Hàm sinh và ứng dụng

Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />n k
n k
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số hóa bởi trung tâm học liệu />n
{1, 2, , n} N
|A| = n
B A C
A
(B)
B A
|A| = |B| + |C
A
(B)|.
n
C
1
, C
2
, , C
n
|C| = |C
1
| + + |C
n
|.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />(a, b) a ∈ A, b ∈ B
|A.B| = |A|.|B|
n
1
n
2
n

1
.n
2
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩B|
P (E) = {A|A ⊆ E}
|P (E)| = 2
|E|
n k
k n
E = {a
1
, a
2
, , a
n
} n k
k (a
i1
, , a
ik
)
k n A
k
n
A
k
n
= n(n − 1) (n −k + 1) =
n!
(n − k)!

Số hóa bởi trung tâm học liệu />n k
E = {a
1
, a
2
, , a
n
} n k
k {a
i1
, , a
ik
}
k
k n C
k
n
C
k
n
=
n(n − 1) (n −k + 1)
k!
=
n!
k!(n −k)!
.
E = {a
1
, a

2
, , a
n
}
n n n P
n
P
n
= n!
E = {a
1
, a
2
, , a
n
} n k
k (a
i1
, , a
ik
)
k n n
k
E = {a
1
, a
2
, , a
n
} n k

k {a
i1
, , a
ik
}
k
k n H
k
n
H
k
n
= C
k
n+k−1
.
E(r
1
, r
2
, , r
s
) n a
1
r
1
a
2
r
2

a
s
r
s
r
1
+ r
2
+ + r
s
= n
Số hóa bởi trung tâm học liệu />n
E(r
1
, r
2
, , r
s
)
n!
r
1
! r
s
!
C
k−1
n
+ C
k

n
= C
k
n+1
.
(x + y)
n
= C
0
n
x
n
+ C
1
n
x
n−1
y + + C
n
n
y
n
.
|A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B|)
n
n
Số hóa bởi trung tâm học liệu />k, n
x
1
+ x

2
+ + x
n
= k
S(n, k) S(1, k) = 1 S(n, k)
x
1
+ + x
n−1
= k −x
n
x
n
S(n −1, k −x
n
)
S(n, k) = S(n − 1, k) + S(n − 1, k −1) + + S(n −1, 0).
S(n, k)
(n, k −1)
S(n, k −1) = S(n − 1, k −1) + S(n − 1, k −2) + + S(n −1, 0).
S(n, k) −S(n, k −1) = S(n − 1, k)
S(n, k) = S(n, k −1) + S(n − 1, k).
S(n, k) = C
k
n+k−1
.
n
c
n
n

c
1
= 2, c
2
= 3.
a
n
a
n−1
a
n−2
a
2
a
1
a
n
= 1 a
n−1
= 0 a
n−2
a
2
a
1
n − 2 c
n−2
c
n−2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />a

n
= 1 a
n−1
a
2
a
1
n − 1 c
n−1
c
n−1
c
n−1
+ c
n−2
c
n
= c
n−1
+ c
n−2
.
C
13
52
C
9
48
C
9

48
C
5
44
13.C
9
48
− C
2
13
.C
5
44
+ C
3
13
C
1
40
P = (13.C
9
48
− C
2
13
C
5
44
+ C
3

13
C
1
40
)/C
13
52
= 0.0342.
A
1
, , A
n
|A
1
∪ ∪A
n
| =

|A
i
| −

|A
i
∪ A
j
| + + (−1)
n−1
|A
1

∩ ∩A
n
|.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />8!
A
i
(i, i)
|A
1
∪ ∪A
8
|.
|A
i
| = 7!, |A
i
∩ A
j
| = 6! |A
1
∩ ∩ A
8
| = 1
|A
1
∪ ∪A
8
| = C
1
8

.7!−C
2
8
.6!+C
3
8
.6!− −C
8
8
.1! = 8!−8!/2!+8!/3!− −8!/8!.
N(8) = 8!−(8!−8!/2!+8!/3!− −8!/8!) = 8!(1/2!−1/3!+ +1/8!) = 14833.
a
0
, a
1
, a
2
, , a
n
,
A(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
n

x
n
+
{a
n
}
{a
n
}
A(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
n
x
n
+
A(x) A(x)
x
n
a
n
.
(1 + x)
α

= 1 + αx + α(α − 1)
x
2
2!
+ + α(α −1) (α −n + 1)
x
n
n!
+
Số hóa bởi trung tâm học liệu />f
0
= 1, f
1
= 2, f
n+1
= f
n
+ f
n−1
.
F (x) = f
0
+ f
1
x + f
2
x
2
+ + f
n

x
n
+
= f
0
+ f
1
x + (f
0
+ f
1
)x
2
+ + (f
n−1
+ f
n−2
)x
n
+
= f
0
+ f
1
x + x
2
(f
0
+ f
1

x + ) + x(f
1
x + )
= f
0
+ f
1
x + x
2
F (x) + x(F (x) −f
0
).
F (x) =
1 + x
1 − x −x
2
F (x)
F (x) =
1 + x
(1 − αx)(1 −βx)
α, β x
2
− x − 1 = 0.
A, B
F (x) =
A
(1 − αx)
+
B
(1 − βx)

.
1
1 − x
= 1 + x + x
2
+ + x
n
+
F (x) = A + B + (Aα + Bβ)x + + (Aα
n
+ Bβ
n
)x
n
+
f
n
= Aα
n
+ Bβ
n
.
α, β x
2
− x − 1 = 0 A, B
a
0
= 1, a
n
a

0
+ a
n−1
a
1
+ + a
0
a
n
= 1.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />A(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
n
x
n
+
A(x).A(x) = a
2
0
+ (a
0
a
1

+ a
1
a
0
)x + + (a
n
a
0
+ a
n−1
a
1
+ + a
0
a
n
)x
n
+
= 1 + x + x
2
+ + x
n
= (1 − x)
−1
.
A(x) = (1 − x)
−1/2
= 1 + (
1

2
)x + (
1
2
)(
3
2
)
x
2
2
+ + (
1
2
)(
3
2
) (
n − 1
2
)
x
n
n!
+
a
n
=
(2n − 1)!
2

n
.n!
=
C
n
2n
2
2n
.
k, n
x
1
+ x
2
+ + x
n
= k
c
n
(k)
(1 + x + x
2
+ )(1 + x + x
2
+ ) (1 + x + x
2
+ ) = (1 + x + x
2
+ )
n

x
(1 + x + x
2
+ )
n
= c
0
+ c
1
x + + c
k
x
k
+
c
k
= c
n
(k)
(1+x + x
2
+ )
n
= (1 −x)
−n
= 1 + nx + + n(n + 1) (n + k −1)
x
k
k!
+

c
n
(k) =
n(n + 1) (n + k − 1)
k!
= C
k
n+k−1
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ =
∞

i=0
a
i
x
i
{a
i
}
∞
0

A (x) = 1 + x + 2
2
x
2
+ 3
3
x
3
+ + n
n
x
n
+
x = 0
{a
i
}
∞
0
a
i
= i
i
A =
∞

i=0
a
i
x

i
B =
∞

i=0
b
i
x
i
a
i
= b
i
i ∈ N
0
x
n
[x
n
] F
Số hóa bởi trung tâm học liệu />
n
a
n
x
n
±

n
b

n
x
n
=

n
(a
n
± b
n
) x
n

n
a
n
x
n

n
b
n
x
n
=

n
c
n
x

n
, c
n
=

i
a
i
b
n−i
F.F F
2
F
n+1
= F.F
n
1
F
.
(1 − x)

1 + x + x
2
+

= 1 +

∞
i=1
(1.1 − 1.1)x

i
= 1
(1 − x)

1 + x + x
2
+

F =

n
a
n
x
n
a
0
= 0
1
F
=

n
b
n
x
n
.
F.
1

F
= 1 1 = a
0
b
0
a
0
= 0 n ≥ 1 0 =

k
a
k
b
n−k
b
n
= −
1
a
0

k
a
k
b
n−k
(∗)
a
0
= 0 b

i
1
F
Số hóa bởi trung tâm học liệu />F =

n
f
n
x
n
F (G (x))
F (G (x)) =

n
f
n
G(x)
n
F (G (x)) = G (F (x)) = x
F = f
1
x + f
2
x
2
+ , = g
1
x + g
2
x

2
+
f
1
.g
1
= 0.
F (G (x)) G (F (x))
F = f
r
x
r
+ G = g
s
x
s
+
F (G (x)) = x = f
r
g
r
s
x
r
+ ,
r = 1 r = s = 1 
F =

n
f

n
x
n
F

=

n
nf
n
x
n−1
n > 1 F
(n+1)
=

F
(n)


• (F + G)
(n)
= F
(n)
+ G
(n)
• (F G)
(n)
=


∞
i=0
(
n
i
) F
(i)
G
(n−i)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />A ←→ {a
n
}
∞
0
{a
n
}
∞
0
A =

n
a
n
x
n
A ←→ {a
n
}
∞

0

n
a
n+1
x
n
=
1
n

n>0
a
n
x
n
=
A (x) − a
0
x
{a
n+1
}
∞
0
←→
A − a
0
x
{a

n+2
}
∞
0
←→
A − a
0
x
− a
1
x
=
A − a
0
− a
1
x
x
2
{a
n
}
∞
0
←→ A h > 0
{a
n+h
}
∞
0

←→
A − a
0
− a
1
x − −a
h−1
x
h−1
x
h
.
h h = 1
h
{a
n+h+1
}
∞
0
←→

a
(n+h)+1

∞
0
←→
A − a
0
− a

1
x − −a
h−1
x
h−1
x
h
− a
h
x
←→
A − a
0
− a
1
x − −a
h
x
h
x
h+1
.
{(n + 1) a
n+1
}
∞
0
←→ A

{na

n
}
∞
0
xA

x
Số hóa bởi trung tâm học liệu />x A = xA

x A = x
dA
dx
{a
n
}
∞
0
←→ A

n
k
a
n

∞
0
←→ (x )
k
A
{a

n
}
∞
0
←→ A
P (x ) A ←→ {P (n) a
n
}
∞
0
.
A
1 − x
A
1
1 − x
1 − x 1 + x + x
2
+
A
1 − x
=

a
0
+ a
1
x + a
2
x

2
+

1 + x + x
2
+

= a
0
+ (a
0
+ a
1
) x + (a
0
+ a
1
+ a
2
) x
2
+
{a
n
}
∞
0
←→ A
A
1 − x

←→

n

j=0
a
j

n≥0
{a
n
}
∞
0
A {
a
n
n!
}
A =

n
a
n
n!
x
n
.
{b
n

}
∞
0
{b
n
}
∞
0
←→ B
B ←→ {b
n
}
∞
0
B

=
∞

n=1
nb
n
x
n−1
n!
=
∞

n=1
b

n
x
n−1
(n − 1)!
=
∞

n=0
b
n+1
x
n
n!
Số hóa bởi trung tâm học liệu />B

←→ {b
n+1
}
∞
0
{b
n
}
∞
0
←→ B h ≥ 0
{b
n+h
}
∞

0
←→ B
(h)
{b
n
}
∞
0
←→ B
P (x ) B ←→ {P (n) b
n
}
∞
0
{a
n
}
∞
0
←→ A {b
n
}
∞
0
←→ B


k
(
n

k
) a
k
b
n−k

∞
n=0
AB =

∞

i=0
a
i
x
i
i!

∗

∞

j=0
b
j
x
j
j!


=

ij
a
i
b
j
i!j!
x
i+j
=

n
x
n


i+j=n
a
i
b
j
i!j!

AB =

n
x
n
n!





i+j=n
n!a
i
bj
i!j!



=

n
x
n
n!

(
n
k
) a
k
b
n−k
e
x
e
x

∞

n=0
x
n
n!
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1
1 − x
=

n≥0
x
n
1
(1 − x)
k+1
=

n

n+k
n

x
n
(1 + x)
α
=

k

(
α
k
) x
k
1
√
1 − 4x
=

n

2n
n

x
n
1
2x

1 −
√
1 − 4x

=

n
1
n + 1


2n
n

x
n

1 −
√
1 − 4x
2x

k
=

n
k (2n + k −1)!
n! (n + k)!
x
n
1
√
1 − 4x

1 −
√
1 − 4x
2x

k
=


n

2n+k
n

x
n

1 −
√
1 − x
x
=
∞

n=0
(4n)!
16
n
√
2 (2n)! (2n + 1)!
x
n
e
x
=

n≥0
x

n
n!
x
e
x
− 1
=

n≥0
B
n
x
n
n!
1
1 − x
=

n≥1
x
n
n
sinx =

n≥0
(−1)
x
2n+1
(2n + 1)!
Số hóa bởi trung tâm học liệu />sosx =


n≥0
(−1)
n
x
2n
(2n)!
tan x =

n≥1
(−1)
n−1
2
2n

2
2n
− 1

B
2n
(2n)!
x
2n−1
x cot x =

n≥0
(−4)
n
B

2n
(2k)!
x
2n
sin x =

n≥0
(2n − 1)!x
2n+1
(2n)! (2n + 1)
arctan x =

n≥0
(−1)
n
x
2n+1
2n + 1
x
sinx
=

n≥0
(−1)
n−1
(4
n
− 2) B
2n
(2n)!

x
2n
e
x
sin x =

n≥1
2
n
2
sin
nπ
4
n!
x
n
ln
2
1
1 − x
=

n≥2
H
n−1
n
x
n

arcsin x

x

2
=
∞

n=0
4
n
n!
2
(k + 1) (2k + 1)!
x
2n
H
n
=
n

i=1
1
i
B
n
Số hóa bởi trung tâm học liệu />a
n
a
0
= 0 a
n+1

= 2a
n
+ 1, n ≥ 1
a
n
0, 1, 3, 7, 15,
a
n
= 2
n
− 1
A(x) a
n
A(x) =

n
a
n
x
n
x
n
∀n

n
a
n+1
x
n
=

A (x) − a
0
x
=
A (x)
x
= 2A (x) +
1
1 − x
=

n
(2a
n
+ 1) x
n
A(x) =
x
(1 − x)(2 −x)
.
x
(1 − x) (2 −x)
= x

2
1 − 2x
−
1
1 − x


=

2x + 2
2
x
2
+

−

x + x
2
+

A (x) =
∞

n=0
(2
n
− 1) x
n
a
n
= 2
n
− 1.
a
n+1
= 2a

n
+ n, (n ≥ 0) , a
0
= 1
{a
n
}
∞
0
ors
↔
A. {a
n+1
}
∞
0
ors
↔
A − 1
x
xD
1
1 − x
ors
↔
{n.1}
xD
1
1 − x
= x

1
(1 − x)
2
=
x
(1 − x)
2
A − 1
x
= 2A +
x
(1 − x)
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />A =
1 − 2x + 2x
2
(1 − x)
2
(1 − 2x)
A =
1 − 2x + 2x
2
(1 − x)
2
(1 − 2x)
=
P
(1 − x)
2
+

Q
1 − x
+
R
1 − 2x
(1 − x)
2
(1 − 2x)
1 − 2x + 2x
2
= P (1 − 2x) + Q (1 −x) (1 − 2x) + R(1 − x)
2
.
1 − 2x + 2x
2
= x
2
(2Q + R) + x (−2P − 3Q − 2R) + (P + Q + R)
(1 − x)
2
x = 1 P = −1
1 − 2x x =
1
2
R = 2
P = −1, Q = 0, R = 2.
P R x = 0 Q = 0
P, Q R
A =
−1

(1 − x)
2
+
2
1 − 2x
2
1 − 2x
ors
↔
{2
n+1
}
1
(1 − x)
2
= D
1
1 − x
ors
↔
{n + 1}
a
n
= 2
n+1
− n −1

F
0
= 0, F

1
= 1
F
n+1
= F
n
+ F
n−1
n ≥ 1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />F {F
n
}
x
n
{F
n+1
}
ors
↔
F −x
x
F + xF
F =
x
1 − x −x
2
.
−x
2
− x + 1 = (1 −αx) (1 −βx) .

α =
1 +
√
5
2
, β =
1 −
√
5
2
α − β =
√
5
x
1 − x −x
2
=
x
(1 − αx) (1 −βx)
=
1
α − β

1
1 − xα
−
1
1 − xβ

=

1
√
5

∞

n=0
α
n
x
n
−
∞

n=0
β
n
x
n

F
n
=
1
√
5
(α
n
− β
n

) .
F
n
|β| < 1 lim
n→∞
β
n
= 0
F
n
≈
1
√
5

1 +
√
5
2

n
.
k n
C
k
n
C(n, k)
A = {a
1
, a

2
, , a
n
} n k
a
n
C(n −1, k −1)
Số hóa bởi trung tâm học liệu />a
n
k −1 {a
1
, , a
n−1
}
a
n
C(n − 1, k)
a
n
C(n, k) = C(n − 1, k) + C(n − 1, k −1).
C(n, 0) = 1
C(n, k) n
C
n
(x) =

k
C (n, k) x
k
.

x
k
∀k ≥ 1
C
n
(x) − 1 = (C
n−1
(x) − 1) + xC
n−1
(x)
n ≥ 0 C
0
(x) = 1. n ≥ 1
C
n
(x) = (1 + x) C
n−1
(x) .
C
n
(x) = (1 + x)
n
C(n, k) x
k
(1 + x)
n
C
k
n
C

n
(x)

n
C
n
(x) y
n
=

n

k
C
k
n
x
k
y
n
=

n
(1 + x)
n
y
n
=
1
1 − y (1 + x)

.
(
n
k
) =

x
k
y
n

(1 − y (1 + x))
−1
.

n
(
n
k
) y
n

x
k


n

k
(

n
k
) x
k
y
n
=

x
k

1
1 − y (1 + x)
=
1
1 − y

x
k

1
1 −
y
1 − y
x
=
1
1 − y

y

1 − y

k
=
y
k
(1 − y)
k+1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />