Phép chia đa thức nhiều biến và một số ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC





NGUYỄN NGỌC BIÊN




PHÉP CHIA ĐA THỨC NHIỀU BIẾN
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG


LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC


Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số : 60 46 40

Thái Nguyên, năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
K ⊆ C. K 1 ∈ K K
0
Q R C Q[
√
p] = {a + b
√
p | a, b ∈ Q}
p
K ⊆ C
f(x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ + a
0
, a

i
∈ K, a
n
= 0
x x K a
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(x) n f(x)
deg f(x) a
n
= 1 f(x)
0 0
K[x] x K f(x) =

a
i
x
i
g(x) =

b
i
x
i
f(x) + g(x) =

(a
i
+ b
i

)x
i
f(x)g(x) =

c
k
x
k
c
k
=

i+j=k
a
i
b
j
.
f(x), g(x) ∈ K[x]
deg(f(x) + g(x))  max{deg f(x), deg g(x)}
deg(f(x).g(x)) = deg f(x) + deg g(x).
f(x), g(x) ∈ K[x] g(x) = 0
q(x), r(x) ∈ K[x]
f(x) = g(x)q(x) + r(x), r(x) = 0 deg r(x) < deg g(x).
f(x) = g(x)q(x) + r(x) = g(x)q
1
(x) + r
1
(x),
r(x), r

1
(x) 0 g(x)
g(x)(q(x) −q
1
(x)) = r
1
(x) −r(x).
r
1
(x) = r(x) g(x)(q(x) −q
1
(x)) = 0 g(x) = 0 K
q(x) − q
1
(x) = 0 q(x) = q
1
(x) r(x) = r
1
(x)
deg(r −r
1
) = deg

g(q −q
1
)

= deg g + deg(q −q
1
).

deg(r −r
1
)  max{deg r, deg r
1
} < deg g  deg g + deg(q −q
1
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
q(x) r(x)
deg f(x) < deg g(x) q(x) = 0 r(x) = f(x).
deg f(x) ≥ deg g(x) h(x) ∈ K[x]
f
1
(x) = f(x) − g(x)h(x) f(x)
f
1
(x) g(x) q r
f(x) = a
m
x
m
+ . . . + a
0
g(x) = b
n
x
n
+ . . . + b
0
a

m
, b
n
= 0
n  m. h(x) =
a
m
b
n
x
m−n
. f
1
(x) = f(x) − g(x)h(x)
f
1
(x) = 0 f
1
(x) f(x).
f
1
(x) = 0 f(x) g(x) r(x) = 0
q(x) = h(x) f
1
(x) = 0
f
1
(x) f
2
(x)

f
1
(x), f
2
(x), . . . 0
g(x)
r(x) 0
r(x) = 0
f
1
(x) = f(x) −g(x)h(x)
f
2
(x) = f
1
(x) −g(x)h
1
(x)
. . . . . . . . .
f
k
(x) = f
k−1
(x) −g(x)h
k−1
(x)
f
k
(x) = 0 deg f
k

(x) < deg g(x)
f(x) = g(x)(h(x) + h
1
(x) + + h
k−1
(x)) + f
k
(x).
q(x) = h(x) + h
1
(x) + . . . + h
k−1
(x) r(x) = f
k
(x)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
q(x) r(x)
f(x) g(x)
Q f(x) = −2x
3
− 14x
2
+ 4x − 3
g(x) = −2x
2
+ 2x −1 f(x) g(x)
−x
3
− 7x
2

+ 2x −4 = (−2x
2
+ 2x −1)(x + 8) − 11x + 5.
q(x) = x + 8 r(x) = −11x + 5.
f(x) g(x) 0 q(x) ∈ K[x]
f(x) = g(x)q(x) f(x)
g(x) g(x) f(x)
K a ∈ K
f(x) ∈ K[x] x − a f(a)
f(x) x − a 0
0 (x − a) 1 r ∈ K
f(x) = (x −a)q(x) + r x = a r = f(a).
K f(x) =
a
n
x
n
+ . . . + a
1
x + a
0
∈ K[x]. a ∈ K, f(x) x − a
f(x) = (x−a)g(x)+ r, r ∈ K g(x) = b
n−1
x
n−1
+. . .+b
1
x+b
0

.
r b
n−1
, . . . , b
1
, b
0
g





















b

n−1
= a
n

b
i−1
= a
i
+ ab
i

b
0
= a
1
+ ab
1
r = a
0
+ b
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a
n
a
n−1
··· a
1
a

0
a b
n−1
= a
n
b
n−2
= ab
n−1
+ a
n−1
··· b
0
= ab
1
+ a
1
r = b
0
+ a
0
x
5
−2x
4
+ 5x
2
+ 6x −8 x + 1
1 −2 0 5 6 −8
−1 1 −3 3 2 4 −12

x
5
−2x
4
+ 5x
2
+ 6x −8 = (x + 1)(x
4
−3x
3
+ 3x
2
+ 2x −4) −12.
K α ∈ C
f(x) = a
n
x
n
+ . . . + a
1
x + a
0
∈ K[x]
f(α) = a
n
α
n
+ . . . + a
1
α + a

0
= 0.
K a ∈ K a
f(x) ∈ K[x] g(x) ∈ K[x]
f(x) = (x −a)g(x).
k > 0 a ∈ K
k f(x) ∈ K[x] f(x) (x − a)
k
(x −a)
k+1
. k = 1 a
k = 2 a
a ∈ K k f(x) ∈ K[x]
f(x) = (x −a)
k
g(x) g(x) ∈ K[x] g(a) = 0.
a k f(x). f(x)
(x − a)
k
f(x) = (x − a)
k
g(x) g(x) ∈ K[x]. g(a) = 0
g(x) = (x − a)h(x) h(x) ∈ K[x]
f(x) (x − a)
k+1
, g(a) = 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(x) = (x −a)
k
g(x) f(x) (x − a)

k
f(x)
(x −a)
k+1
f(x) = (x −a)
k+1
h(x) h(x) ∈ K[x].
(x −a)
k
g(x) = (x − a)
k+1
h(x).
K g(x) = (x −a)h(x). g(a) = 0,
f(x) (x − a)
k+1
a
1
, a
2
, . . . , a
r
∈ K
f(x) ∈ K[x] a
i
k
i
f(x) i = 1, 2, . . . , r.
f(x) = (x −a
1
)

k
1
(x −a
2
)
k
2
. . . (x − a
r
)
k
r
u(x)
u(x) ∈ K[x] u(a
i
) = 0 i = 1, . . . , r.
r. r = 1
r > 1.
h(x) ∈ K[x]
f(x) = (x −a
1
)
k
1
(x −a
2
)
k
2
. . . (x − a

r−1
)
k
r−1
h(x)
h(x) ∈ K[x] h(a
i
) = 0 i = 1, . . . , r − 1. a
r
f(x)
0 = f(a
r
) = (a
r
− a
1
)
k
1
(a
r
− a
2
)
k
2
. . . (a
r
− a
r−1

)
k
r−1
h(a
r
).
a
r
= a
i
i = 1, . . . , r − 1 h(a
r
) = 0. h(x) =
(x − a
r
)
t
u(x) u(x) ∈ K[x] u(a
r
) = 0 t > 0
h(a
i
) = 0 u(a
i
) = 0 i = 1, . . . , r − 1. a
r
k
r
f(x) t  k
r

. f(x)
f(x) = (x −a
r
)
k
r
v(x), v(x) ∈ K[x] v(a
r
) = 0.
f(x) = (x −a
r
)
k
r
v(x) = (x − a
1
)
k
1
. . . (x − a
r−1
)
k
r−1
(x −a
r
)
t
u(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

K (x −a
r
)
t
(x −a
r
)
k
r
−t
v(x) = (x − a
1
)
k
1
. . . (x − a
r−1
)
k
r−1
u(x).
t < k
r
x = a
r
0
0, t = k
r
f
f(x) = (x −a

1
)
k
1
. . . (x − a
r−1
)
k
r−1
(x −a
r
)
k
r
u(x)
u(a
i
) = 0 i = 1, . . . , r.
f(x) ∈ K[x] 0.
f(x) f(x).
a
1
, . . . , a
r
f(x)
k
1
, . . . , k
r
.

f(x) = (x −a
1
)
k
1
(x −a
2
)
k
2
. . . (x − a
r
)
k
r
g(x),
g(x) ∈ K[x]. K
deg f(x) = deg g(x) +
r

i=1
k
i
≥
r

i=1
k
i
.

f(x), g(x) ∈ K[x] deg f, deg g  n
f(x) g(x) n + 1 K
f(x) = g(x).
h(x) = f(x)−g(x). h(x) n+1
h(x) = 0
deg h(x)  max{deg f(x), deg g(x)}  n.
h(x) n
h(x) = 0 f(x) = g(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
K K ⊆ C
d(x) ∈ K[x]
f
1
(x), . . . , f
s
(x) ∈ K[x]
d(x) f
i
(x) i = 1, . . . , s.
t(x) ∈ K[x] f
i
(x) i = 1, . . . , s d(x)
t(x).
d(x) f
1
, . . . , f
s
d(x) h(x) f
s
(x) h(x)

f
1
(x), . . . , f
s−1
(x).
f, g, q, r ∈ K[x] g(x) = 0
f = gq + r r = 0 deg r < deg g
f g g r.
d(x) f g
d(x) f − gq. d(x) r(x). d(x)
g r t(x) g r
t(x) f −gq. t(x) f(x). t(x)
g f t(x) d(x). d(x)
g r d(x)
g r d(x)
f g
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f, g ∈
K[x] g = 0 k






















f = gq + r, r = 0, degr < deg g
g = rq
1
+ r
1
, r
1
= 0, deg r
1
< deg r
r = r
1
q
2
+ r
2
, r
2
= 0, deg r
2

< deg r
1
. . . . . .
r
k−2
= r
k−1
q
k
+ r
k
, r
k
= 0, deg r
k
< deg r
k−1
r
k−1
= r
k
q
k+1
.
r
k
f g
f g r r = 0 g
r r
1

r
1
= 0 r r
1
r
2
deg g > deg r > deg r
1
> . . .
f g r
k
.
x
6
− 1, x
3
− 3x + 2 x
4
− 1.
x
6
− 1 x
4
− 1
x
6
− 1 = x
2
(x
4

− 1) + x
2
− 1
x
4
− 1 = (x
2
+ 1)(x
2
− 1) + 0.
x
4
−1 x
6
−1 x
2
−1
x
2
− 1 x
3
− 3x + 2
x
3
− 3x + 2 = (x
2
− 1)x −2x + 2
x
2
− 1 = (−2x + 2)


−
1
2
x −
1
2

.
x
3
− 3x + 2 x
4
− 1 x
6
− 1
−2x + 2.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f
1
, . . . , f
s
0
f
1
, . . . , f
s
.
K ⊆ T f
1

, . . . , f
s
∈ K[x]
f
1
, . . . , f
s
K[x]
f
1
, . . . , f
s
T [x].
f
1
, . . . , f
s
0
f
1
, . . . , f
s
0 d
1
(x) d
2
(x)
f
1
, . . . , f

s
a ∈ K, a = 0 d
1
(x) = ad
2
(x)
f
1
, . . . , f
s
d
0
(x)
1
f
1
, . . . , f
s
d
0
(x) = gcd(f
1
, . . . , f
s
).
gcd(x
3
− 3x + 2, x
4
− 1, x

6
− 1) = x −1.
f(x), g(x) ∈ K[x] d(x) ∈ K[x]
f(x), g(x) u(x), v(x) ∈ K[x]
d(x) = f(x)u(x) + g(x)v(x).
d(x) = r
k
(x) u
1
(x) = 1, v
1
(x) = −q
k
(x),
d(x) = r
k−2
(x)u
1
(x) + r
k−1
(x)v
1
(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
r
k−1
(x)
r
k−1
(x) = r

k−3
(x) −r
k−2
(x)q
k−1
(x)
d(x) = r
k−3
(x)u
2
(x) + r
k−2
(x)v
2
(x), u
2
(x) = v
1
(x)
v
2
(x) = u
1
(x) −v
1
(x)q
k−1
(x)
f(x) ∈ K[x]
K deg f > 0 f

K deg f.
α ∈ C K
0 K α
α K
K[x] α
α
f(x) ∈ K[x] 0
α deg f > 0. f(x)
f = gh deg g, deg h < deg f. g h
0 deg f α
f a
n
f
1
a
n
f(x) α
p(x), q(x) ∈ K[x]
α p(x) q(x) q(x)
gcd(p, q) = 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1 = p(x)h(x) + q(x)g(x) α 1 = 0,
p(x) q(x). p(x) = t(x)q(x).
q(x) p(x). deg p = deg q.
t(x) = a ∈ K. p(x) = t(x)q(x)
p(x) q(x) a = 1.
p(x) = q(x).
α ∈ C K g(x) ∈ K[x]
g(α) = 0. f(x) ∈ K[x]
1

g(α)
= f(α).
p(x) ∈ K[x]
α g(α) = 0 g(x) = p(x)q(x) + r(x) q, r ∈ K[x]
r = 0 deg r < deg p. α p(x) g(α) = r(α).
p(x) deg r(x) < deg p(x) gcd(p, r) = 1.
f(x), t(x) ∈ K[x]
1 = r(x)f(x) + p(x)t(x). α p(x) 1 = r(α)f(α).
1 = g(α)f(α).
1
g(α)
= f(α).
g(α)
1
1 +
3
√
2 + 2
3
√
4
.
g(x) = 1 + x + 2x
2
g(
3
√
2)
3
√

2 p(x) = x
3
− 2 deg g < deg p p(x)
g(x)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4p(x) = g(x)(2x − 1) −x − 7
g(x) = (−x − 7)(−2x + 13) + 92
−x −7 = 92(−x/92 −7/92) + 0.
92 = g(x) + (−x −7)(2x − 13).
92 = g(x) +

4p(x) −g(x)(2x − 1)

(2x −13).
92 = 4(2x −13)p(x) + 4(−x
2
+ 7x −3)g(x).
23 = (2x −13)p(x) + (−x
2
+ 7x −3)g(x).
23 =

−
3
√
4 + 7
3
√
2 −3


1 +
3
√
2 + 2
3
√
4

.
1
+
3
√
2 + 2
3
√
4
=
−
3
√
4 + 7
3
√
2 −3
3
.
K ⊆ C
V
V

V 0 ∈ V 0 + x = x
x ∈ V V x ∈ V
−x ∈ V x + (−x) = 0
x, y, z ∈ V (xy)z = x(yz)
V
V
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Z, Q, R, C
K[x] x K.
K[x] K[x]
x K
V I ⊆ V I V
0 ∈ I, a − b ∈ I ax, xa ∈ I a, b ∈ I x ∈ V
Z Z
mZ m ∈ N.
V U ⊆ V. U
V, V.
V U V U.
U (U). U = {a
1
, . . . , a
n
} (U)
a
1
, . . . , a
n
(a
1
, . . . , a

n
).
(U) = {a
1
x
1
+ . . . + a
n
x
n
| x
1
, . . . , x
n
∈ V }.
U = {a} (U) a
(a). (a) = {ax | x ∈ V }.
K[x].
K[x]
I K[x]. I = 0 I
0 I = 0 g ∈ I 0
0 I f
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
I, q, r ∈ K[x] f = gq + r r = 0 deg r < deg g.
r = f − gq ∈ I. g I r = 0.
I ⊆ (g) (g) ⊆ I. I g
f
1
, . . . , f
s

K[x]
0 h = gcd(f
1
, . . . f
s
). (f
1
, . . . , f
s
)
h
s = 2
f
1
= f f
2
= g. gcd(f, g) = h (f, g) = (h).
f, g h f, g ∈ (h)
(f, g) = {fp + gq | p, q ∈ K[x]} ⊆ (h).
h = gcd(f, g) p, q ∈ K[x]
h = pf + qg ∈ (f, g). (h) ⊆ (f, g)
I, J K[x] I, J
I = (f) J = (g). I + J = (f, g) = (h)
h = gcd(f, g).
x
6
−1, x
4
−1
x

3
− 3x + 2
x −1 x
6
−1, x
4
−1
x
3
− 3x + 2 x − 1
x
6
− 1, x
4
− 1 x
3
− 3x + 2.
f I = (f
1
, . . . , f
s
)
K[x]. f ∈ I f gcd(f
1
, . . . , f
s
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
3

+ 4x
2
+ 3x − 7
(x
3
− 3x + 2, x
4
− 1, x
6
− 1)
gcd(x
3
−3x+2, x
4
−1, x
6
−1) = x−1. x
3
+4x
2
+3x−7 =
(x
2
+ 5x + 8)(x − 1) + 1 x
3
+ 4x
2
+ 3x − 7
(x
3

− 3x + 2, x
4
− 1, x
6
− 1)
k ∈ K[x]
f
1
, . . . , f
s
k f
i
i t ∈ K[x]
f
i
i t k. f
1
, . . . , f
s
0
k f
1
, . . . , f
s
k
h f
s
h
f
1

, . . . , f
s−1
.
f
1
, f
2
0
k =
f
1
.f
2
gcd(f
1
, f
2
)
f
1
, f
2
K[x]
I
i
= (f
i
) i = 1, . . . , s
0 K[x] k f
1

, . . . f
s
.
I
1
∩ . . . ∩ I
s
= (k).
I
1
= (x
2
− 1) I
2
= (x
2
− 3x + 2) I
1
∩ I
2
.
h = gcd(x
2
− 1, x
2
− 3x + 2) = x − 1.
x
2
− 1, x
2

− 3x + 2
k =
(x
2
− 1)(x
2
− 3x + 2)
h
= (x
2
− 1)(x −2) = x
3
− 2x
2
− x + 2.
I
1
∩ I
2
= (x
3
− 2x
2
− x + 2).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
K ⊆ C
n α = (α
1
, ··· , α
n

)
x
α
= x
α
1
1
···x
α
n
n
n x
1
, . . . , x
n
α
1
+ ···+ α
n
. ax
α
,
0 = a ∈ K x
α
x
α
ax
α
.
f n x

1
, . . . , x
n
K
f
f.
f, deg(f),
f. f x
i
, i = 1, ··· , n,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
i
f.
R = K[x
1
, . . . , x
n
]. R
n x
1
, . . . , x
n
K
I R
I T I
x
α
I x
α

T
T = {x
β
i
, i = 1, ··· , t}
I x
α
x
β
i
x
α
I
x
α
∈ I x
α
= h
1
x
β
1
+ ··· + h
t
x
β
t
h
1
, ··· , h

t
∈ R.
x
α
x
β
i
x
α
I R.
I
f ∈ R, f ∈ I f I.
I K I.
⇒ f ∈ R. f I
f ∈ I. f ∈ I. I
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
α
i
∈ I, i = 1, ··· , t, h
1
, ··· , h
t
∈ R
f = h
1
x
α
1
+ ···+ h

t
x
α
t
.
f. f
x
α
i
I.
⇒ I K f ∈ I
I.
⇒ I K I
I. I
I
I = 0 I = R I = 0
I = R. n. n = 1,
α x
α
∈ I. I x
α
.
n
n + 1 I R = K[x
1
, ··· , x
n+1
].
S = K[x
1

, ··· , x
n
] n K
S R. R
x
α
x
m
n+1
x
α
S J
x
α
x
α
x
m
n+1
∈ I m
J S. J
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
J = (x
α(1)
, ··· , x
α(s)
)S.
i = 1, 2, ··· , s, x
α(i)
∈ J J,

m
i
≥ 0 x
α(i)
x
m
i
n+1
∈ I. m
m
i
k = 0, ··· , m −1, J
k
S
x
α
x
α
x
k
n+1
∈ I. J
k
S, J
k
= (x
α
k
(1)
, ··· , x

α
k
(s
k
)
)S. T
x
α
k
(i)
x
k
n+1
k = 0, ··· , m − 1 i = 1, ··· , s
k
.
I = (x
α(1)
x
m
n+1
, ··· , x
α(s)
x
m
n+1
, T )R.
I (x
α(1)
x

m
n+1
, ··· , x
α(s)
x
m
n+1
, T )R
T x
α(1)
x
m
n+1
, ··· , x
α(s)
x
m
n+1
I.
x
α
x
t
n+1
I. x
α
∈ J. x
α
x
α(i)

t ≥ m x
α
x
t
n+1
x
α(i)
x
m
n+1
.
x
α
x
t
n+1
(x
α(1)
x
m
n+1
, ··· , x
α(s)
x
m
n+1
, T )R.
t < m J
t
x

α
∈ J
t
. x
α
x
α
t
(i)
x
α
x
t
n+1
x
α
t
(i)
x
t
n+1
x
α
x
t
n+1
(x
α(1)
x
m

n+1
, ··· , x
α(s)
x
m
n+1
, T )R.
I
D I I
x
α
1
, ··· , x
α
t
I. i = 1, ··· , t, D I
x
β
i
∈ T x
α
i
x
β
i
. D
(x
β
1
, ··· , x

β
t
) I.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên