đang

là vấn đề hấp dẫn trong lĩnh vực Giải tích phức.
Khái niệm về tính hyperbolic Kobayashi gần đây đã được mở rộng
trên đa tạp hầu phức bởi nhiều tác giả. Một trong những vấn đề chính
thu hút sự quan tâm của các tác giả là những đặc trưng về tính hyper-
bolic Kobayashi của đa tạp hầu phức.
Mục đích chính của luận văn này là khảo sát một số tiêu chuẩn cho
tính hyperbolic của đa tạp hầu phức. Đây là các tiêu chuẩn mới gần
đây được chứng minh bởi Haggui - Khalfallah [H-Kh] và Dabalme [D].
Luận văn gồm có hai chương.
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về đa tạp hầu phức,
không gian các dạng vi phân và ánh xạ đạo hàm, về giả khoảng cách
Kobayashi trên đa tạp hầu phức và giả metric vi phân Royden - Kobayashi
trên đa tạp hầu phức.
Chương 2 trình bày chi tiết một số tiêu chuẩn cho tính hyperbolic.
Trong chương này, trước tiên trình bày chứng minh định lý Brody, đây
là một đặc trưng cho tính hyperbolic của đa tạp hầu phức compact.
Tiếp theo luận văn đưa ra một số tiêu chuẩn cho tính hyperbolic của
đa tạp hầu phức. Cuối cùng luận văn trình bày mối liên hệ giữa tính
hyperbolic với tính chất ∆
∗
-thác triển trên đa tạp hầu phức compact.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Luận văn có đề ra một số hướng nghiên cứu phát triển để độc giả có
thể tham khảo.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo
của PGS.TS Phạm Việt Đức. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành
tới thầy của mình, người đã chỉ bảo và hướng dẫn tôi trong suốt thời
gian tôi học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy

cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán
học, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy động viên
tôi trong suốt thời gian học tập. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban
lãnh đạo Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm -
Đại học Thái Nguyên, Sở GD - ĐT Sơn La, những bạn bè đồng nghiệp
và đặc biệt là người thân trong gia đình đã động viên, ủng hộ tôi về
mọi mặt để tôi có thể hoàn thành khóa học của mình.
Trong quá trình làm luận văn chắc không thể tránh khỏi những sai
sót, rất mong độc giả đóng góp ý kiến. Tôi hy vọng rằng bản thân có
điều kiện tiếp tục đi sâu nghiên cứu những vấn đề đã được đặt ra trong
luận văn.
Thái nguyên, tháng 8 năm 2011
TÁC GIẢ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Đa tạp hầu phức
1.1.1. Cấu trúc phức
Giả sử V là R-không gian vectơ và J : V −→ V là R-đẳng cấu. J
được gọi là một cấu trúc phức trên V nếu
J
2
:= J ◦ J = −Id.
Giả sử J là cấu trúc phức trên R-không gian vectơ V , khi đó ta có thể
xây dựng V thành C-không gian vectơ bằng cách đặt
(α + iβ)v := αv + βJ(v) = αv + βJv.
Giả sử V là C-không gian vectơ có cơ sở là {v
1
, v

2
, , v
n
}. Xem V là
R-không gian vectơ V
R
, xét
J : V
R
−→ V
R
v −→ Jv = iv.
Khi đó J là cấu trúc phức trên V
R
và không gian phức mà nó cảm
sinh ra trùng với không gian vectơ phức V ban đầu.
1.1.2. Nhận xét
V
R
có R-cơ sở là {v
1
, v
2
, , v
n
, Jv
1
, Jv
2
, , Jv

n
}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
1.1.3. Ví dụ
a)
C
n
= {(z
1
, , z
n
) : z
j
= x
j
+ iy
j
∈ C}
∼
=
R
2n
= {(x
1
, y
1
, x
2
, y

2
, , x
n
, y
n
)} .
J : R
2n
→ R
2n
cho bởi:
J((x
1
, y
1
, , x
n
, y
n
)) = (−y
1
, x
1
, , −y
n
, x
n
).
Khi đó J là cấu trúc phức trên R
2n

.
b) Giả sử M là đa tạp phức m chiều. Khi đó nó cảm sinh ra M
0
là
đa tạp thực nhẵn 2m chiều.
Gọi T
x
(M
0
) là không gian tiếp xúc thực của M
0
tại x và gọi T
x
(M)
là không gian tiếp xúc phức của M tại x.
Giả sử (U, h) là một bản đồ địa phương của M quanh x.
Ta có
h : U −→ U

⊂ C
m
h = (h
1
, h
2
, , h
n
), cảm sinh ra

h : U −→ R

2m
cho bởi

h(x) = (Reh
1
(x), Imh
1
(x), , Reh
m
(x), Imh
m
(x)).
Ta có (U,

h) là một bản đồ địa phương của M
0
quanh x.
Gọi

∂
∂z
1




x
, ,
∂
∂z

n




x

là C-cơ sở của T
x
(M).
Nó cảm sinh ra

∂
∂x
j




x
,
∂
∂y
j




x


n
j=1
là R-cơ sở của T
x
(M
0
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Xét
J : T
x
(M
0
) −→ T
x
(M
0
)
cho bởi
v = α
1
.
∂
∂x
1





x
+ β
1
.
∂
∂y
1




x
+ + α
n
.
∂
∂x
n




x
+ β
n
.
∂
∂y
n





x
∈ T
x
(M
0
)
thì
J
v
= (−β
1
)
∂
∂x
1




x
+ α
1
∂
∂y
1





x
+ + (−β
n
)
∂
∂x
n




x
+ α
n
∂
∂y
n




x
.
Khi đó J là cấu trúc phức trên T
x
(M
0
).

1.1.4. Cấu trúc hầu phức
Giả sử M là đa tạp vi phân 2n chiều. Gọi π : T M → M là phân
thớ tiếp xúc thực.
Giả sử J : T(M) → T (M) là một tự đẳng cấu của T (M) liên kết
với ánh xạ đồng nhất trên M thỏa mãn
∀x ∈ M : J
x
= J




T
x
(M)
: T
x
(M) → T
x
(M)
là cấu trúc phức trên R-không gian vectơ T
x
(M).
Khi đó J được gọi là cấu trúc hầu phức trên M.
1.1.5. Đa tạp hầu phức
(M, J) được gọi là một đa tạp hầu phức nếu M là một đa tạp vi
phân chẵn 2n chiều được trang bị một cấu trúc hầu phức J.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
1.2. Không gian các dạng vi phân và ánh xạ đạo

hàm
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử M là đa tạp vi phân m chiều.
Đặt
T (M)
C
= T (M) ⊗
R
C.
Tương tự ta định nghĩa
T
∗
(M)
C
= T
∗
(M) ⊗
R
C.
Từ đó ta định nghĩa tích ngoài
ΛT
∗
(M)
C
và ε
r
(M)
C
= ε(M, Λ
r

T
∗
(M)
C
).
Gọi ε
r
(M) là không gian các dạng vi phân bậc r với giá trị phức.
Tức là với ϕ ∈ ε
r
(M), ta có
ϕ(x) =

|I|=r

ϕ
I
(x)dx
I
trong đó ϕ
I
là hàm giá trị phức và

1≤i
1
<i
2
< <i
k
≤m

=

|I|=r

.
Khi đó ta có dãy
ε
0
(M)
d
−→ ε
1
(M)
d
−→
d
−→ ε
m
(M) −→ 0 với d
2
= 0.
Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức, khi đó
J : T
x
(M)
C
→ T
x
(M)
C

là đẳng cấu trên phân thớ vectơ phức T (M)
C
. Ta đặt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
T
1,0
(M) là phân thớ ứng với giá trị riêng i của J.
T
0,1
(M) là phân thớ ứng với giá trị riêng −i của J.
Xét đẳng cấu liên hợp
Q : T (M)
C
−→ T(M)
C
được cho trên mỗi thớ bởi Q(v
x
) = iv
x
; v
x
∈ T
x
M
C
.
Khi đó Q cảm sinh ra đẳng cấu từ T
1,0
(M) tới T

0,1
(M).
Xét T
∗
(M)
1,0
và T
∗
(M)
0,1
lần lượt là các phân thớ đối hợp của
T
1,0
(M), T
0,1
(M). Ta có
T
∗
(M)
C
= T
∗
(M)
1,0
⊕ T
∗
(M)
0,1
và có nhúng tự nhiên
ΛT

∗
(M)
1,0
→ ΛT
∗
(M)
C
ΛT
∗
(M)
0,1
→ ΛT
∗
(M)
C
.
Đặt
ε
p,q
(M) = ε(M, Λ
p,q
T
∗
(M))
ε
r
(M) =

p+q=r
ε

p,q
(M).
Xét phép chiếu tự nhiên
π
p,q
: ε
r
(M) −→ ε
p,q
(M); (p + q = r).
Xét hạn chế d := d




ε
p,q
(M)
Ta có
d : ε
p,q
(M) −→ ε
p+q+1
(M) =

r+s=p+q+1
ε
r,s
(M).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11
Đặt ∂ : ε
p,q
(M) −→ ε
p+1,q
(M) cho bởi ∂ = π
p+1,q
◦ d.
Đặt ∂ : ε
p,q
(M) −→ ε
p,q+1
(M) cho bởi ∂ = π
p,q+1
◦ d.
Thác triển tuyến tính ∂, ∂ lên toàn
ε
∗
(M) =
dim M=m

r=0
ε
r
(M)
ta được
∂, ∂ : ε
r
(M) −→ ε
r+1

(M).
1.2.2. Định nghĩa
Cấu trúc hầu phức J được gọi là khả tích nếu
d = ∂ + ∂.
1.2.3. Định lý (Newlander - Nirenberg)
Giả sử (X, J) là đa tạp hầu phức. Giả sử J là khả tích thì tồn
tại duy nhất một cấu trúc đa tạp phức trên X sao cho nó cảm sinh
ra cấu trúc hầu phức J.
1.2.4. Nhận xét
Nếu (M, J) là đa tạp phức thì J là cấu trúc hầu phức khả tích.
1.3. Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu
phức
Ký hiệu J
0
là cấu trúc hầu phức chuẩn tắc trong R
2n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
1.3.1. Định nghĩa
+) Một ánh xạ trơn f : (M, J
M
) −→ (N, J
N
) giữa hai đa tạp hầu
phức được gọi là (J
M
, J
N
)-chỉnh hình nếu các đạo hàm của nó giao

hoán với cấu trúc hầu phức, tức là
f
∗
◦ J
M
= J
N
◦ f
∗
.
Ký hiệu
O((M, J
M
), (N, J
N
)) hay O
J
M
,J
N
(M, N)
là tập hợp tất cả các ánh xạ (J
M
, J
N
)-chỉnh hình từ M vào N.
Đặc biệt, nếu M là một miền trong C
n
với J
M

là J
0
trên R
2n
, thì tập
O((M, J
M
), (N, J
N
))
được ký hiệu đơn giản là
O(M, (N, J
N
))
và mỗi f ∈ O(M, (N, J
N
)) được gọi một cách đơn giản là J-chỉnh
hình.
+) Với mỗi r > 0 ta đặt ∆
r
= {z ∈ C : |z| < r} . Với r = 1 ta kí
hiệu ∆ = ∆
1
là đĩa đơn vị trong C.
Nếu (M, J
M
) = (

, J
0

) trong đó J
0
là cấu trúc phức chính tắc trên
diện Riemann

, thì ánh xạ (J
0
, J
N
)-chỉnh hình được gọi là đường
cong J-chỉnh hình hay đường cong giả chỉnh hình trên (N, J
N
).
Kí hiệu O
J
(

, N) là tập tất cả các đường cong J-chỉnh hình trên N.
1.3.2. Bổ đề
Cho (M, J) là một đa tạp hầu phức. Giả sử ∆ là đĩa đơn vị trong
C. Khi đó tập tất cả các ánh xạ J-chỉnh hình từ ∆ −→ M là đóng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
theo tôpô compact mở.
Chứng minh
Giả sử (f
n
)
n∈N
là một dãy các ánh xạ J chỉnh hình từ ∆ vào (M, J)

hội tụ đều trên mỗi tập compact của ∆ đến f. Chọn hai tập compact
K và K

của ∆ sao cho K là phần trong của K

. Theo chứng minh của
Sikorav [Sk, mệnh đề 2.3.6 (i), tr.171 ] cho thấy rằng nếu K

đủ nhỏ
thì
f
n

C
2
(K)
≤ Lf
n

L
∞
(K

)
.
Vì vậy, sự hội tụ đều của (f
n
)
n∈N
suy ra tính C

2
-hội tụ cho f, vì thế
f thỏa mãn các phương trình Cauchy-Riemann và là J-chỉnh hình.
Bổ đề được chứng minh.
1.3.3. Bổ đề
Giả sử (M, J) là một đa tạp hầu phức, J ∈ C
2
. Giả sử p và q
là hai điểm của M đủ gần nhau. Khi đó tồn tại một đường cong
J-chỉnh hình u : ∆ −→ M sao cho p và q nằm trong u(∆).
Chứng minh
Vì giả thiết là địa phương nên ta có thể giả thiết M = R
2n
.
Giả sử rằng J(0) = iId. Ta chọn một hình cầu B = B(0, r) ⊂ R
2n
đủ nhỏ để J(v) + i là khả nghịch.
Phương trình biểu diễn cho u để u là J-chỉnh hình như sau:
∂u
∂y
= J(u)
∂u
∂x
.
Sử dụng đồng nhất thức
∂u
∂y
=
i
2


∂u
∂z
−
∂u
∂z

;
∂u
∂x
=
1
2

∂u
∂z
+
∂u
∂z

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
ta có thể viết phương trình ở dạng sau
(i + J(u))
∂u
∂z
= (i − J(u))
∂u
∂z
.

Vì i + J(u) là khả nghịch, đẳng thức trên viết lại như sau
∂u
∂z
= q
J
(u)
∂u
∂z
trong đó q
J
: B −→ End
R
(R
2n
) được xác định bởi
q
J
(v) = [i + J(v)]
−1
[i − J(v)] .
Xét ánh xạ từ L
2,p
(∆, R
2n
) vào L
3,p
(∆, R
2n
), (p > 2) cho bởi
P : ϕ → P (ϕ)(z) =

1
2πi

∆
ϕ(ς)
ς − z
dς ∧ dς.
Từ công thức toán tử Green-Cauchy ta suy ra
∂
∂z
◦ P = Id.
Xét ánh xạ
Φ : [0, 1] × L
2,p
(∆, B) → L
2,p
(∆, R
2n
)
cho bởi
Φ : (ε, u) →

Id − Pq
J
(εu)
∂
∂z

u.
Ta có

∂Φ(ε, u)
∂z
=
∂u
∂z
− q
J
(εu)
∂u
∂z
.
Ta thấy rằng Φ thuộc lớp C
1
và Φ(ε, u) là chỉnh hình theo nghĩa
thông thường nếu và chỉ nếu εu là J-chỉnh hình. Kí hiệu Φ
ε
= Φ(ε, .).
Vì q
J
(0) = 0 nên Φ
0
= Id
L
2,p
(∆,B)
.
Vì thế ∃ε
0
> 0 sao cho ∀ε ∈ [0, ε
0

] , Φ
ε
là một vi phôi từ W vào V ,
ở đó W và V lần lượt là lân cận của 0 trong L
2,p
(B) và L
2,p
(R
2n
). Xét
ánh xạ từ ∆ vào R
2n
h
p,q
: z → p + 2z(q − p),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
trong đó (p, q) ∈ (R
2n
)
2
. Ký hiệu
u
ε,p,q
= Φ
−1
ε
h
p,q
.

Với chú ý rằng h
p,q
là chỉnh hình, εu
ε,p,q
là J-chỉnh hình, u
0,p,q
= h
p,q
.
Vì vậy ta có
u
0,p,q
(0) = p ,
u
0,p,q
(
1
2
) = q.
Xét ánh xạ từ [0, ε] × (R
2n
)
2
vào (R
2n
)
2
cho bởi
Ξ : (ε, p, q) →


u
ε,p,q
(0), u
ε,p,q

1
2

.
Ξ thuộc lớp C
1
và từ chú ý trên ta có Ξ(0, ., .) = Id
(R
2n
)
2
.
Do đó từ định lý hàm ẩn nếu ε đủ nhỏ, tồn tại các lân cận U và U

của 0 trong (R
2n
)
2
sao cho Ξ(ε, ., .) : U −→ U

là một vi phôi.
Cho p
0
, q
0

là hai điểm đủ gần 0 (tức là

p
0
ε
,
q
0
ε
∈ U


), thế thì tồn tại
(p, q) sao cho
εu
ε,p,q
(0) = p
0
và εu
ε,p,q

1
2

= q
0
.
Ta có thể làm cho εu
ε,p,q
là một đường cong J-chỉnh hình qua p

0
và q
0
.
Bổ đề được chứng minh.
Từ Bổ đề trên cho phép ta định nghĩa được giả khoảng cách Kobayashi
trên đa tạp hầu phức như sau:
1.3.4. Định nghĩa
Cho (M, J) là một đa tạp hầu phức, J ∈ C
2
và gọi ρ là khoảng cách
Bergman-Poincare trên ∆. Metric tương ứng là
ρ =
dz ⊗ dz
(1 − |z|
2
)
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Ta định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi k
J
M
trên (M, J) như sau:
Cho trước hai điểm p, q ∈ M. Một dây chuyền Kobayashi nối hai
điểm p, q trong M là một dãy các đường cong giả chỉnh hình
(f
k
: ∆ → (M, J))

1≤k≤m
và các điểm z
k
, w
k
∈ ∆ thoả mãn
f
1
(z
1
) = p;
f
k
(w
k
) = f
k+1
(z
k+1
);
f
m
(w
m
) = q.
Giả khoảng cách Kobayashi của (M, J) từ p tới q được định nghĩa bởi
k
J
M
(p, q) = inf

m

k=1
ρ(z
k
, w
k
),
trong đó infimum được lấy theo tất cả các dây chuyền Kobayashi nối p
với q.
Hàm số
k
J
M
: M × M → R
thỏa mãn các tiên đề của giả khoảng cách
k
J
M
(p, q) ≥ 0
k
J
M
(p, q) = k
J
M
(q, p)
k
J
M

(p, q) + k
J
M
(q, r) ≥ k
J
M
(p, r)
Tương tự như trong trường hợp phức , ta có tính chất giảm khoảng
cách qua ánh xạ giả chỉnh hình của k
J
M
:
1.3.5. Tính chất
Cho f : (M, J) −→ (N, J

) là một ánh xạ (J, J

)-chỉnh hình. Khi
đó ∀(p, q) ∈ M
2
ta có
k
J
M
(p, q) ≥ k
J

N
(f(p), f(q)).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
1.3.6. Hệ quả
k
C
≡ 0.
1.3.7. Mệnh đề
Giả khoảng cách Kobayashi k
J
M
là liên tục trên M × M.
1.3.8. Định nghĩa
Đa tạp hầu phức (M, J) được gọi là hyperbolic (Kobayashi) nếu k
J
M
thực sự là một khoảng cách.
Nếu đa tạp hầu phức hyperbolic (M, k
J
M
) là đầy theo nghĩa Cauchy
thì ta nói rằng (M, J) là hyperbolic đầy.
Tương tự như trong trường hợp phức ta có định lý Barth [Ba] sau:
1.3.9. Mệnh đề
Nếu M là đa tạp hầu phức hyperbolic thì k
J
M
cảm sinh tôpô tự
nhiên của M.
1.3.10. Định nghĩa
Giả sử (M, J
M

), (N, J
N
) là các đa tạp hầu phức. Giả sử
F ⊂ O((M, J
M
), (N, J
N
)).
i) Một dãy {f
i
}
i≥1
⊂ F được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi
tập compact K ⊂ M và với mỗi tập compact L ⊂ N, có một số dương
j
0
= j(K, L) sao cho
f
j
(K) ∩ L = ∅, ∀j ≥ j
0
.
ii) F là không phân kỳ compact nếu F không chứa dãy con phân
kỳ compact.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
1.3.11. Định nghĩa
Một đa tạp hầu phức (M, J) được gọi là taut nếu mọi dãy {f
n
}

n≥1
trong O(∆, (M, J)), hoặc tồn tại một dãy con phân kỳ compact hoặc
một dãy con hội tụ đều trên các tập con compact tới một ánh xạ J-chỉnh
hình
f : ∆ −→ (M, J).
1.3.12. Định lý
Mỗi đa tạp hầu phức taut M là hyperbolic.
1.3.13. Định nghĩa
Giả sử Ω là một miền trong C, (M, J) là một đa tạp hầu phức và
F ⊂ O(Ω, (M, J)).
Họ F được gọi là chuẩn tắc nếu
F  O(Ω, (M, J))
trong tôpô compact mở.
1.3.14. Định nghĩa
Hàm độ dài E trên đa tạp hầu phức (M, J) là một hàm liên tục
không âm, giá trị thực xác định trên phân thớ tiếp xúc TM thoả mãn
1) E(v) = 0 ⇔ v = 0
2) E(av) = |a| E(v), ∀a ∈ R, v ∈ T M.
Ký hiệu d
E
là hàm khoảng cách sinh ra trên M bởi E . Thế thì hàm
khoảng cách d
E
sinh ra tôpô tự nhiên của M (xem [La]).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
1.3.15. Họ đồng liên tục
Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là
một không gian metric đầy. Và C(X, Y ) là tập các ánh xạ liên tục từ
X vào Y với chuẩn sup.

Họ
F ⊂ C(X, Y )
được gọi là đồng liên tục tại một điểm x
0
∈ X nếu với mỗi ε > 0, tồn
tại δ > 0 sao cho với mọi
x ∈ X, d(x, x
0
) < δ
thì
d(f(x), f(x
0
)) < ε với mọi f ∈ F.
Họ F được gọi là đồng liên tục trên X nếu F là đồng liên tục tại
mọi điểm x ∈ X.
1.3.16. Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục
Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y
là một không gian metric đầy.
Giả sử F là tập con của tập các ánh xạ liên tục C(X, Y ).
Khi đó, F là compact tương đối trong C(X, Y ) nếu và chỉ nếu
hai điều kiện sau được thoả mãn
(i) F là họ đồng liên tục trên X.
(ii) Với mỗi x ∈ X, tập hợp
F
x
= {f(x) | f ∈ F}
là compact tương đối trong Y .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
1.4. Giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa

tạp hầu phức
Trước hết ta có kết quả sau:
1.4.1. Mệnh đề
Giả sử (M, J) là một đa tạp hầu phức. Với p ∈ M, tồn tại lân
cận V của 0 trong T
p
M sao cho ∀v ∈ V tồn tại f ∈ O(∆, M) thoả
mãn
f(0) = p, df(0)

∂
∂x

= v.
Từ đó ta có thể định nghĩa:
1.4.2. Định nghĩa
Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức. Giả sử p ∈ M, v ∈ T
p
M. Khi đó
ta định nghĩa:
K
(M,J)
(p, v) := inf {α > 0 | tồn tại đĩa J-chỉnh hình f : ∆ → M
thoả mãn f(0) = p, df(0)

∂
∂x

=
v

α

. (1)
K
(M,J)
được gọi là giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa
tạp hầu phức (M, J).
Với f ∈ O
(J

,J)
(M

, M) và ∀ϕ ∈ O
J
(∆, M

) ta có
f ◦ ϕ ∈ O
J
(∆, M).
Do đó ta có mệnh đề sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
1.4.3. Mệnh đề
Giả sử f : (M

, J

) → (M, J) là (J, J


)-chỉnh hình. Khi đó ∀p

∈
M

và v

∈ T
p

M

, ta có
K
(M,J)
(f

(p

), df(p

)(v

)) ≤ K
(M

,J

)

(p

, v

). (2)
1.4.4. Ví dụ
Nếu M ⊂ M

và J

là một cấu trúc hầu phức trên M

. Khi đó ta có
K
(M

,J

)
(p, v) ≤ K
(M,J

)
(p, v) với ∀p ∈ M, v ∈ T
p
M. (Do phép nhúng
M → M

là (J


, J)-chỉnh hình).
1.4.5. Định nghĩa
Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức, p, q ∈ M. Gọi Γ
p,q
là tập các
đường cong lớp C
1
γ : [0, 1] → M sao cho γ(0) = p, γ(1) = q.
Ta định nghĩa
d
K
(M,J)
(p, q) = inf
γ∈Γ
p,q
1

0
K
(M,J)
(γ(t), γ

(t))dt.
1.4.6. Nhận xét
+) Tương tự kết quả của Royden [Ro] trong trường hợp phức, trong
[Kr], Kruglikov đã chứng minh được K
(M,J)
là nửa liên tục trên trên
phân thớ tiếp xúc T M của M và ông đã chứng minh được
k

J
M
= d
K
(M,J)
.
+) Từ các tính chất của K
(M,J)
và nhận xét trên ta có thể nhận
lại được các tính chất của k
J
M
đã trình bày ở mục 1.3.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Chương 2
Một số đặc trưng của đa tạp
hyperbolic hầu phức
Mục tiêu của chương này là trình bày một số tiêu chuẩn cho tính
hyperbolic của đa tạp hầu phức. Trước tiên là một đặc trưng cho tính
hyperbolic của đa tạp hầu phức compact. Tiếp theo là một số tiêu
chuẩn cho tính hyperbolic của đa tạp hầu phức. Cuối cùng, ta chỉ ra
rằng một đa tạp hầu phức compact là hyperbolic nếu và chỉ nếu nó có
tính chất ∆-thác triển.
2.1. Tính hyperbolic của đa tạp hầu phức compact
Trong phần này ta sẽ trình bày định lý Brody về đặc trưng tính
hyperbolic của đa tạp hầu phức compact. Trước hết, ta nhắc lại định
nghĩa sau:
2.1.1. Định nghĩa
Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức. Một ánh xạ J-chỉnh hình từ C

vào (M, J) khác hằng được gọi là một J-đường thẳng phức.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
2.1.2. Định lý Brody
Giả sử M là một đa tạp hầu phức compact. Khi đó M là hyper-
bolic khi và chỉ khi M không chứa một J-đường thẳng phức.
Giả sử M là đa tạp hầu phức compact. Cố định metric Riemann |.|
nào đó trên M. Để chứng minh định lý Brody ta xét các bổ đề sau:
2.1.3. Bổ đề
Giả sử M là đa tạp hầu phức compact. Khi đó M là hyperbolic
nếu và chỉ nếu
sup



f

(0)


, f ∈ O(∆, (M, J))

< ∞,
trong đó
f

(z
0
) = f
∗

(z
0
)
∂
∂x
.
Chứng minh
*Điều kiện đủ
Ta có
f

(0) =




f
∗
(0)
∂
∂z




= |f
∗
(0)v| .
Ta sẽ ký hiệu nó là
|f

∗
(v)| .
Trong biểu diễn trên của v ∈ T
0
∆ thì ρ(v) = 1.
Thực vậy, tại 0 thì ρ là metric Euclid, vì vậy ρ(v) = 1, có nghĩa là
v = a
∂
∂x
với a là một phép quay.
Vì thế
sup {|f

(0)| , f ∈ O(∆, (M, J))} =
= sup {|f
∗
(v)| , f ∈ O(∆, (M, J)); v ∈ T
0
M, ρ(v) = 1} . (1)
Cho µ ∈ T
p
∆ và gọi ϕ
0,p
là một tự đẳng cấu bảo giác của ∆ biến 0
vào p.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
Tồn tại v ∈ T
0
M sao cho ϕ

∗
(v) = µ, vì vậy
f
∗
(µ) = (f ◦ ϕ)
∗
(v).
Ta có
sup {|f

(0)| , f ∈ O(∆, (M, J))} =
= sup {|f
∗
(v)| , f ∈ O(∆, (M, J)); v ∈ T M, ρ(v) = 1} .
Giả thiết rằng
sup



f

(0)


, f ∈ O(∆, (M, J))

= c < ∞.
Ta sẽ chứng minh rằng
k
J

M
(p, q).c ≥ |p, q| ,
trong đó |p, q| là khoảng cách từ p đến q trên đa tạp M.
Khi đó ta có thể kết luận rằng
k
J
M
(p, q) = 0 ⇔ p = q
(vì vậy, M là hyperbolic).
Thật vậy, ta có
|p, q| = inf


γ
|γ

(s)| ds; γ : [0, 1] → M, γ(0) = p, γ(1) = q

≤ inf


γ
|γ

(s)| ds; γ : [0, 1] → M, γ(0) = p, γ(1) = q ,
γ =
k

i=1
f

i
(δ
i
), f
i
∈ O(∆, (M, J)), δ
i
: [0, 1] → ∆

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên