Bài giảng môn học toán rời rạc GV huỳnh thị thu thủy

5/10/2013

Tài liệu tham khảo
1. Toán rời rạc ứng dụng trong tin học -

Mơn học: TỐN RỜI RẠC

Kenneth H. Rosen
2. Đại số quan hệ - Nguyễn Thanh Sơn

Số Tiết LT: 45
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

2

Nội dung
1. Chương 1: CƠ SỞ LOGIC
2. Chương 2: PHÉP ĐẾM

Chương 1: CƠ SỞ LOGIC

3. Chương 3: QUAN HỆ
4. Chương 4: ĐẠI SỐ BOOLE –
HÀM BOOLE
5. Chương 5: ĐỒ THỊ
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

3

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

4

1


5/10/2013

NỘI DUNG

1- Giới thiệu

1. Giới thiệu

• Các qui tắc của logic cho biết ý nghĩa
chính xác của các mệnh đề.

2. Mệnh đề.

• Ứng dụng các qui tắc logic trong tin học:

3. Các quy tắc suy diễn.

– Thiết kế mạng máy tính
g
y

4.
4 Vị từ - lượng từ

từ.

– Xây dựng chương trình máy tính

5. Nguyên lý quy nạp.

– Kiểm tra tính đúng đắn của chương trình
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

5

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

2- Mệnh đề

2- Mệnh đề(tt)

• Là câu đúng hoặc sai, khơng thể vừa
đúng, vừa sai
đú
ừ
i
• Ví dụ:

6

• Kí hiệu mệnh đề:
– Dùng kí tự chữ cái.

– Mặt trời mọc ở phương Đông

– 1+2 = 3
– 2+2 = 5

– Qui ước: p, q, r, s…

• Các tốn tử logic tác dụng đối với mệnh
đề: , , , , , 

• Những câu khơng là mệnh đề:
– Bây giờ là mấy giờ?
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

7

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

8

2


5/10/2013

2- Mệnh đề(tt)

2- Mệnh đề(tt)

• p  q: Đúng khi cả 2 đều đúng và sai trong

• p  q: sai khi p đúng q sai, đúng trong các

các trường hợp cịn lại.

trường hợp cịn lại

• p  q: Sai khi cả 2 đều sai và đúng trong

• p  q: đúng khi p và q cùng chung giá trị

các trường hợp còn lại.

chân lý, sai trong các trường hợp cịn lại
ý
g
g

• p  q: đúng khi 1 trong p và q là đúng và
sai trong các trường hợp còn lại.
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

9

2- Mệnh đề(tt)

q

T

T

T

F

F

T

F

p

10

2- Mệnh đề(tt)

• Bảng chân trị cho các tốn tử logic:
p

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

• Dịch câu thơng thường thành biểu thức logic
• Ví dụ: “Bạn khơng được lái xe máy nếu bạn
ế
cao dưới 1,5m trừ khi bạn trên 18 tuổi”.
• p: “Bạn được lái xe máy”
• r: “Bạn cao dưới 1,5m”
• s: “Bạn trên 18 tuổi”
ổ
Biểu thức logic:

(r  s)  p

F

p  q

pq

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

p q

p q pq

11

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

12

3


5/10/2013

2- Mệnh đề(tt)

Bài tập mệnh đề

• Các phép tốn trên bit:

1. Cho p và q là 2 mệnh đề:

– OR, AND, XOR

p: nhiệt độ dưới 0
q: tuyết rơi
Dùng p, q và các liên từ logic viết các mệnh đề
sau:
)
ệ ộ
y
a) Nhiệt độ dưới 0 và tuyết rơi
b) Có tuyết rơi hoặc nhiệt độ dưới 0 hoặc cả 2
c) Nếu nhiệt độ dưới 0 thì cũng có tuyết rơi

• Ví dụ:
– 01101 10110
– 11000 11101
– 11101 11111
– 01000 10100
– 10101 01011

OR bit
AND bit
XOR bit
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

13

14

Bài tập mệnh đề

Bài tập mệnh đề

3. Cho p và q là 2 mệnh đề:

2. Cho p, q và r là những mệnh đề:

p
p: Bạn lái xe với tốc độ > 65 km/h
q: Bạn bị phạt vì vượt quá tốc độ cho phép
Dùng p, q và các liên từ logic viết các mệnh đề
sau:
a) Bạn không lái xe với tốc độ > 65 km/h
b) Bạn lái xe với tốc độ > 65 km/h nhưng bạn
khơng bị phạt vì vượt quá tốc độ cho phép
ố
c) Bạn sẽ bị phạt vì vượt quá tốc độ cho phép
nếu bạn lái xe với tốc độ > 65 km/h

p: Bạn bị cúm ; q: Bạn bị trượt kỳ thi cuối khoá
ố
r: Bạn được lên lớp
Hãy diễn đạt những mệnh đề sau thành câu
thông thường:
)
a) p  q
b) q r

c) (p r ) (q r)
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

15

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

16

4


5/10/2013

Bài tập mệnh đề

Bài tập mệnh đề
5. Tìm các OR bit, AND bit, XOR bit của
các cặp xâu bit sau:

4. Lập bảng chân lý cho các mệnh đề:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

h)

p  p
p  p
p  q
(p  q) q
(p  q)  (p  q)
(p  q)  (q  p)
pqr
(p  q)  (p   q)
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

a)
b)
c)
d)

1011110
; 0100001
11110000
; 10101010
0001110001 ; 1001001000
1111111111 ; 0000000000

6. Xác định các biểu thức sau:
a) 11000  (01011  11011)
b) (01111  10101)  01000
c) (01010  11011)  01000
17

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

3- Các qui tắc suy diễn

3- Các qui tắc suy diễn(tt)

• Một mệnh đề phức hợp mà ln ln

18

• Các mệnh đề p và q được gọi là tương
đương logic nếu p  q là hằng đúng.

đúng bất kể các giá trị chân lý của những
mệnh đề thành phần của nó được gọi là

• Kí hiệu: p  q

hằng đúng.

• Xác định 2 mệnh đề là tương đương logic:

• Một mệnh đề ln sai: hằng sai.

– Bảng giá trị chân lý
– Dùng các tương đương logic

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

19

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

20

5


5/10/2013

3- Các qui tắc suy diễn(tt)

3- Các qui tắc suy diễn(tt)

CÁC TƯƠNG ĐƯƠNG LOGIC
Tương đương
Tên gọi
pT

p
Luật
L ật đồng nhất
pF

p
pT

T
Luật nuốt
pF


F
pp

p
Luật lũy đẳng
pp

p
 ( p) 
p
Luật phủ định kép
pq

q  p
Luật giao hoán
pq

q  p
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

CÁC TƯƠNG ĐƯƠNG LOGIC
(p  q)  r 

p  (q  r) 




Luật phân phối

  p   q

21

Luật De Morgan

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

22

Bài tập các qui tắc suy diễn
1. Dùng bảng chân lý, CM các tương
đương sau:

( p  q)

a)
b)
c)
d)
e)
)
f)
g)

• Ví dụ:
ụ
– CMR: (p  ( p  q ))   p  q
– CMR: (p  q)  (p  q) là hằng đúng

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

  p   q

 (p  q)

F

pq

(p  q)  (p 
(p  q)  (p  r)

 (p  q)

T

pp

(p  q)  (p  r)

p  (q  r) 
(q 

• Một số tương đương tiện ích:


Luật kết hợp

(p  q)  r  p  (q  r)

3- Các qui tắc suy diễn(tt)
pp

p  (q  r)

23

p  T  p
pFp
pFF
pTT
ppp
p  p  p
(pq)  (p   q)
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

24

6


5/10/2013

Bài tập các qui tắc suy diễn

Bài tập các qui tắc suy diễn

2. CM các mệnh đề kéo theo sau là hằng
đúng:

đú
a)
b)
c)
d)
e)
f)

3. CM các mệnh đề sau là tương đương:
a)
b)
c)
d)

(p  q ) p
p  (p  q)
 p  (p  q)
(p  q)  (p  q)
 (p  q)   q
[p (p  q)]  q
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

p  q và q  p
 p  q và p   q
 (p  q) và p  q
 (p  q) và  p  q

4.
4 Xác định mệnh đề sau có là hằng đúng
khơng:

( p  (p  q))   q
25

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

4- Vị từ - Lượng từ

4- Vị từ - Lượng từ (tt)

• Vị từ:

26

• Lượng từ:

– Là hàm nhận giá trị đúng hoặc sai tùy thuộc
hàm tác dụng vào cá thể nào.

– Lượng từ “với mọi” của P(x) là mệnh đề P(x)
đúng với mọi giá trị của x trong không gian”.

– VD: VN(x): “x là người Việt nam”.

– Kí hiệu: x P(x)
– VD: “Tất cả sinh viên ở lớp này đều đã học
giải tích”.

– Boolean

• P(x) kí hiệu cho câu: “x đã học giải tích”.

• Khi đó: x P(x)
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

27

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

28

7


5/10/2013

4- Vị từ - Lượng từ (tt)

4- Vị từ - Lượng từ (tt)
• Dịch câu thơng thường thành biểu thức
logic

– Lượng từ “tồn tại” của P(x) là mệnh đề “Tồn
tại một phần tử x trong không gian sao cho
P(x) là đúng”.
– Kí hiệu: x P(x)

– VD1: “Mọi người đều có chính xác một người
bạn tốt nhất.”

– VD: Cho câu P(x): “x>3”.
( )

G ả ( ,y) y à bạ
Giải: B(x,y): “y là bạn tốt nhất của x”.
ất

• Tìm giá trị chân lý của x P(x) với không gian là

 x y z [ B(x,y)  (z ≠ y)  B(x,z) ]

tập số thực?

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

29

4- Vị từ - Lượng từ (tt)

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

30

5- Nguyên lý quy nạp

• VD2:
– “Tất cả sư tử đều hung dữ”.
Tất
dữ
– “Một số sư tử không uống cà phê”.
– “Một số sinh vật hung dữ khơng uống cà phê”.
Giải: Đặt

P(x): “x là sư tử”; Q(x): “x hung dữ”; R(x): “x uống cà phê”

•

Quy nạp toán học
– Dùng để chứng minh mệnh đề dạng nP(n)
– Quá trình chứng minh bao gồm:
1. Bước cơ sở: Chỉ ra mệnh đề P(1) là đúng.
2.
2 Bước quy nạp: CM phép kéo theo:

x ( P(x)  Q(x) )

P(n)  P(n+1) đúng với mọi số nguyên dương n.

x ( P(x)   R(x) )

Với P(n) là giả thiết quy nạp.

x ( Q(x)   R(x) )
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

31

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

32

8

5/10/2013

5- Nguyên lý quy nạp (tt)
•

TỔNG KẾT CHƯƠNG 1

VD: Bằng quy nạp toán học, hãy CM:
1. “Tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên là
2. “n <

2n

1. Giới thiệu.
n2”.

2. Mệnh đề.

với mọi số nguyên dương n”.

3. Các quy tắc suy diễn.

3. “n3 – n chia hết cho 3 n nguyên dương”.
4.
4 “1+2+22+ +2n = 2n+1 – 1 n nguyên không âm”.
+...+2
âm”

4.

4 Vị từ - lượng từ
từ.

5. “1+2+3+…+n = [n(n+1)] / 2, n nguyên dương”.

5. Nguyên lý quy nạp.

6.

“2n

< n!, n nguyên n  4”.
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

33

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

34

NỘI DUNG
1. Lý thuyết tập hợp và ánh xạ

Chương 2: PHÉP ĐẾM

2. Phép đếm.
3. Giải tích tổ hợp.
4.
4 Nguyên lý Dirichlet
Dirichlet.

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

35

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

36

9


5/10/2013

1- Lý thuyết tập hợp và ánh xạ

1- Lý thuyết tập hợp và ánh xạ(tt)

• Định nghĩa 1:

• Định nghĩa 2:

– Các đối tượng trong 1 tập hợp được gọi là

– Hai tập hợp là bằng nhau nếu và chỉ nếu

các phần tử của tập hợp

chúng có cùng các phần tử.

– VD: Tập V của tất cả các nguyên âm trong

– VD:

bảng chữ cái tiếng Anh.

• Các tập {1,3,5} và {3,5,1} là bằng nhau.
• Các tập {1,3,3,3,5,5,5} và {1,3,5} là bằng nhau.

– V={ a, e, i, o, u }
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

37

1- Lý thuyết tập hợp và ánh xạ(tt)

38

1- Lý thuyết tập hợp và ánh xạ(tt)
• Định nghĩa 3:

• Một cách khác để mô tả các tập hợp:

– Tập A được gọi là tập con của B nếu và chỉ
nếu mỗi phần tử của A đều là 1 phần tử của
B.
– Kí hiệu: A  B
– Ví dụ:
A={x/
A { / x là số nguyên d

ố
ê dương}
}
B={x/ x là số nguyên tố không vượt quá 100
A ? B

– Chỉ rõ các thuộc tính đặc trưng của các phần
tử thuộc tập hợp đó.
– Ví dụ:
• Tập O của tất cả các số nguyên dương lẻ và nhỏ
hơn 10 có thể viết như sau:
• O = { x / x là số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 10}
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

39

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

40

10


5/10/2013

1- Lý thuyết tập hợp và ánh xạ(tt)

1- Lý thuyết tập hợp và ánh xạ(tt)

• Định nghĩa 4:

• Định nghĩa 5:

– Cho S là một tập hợp. Nếu có chính xác n
ế
phần tử phân biệt trong S, với n là số ngun
khơng âm, thì ta nói rằng S là một tập hữu
hạn và n là bản số của S.
– Bản số của S kí hiệu: |S|
– Ví dụ: Tập rỗng không chứa phần tử  ||=0
ỗ
ầ
A={ 1,2,3,1,2,3,4,5} ; B= {1,{2,3},{1,2,3},4,5}
|A|= ?
|B|= ?
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

– Một tập được nói là vơ hạn nếu nó khơng phải
ế
là hữu hạn.
– Ví dụ: Tập hợp các số nguyên dương là tập
vô hạn.

41

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

1- Lý thuyết tập hợp và ánh xạ(tt)

1- Lý thuyết tập hợp và ánh xạ(tt)

• Định nghĩa 6:

42

• Định nghĩa 7:

– Cho tập S, tập lũy thừa của S là tập của tất cả
ấ
các tập con của S.
– Tập lũy thừa của S được kí hiệu: P(S)
– Ví dụ:
•
•
•
•

Xác định tập lũy thừa của tập {0,1,2}.
P({0,1,2}) = {,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}
Cho S={a,b,c}
Tìm P(S)=?
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

43

– Cho A và B là hai tập hợp. Tích đề các của A
ề
và B là tập hợp của tất cả các cặp (a,b) với

aA và bB.
– Kí hiệu: A x B
– Ví dụ: A={1,2} ; B={a,b,c}
AxB={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}
BxA=?

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

44

11


5/10/2013

Bài tập

1- Lý thuyết tập hợp và ánh xạ(tt)
• Định nghĩa 8:

1. Liệt kê các phần tử của tập hợp sau:
o S1={x| x là số thực và x2=1}
ố
o S2={x| x là bình phương của 1 số ngun và
x <100}

– Tích đề các của các tập A1, A2, .., An là tập
ề
hợp của các dãy sắp thứ tự (a1, a2,..,an) với
aiAi (i=1,2,..,n)

– Kí hiệu:
A1 x A2 x..x An={(a1, a2,..,an)| aiAi (i=1,2,..,n)}

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

2. Cho biết mỗi mệnh đề sau là Đúng /sai:
o {0}  {0}
o {0}  {0}
o   {a,b,c}
45

Bài tập

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

46

2- Phép đếm

3. Liệt kê các phần tử của tập lũy thừa của
S:

• Quy tắc cộng: Giả sử có 2 cơng việc.
– Cơng việc thứ 1 có thể làm bằng n1 cách

o S={a,b}
o S={a,{a}}

– Cơng việc thứ 2 có thể làm bằng n2 cách

4. Cho biết bản số của tập hợp sau:

– Và nếu 2 việc này không thể làm đồng thời

o S={a a1,b,b1}
S={a,a b b
o S={a,{a,b},a,{a,b}}
o S={a,{a},{{a}},{a,b}}
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

– Khi đó sẽ có n1+n2 cách làm 1 trong 2 cơng
việc đó

47

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

48

12


5/10/2013

2- Phép đếm (tt)

2- Phép đếm (tt)

• Ví dụ:

• Quy tắc cộng mở rộng (trong trường hợp
có nhiều hơn 2 cơng việc):
ó hiề h
ơ
iệ )

– Giả sử cần chọn hoặc là 1 cán bộ của khoa
ầ
Toán hoặc 1 sinh viên Toán làm đại biểu trong
hội đồng của 1 trường Đại học.
– Hỏi có bao nhiêu cách chọn vị đại biểu này
nếu khoa Tốn có 27 cán bộ và 83 sinh viên.

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

49

– Giả sử các việc T1, T2,..,Tm có thể làm tương
ứng bằng n1, n2, ..,nm cách và giả sử khơng
có 2 cơng việc nào có thể làm đồng thời.
– Khi đó số cách làm 1 trong m cơng việc đó là
n1 + n2 + ...+ nm

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

2- Phép đếm (tt)

2- Phép đếm (tt)

• Ví dụ:

50

• Quy tắc nhân: Giả sử một nhiệm vụ nào
đó được tách làm 2 cơng việc.
việc

– Một sinh viên có thể chọn bài thực hành máy
ể
tính từ 1 trong 3 danh sách tương ứng có
24,15,19 bài.
– Hỏi, có bao nhiêu cách chọn bài thực hành?

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

– Việc thứ 1 có thể làm bằng n1 cách.
– Việc thứ 2 có thể làm bằng n2 cách sau khi
việc thứ 1 đã được làm.
– Khi đó sẽ có n1.n2 cách thực hiện nhiệm vụ
này.

51

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

52

13

5/10/2013

2- Phép đếm (tt)

2- Phép đếm (tt)

• Ví dụ 1:

• Ví dụ 2:

– Người ta có thể ghi nhãn cho những chiếc
ể
ế
ghế trong 1 giảng đường bằng 1 chữ cái và 1
số nguyên dương không vượt quá 100
– Hỏi nhiều nhất có bao nhiêu chiếc ghế được
ghi nhãn khác nhau.

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

53

– Trong trung tâm máy tính có 32 chiếc máy vi
ế
tính.
– Mỗi máy có 14 cổng.
– Hỏi có bao nhiêu cổng khác nhau trong trung
tâm này.

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

2- Phép đếm (tt)

2- Phép đếm (tt)

• Ví dụ 3:

54

• Ví dụ 4: Có nhiều nhất bao nhiêu biển
đăng
đă ký xe ô tô nếu mỗi biể chứa một
ế
ỗi biển hứ
ột
dãy 2 chữ cái tiếp sau là 3 chữ số (khơng
bỏ dãy chữ nào cả)?

– Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài 7?

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

55

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

56

14

5/10/2013

2- Phép đếm (tt)

2- Phép đếm (tt)

• Quy tắc nhân mở rộng: Giả sử 1 nhiệm
vụ nào đó được thi hà h bằ cách th
à
đ
hành bằng á h thực
hiện các việc T1, T2, … , Tm.

• Nguyên lý bù trừ:
– Khi 2 cơng việc (CV) có thể được làm đồng
ể
ồ
thời. Ta khơng thể dùng quy tắc cộng để tính
số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả 2 việc.
– Số cách thực hiện nhiệm vụ: Cộng số cách
làm mỗi 1 trong 2 CV trừ đi số cách làm đồng
thời cả 2 CV  N
ả
Nguyên lý bù t ừ
ê
trừ

– Nếu việc Ti có thể làm bằng ni cách sau khi
các việc T1, T2, … , Ti-1 đã được làm.

– Khi đó có n1x n2x …x nm cách thi hành các
nhiệm vụ đã cho.

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

57

2- Phép đếm (tt)

58

Bài tập

• Ví dụ:

1. Một phiếu trắc nghiệm đa lựa chọn gồm
10 câu hỏi Mỗi câu hỏi có 4 phương án
â hỏi.
â
ó
h
á
trả lời.

– Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài 8 bít
hoặc được bắt đầu bằng bít 1 hoặc kết thúc
bằng 2 bít 00?

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

a) Có bao nhiêu cách điền 1 phiếu trắc nghiệm
nếu mọi câu hỏi đều được trả lời?
b) Có bao nhiêu cách điền 1 phiếu trắc nghiệm
nếu có thể bỏ trống?

59

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

60

15


5/10/2013

Bài tập

Bài tập

2. Từ NewYork đến Denver có 6 hãng hàng
khơng à ó hãng bay D
khơ và có 7 hã b từ Denver đến
đế
San Francisco. Có bao nhiêu khả năng
khác nhau để bay từ NewYork đến San
Francisco qua Denver?
3. Có bao nhiêu người có tên họ viết tắt

bằng 3 chữ cái khác nhau?( CÁC chữ
cái có thể lặp lại)

4. Có bao nhiêu người có tên họ viết tắt
bằng
bằ 3 chữ cái khác nhau t
hữ ái khá h trong đó
khơng chữ cái nào được lặp lại?
5. Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài
bằng 16, có bít đầu tiên và bít cuối cùng
là 1?
6. Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài
bằng 6 hoặc ít hơn?

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

61

Bài tập

62

Bài tập
10. Có bao nhiêu xâu gồm 3 chữ số thập
phân:

7. Có bao nhiêu xâu chữ thường có độ dài
bằng
bằ 4 và chứa 1 chữ x?
à hứ

hữ ?
8. Có bao nhiêu xâu chữ thường có độ dài
bằng 4 hoặc ít hơn (tính cả xâu rỗng)?
9. Trong các số nguyên dương có đúng 3
chữ số, có bao nhiêu số:
số

a) Khơng chứa cùng 1 chữ số 3 lần?
b) Bắt đầu bằng chữ số lẻ?
c) Có đúng 2 chữ số 4?

11. Có bao nhiêu xâu gồm 4 chữ số thập
phân:
hâ

a) Lẻ?
b) Có 3 chữ số như nhau?
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

a) Không chứa cùng 1 chữ số 2 lần?
b) Kết thúc bằng chữ số chẵn(0?)?
63

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

64

16

5/10/2013

3- Giải tích tổ hợp

3- Giải tích tổ hợp (tt)

• Hốn vị:

• Chỉnh hợp:

– Hốn vị của 1 tập các đối tượng khác nhau là
ố
một cách sắp xếp có thứ tự các đối tượng
này.

• Ví dụ: S = { 1, 2, 3 }

– Một cách sắp xếp có thứ tự r phần tử của 1
ắ ế
ầ
tập n phần tử được gọi là 1 chỉnh hợp chập r
của n phần tử.(r<=n)

• Ví dụ: S = { 1, 2, 3 }

– Cách sắp xếp 3,2,1 là 1 hoán vị của S.
p p
ị

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

– Cách sắp xếp 3,2 là 1 chỉnh hợp chập 2 của
p p
ợp ập
S.

65

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

3- Giải tích tổ hợp (tt)

3- Giải tích tổ hợp (tt)

• Định lý 1:

66

• Ví dụ 1:

– Số chỉnh hợp chập r của tập S có n phần tử là:
ố
ầ

– Đặc biệt:

P (n, r ) 

n!
(n  r )!

– Có bao nhiêu cách chọn 4 cầu thủ khác nhau
ầ
trong 10 cầu thủ của đội bóng quần vợt để
chơi 4 trận đấu đơn.
– Các trận đấu là có thứ tự.

P(n, n)  n!
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

67

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

68

17


5/10/2013

3- Giải tích tổ hợp (tt)

3- Giải tích tổ hợp (tt)

• Ví dụ 2: Giả sử có 8 vận động viên chạy thi.
– Người thắng sẽ nhận được huy chương vàng.
ắ

– Người về đích thứ 2 nhận huy chương bạc.
– Người về đích thứ 3 nhận huy chương đồng.
– Có bao nhiêu cách trao các huy chương này nếu
ụ
ộ
y
các kết cục của cuộc thi đều có thể xảy ra?

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

69

3- Giải tích tổ hợp (tt)

• Ví dụ 3:Giả sử một thương nhân định đi bán
hàng tại thành hố
hà t i 8 thà h phố.
– Anh ta bắt đầu cuộc hành trình của mình tại 1
thành phố nào đó nhưng có thể đến 7 thành phố
kia theo bất kỳ thứ tự nào mà anh ta muốn.
– Hỏi, anh ta có thể đi qua tất cả các thành phố
này theo bao nhiêu lộ trình khác nhau?

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

70

3- Giải tích tổ hợp (tt)

• Tổ hợp:

• Ví dụ: Cho S là tập {1, 2, 3, 4 }

– Một tổ hợp chập r của một tập hợp là 1 cách
ổ
chọn khơng có thứ tự r phần tử của tập
hợp đã cho.
– Vậy, 1 tổ hợp chập r chính là 1 tập con r phần
tử của tập ban đầu.

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

71

– Khi đó {1, 3, 4} là 1 tổ hợp chập 3 của S.
ổ

• Số tổ hợp chập r của tập n phần tử: C(n,r)

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

72

18


5/10/2013

3- Giải tích tổ hợp (tt)

3- Giải tích tổ hợp (tt)

• Định lý 2:

• Hệ quả 1:

– Số tổ hợp chập r từ tập có n phần tử trong đó
n là số nguyên dương và r là số nguyên với
0≤ r ≤ n được cho bởi công thức sau:

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

73

3- Giải tích tổ hợp (tt)

C(n, r) = C(n, n-r)

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

74

Bài tập giải tích tổ hợp
1. Có bao nhiêu thứ tự có thể xảy ra trong
cuộc thi chạy giữa 5 vận động viên
viên.
2. Một nhóm sinh viên gồm n nam, n nữ.
Có bao nhiêu cách xếp thành 1 hàng
sao cho nam và nữ đứng xen nhau?
3. Có bao nhiêu cách chọn 1 tập hợp 2 số

nguyên d
ê dương khô vượt quá 100?
không
t á
4. Có bao nhiêu cách chọn 1 tập hợp 5 chữ
cái từ bảng chữ cái tiếng Anh?

• Ví dụ:
– Có bao nhiêu cách tuyển 5 trong số 10 cầu
ể
ố
ầ
thủ của 1 đội bóng quần vợt để đi thi đấu tại
một trường khác?

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

– Cho n và r là các số nguyên không âm sao
cho r ≤ n. Khi đó:

75

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

76

19


5/10/2013

4- Nguyên lý Dirichlet

4- Nguyên lý Dirichlet (tt)

• Định lý 1( Ngun lý lồng chim bồ câu):

• Ví dụ 1:
– Một nhóm bất kỳ có 367 người.
ấ
– Chắc chắn có ít nhất 2 người trùng ngày sinh.
– Vì?

– Nếu có K+1 hoặc nhiều hơn đồ vật được đặt
trong K hộp thì có ít nhất 1 hộp chứa 2 hoặc
nhiều hơn 2 đồ vật.

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

77

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

4- Nguyên lý Dirichlet (tt)

4- Nguyên lý Dirichlet (tt)

• Ví dụ 2:
– Cho 1 nhóm bất kỳ có 27 từ tiếng Anh.
ấ

ế
– Chắc chắn có ít nhất 2 từ bắt đầu bằng
cùng 1 chữ cái.
– Vì?

78

• Ví dụ 3:

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

– Bài thi các môn học trong 1 trường Đại học
được chấm theo thang điểm là các số nguyên
từ 0 100.
– Một lớp học cần phải có bao nhiêu sinh viên
để đảm bảo trong mọi mơn thi đều có ít nhất 2
sinh viên cùng điểm thi?

79

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

80

20


5/10/2013

4- Nguyên lý Dirichlet (tt)

4- Nguyên lý Dirichlet (tt)

• Định lý 2 (Ngun lý Dirichlet tổng qt):

• Ví dụ1:
– Trong 100 người sẽ có ít nhất 
ấ 100/12 = 9

người cùng tháng sinh .

– Nếu có N đồ vật được đặt vào trong K hộp,
sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất

N 
K 
 

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

vật.

81

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

82

4- Nguyên lý Dirichlet (tt)

4- Nguyên lý Dirichlet (tt)

• Ví dụ 2:

• Ví dụ 3:
– Số mã vùng cần thiết nhỏ nhất phải là
ã ù
ầ
hỏ hất hải
bao nhiêu để đảm bảo 25 triệu máy điện
thoại trong 1 bang có số điện thoại khác
nhau.
– Mỗi số gồm 10 chữ số. (Giả sử số điện
thoại có dạng NXX-NXX-XXXX. Trong
đó 3 chữ số đầu tiên là mã vùng; N:
2..9 ; X: 0..9.

– Cần phải có tối thiểu bao nhiêu sinh viên ghi
tên vào lớp toán học rời rạc để chắc chắn
rằng sẽ có ít nhất 6 người đạt cùng 1 điểm
thi?
– Nếu thang điểm g
g
gồm 5 bậc A, B, C, D và F.
ậ , , ,

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

83

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

84

21


5/10/2013

Bài tập nguyên lý Dirichlet

Bài tập nguyên lý Dirichlet

1. Một ngăn tủ có chứa 1 tá chiếc tất màu

2.
2 Mỗi 1 sinh viên trong 1 trường đại

nâu và 1 tá chiếc tất màu đen. Một người
lấy các chiếc tất một cách ngẫu nhiên
trong bóng tối. Anh ta cần phải lấy ra bao

học đều có quê ở 1 trong 50 bang.
Cần phải tuyển bao nhiêu sinh viên

nhiêu chiếc tất để chắc chắn rằng mình
ế ấ ể ắ
ắ ằ

để đảm bảo có ít nhất 100 người

có ít nhất 2 chiếc tất cùng màu?

cùng bang?

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

85

Bài tập nguyên lý Dirichlet

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

86

TỔNG KẾT CHƯƠNG 2

3. Một cơng ty giữ hàng hố trong kho. Số các
ngăn chứa trong kho được xác định bởi số
ở ố
gian hàng, số ô trong mỗi gian và số các

1. Nhắc lại lý thuyết tập hợp và ánh xạ
2. Phép đếm.

giá ở mỗi ơ.

3. Giải tích tổ hợp.

Biết nhà kho có 50 gian, mỗi gian có 80 ơ, mỗi

ơ có 5 giá. Hỏi hàng hố phải tối thiểu bằng
bao nhiêu để ít nhất có 2 sản phẩm được

4.
4 Nguyên lý Dirichlet
Dirichlet.

đặt trong cùng 1 ngăn?
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

87

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

88

22


5/10/2013

NỘI DUNG
1. Định nghĩa
2. Quan hệ hai ngôi

Chương 3: QUAN HỆ

3. Các tính chất của quan hệ
4. Quan hệ tương đương
5. Quan hệ thứ tự

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

89

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

1- Định nghĩa

2- Quan hệ hai ngơi

• Định nghĩa quan hệ:

90

• Định nghĩa

– Là một cách thức biểu diễn sự liên kết giữa
những tập hợp.

– Cho A và B là các tập hợp. Một quan hệ 2
ngôi từ A đến B là một tập con của A x B.

– Trường hợp đặc biệt của sự liên kết này là
kết nối giữa các phần tử trong cùng 1 tập
hợp.
hợp

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

• Kí hiệu: R  A x B

– Phần tử (x,y) của quan hệ R có thể được biểu
diễn: (x,y)  R, hay xRy

91

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

92

23


5/10/2013

2- Quan hệ hai ngơi (tt)

3- Các tính chất của quan hệ

• Ví dụ:

• Tính phản xạ (tính chất phản hồi)-reflexive:

– Cho S={PhạmThái, CaoBáNhạ, PhạmThiênThư,
NguyễnDu}

– Quan hệ R trên tập A được gọi là có tính phản
xạ nếu (a,a)  R với mọi phần tử a  A.

– T= {ĐoạnTrườngVôThanh, TựTìnhKhúc,
SơKínhTânTrang, ChiếnTụngTâyHồPhú,
ChinhPhụNgâm}

– Ví dụ: Xét các quan hệ trên tập {1,2,3,4}

– R={ (PhạmThái, Sơkínhtântrang), (
{( ạ
g) (CaoBáNhạ,
ạ
Tựtìnhkhúc), (PhạmThiênThư, Đoạntrườngvơthanh),
(PhạmThái, Chiếntụngtâyhồphú) }
– Quan hệ R là quan hệ 2 ngôi: “là tác giả của tác phẩm”
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

• R1= {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)}
• R2={(1,1),(1,2),(2,1)}

Quan hệ nào có tính phản xạ?

• R3={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)}
• R4={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}

93

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

94

3- Các tính chất của quan hệ (tt)

3- Các tính chất của quan hệ (tt)

• Tính đối xứng - symmetric:

• Tính bắc cầu (tính chất truyền)-transitive:
– Một quan hệ R trên tập A được gọi là có tính
chất bắc cầu nếu (a,b)  R và (b,c)  R thì
(a,c)  R với a,b,c  A.

– Quan hệ R trên tập A được gọi là đối xứng
nếu (b,a)  R khi (a,b)  R với a,b  A.
– Quan hệ R trên tập A sao cho (a,b)  R và
(b,a)  R chỉ nếu a=b, với a,b  A được gọi là

• R1= {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)}

phản đối xứng-antisymmetric.

• R2={(1,1),(1,2),(2,1)}

– Ví dụ: R = { (1,1),(1,2),(2,1) }
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

– Ví dụ:
Quan hệ nào có tính bắc cầu?

• R3={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}
95

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

96

24


5/10/2013

4- Quan hệ tương đương

4- Quan hệ tương đương(tt)

• Quan hệ R của SxS còn được gọi là quan
hệ cấp 2.

• Ví dụ:

– Phản xạ
ạ

– Cho tập X={a,b,c,d,e}
– Quan hệ R trên tập X:
R={(a,b),(a,c), (a,e), (b,c), (c,a), (e,a), (c,b),
(b,e), (b,a), (e,b), (a,a), (b,b),
(c,c),(d,d),(e,e)}
(c c) (d d) (e e)}

– Đối xứng

- R là quan hệ tương đương?

• Quan hệ cấp hai R là quan hệ tương
đương nếu có các tính chất:

– Bắc cầu
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

97

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

5- Quan hệ thứ tự

5- Quan hệ thứ tự (tt)

• Quan hệ cấp hai P là quan hệ thứ tự nếu
thõa các tính chất:

98

• Ví dụ:

– Phản xạ

– X={1,2,3,4,5,6,7,8}
– R={(1,1),(2,2),(1,2),(6,1),(6,2),(3,5),(8,7),(3,3),

– Phản đối xứng

(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8)} là quan hệ trên X.

– Bắc cầu

– Dễ dàng kiểm tra q
g
quan hệ R là quan hệ thứ
ệ
q
ệ
tự.

• Một tập X có một quan hệ thứ tự thì X
được gọi là tập hợp thứ tự.
Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

99

Gv: Huỳnh Thị Thu Thủy

100

25