Phương pháp điểm trong giải bài toán quy hoạch lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC KHOA HỌC








NGUYỄN VĂN HƯỞNG





PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG
GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI







LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Thái Nguyên, năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
R
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
R
n
R
n
[1], [2] [3]
a, b R
n
a b x R
n
x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ R
a, b
x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0; 1]
C ∈ R
n
C
C
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C

x x
1
, x
2
, , x
k
x =
k

j=1
λ
j
x
j
, λ
j
> 0, ∀j = 1, , k,
k

j=1
λ
j
= 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
D D
x, y ∈ D
∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ R =⇒ λx + (1 −λ)y ∈ D
C
C
∀x ∈ N, ∀λ

1
, , λ
k
> 0,
k

j=1
λ
j
= 1, ∀x
1
, , x
k
∈ C =⇒
k

j=1
λ
j
x
j
∈ C.
k = 2
k −1 k
x k x
1
, , x
k
∈ C
x =

k

j=1
λ
j
x
j
, λ
j
> 0 ∀j = 1, , k,
k

j=1
λ
j
= 1.
ξ =
k−1

j=1
λ
j
.
0 < ξ < 1
x =
k−1

j=1
λ
j

x
j
+ λ
k
x
k
= ξ
k−1

j=1
λ
j
ξ
x
j
+ λ
k
x
k
.
k−1

j=1
λ
j
ξ
= 1
λ
j
ξ

> 0 j = 1, , k −1
y :=
k−1

j=1
λ
j
ξ
x
j
∈ C.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x = ξy + λ
k
x
k
.
ξ > 0, λ
k
> 0
ξ + λ
k
=
k

j=1
λ
j
= 1,
y x

k
C x ∈ C
A, B R
n
C R
m
A ∩ B := {x|x ∈ A, x ∈ B}
αA + βB := {x|x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R}
A × C := {x ∈ R
n+m
|x = (a; c), a ∈ A, c ∈ C}
D = ∅ D = M + a
M R
n
a ∈ R
n
M
D
R
n
{x ∈ R
n
|a
T
x = α}
a ∈ R
n
{x|a
T
x ≥ α}

a = 0 α ∈ R
{x|a
T
x > α}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
S ⊂ R
n
S
k + 1
S
k
:= {x ∈ R
k
|x ≥ 0,
k

j=1
x
j
≤ 1}
R
k
D := {x ∈ R
n
|a
j
, x ≤ b
j
, j = 1, , m}
A m a

j
, j = 1, , m
b
T
= (b
1
, , b
m
)
D = {x ∈ R
n
|Ax ≤ b}
a, x = b
a, x ≤ b, −a, x ≤ b
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
D
D D coD
D D
a D
x ∈ D λ > 0 a + λ(x −a) ∈ D
D riD
D
∀λ > 0, ∀x ∈ D ⇒ λx ∈ D.
D ⊆ R
n
x
0
∈ D.
N
D

(x
0
) := {ω ∈ R
n
: ω, x − x
0
 ≤ 0, ∀x ∈ D.
D x
0
−N
D
(x
0
)
D x
0
N
ε
D
(x
0
) := {ω ∈ R
n
: ω, x − x
0
 ≤ ε, ∀x ∈ D.
ε D x
0
0 ∈ N
D

(x
0
) N
D
(x
0
)
C D
H := {x : v, x = λ}
C D
v, a ≤ λ ≤ v, b, ∀a ∈ C, b ∈ D.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
C D
v, a < λ < v, b, ∀a ∈ C, b ∈ D.
C D
sup
x∈A
v, x < λ < inf
y∈B
v, y.
C D
R
n
C ∩ D = ∅ C D
C D
R
n
C ∩ D = ∅
C D
a ∈ R

n
A m ×n
a, x ≥ 0, x Ax ≥ 0 y > 0
R
m
a = A
T
y
a, x = 0, Ax ≥ 0
a A
D = ∅ y
d
D
(y) := inf
x∈D
x − y.
d
D
(y) y D π ∈ D
d
D
(y) = y − π π y D
π = P
D
(y)
P
D
(y) y D
min
x∈D

{
1
2
x − y
2
: x ∈ D}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
y D
x −y
2
D D = ∅ d
D
(y)
0 ≤ d
D
(y) ≤ x − y, ∀x ∈ D
D
y ∈ R
n
, π ∈ D
π = P
D
(y)
y −π ∈ N
D
(π)
y ∈ R
n
P
D

(y) y D
P
D
(x) − P
D
(y) ≤ x − y, ∀x, y ∈ R
n
P
D
(x) − P
D
(y)
2
≤ P
D
(x) − P
D
(y), x − y, ∀x, y ∈ R
n
3x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 1
x
1
− 4x
2

− x
3
= 3 M = {x ∈ R
2
: 2x
1
− x
2
= 2} M
C ⊆ R
n
f : C −→ R
domf := {x ∈ C|f(x) < +∞}
domf f
epif := {(x, µ) ∈ C × R|f(x) ≤ µ}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f
f(x) = +∞ x ∈ C f
domf = {x ∈ R
n
|f(x) < +∞}
epif = {(x, µ) ∈ R
n
× R|f(x) ≤ µ}
λ = 0 λf(x) = 0 x
∅ = C ⊆ R
n
f : C −→ R f
C epif R
n+1

f : R
n
−→ R ∪{+∞}
f(λx + (1 −λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0; 1)
f : R
n
−→ R ∪{+∞} C
f(λx + (1 −λ)y) < λf(x) + (1 −λ)f(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0; 1)
f domf = ∅
f(x) > −∞ x f epif
R
n+1
f(x) := a
T
x + α a ∈ R
n
α ∈ R
f
α = 0
C = ∅
δ
C
(x) :=



0 x ∈ C
+∞ x ∈ C
δ
C

C C δ
C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
C
C
d
C
(x) := min
y∈C
||x − y||
x = (x
1
, x
2
, , x
n
)
f(x) := ||x||
1
:= max
i
|x
i
|
f : C −→ R C ∀x, y ∈
C, ∀α > f(x), ∀β > f(y), ∀λ ∈ [0; 1]
=⇒ f(λx + (1 −λ)y) ≤ λα + (1 − λ)β.
f x, y, α, β
α


∈ (f(x), α) β

∈ (f(y), β). (x, α

) (y, β

) epif
epif
((1 − λ)x + λy, (1 − λ)α

+ λβ

) ∈ epif.
f((1 −λ)x + λy) ≤ (1 − λ)α

+ λβ

≤ (1 − λ)α + λβ
(x, µ) (y, v) epif λ ∈ (0; 1)
∀ > 0
f(x) < µ + , f(y) < v + 
f((1 −λ)α

+ λβ

) < (1 − λ)(µ + ) + λ(v + ) = (1 − λ)µ + λv + 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
 > 0  −→ 0
f((1 −λ)α


+ λβ

) < (1 − λ)µ + λv
(1 − λ)(x, µ) + λ(y, v) ∈ epif
f
f R
n
f ≡ +∞ f(x) = −∞, ∀x ∈ ri(domf)
domf = ∅
x
0
f(x
0
) = −∞ x ∈ ri(domf)
y ∈ domf x = λy + (1 −λ)x
0
λ ∈ (0; 1) f f(y) < +∞
f(x) ≤ λf(y) + (1 − λ)f(x
0
) = −∞.
f R
n
L
f
(α) := {x|f(x) ≤ α}, l
f
(α) := {x|f(x) < α}.
α ∈
R.
α = +∞ −∞ x, y ∈

l
f
(α) f(x) < α, f(y) < α f
α ∈ (0; 1)
f(λx + (1 −λ)y) < λα + (1 − λ)α = α.
λx + (1 − λ)y ∈ l
f
(α)
L
f
(α) = ∩
µ>α
l
f
(µ),
f : R
n
−→ R
E x {x
k
} ⊂ E x
k
−→ x
lim inf f(x
k
) ≥ f(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f E x −f
E x x
k

⊂ E x
k
−→ x
lim sup f(x
k
) ≤ f(x).
f E x
E x
f g R
n
g f
epi g = epif f epif = epif f
f
f : R
n
−→ R ∪ {+∞}
f R
n+1
f = f
α
L
α
(f) := {x|f(x) ≤ α}
f R
n
→ x
j
→ x, f(x
j
) ≤ α (x

j
, α) ∈ epif
epif (x, α) ∈ epif x ∈ L
f
(α)
→ x
j
→ x lim inf f(x
j
) < f(x)
α < f(x) f(x
j
) ≤ α j x
j
∈ L
f
(α) j
x
j
→ x L
f
(α) x ∈ L
f
(α) f(x) < α
α < f(x)
→ (x
j
, µ
j
) ∈ epif (x

j
, µ
j
) → (x, µ). f(x
j
) ≤ µ
j
j lim inf f(x
j
) ≥ f(x) µ ≥ f(x)
(x, µ) ∈ epif epif
f R
n
f
x ∈ int(domf)
f domf int(domf)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n− S ⊂ int(domf). ν
1
, , ν
n+1
S x ∈ S
x =
n+1

j=1
λ
j
ν
j

, λ
j
≥ 0,
n+1

j=1
λ
j
= 1.
f
f(x) ≤ max{f(ν
j
)|j = 1, , n + 1}.
S f
x
0
∈ intS f
int(domf).
f R
n
D ⊆ domf
f D
D
x ∈ D
x = 0 {x
k
} ∈ D x = 0 G 2
n
−
n− n

{e
1
, , e
n
, −e
1
, , −e
n
},
e
i
i(i = 1, , n) x
k
→ 0
S ∈ G x
k
∈ S k
{x
k
} D
1
= D ∩ S D D
1
D
1
V
1
x
k
V

1
x
k
= (1 −

ν∈V
1
λ
k
(ν))0 +

ν∈V
1
λ
k
(ν)ν,
λ
k
(ν) ≥ 0

ν∈V
1
λ
k
(ν) ≤ 1 x
k
→ 0 λ
k
(ν) → 0
ν ∈ V

1
f
f(x
k
) ≤ (1 −

ν∈V
1
λ
k
(ν))f(0) +

ν∈V
1
λ
k
(ν)f(ν).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ν ∈ V
1
⊂ D ⊂ domf, f(ν) < ∞
k → +∞
lim sup
k→∞
f(x
k
) ≤ f(0).
f 0 ∈ D
D
D

f

(a) f(a) f a
f : D −→ R D
f D
f(x) + f(x), y − x ≤ f(y), ∀x, y ∈ D.
f f D ∀x ∈ A
H(x) f x
y
T
H(x)y ≥ 0, ∀x ∈ D, y ∈ R
n
.
f(x) =
1
2
x
T
Qx, Q
f : R
n
−→ R ∪{+∞} x
∗
∈ R
n
f x
x
∗
, z −x+ f(x) ≤ f(z), ∀z.
f x ∂f(x)

R
n
∂f(x) = ∅ f
x x
∗
∈ ∂f(x)
∂f(x)
∂f(x)
dom(∂f) := {x|∂f(x) = ∅}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(x) = x, x ∈ R
n
x = 0
∂f(0) = {x
∗
|x
∗
, x ≤ x, ∀x}.
f : R
n
−→ R ∪{+∞}
x
∗
∈ ∂f(x) f

(x, y) ≥ x
∗
, y, ∀y. x ∈ ri(domf),
f


(x, y) = sup
x
∗
∈∂f (x)
x
∗
, y, ∀y.
f R
n
x ∈ dom(∂f),
f(x) = f(x) ∂f(x) = ∂f(x).
x
∗
∈ ∂f(x) ⇐⇒ x
∗
, z −x+ f(x) ≤ f(z), ∀z.
y z = x + λy, λ > 0
x
∗
, λy + f(x) ≤ f(x + λy).
x
∗
, y ≤
f(x + λy) − f(x)
λ
, ∀λ > 0.
f

(x, y)
x

∗
, y ≤ f

(x, y), ∀y (1.1)
z y = z−x
λ = 1
f(x + y) − f(x) ≥ f

(x, y) = f

(x, z −x) ≥ x
∗
, z −x, ∀z.
x
∗
∈ ∂f(x)
f

(x, .)
f

(x, .) p, .. p, .
f

(x, .) R
n
p, y ≤ f

(x, y), ∀y.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

p ∈ ∂f(x) f

(x, .)
f

(x, y) = sup
p∈∂f (x)
p, y.
x ∈ dom(∂f) x
∗
∈ ∂f(x) f
x
∗
∈ ∂f(x)
f(x) ≥ f(x) = f
∗∗
(x) ≥ x
∗
, x − f
∗
(x
∗
) = f(x).
f(x) = f(x)
y
∗
∈ ∂f(x) z
f(z) ≥ f(z) ≥ f(x) + y
∗
, z −x = f(x) + y

∗
, z −x.
∂f(x) ⊆ ∂f(x)
z
0
∈ ri(domf) z
f(z) = lim
t0
f[(1 −t)z + tz
0
].
f[(1 −t)z + tz
0
] ≥ f(x) + x
∗
, (1 − t)z + tz
0
− x.
t  0
f(x) ≥ f(x) + x
∗
, z −x = f(x) + x
∗
, z −x.
x
∗
∈ ∂f(x).
f : R
n
−→ R ∪{+∞}

x ∈ domf ∂f(x) = ∅.
x ∈ int(domf) ∂f(x) = ∅ ∂f(x) =
∅ x ∈ ri(domf)
z ∈ domf f(z) < +∞ x ∈ domf
f(x) = +∞ x
∗
x
∗
, z −x+ f(x) ≤ f(z) < +∞.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
∂f(x) = ∅.
x ∈ int(domf) (x, f(x))
epif f
epif (x, f(x)) p ∈ R
n
, t ∈ R
p, x + tf(x) ≤ p, y + tµ, ∀(y, µ) ∈ epif. (1.2)
t = 0 t = 0
p, x ≤ p, y, ∀y ∈ domf.
x ∈ int(domf) p = 0 t = 0
t > 0 t < 0 µ → +∞
t > 0 µ = f(y) x
∗
= −
p
t
x
∗
, x + f(x) ≤ x
∗

, y + f(y), ∀y ∈ domf∀.
x
∗
, y −x + f(x) ≤ f(y), ∀y ∈ domf.
y ∈ domf f(y) = ∞
x
∗
, y −x + f(x) ≤ f(y), ∀y.
x
∗
∈ ∂f(x)
f x
epif (x, f(x))
f x ∈ ri(domf),
x ∈ ri(domf) f

(x, y) = max
x
∗
∈∂f (x)
x
∗
, y
f

(x, y) ∂f(x) = ∅
∂f(x)
x ∈ domf x
∗
∈ ∂f(x)

f

(x, d) ≥ x
∗
, d, ∀d. (1.3)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
e
i
i(i = 1, , n) R
n
e
i
d = e
i
i = 1, , n x
∗
i
≤ f

(x, e
i
). d = −e
i
i = 1, , k −x
∗
i
≤ f

(x, −e
i

). x
∗
i
≥ −f

(x, −e
i
).
−f

(x, −e
i
) ≤ x
∗
i
≤ f

(x, e
i
), ∀i = 1, , n.
x ∈ ri(domf) f

(x, y) y f

(x, −e
i
)
f

(x, e

i
) i = 1, , n ∂f(x)
∂f(x) x ∈
ri(domf) ∂f(x) x ∈ domf x ∈ ri(domf)
x domf domf
domf x p ∈ R
n
, p = 0
p
T
x ≥ p
T
z, ∀z ∈ domf.
x
∗
∈ ∂f(x)
f(z) − f(x) ≥ x
∗
, z −x ≥ x
∗
+ λp, z −x, ∀λ ≥ 0, ∀z.
x
∗
+ λp ∈ ∂f(x) λ ≥ 0
∂f(x) x ∈ ri (domf)
f R
n
C ⊂ ri(domf) ∪
x∈C
∂f(x)

f
f
∗
(x
∗
) + f(x) = x
∗
, x ⇐⇒ x
∗
∈ ∂f(x), x ∈ ∂f
∗
(x
∗
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
[1], [3] [5]
D ⊆ R
n
f : R
n
−→ R
min{f(x) : x ∈ D}. (P )
x
∗
∈ D f(x
∗
) ≤ f(x)
x ∈ D x
∗
∈ D

D f
(P )
D f D
D
D := {x ∈ X : g
j
(x) ≤ 0, h
i
(x) = 0, j = 1, , m, i = 1, , p}, (2.1)
∅ = X ⊆ R
n
g
j
, h
i
: R
n
−→ R(j = 1, , m, i = 1, , p)
D
x x
j
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
j f(x)
x
D
x
∗
∈ D
U x
∗

f(x
∗
) ≤ f(x), ∀x ∈ U ∩ D.
x
∗
f(x
∗
) ≤ f(x), ∀x ∈ D.
(P )
f (P )
D = ∅
f D inf
x∈D
f(x) = −∞
inf
x∈D
f(x) < ∞ D
x
∗
∈ D f(x
∗
) = min
x∈D
f(x)
F
+
(D) := {t ∈ R : f(x) ≤ t, x ∈ D},
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
∗

F
+
= [f(x
∗
), +∞]
F
+
(D) t
∗
= inf F
+
(D) t > −∞
F
+
(D) t
∗
∈ F
+
(D) x
∗
∈ D f(x
∗
) = t
∗
x
∗
f D
D f
D
α := inf

x∈D
f(x) {x
k
} ⊂ D
lim
k→+∞
f(x
k
) = α D
x
0
∈ D x
k
→ x
0
f
α > −∞ x
0
∈ D α
f(x
0
) ≥ α f(x
0
) = α
f D
f(x) −→ +∞ khi x ∈ D, x −→ +∞
f D
D(a) := {x ∈ D : f(x) ≤ f(a)} a ∈ D
D(a) f D(a)
f D

D f
D x
∗
0 ∈ ∂f(x
∗
) + N
D
(x
∗
), (2.2)
N
D
(x
∗
) D x
∗
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên