Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (527.15 KB, 27 trang )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
§µO Anh tuÊn
NGHIỆM PHÂN HÌNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI HỆ
SỐ KHÁC HẰNG VÀ PHÂN TÍCH HỮU TỶ CỦA HÀM
PHÂN HÌNH PHỨC
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH Hà Huy Khoái
Thái Nguyên- Năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
LỜI NÓI ĐẦU
Trong những năm gần đây, lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna là
một trong những hướng nghiên cứu cơ bản của giải tích phức và vẫn đang thu
hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà toán học trên khắp thế giới. Sự
phân tích nghiệm phân hình cuả phương trình hàm là một trong những vấn đề
quan trọng của giải tích phức, có nhiều ứng dụng trong lý thuyết hệ động lực.
Mục đích của luận văn là trình bày cơ sở lý thuyết Nevanlinna và áp dụng
tìm nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và sự phân
tích hữu tỷ của hàm phân hình phức.
Sau quá trình nghiên cứu, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài: “ Nghiệm
phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ
của hàm phân hình phức”. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội
dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương I: Trình bày định nghĩa các hàm đặc trưng, hai định lý cơ bản
của Nevanlinna,
Chương II: Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng
và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình.
Ngoài kiến thức cơ sở, luận văn được trình bày dựa theo hai bài báo sau :
1/ P. Li and C C. Yang, Meromorphic solutions of functional
equations with nonconstant coefficients. Proc. Japan Acard., 82,
ser. A (2006).
2/ Alain Escassut and E. Mayerhofer, Rational Decomposition of
Complex Meromorphic Function. Complex Variables, Vol.49,
No. 14,15 November 2004, pp. 991-996
Kết quả này có được là nhờ sự hướng dẫn tận tình của GS. TSKH Hà Huy
Khoái. Thầy không chỉ tận tình hướng dẫn mà còn động viên tôi trong suốt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Nhân dịp này em xin gửi lời
cảm ơn sâu sắc tới thầy!
Đồng thời, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng bảo
vệ luận văn thạc sỹ đã tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin hơn trong việc
chuẩn bị bảo vệ luận văn của mình.
Xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm -
ĐHTN, Khoa Sau đại học của trường Đại học Sư phạm, khoa Toán cùng các
thầy cô giáo đã tạo điều kiện tốt nhất cho em học tập cũng như nghiên cứu và
hoàn thành luận văn của mình.
Xin cảm ơn các anh, chị, các bạn học viên lớp cao học Toán-K17 Đại học
Sư phạm Thái Nguyên đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cùng tôi trong suốt
thời gian viết luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên tôi trong
quá trình làm luận văn.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi
những thiếu sót, vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy, cô giáo,
các bạn đồng nghiệp, các bạn học viên để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
CHƢƠNG I
HAI ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA NEVANLINNA
1.1. Hàm phân hình
Định nghĩa 1.1. Điểm a được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm
()fz
nếu hàm
()fz
chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại chính
điểm đó.
Điểm bất thường cô lập
za
của hàm
()fz
được gọi là
a) điểm bất thường khử được nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của
()fz
khi z
dần đến a.
b) cực điểm của
()fz
nếu
lim ( )
za
fz
.
c) điểm bất thường cốt yếu nếu không tồn tại
lim ( )
za
fz
.
Hàm
()fz
chỉnh hình trong toàn mặt phẳng phức
được gọi là hàm
nguyên.
Như vậy, hàm nguyên là hàm không có các điểm bất thường hữu hạn.
Hàm
()fz
được gọi là hàm phân hình trong miền
D
nếu nó là hàm
chỉnh hình trong D, trừ ra tại một số điểm bất thường là cực điểm.
Nếu
D
thì ta nói
()fz
phân hình trên
, hay đơn giản,
()fz
là hàm
phân hình.
Nhận xét. Nếu
()fz
là hàm phân hình trên D thì trong lân cận của mỗi điểm
, ( )z D f z
có thể biểu diễn được dưới dạng thương của hai hàm chỉnh hình.
Với các phép toán cộng và nhân các hàm số thông thường trên lớp các
hàm nguyên và phân hình, tập hợp các hàm nguyên sẽ tạo thành một vành và
gọi là vành các hàm nguyên, kí hiệu là
()A
. Tập hợp các hàm phân hình
trên
sẽ tạo thành một trường và gọi là trường các hàm phân hình, kí hiệu
là
()M
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Định nghĩa 1.2. Điểm
0
z
gọi là cực điểm cấp m>0 của hàm
()fz
nếu trong
lân cận của
0
z
, thì hàm
0
1
( ) ( )
()
m
f z h z
zz
, trong đó
()hz
là hàm chỉnh
hình trong lân cận của
0
z
và
0
( ) 0hz
.
Tính chất 1.1. Nếu
()fz
là hàm phân hình trên D thì
()fz
cũng là hàm
phân hình trên D. Hàm
()fz
và
()fz
cũng có các cực điểm tại những điểm
như nhau. Đồng thời, nếu
0
z
là cực điểm cấp m>0 của hàm
()fz
thì
0
z
là
cực điểm cấp m+1 của hàm
()fz
.
Nhận xét. Hàm
()fz
không có quá đếm được các cực điểm trên D.
Tính chất 1.2. Cho hàm
()fz
chỉnh hình trong
, điều kiện cần và đủ để
()fz
không có các điểm bất thường khác ngoài cực điểm là
()fz
là hàm
hữu tỷ.
1.2. Công thức Poisson – Jensen
Định lý 1.1. Giả sử
()fz
là hàm phân hình trong hình tròn
zR
,
0 R
, có các không điểm
( 1,2, , )aM
; các cực điểm
( 1,2, , )bN
trong hình tròn đó (mỗi không điểm hoặc cực điểm được tính
một số lần bằng bội của nó).
Khi đó, nếu
;(0 ), ( ) 0,
i
z re r R f z
; ta có :
2
22
22
0
1
log ( ) log (Re )
2 2 ( )
i
Rr
f z f d
R Rrcos r
22
11
()
()
log log .
MN
R z a
R z b
R a z R b z
Hệ quả 1.1. Trong những giả thiết của Định lý, đồng thời nếu
0,fz
,
ta có :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
2
11
0
1
log (0) log (Re ) log
2
MN
i
a
b
f f d
RR
.
Khi
00f
hoặc
công thức trên thay đổi chút ít.
Thật vậy, nếu
00f
hoặc
0f
hàm
()fz
có khai triển tại lân cận
0z
dạng :
( )f z C z
.
Xét hàm
R f z
z
z
.
Ta thấy
0,
, đồng thời khi
Re ,
i
f
.
Từ đó ta có :
2
11
0
1
log log Re log log log
2
MN
i
v
v
a
b
C f d R
RR
.
Nhận xét. Giả sử
()fz
là hàm phân hình trong một miền G nào đó. Ta gọi
cấp của hàm
()fz
tại điểm
0
zG
, kí hiệu
0
z
ord f
, là số nguyên m sao cho
hàm
0
m
gz
fz
zz
chỉnh hình và khác không tại
0
z
.
Ví dụ 1.1.
(1)
0
z
là 0 điểm cấp k của
0
0
z
f z ord f k k
.
(2)
0
z
là cực điểm cấp k của
0
z
f z ord f k
.
(3) Tại
0
z
hàm
()fz
chỉnh hình, khác 0
0
0
z
ord f
.
Công thức Poison – Jensen có thể viết dưới dạng :
2
2
2
2
2
0
1 ( )
log log Re log
2
Re
i
i
Rz
Rz
f z f d ord f
Rz
z
,
trong đó tổng lấy theo mọi
trong hình tròn
R
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
1.3. Hàm đặc trƣng – Định lý cơ bản thứ nhất
Định nghĩa 1.3. Giả sử x là số thực dương, ta định nghĩa :
log max 0;logxx
.
Ta có :
1
log log logxx
x
,
vì x>1 :
log 0 log logx x x
11
log 0 log 0
xx
.
0 1:log 0 log 0x x x
1 1 1
log 0 log log logx
x x x
.
Như vậy, ta có
2 2 2
0 0 0
1 1 1 1
log Re log Re log
2 2 2
Re
ii
i
f d f d d
f
.
Đặt
2
0
1
, log Re
2
i
m R f f d
.
Giả sử f có các cực điểm
( 1, )bN
(mỗi cực điểm được tính một số lần
bằng bậc của nó), và các không điểm
( 1, )aM
trong
; ( , )z R n t f
là
số cực điểm của f trong
zt
.
Đặt
1
0
, log ( , )
R
N
R dt
N R f n t f
bt
.
Như vậy,
1
0
11
, log ,
R
M
R dt
N R n t
f f t
a
.
Khi đó công thức Poisson – Jensen viết dưới dạng :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
11
log 0 , , , ,f m R f m R N R f N R
ff
11
, , , , log 0m R f N R f m R N R f
ff
.
Đặt
, , ,T R f m R f N R f
, (1.1)
Thì
1
, , log 0T R f T R f
f
. (1.2)
,T R f
được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna của f.
Tính chất 1.3 (Tính chất hàm đặc trƣng). Giả sử
1
, ,
l
f z f z
là các hàm
phân hình, ta có các bất đẳng thức sau đây
(1)
11
, , log
ll
kk
kk
m r f z m r f l
.
(2)
1
1
,,
l
l
kk
k
k
m r f z m r f
.
(3)
11
,,
ll
kk
kk
N r f N r f
.
(4)
1
1
,,
l
l
kk
k
k
N r f N r f
.
(5)
11
, , log
ll
kk
kk
T r f T r f l
.
(6)
1
1
,,
l
l
kk
k
k
T r f T r f
.
Đặc biệt với mọi hàm phân hình
()fz
và với mọi
aC
ta có :
, , log log2T r f T r f a a
. (1.3)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Định lý 1.2. (Định lý cơ bản thứ nhất)
Giả sử
()fz
là hàm phân hình trong hình tròn
, 0,z R R
a là số
phức tuỳ ý. Khi đó ta có :
11
, , , log 0 ,m R N R T R f f a a R
f a f a
,
trong đó
, log log2a R a
.
Nhận xét.
Từ định nghĩa các hàm Nevanlinna ta thấy rõ ý nghĩa của Định lý cơ
bản thứ nhất. Hàm đếm
1
,NR
fa
được cho bởi công thức :
1
1
, log
M
R
NR
fa
a
,
trong đó
a
là các nghiệm của phương trình
f z a
trong hình tròn
zR
.
Hàm xấp xỉ
2
0
1 1 1
, log
2
e
i
m R d
fa
f R a
.
Như vậy, nếu f nhận càng nhiều giá trị gần a (tức là
e
i
f R a
nhỏ)
thì hàm m càng lớn. Như vậy có thể nói tổng trong vế trái của Định lý cơ bản
thứ nhất là hàm “đo độ lớn của tập hợp nghiệm phương trình
f z a
” và
“độ lớn tập hợp tại đó
fz
nhận giá trị gần bằng a”. Trong khi đó vế phải
của đẳng thức trong Định lý cơ bản thứ nhất có thể xem là không phụ thuộc a.
Vì thế Định lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng hàm phân hình
fz
nhận
mỗi giá trị a (và giá trị gần a) một số lần như nhau.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
1.4. Định lý 1.4. (Định lý cơ bản thứ hai)
Giả sử
r
là một số dương,
()fz
là hàm phân hình trong
;
12
, ,
q
a a a
là các số phức phân biệt. Khi đó ta có:
1
1
( 1) , ( , ) , ( ) ( )
q
v
v
q T r f N r a N r N r S r
,
hoặc
1
1
( 1) , ( , ) ( , ) ( )
q
v
v
q T r f N r f N r S r
fa
.
trong đó:
'
1
'
1
( ) , 2 , ,N r N r N r f N r f
f
.
( ) log( , log )S r T r f r
.
( , ) log
r
N r f
b
; tổng lấy theo mọi cực điểm b của hàm
1
fa
,
br
; đồng thời mỗi cực điểm chỉ được tính một lần.
1.5. Số khuyết
Định nghĩa 1.4. Giả sử
()fz
là hàm phân hình trong
,
a
Ta đặt:
( , ) ( , )
( ) ( , ) lim 1 lim
;;
m r a N r a
a a f
T r f T r f
.
với
( , ) log
r
N r f
b
; tổng lấy theo mọi cực điểm b của hàm
1
fa
,
br
;
đồng thời mỗi cực điểm chỉ được tính một lần.
( , )
( ) ( , ) 1 lim
;
N r a
a a f
T r f
.
( , ) ( , )
( ) ( , ) lim
;
N r a N r a
a a f
T r f
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
()a
được gọi là số khuyết của giá trị a.
()a
đươc gọi là chỉ số bội của giá trị a.
Định lý 1.5. (Quan hệ số khuyết)
Giả sử
()fz
là hàm phân hình trong
; khi đó tập hợp các giá trị a mà
( ) 0a
cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có:
{ ( ) ( )} ( ) 2
aa
a a a
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
CHƢƠNG II
NGHIỆM PHÂN HÌNH CỦA PHƢƠNG TRÌNH HÀM VỚI HỆ SỐ KHÁC
HẰNG VÀ PHÂN TÍCH HỮU TỶ CỦA HÀM PHÂN HÌNH
2.1. Nghiệm phân hình của phƣơng trình hàm với hệ số khác hằng
Định nghĩa 2.5.
+ Giả sử
()fz
là hàm phân hình khác hằng số trên
, ta định nghĩa
,S r f
là một đại lượng xác định thoả mãn
, ( ( , ))S r f o T r f
khi
r
có thể trừ đi một tập E của r có độ đo hữu hạn.
+ Giả sử a
j
là hàm phân hình khác không, nghiệm phân hình f của
phương trình hàm được gọi là nghiệm chấp nhận được nếu điều kiện
,,
j
T r a S r f
thoả mãn với mọi hệ số của phương trình.
+ Hàm phân hình
a a z
là một hàm nhỏ của f nếu
,,T r a S r f
khi
r
.
Định lý 2.7. Giả sử a
i
, b
i
(i=1,2) và c là các hàm phân hình không đồng nhất
không. Giả sử n,m (
2) là số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và n >
2m + 3 thì phương trình sau đây :
1 1 2 2
()
n n m n n m
f a f b c g a g b
. (2.1)
có cặp nghiệm (f,g) chấp nhận được, khi và chỉ khi c = b
1
/ b
2
và f = h.g,
trong đó h là hàm phân hình thoả mãn h
n
= c và h
m
= a
1
/ a
2
.
Chứng minh.
Để chứng minh Định lý 2.7 trước hết ta chứng minh bổ đề sau :
Bổ đề 2.1. Giả sử rằng f là hàm phân hình khác hằng và n,m là số nguyên
dương nguyên tố cùng nhau. Giả sử rằng
0, 0ab
là hàm nhỏ đối với f.
Nếu
n
m
fa
fb
là rút gọn được hoặc
( , , ) ( , )
nm
N r f a f b S r f
thì sẽ tồn tại
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
hàm nhỏ
đối với f thoả mãn
,
nm
ab
, trong đó
,,N r f a g b
là
kí hiệu hàm đếm thu gọn của tất cả không điểm chung của f-a và g-b.
Chứng minh.
Nếu
n
m
fa
fb
là rút gọn được, thì sẽ tồn tại hàm nhỏ
đối với f thoả mãn
( ) ( )
n
f a f P f
và
( ) ( )
m
f a f Q f
, trong đó P(f), Q(g) là những
đa thức của f có bậc n-1 và m-1 tương ứng.
Đặt
12
1 2 1 0
( )
nn
nn
P f c f c f c f c
.
trong đó các c
i
(i=0,…, n-1) là những hàm nhỏ của f. Bằng cách so sánh hệ số
của hai vế của phương trình
( ) ( )
n
f a f P f
thì ta có c
n-1
=1, c
j
=
n-1-j
,j=0,1,…,n-2 và a=
c
0
, do đó a=
n
. Hoàn toàn tương tự ta có b=
m
.
Giả sử rằng
( , , ) ( , )
nm
N r f a f b S r f
, đặt z là không điểm chung của
f
n
– a và f
m
– b, tức là
( ) ( ) ( ) ( ) 0
nm
f z a z f z b z
do đó z là không điểm
của a
m
– b
n
nghĩa là a
m
– b
n
0.
Do n,m là nguyên tố cùng nhau, nên tồn tại số nguyên s và t thoả mãn
sn+mt=1. Đặt
=a
s
b
t
khi đó ta có a=
n
và b=
m
.
Ta tiếp tục chứng minh Định lý 2.7
Từ (2.1) ta có T(r,f)=T(r,g)+S(r,f) , đặt S(r)=S(r,f)=S(r,g). Phương trình (2.1)
được viết lại dưới dạng f
1
+f
2
=cb
2
– b
1
. (2.2)
trong đó f
1
= f
n – m
(f
m
+a
1
), f
2
= - cg
n – m
(g
m
+a
2
).
Nếu cb
2
– b
1
0 thì theo Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna ta có :
1 1 1 2 1
( , ) ( , ) ( ,1/ ) ( ,1/ ) ( , )T r f N r f N r f N r f S r f
.
Khi đó : (2.3)
12
1 1 1 1
( , ) ( , ) , , , , ( )
mm
nT r f N r f N r N r N r N r S r
f f a g g a
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Suy ra
1
( , ) (2 3) ( , ) ( )nT r f m T r f S r
. (2.4)
mâu thuẫn với n > 2m + 3. Vậy c=b
1
/b
2
và do đó phương trình (2.1) trở thành
12
( ) ( )
m n n m
g h c a h ca
, (2.5)
trong đó h = f / g.
Nếu
n
hc
thì
12
()
nm
m
n
a h ca
g
hc
. (2.6)
Nếu hàm hữu tỷ h trong phương trình (2.6) là không rút gọn được thì theo
Bổ đề 2.1 ta có
21
( , , / ) ( )
n n m
N r h c h ca a S r
do đó „hầu hết‟ (trừ một số
hữu hạn không điểm của h
n
–c) có bội ít nhất m.
Phương trình (2.6) chỉ ra rằng
( , ) ( , ) ( )
n
T r g T r h S r
m
. Do đó c là hàm nhỏ
của h. Theo Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna ta có :
11
( , ) ( , ) , , ( )
n
nT r h N r h N r N r S r
h h c
11
2 ( , ) , ( )
n
T r h N r S r
m h c
2 ( , ) ( )
n
T r h S r
m
.
Dẫn tới n(m – 1)
2m , mâu thuẫn với điều kiện n > 2m + 3.
Nếu hàm hữu tỉ h ở phương trình (2.6) là rút gọn được thì sẽ tồn tại một hàm
nhỏ
đối với h thoả mãn c = a
n
và
2
1
nm
ca
a
.
Do đó phương trình (2.6) được viết lại dưới dạng :
11
1
1
1
nm
m
mn
ah
g
h
, (2.7)
trong đó h
1
= h/
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Do n,m là nguyên tố cùng nhau, phương trình z
n – m
– 1 =0 và z
n
– 1 =0 có
nghiệm phân biệt ngoại trừ z = 1.
Cho r
j
, j=1,…,2n–m–2 là tất cả các nghiệm của chúng. Khi đó với mỗi điểm r
j
của h
1
có bội ít nhất là m.
Do đó theo quan hệ số khuyết của h
1
ta có :
1
1 (2 2) 2nm
m
. (2.8)
tức là n
2
32
2( 1)
mm
m
mâu thuẫn với điều kiện n > 2m + 3.
Khi đó m
2 thì h
n
c.
Từ phương trình (2.5) suy ra
2
1
nm
ca
h
a
. Do đó h
m
= a
1
/a
2
.
Hệ quả 2.2. Cho số nguyên n và m với n > 2m + 3 (m
2) nguyên tố cùng
nhau, và hàm hữu tỉ a
1
, a
2
, a
3
và a
4
(
0), phương trình sau đây :
1 2 3 4
0
n n m n n m
f a f a g a g a
. (2.9)
không có nghiệm phân hình siêu việt f và g.
Định lý 2.8. Giả sử a
1
, a
2
, a
3
là hàm phân hình và a
1
0 hoặc a
3
0. Nếu bộ
ba số nguyên dương (n,m,k) thoả mãn k>1,m<n và n>k(m+2)/(k – 1) hoặc
n<k(m – 2) khi đó phương trình sau :
1 2 3
n n m k
f a f a g a
. (2.10)
không có cặp nghiệm phân hình (f,g) chấp nhận được.
Định lý 2.9. Giả sử a là hàm phân hình khác hằng, và P(z) là một đa thức
bậc n có dạng :
12
0 1 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
k
m
mm
k
P z c c z z z z z z
. (2.11)
trong đó c
0
, c
1
(c
0
c
1
0) và z
j
(j=1,…,k) (z
i
z
j
, với mọi i
j) là các số
phức, và n>2k+1. Khi đó tồn tại các hàm không phân hình f và g với a là các
hàm nhỏ của chúng, thoả mãn phương trình sau :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
P(f) = a P(g). (2.12)
Chú ý: Điều kiện n>2k+1 trong Định lý 2.9 là cần thiết.
Ví dụ 2.2.
Giả sử P(z)= - 1 + z
2
thì hàm
2
2
2
zz
z
e ae a
f
ae
;
2
2
2
zz
z
e e a
g
ea
thoả
mãn phương trình (2.12) đối với mọi hàm hữu tỉ khác hằng a.
Định lý 2.10. Giả sử trong phương trình (2.12) mà a(z) là hàm phân hình
khác hằng, P(z) là một đa thức có bậc n có dạng :
1
12
( ) ( ) ( )
n
P z z z z z
. (2.13)
trong đó z
1
và z
2
là những số phức phân biệt, khi đó mọi cặp nghiệm của
phương trình (2.12) được viết dưới dạng :
1
21
1
( ) ( )
n
n
z z h a h
fz
ah
;
1
21
1
( )( )
n
n
z z a h
gz
ah
.
trong đó h là hàm phân hình tuỳ ý sao cho a(z) là hàm nhỏ của h.
Nếu như hàm nhỏ a(z) trong phương trình (2.12) được thay thế bởi
ae
khi đó ta có định lý sau :
Định lý 2.11. Giả sử rằng a(z) là hàm phân hình khác hằng, P(z) là đa thức
có bậc là n
với công thức (2.11). Nếu k>1 và n>4k+2 thì với mọi hàm nguyên
thì
phương trình sau :
P(f) =
ae
P(g). (2.14)
không có cặp nghiệm phân hình f và g chấp nhận được thoả mãn a là một
hàm nhỏ đối với f và g.
Các Định lý 2.8, 2.9, 2.10, 2.11 nói về điều kiện để phương trình hàm
không có nghiệm phân hình chấp nhận được khác không , chứng minh chi tiết
của các định lý có thể xem ở [6].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
2.2. Sự phân tích hữu tỷ của hàm phân hình
Định nghĩa 2.6. Giả sử
/F A B x
với
,A B x
và
gcd , 1AB
(ước chung lớn nhất). Ta đặt
deg max deg ,degF A B
.
Cho
Px
. Ta biểu thị
P
là số các số không phân biệt của P.
Giả sử
/F A B
với
,A B x
và
gcd , 1AB
.
Ta đặt
min ,F A B
.
Giả sử
,
là những hàm từ
tới
. Nếu
thì tồn tại hàm
khác từ
tới
và tập hợp con H của
của độ đo Lơbe bằng không,
thoả mãn
,
lim / 0
r r H
rr
, và
r r r
. (ta gọi
là quan hệ
thứ tự).
Ta định nghĩa quan hệ thứ tự là quan hệ hầu khắp nơi trừ ra một tập có
độ đo Lơbe bằng không.
Nếu
thì tồn tại hàm
khác từ
tới
và tập hợp con H của
của độ đo Lơbe bằng không, thoả mãn
,
lim / 0
r r H
rr
, và
r r r
. (ta gọi
là quan hệ tương đương).
Định nghĩa 2.7. Cho E là một trường đóng đại số, ta đặt
/,F A B
/G C D E x
với
, , ,A B C D E x
,
gcd , gcd , 1A B C D
. Gọi
1
, ,
k
c c E
là các không điểm của
'
F
. Khi đó
,FG
được gọi là thoả mãn
điều kiện M đối với
1
, ,
k
c c E
nếu :
(1) C và D là monic (đa thức luỹ thừa có bậc cao nhất là 1).
(2)
,
jl
F c F c j l
.
(3)
deg degCD
, giả thiết
1, 1,
j
F c j k
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
(4) Với mọi
1,jk
ta có
j
G d F c
và
0Dd
với mỗi không
điểm d của
''
j
C F c D
.
Hơn nữa,
,FG
sẽ được gọi là thoả mãn điều kiện
'
M
đối với
1
, ,
k
c c E
nếu điều kiện (1-3) là thoả mãn, và điều kiện (4) được thay thế
bởi điều kiện (4
’
):
Điều kiện (4
’
), với mọi
1,jk
ta có
j
G d F c
và
0C d D d
với
mỗi không điểm d của
''
j
C F c D
.
Định lý 2.12. Giả sử
f
()M
, và
1
, ,
n
bb
. Khi đó :
1
1 , , ,
n
j
j
n T r f N r f b N r f
.
Chứng minh của Định lý 2.12 được trình bày ở [3], [5], [7].
Định lý 2.13. Giả sử
,F G x
thoả mãn điều kiện M đối với
1
, ,
k
cc
và
đặt
deg , degp F q G
. Giả sử tồn tại hai hàm
,fg
()A
, thoả mãn
F f G g
khi đó
kq p
.
Chứng minh.
Để chứng minh Định lý 2.13 trước hết ta chứng minh các bổ đề sau :
Bổ đề 2.2. Cho E là một trường đóng đại số,
/ , /F A B G C D x
, và
gcd , gcd , 1A B C D
, thoả mãn điều kiện M đối với
1
, ,
k
cc
, đặt
degqG
khi đó với mỗi
1,jk
ta có thể phân tích dạng :
j
s
j j j
F x F c x c R x
,
với
2, 0
j j j
s R c
, và :
,
1
q
j j l
l
G x F c D x x b
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
trong đó
,jl
b
và qk là những phần tử khác nhau.
Chứng minh của Bổ đề 2.2 được thể hiên ở trong [4] trong trường p-adic
với đặc số
0p
, trong trường đóng đại số.
Bổ đề 2.3. (Bổ đề cơ bản) Cho
Rx
và
f
()M
khi đó,
, deg ,T r R f R T r f
.
Chứng minh của Bổ đề 2.3 được trình bày ở [3], [5], [7].
Bổ đề 2.4. (Bổ đề cơ bản) Cho E là một trường , giả sử
/F A B x
, gọi
c là không điểm của F
’
thoả mãn
0Fc
khi đó c sẽ là không điểm của 1/F
’
, với cùng bội.
Chứng minh của Bổ đề 2.4 được trình bày ở [4].
Bổ đề 2.5. Cho E là một trường đóng đại số,
/ , /F A B G C D E x
và
gcd , gcd , 1A B C D
, thoả mãn điều kiện M
’
đối với
1
, ,
k
cc
. Khi đó
1/F,1/G cũng thoả mãn điều kiện M
’
đối với
1
, ,
k
cc
.
Chứng minh.
Theo Bổ đề 2.4,
1
, ,
k
cc
là các không điểm của 1/F
’
. Ta thấy điều kiện (1-
3) rõ ràng thoả mãn bởi 1/F,1/G. Do đó ta cần chỉ ra thoả mãn điều kiện (4
‟
).
Cho u là không điểm của
''
1/
j
D F c C
. Suy ra u là không điểm của
''
j
C F c D
, do đó điều kiện (4
‟
) thoả mãn bởi F,G.
Ta có
j
F c G u
, do đó
1/ 1/
j
F c G u
. Hơn nữa từ điều kiện (4
‟
) ta
có
0D u C u
đối xứng đối với C và D.
Bây giờ ta tiếp tục chứng minh Định lý 2.13
Ta giả sử
/ , /F A B G C D
, và
gcd , gcd , 1A B C D
, C và D monic.
Theo Bổ đề 2.2 với mỗi
1,jk
ta có thể phân tích dạng :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
j
F x F c
thành
j
s
jj
x c R x
, (2.1)
với
2, 0
j j j
s R c
, và tương tự ta có :
,
1
q
j j l
l
G x F c D x x b
. (2.2)
trong đó
,jl
b
và qk là những phần tử khác nhau.
Như vậy ta có :
,
1
1
j
q
s
j j j j l j
l
F f F c f c R f g b G g F c
Dg
. (2.3)
Theo Định lý 2.12 ta có :
,
11
1 , , ,
q
k
jl
jl
qk T r g N r g b N r g
. (2.4)
Theo biểu thức (2.2), với mỗi j cố định ta có :
,
1
,,
q
j j l
l
N r G g F c D g N r g b
. (2.5)
Bằng cách đặt g vào biểu thức (2.4) và biểu thức (2.5) ta có :
1
1 , , ,
k
j
j
qk T r g N r G g F c D g N r g
. (2.6)
Theo Bổ đề 2.3 ta có :
, / ,T r g p qT r f
.
Giả sử
/
j j j
R x A x B x
, suy ra
deg
jj
A p s
.
Áp dụng Bổ đề 2.3 ta có :
, , , , , ,
j j j
N r R f N r f N r A f N r f p s T r f N r f
(2.7)
Bây giờ ta giả sử giả thiết của Định lý 2.13 . Vì f,g là các hàm nguyên trên
một mặt, A,B không có không điểm chung trên một mặt, C,D cũng không có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
không điểm chung. Từ (2.3), với mỗi
1,jk
, bất kỳ không điểm của D(g) là
một cực điểm của F(f) của cùng bậc, do đó nó là một cực điểm của
j
Rf
của cùng một bậc.
Do đó :
,,
jj
N r R f D g N r R f
.
Suy ra, theo biểu thức (2.6) và biểu thức (2.7) với chú ý rằng f ,g là hàm
nguyên, ta có thể nhận được :
,,
j
s
j j j
N r G g F c D g N r f c R f D g
,,
, ( ) , .
jj
j
N r f c N r R f
T r f p s T r f
Cộng các đẳng thức theo j, theo biểu thức (2.6) ta có :
1
1 , , 1
k
j
j
qk T r g T r f k p S
.
Mặt khác theo Bổ đề 2.3 ta có :
, / ,T r f q pT r g
.
Do đó :
1
1 , , 1
k
j
j
qk pT r f qT r f kp s
.
Vì
,T r f
là không giới nội, ta có thể thấy được rằng :
1
11
k
j
j
qk p q kp s
.
Do đó :
1
1
k
j
j
sp
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Theo giả thiết
1
1
k
j
j
ks
nên suy ra
kq p
.
Định lý 2.14. Giả sử
/ , /F A B G C D x
với gcd(A,B)=gcd(C,D)=1,
C và D là monic, thoả mãn điều kiện M đối với
1
, ,
k
cc
, đặt
deg , degp F q G
. Giả sử tồn tại hai hàm
,fg
()M
, thoả mãn
F f G g
khi đó
1kq p k D
.
Chứng minh.
Bây giờ ta giả sử có giả thiết của Định lý 2.14. Ta có thể tìm thấy một hằng số
h
sao cho
0, 1,
j
F c h j k
.
Giả sử
,x F x h x G x h
do đó ta có :
fg
và
,
thoả mãn giả thiết của Định lý 2.14 , trong đó F , G được thay tương ứng.
Do đó ta có thể giả sử rằng
0, 1,
j
F c j k
mà không mất tính tổng quát,
ta có :
, , ,
jj
N r R f D g N r R f N r D g
.
Do đó, theo biểu thức (2.6) và biểu thức (2.7) ta có :
,,
j
s
j j j
N r G g F c D g N r f c R f D g
, , ,
jj
N r f c N r R f N r D g
. (2.8)
Giả sử,
tD
và
1
u
ut
là số các không điểm phân biệt của D.
Ta có :
1
, , ,
t
u
u
N r D g r g tT r g
.
Do đó, theo biểu thức (2.8) ta có :
, , , ,
jj
N r G g F c D g T r f p s T r f D T r g
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
1,
j
pD
p s T r f
q
.
Cộng các biểu thức theo j, theo biểu thức (2.6) ta có :
1
1 , , 1
k
j
j
qk T r g T r f k p S
.
Do đó :
1
1 , , 1
k
j
j
kp D
qk pT r f qT r f kp s
q
.
Do
,T r f
là không giới nội, nên ta có :
1
11
k
j
j
qk p q kp s kp D
.
Do đó :
1
11
k
j
j
qk q s p k D
.
Định lý 2.15. Giả sử
/ , /F A B G C D x
với gcd(A,B)=gcd(C,D)=1
và C và D là monic, thoả mãn điều kiện M
’
đối với
1
, ,
k
cc
, đặt
deg , degp F q G
. Giả sử tồn tại hai hàm
,fg
()M
, thoả mãn
F f G g
khi đó
1kq p k G
.
Chứng minh.
Bây giờ ta giả sử có giả thiết của Định lý 2.15. Do điều kiện M
’
, áp dụng Bổ
đề 2.5 ta có thể thay thế F , G bởi 1/F , 1/G tương ứng . Vì chúng cũng thoả
mãn điều kiện M
’
.
Do đó ta có
1qk p k C
, nên
1qk p k G
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
Nhận xét. Định lý 2.14 và 2.15 là tầm thường khi C và D có cùng bậc và
không có không điểm bội, và hay hơn nữa khi
min deg ,degCD
là nhỏ
hơn nhiều so với
max deg ,degCD
.
Ví dụ 2.3 Cho
22
22
1
sin , cos , ,
1
xx
f x x g x x F x G x
xx
. Khi
đó
2
cotF f G g x
, trong đó
,fg
()A
. Theo Định lý 2.13, ta có
q=p=2, do đó k phải ít nhất là 1. Thực sự điều này là đúng bởi vì
'
3
2
Fx
x
không có không điểm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
KẾT LUẬN
Luận văn trình bày cơ sở lý thuyết Nevanlinna và áp dụng để tìm
nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và sự phân tích
hữu tỷ của hàm phân hình phức. Cụ thể là :
+ Trình bày một số điều kiện để phương trình hàm không có nghiệm
phân hình khác không.
+ Trình bày lại một số lớp phương trình tồn tại nghiệm phân hình chấp
nhận được.
+ Trình bày một số điều kiện để hàm phân hình có phân tích duy nhất.
Những kết quả trên được trình bày theo các bài báo của P. Li and C C.
Yang, Eayerhofer – Escassut.
