Phép chiếu vuông góc và một số ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






HOÀNG THỊ LIỄU







PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG





L
L
U
U
Ậ

Ậ
N
N


V
V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ĩ
Ĩ


T

T
O
O
Á
Á
N
N


H
H
Ọ
Ọ
C
C













Thái Nguyên - năm 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






HOÀNG THỊ LIỄU




PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG


Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01


L
L
U
U
Ậ
Ậ
N

N


V
V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ĩ
Ĩ


T
T
O

O
Á
Á
N
N


H
H
Ọ
Ọ
C
C





Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU







Thái Nguyên - năm 2009
▼ô❝ ❧ô❝
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✷

✶ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥✳ ✹
✶✳✶ ❚❐♣ ❧å✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹
✶✳✶✳✶ ❚æ ❤î♣ ❧å✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹
✶✳✶✳✷ ❚❐♣ ❛✲♣❤✐♥✱ t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ö♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✶✳✸ ◆ã♥ ❧å✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵
✶✳✷ ❍➭♠ ❧å✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸
✷ P❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ❧➟♥ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣✳ ✶✽
✷✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✷✳✷ ❍×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝ñ❛ ♠ét ➤✐Ó♠ ❧➟♥ ♠ét sè t❐♣ q✉❡♥ t❤✉é❝✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹
✸ ▼ét sè ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉✳ ✷✽
✸✳✶ ➜Þ♥❤ ❧ý t➳❝❤ t❐♣ ❧å✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽
✸✳✷ ❉➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸
✸✳✸ ●✐➯✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
ờ ó
tí ồ ộ ủ tí ệ ứ ề t ồ
ồ ù ữ ề q ộ ó trò q trọ
tr ề ĩ ự ủ t ọ ứ ụ ệt tr tố
ó t tứ ế t
ột tr ữ ề q trọ ủ tí ồ ó é ế
ó ột ụ s é ể ứ
ề ị ý q trọ ị ý t ị ý ỉ t ồ ị ý ề
tồ t ệ ủ t tứ ế ữ ứ ự
é ế tờ tí t ế tết ợ ở ế ề ề

r ú t t tr ệ trì ị ĩ
ệ tí t ù ữ ứ ụ q trọ ủ é ế ự
ó ú t ớ tệ tt t ể tì ệ ủ t t

tứ ế qết ợ t t tứ ế tì ú
t ó tể r ờ rt ề ề ở ì ề t tr
tố ó trì t ý t ề ề tr tế ỹ tt
t tịề ợ t ớ ó
ề t ồ r trớ ết ú t trì
ột số ế tứ sở ủ t ồ ồ ú ữ ụ
t ữ ứ ợ trì tr
ột í ủ r ú
t ể ó r ề ệ tí t ủ é ế
ệt ú t trì tứ ị ì ế ủ ột ể s
ộ ì ủ R
n
.
r q trì ứ ề é ế ó ú t ết r
ì ế ó ủ ột ể t ồ ó rỗ tr R
n
tồ t t ự ó ú t ề ế ữ ứ ụ

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn
❝ñ❛ ♥ã✳ ❈ô t❤Ó ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ✈➭♦
❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ò s❛✉✿ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý t➳❝❤✱ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ sù tå♥ t➵✐ ❝ñ❛
❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐✱ ①➞② ❞ù♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❣✐➯✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳
◆❤÷♥❣ ✈✃♥ ➤Ò ♥➭② ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② ❝❤✐ t✐Õt ë ❈❤➢➡♥❣ ✸✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ❝ñ❛ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ▲➟
❉ò♥❣ ▼➢✉✳ ◆❤ê ❚❤➬②✱ t➠✐ ➤➲ ❜➢í❝ ➤➬✉ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈➭ s❛② ♠➟ tr♦♥❣ ❝➠♥❣ ✈✐Ö❝
♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t♦➳♥✳ ◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭②✱ t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❚❤➬②✳
➜å♥❣ t❤ê✐ t➠✐ ❝ò♥❣ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❱✐Ö♥ t♦➳♥
❤ä❝ ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ❣✐ó♣ t➠✐ ♥➽♠ ➤➢î❝ ♥❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ✈➭ t➵♦
➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ❝❤♦ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳

❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❝æ ✈ò ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐
tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ◆❣➭② 28 t❤➳♥❣ 09 ♥➝♠ 2009
❍ä❝ ✈✐➟♥
❍♦➭♥❣ ❚❤Þ ▲✐Ô✉
✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
❈❤➢➡♥❣ ✶
❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥✳
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♥❤÷♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ tr♦♥❣ ❣✐➯✐
tÝ❝❤ ❧å✐ ❝ï♥❣ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ♥ã ♥❤➢ t❐♣ ❧å✐✱ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥✱
♥ã♥ ❧å✐✱ ❤➭♠ ❧å✐✳✳✳
✶✳✶ ❚❐♣ ❧å✐✳
◆❤÷♥❣ t❐♣ ❤î♣ q✉❡♥ t❤✉é❝ ♠➭ ❝❤ó♥❣ t❛ ➤➲ ❜✐Õt ♥❤➢ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✱ s✐➟✉
♣❤➻♥❣✳✳✳ ➤Ò✉ ❧➭ t❐♣ ❧å✐✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò t❐♣ ❧å✐ ❝ã ♠ét ✈❛✐ trß q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣
❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛
t❐♣ ❧å✐✱ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥✱ t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ö♥✱ ♥ã♥ ❧å✐✳✳✳
✶✳✶✳✶ ❚æ ❤î♣ ❧å✐✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳
• ▼ét ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ➤✐Ó♠ ✭✈Ð❝t➡✮ a ✈➭ b tr♦♥❣ R
n
❧➭ t❐♣ ❤î♣ t✃t ❝➯
❝➳❝ ➤✐Ó♠ ✭✈Ð❝t➡✮ x ∈ R
n
❝ã ❞➵♥❣
{x ∈ R
n
| x = (1 − λ)a + λb, λ ∈ R}.
• ▼ét ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ➤✐Ó♠ ✭✈Ð❝t➡✮ a ✈➭ b tr♦♥❣ R
n

❧➭ t❐♣ ❤î♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝
➤✐Ó♠ ✭✈Ð❝t➡✮ x ∈ R
n
❝ã ❞➵♥❣
{x ∈ R
n
| x = (1 − λ)a + λb, 0 ≤ λ ≤ 1} .
✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✷✳ ▼ét t❐♣ C ⊆ R
n
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ♥Õ✉ C ❝❤ø❛ ♠ä✐
➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ➤✐ q✉❛ ❤❛✐ ➤✐Ó♠ ❜✃t ❦ú ❝ñ❛ ♥ã✳ ❚ø❝ ❧➭ C ❧å✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
❚❛ ♥ã✐ x ❧➭ tæ ❤î♣ ❧å✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ✭✈Ð❝t➡✮x
1
, . . . , x
k
♥Õ✉
x =
k

i=1
λ
i
x
i
, x
i
∈ R

n
, λ
i
≥ 0, ∀i = 1, . . . , k,
k

i=1
λ
i
= 1.
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✳✸✳ ✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✮✳ ❚❐♣ C ⊆ R
n
❧➭ ❧å✐ ❦❤✐
✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ♥ã ❝❤ø❛ ♠ä✐ tæ ❤î♣ ❧å✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛ ♥ã✳ ❚ø❝ ❧➭✱ C ❧➭ ❧å✐ ❦❤✐
✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐
∀k ∈ N, ∀λ
1
, . . . , λ
k
> 0 :
k

i=1
λ
i
= 1, ∀x
1
, . . . , x
k
∈ C ⇒

k

i=1
λ
i
x
i
∈ C.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ✿ ❙✉② r❛ tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ t❐♣ ❧å✐ ø♥❣ ✈í✐ k = 2.
➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥✿ ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ sè ➤✐Ó♠✳
k = 1 : ❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✳
k = 2 : ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ s✉② r❛ ♥❣❛② tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ t❐♣ ❧å✐
✈➭ tæ ❤î♣ ❧å✐✳
●✐➯ sö ♠Ö♥❤ ➤Ò ➤ó♥❣ ✈í✐ k − 1 ➤✐Ó♠✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♥ã ➤ó♥❣ ✈í✐ k ➤✐Ó♠✳
❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉ x ❧➭ tæ ❤î♣ ❧å✐ ❝ñ❛ k ➤✐Ó♠ x
1
, . . . , x
k
∈ C, tø❝ ❧➭ ✿
x =
k

i=1
λ
i
x
i
, λ
i

> 0, ∀i = 1, . . . , k,
k

i=1
λ
i
= 1.
●✐➯ sö λ
k
> 0, ➤➷t ✿ α =
k−1

i=1
λ
i
✳ ❑❤✐ ➤ã 0 < α < 1 ✈➭
x =
k−1

i=1
λ
i
x
i
+ λ
k
x
k
= α
k−1


i=1
λ
i
α
x
i
+ λ
k
x
k
.
❉♦
λ
i
α
> 0 ∀i = 1, . . . , k − 1 ✈➭
k−1

i=1
λ
i
α
= 1
✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
♥➟♥ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❤× ➤✐Ó♠
y =
k−1


i=1
λ
i
α
x
i
∈ C.
❚❛ ❝ã ✿ x = αy + λ
k
x
k
. ❉♦ α > 0, λ
k
> 0 ✈➭ α + λ
k
=
k

i=1
λ
i
= 1 ♥➟♥
x ❧➭ tæ ❤î♣ ❧å✐ ❝ñ❛ y ✈➭ x
k
➤Ò✉ t❤✉é❝ C✳
❱❐② x ∈ C.
❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ t❐♣ ❧å✐✱ t❛ s✉② r❛ ❧í♣ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐ ❧➭ ➤ã♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❣✐❛♦✱
♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ➤➵✐ sè ✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ tÝ❝❤ ❉❡❝❛st❡s✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✳✹✳ ✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷✮✳ ◆Õ✉ A, B ❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐
tr♦♥❣ R

n
✱ C ❧➭ t❐♣ ❧å✐ tr♦♥❣ R
m
t❤× ❝➳❝ t❐♣ s❛✉ ❧➭ ❧å✐
A ∩ B = {x | x ∈ A, x ∈ B} ,
αA + βB = {x | x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R} ,
A × C = {x ∈ R
m+n
| x = (a; c), a ∈ A, c ∈ C} .
✶✳✶✳✷ ❚❐♣ ❛✲♣❤✐♥✱ t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ö♥✳
❚r♦♥❣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❝æ ➤✐Ó♥✱ t❛ ➤➲ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈í✐ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✱ ❝➳❝ s✐➟✉
♣❤➻♥❣✳✳✳➜ã ❧➭ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤î♣ r✐➟♥❣ ❝ñ❛ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤➢ s❛✉✿
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✺✳ ▼ét t❐♣ C ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ♥Õ✉ ♥ã ❝❤ø❛ ♠ä✐ ➤➢ê♥❣
t❤➻♥❣ ➤✐ q✉❛ ❤❛✐ ➤✐Ó♠ ❜✃t ❦ú ❝ñ❛ ♥ã✳ ❚ø❝ ❧➭ ✿
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✻✳
❛✮ ❚❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ❤î♣ r✐➟♥❣ ❝ñ❛ t❐♣ ❧å✐✳
❜✮ ▼ä✐ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ tr♦♥❣ R
n
➤Ò✉ ❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤♦ t❛ t❤✃② t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ➯♥❤ tÞ♥❤ t✐Õ♥ ❝ñ❛ ♠ét
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✳
✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
ệ ề ệ ề M = t
ỉ M = L + a ớ L ột a M.
L ợ ị t
ứ
ề ệ sử M t a M
ó L = M a ứ 0 t ó L ột

M = L + a.
ề ệ ủ ế M = L + a ớ a M L tì
x, y M, R, t ó
(1 )x + y = a + (1 )(x a) + (y a).
x a, y a L L
(1 )(x a) + (y a) L.
= (1 )x + y M.
M t
L ở tr t t ế M = L + a
M = L

+ a

, tr ó L, L

ữ a, a

M tì
L

= M a = L + a a

= L + (a a

).
a

M = a + L a

a L.

= L

= L + (a a

) = L.
L tr ệ ề tr ợ ọ s
s ớ t M
ị ĩ ứ ề ủ L s s
ớ t M ợ ọ tứ ề ủ M ợ ý ệ
M
ể a R
n
t ó số ề 0 ở ì
s s ớ M = {a} L = {0}

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✳✾✳ ✭①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✹✮✳ ❇✃t ❦ú ♠ét t❐♣ ❛✲ ♣❤✐♥
M ⊆ R
n
❝ã sè ❝❤✐Ò✉ r ➤Ò✉ ❝ã ❞➵♥❣
M = {x ∈ R
n
| Ax = b} (1.1)
❚r♦♥❣ ➤ã✿ A ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝✃♣ (m × n), b ∈ R
m
✈➭ rank A = n − r.
◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ♠ä✐ t❐♣ ❤î♣ ❝ã ❞➵♥❣ ✭✶✳✶✮ ✈í✐ rank A = n − r ➤Ò✉ ❧➭ t❐♣
❛✲♣❤✐♥ ❝ã sè ❝❤✐Ò✉ ❧➭ r✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥✿ ●✐➯ sö M ❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ❝ã sè ❝❤✐Ò✉ ❧➭ r ✈➭ M = L + a ✈í✐

a ∈ M✳ ❱❐② L = M − a ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝ã sè ❝❤✐Ò✉ ❧➭ r✳
❚❤❡♦ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ r ✲ ❝❤✐Ò✉ ♥➭② ❝ã ❞➵♥❣ ✿
L = {x | Ax = 0}
tr♦♥❣ ➤ã A ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝✃♣ m × n ✈➭ rank A = n − r. ❚õ M = L + a s✉② r❛
M = {x | A(x − a) = 0} = {x | Ax = Aa = b} .
➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ✿ ◆Õ✉ M ➤➢î❝ ❝❤♦ ❜ë✐ ✭✶✳✶✮ ✈í✐ a ∈ M✱ t❛ ❝ã Aa = b✱ ❞♦ ➤ã
M = {x | A(x − a) = 0} = a + L
✈í✐ L = {x | Ax = 0} .
❉♦ r❛♥❦A = n − r ♥➟♥ L ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝ã sè ❝❤✐Ò✉ r✳
❱❐② ❞✐♠ ▼ ❂ r✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✵✳
• ❙✐➟✉ ♣❤➻♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ R
n
❧➭ t❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❝ã ❞➵♥❣
{x ∈ R
n
| a, x = α}
tr♦♥❣ ➤ã ✿ a ∈ R
n
\ {0} , α ∈ R.
❱Ð❝t➡ a ë tr➟♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ✈Ð❝t➡ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ ❝ñ❛ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✳
•◆ö❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤ã♥❣ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤î♣ ❝ã ❞➵♥❣✿
{x | a, x ≤ α} , {x | a, x ≥ α}
✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
tr ó a R
n
\ {0} , R.
ử ở ột t ợ ó
{x | a, x > } , {x | a, x < } .

tr ó a R
n
\ {0} , R.
ột s r ử ỗ
ử ở ề ột í ủ s ế ử
ó tì ủ ú í s
ị ĩ ột t ợ ợ ọ t ồ ệ ế ó
ủ ột số ữ ử ó
ị ĩ x
0
C. ó s a, x = s
tự t x
0
ế
a, x
0
= , a, x , x C.
ó H =

x | a, x x
0
0

ử tự ủ C t x
0
.
ị ĩ C R
n
ủ tt t ứ C
t ỏ t ứ C ọ ủ C

C.
ệ ề ệ ề ủ t
C t ồ tt ể ó
x =
1
x
1
+ . . . +
k
x
k
(1.2)
s x
i
C,
1
+ . . . +
k
= 1 k N.
ứ M t ợ ể ó
sử x, y M. ị ĩ ủ M t ó
x =
k

i=1

i
x
i
y =

h

j=1
à
j
y
j

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn
tr ó x
i
C, i = 1, . . . , k; y
j
C, j = 1, . . . , h
k

i=1

i
=
h

j=1
à
j
= 1.
ì ỗ (0; 1) t ó
z = (1 )x + y =
k

i=1
(1 )
i
x
i
+
h

j=1
à
j
y
j
.

k

i=1
(1 )
i
+
h

j=1
à
j
= (1 ) + = 1
z = (1 )x + y M.
ừ ó s r M t C M.
t ễ t r ế x =

k

i=1

i
x
i
ớ x
i
C,
k

i=1

i
= 1
tì x C. ó M C
M E.
ị ĩ ể x
1
, . . . , x
k
ợ ọ ộ ế


x
1
, . . . , x
k

ó số ề tứ ế é t x
1
x
k
, . . . , x
k1
x
k
ộ tế tí
ệ q ồ M ủ t k ể ộ

x
1
, . . . , x
k

tr R
n
t (k 1) ề
ọ ể x M ó tể ể ễ t ớ
x =
k

i=1

i
x
i
,
k

i=1

i
= 1.
ó ồ
r tố ó t tứ ế ý tết trò ề ộ
t ứ ụ ệ ề ó ó ột trò q trọ
ị ĩ ột t C ợ ọ ó ế
x C, > 0 x C.

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn
ị ĩ t t r ố tọ ộ ó tể tộ ó
tộ ó ĩ ột ó t tết ột t ồ
í ụ
C = {x R | x = 0}
ột ó ồ
ột ó ợ ọ ó ọ ế ó ứ ờ t ó
t ó ỉ ủ ó ột ó ợ ọ ó ồ ế ó ồ tờ
ột t ồ ế ó ồ ột t ồ ệ tì t ó ó ó ồ
ệ
ệ ề ệ ề ột t C ó ồ
ỉ ó ó tí t s
C C, > 0,
C + C C.
ứ
ề ệ sử C ột ó ồ C ột ó t ó
C ột t ồ ớ ọ x, y C tì
1
2

(x + y) C
t t ó x + y C
ề ệ ủ sử t ó
ừ s r C ột ó sử x, y C [ 0, 1]
ừ s r x C (1 )y C ó x + (1 )y C
C ột ó ồ
ị ĩ C ột t ồ tr R
n
ột é t y = 0 ợ
ọ ớ ù ủ C ế ọ t t t từ ột ể t ỳ ủ C
t ớ y ề trọ tr C ứ y ớ ù ỉ
x + y C, x C, 0.
ợ ủ tt ớ ù ủ C ù ớ ể ố re C
ợ ợ ọ ó ù ủ C

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn
ể ế C ột t ị tì re C ỉ ồ t ể ố
ú ý ế C t ồ ó tì tr ị ĩ tr t ì ò
ỏ ớ ọ x C ỉ ò ỏ ột ể x C
ệ ề ệ ề sử C ột t
ồ ồ ó ó ột ớ ù ủ C ỉ
x + y C, 0
ớ ột ể ó tộ C.
ứ sử x + y C, 0 ớ x C ế tì ớ u C
à > 0 C ồ t ó
x

=
à
+ à

(x + y) + (1
à
+ à
)u C.
C ó t t u + ày C ớ ọ u C à > 0.
ú ý r trờ ợ C ó ệ ề tr ú
í ụ r R
2

C = {x = (x
1
, x
2
) | x
1
> 0, x
2
> 0} {0} .
ể é t y = (0, 1) ó tí t ọ t t t từ ột ể
0 = x C t ớ ề trọ tr C ế t t từ
x = 0 tì ề ú
C R
n
t ồ x C ý ệ
N
C
(x) = {w | w, y x 0, y C} .
ể 0 N
C
(x) ù ị ĩ ễ ể tr ợ r N

C
(x)
ó ồ ó
ó ợ ọ ó tế ủ C t x N
C
(x) ợ
ọ ó tế tr ủ C t x
N
C
(x) = {w | w, y x 0 y C} .

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn
ột ó q trọ ó ố ự ợ ị ĩ s
C

= {w | w, x 0 x C} .
ũ ột ó ồ ó ứ ố
C t ồ rỗ x C ó d R
n
ột ớ
ợ ủ C ế t
0
> 0 s x + td C ớ ọ 0 t t
0

tt ớ ợ ột ó ồ ứ ố ọ ó
ợ ý ệ F
C
(x) ó ó tể ó t
ế ó t sẽ ợ ột ó ọ ó tế ú ủ C t

ý ệ ó T
C
(x) tì F
C
(x) = T
C
(x). ừ s r
T
C
(x) =

d R
n
| d
k
d, t
k
0 : x + t
k
d
k
C k

.
ệ ề ệ ề ó tế
ó tế ú ố ự ủ
ễ s trự tế từ ị ĩ
í ụ sử t ồ C ợ ở
C =

x R
n
| a
j
, x b
j
, j = 1, . . . , m

ớ x C t
J(x) =

j | a
j
, x = b
j

ọ t ỉ số tí ự t
ó
T
C
(x) =

x R
n
| a
j
, x 0, j J(x)

.
N

C
(x) (a
j
, j J(x)) {y =

jJ(x)

j
a
j
:
j
0}.
ồ
r trì t ổ t ú t q ớ ệ
ồ ột ụ ú t trì ệ tổ qt ề
ồ ột số tí t ủ ó

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✶✳ ❈❤♦ t❐♣ C ⊂ R
n
✈➭ f : C → R
❚❛ sÏ ❦ý ❤✐Ö✉ ✿
dom f = {x ∈ C | f(x) < +∞} ,
epi f = {(x, µ) ∈ C × R | f(x) ≤ µ} .
❈➳❝ t❐♣ dom f✱ epi f ❧➬♥ ❧➢ît ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠✐Ò♥ ❤÷✉ ❤✐Ö✉ ✈➭ tr➟♥ ➤å t❤Þ ❝ñ❛
❤➭♠ ❢✳
❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤♦ f(x) = +∞ ♥Õ✉ x ∈ C✱ t❛ ❝ã t❤Ó ❝♦✐ ❢ ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥
t♦➭♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈➭
dom f = {x ∈ R

n
| f(x) < +∞} ,
epi f = {(x, µ) ∈ R
n
× R | f(x) ≤ µ} .
◗✉② ➢í❝ ♥Õ✉ λ = 0 t❤× λf(x) = 0 ✈í✐ ♠ä✐ ①✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✷✳ ❈❤♦ ∅ = C ⊆ R
n
❧å✐ ✈➭ f : C →
R✳ ❚❛ ♥ã✐ f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐
tr➟♥ C ♥Õ✉ ❡♣✐f ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ tr♦♥❣ R
n+1
✳ ❍➭♠ f ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ❧â♠ tr➟♥
C ♥Õ✉ −f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ tr➟♥ C.
❙❛✉ ➤➞② ❝❤ñ ②Õ✉ t❛ ①Ðt ❤➭♠ f : R
n
→ R ∪ {+∞}. ❉Ô t❤✃② ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛
tr➟♥ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐✿
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y)
tr♦♥❣ ➤ã ∀x, y ∈ C , ∀λ ∈ (0, 1).
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✸✳ ❍➭♠ f : R
n
→ R ∪ {+∞} ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧å✐ ❝❤➷t tr➟♥ C
♥Õ✉
f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y)
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
❍➭♠ f : R
n
→ R ∪ {+∞} ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧å✐ ♠➵♥❤ tr➟♥ C ✈í✐ ❤Ö sè η > 0 ♥Õ✉
f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y) −

1
2
ηλ(1 − λ)  x − y 
2
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
✶✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
ét ễ ể tr r ồ tr C ớ ệ số > 0
ỉ
h(.) = f(.)
1
2
.
2
ồ tr C
t sẽ ề ế ột t tứ q tộ tr trì
ổ t t tứ t ố tổ qt tr t tứ
ề ồ t tứ ữ trờ ợ r
ủ t tứ
t tứ s
ế ồ trị ữ tr t ồ C tì m N


x
1
, . . . , x
m
C
j
0 tỏ

m

j=1

j
= 1, t ó
f(
m

j=1

j
x
j
)
m

j=1

j
f(x
j
).
ệ ề ệ ề ột f : C R
ồ tr ỉ x, y C > f(x), > f(y), [ 0, 1] ,
t ó
f(x + (1 )y + (1 ).
ứ
ề ệ sử ồ ọ x, y, , tr ệ ề
ọ

(f(x), )

(f(y), ). (x,

), (y,

) epi f
epi f ồ
((1 )x + y, (1 )

+

) epi f.
f((1 )x + y) (1 )

+

< (1 ) + .
ề ệ ủ ọ (x, à), (y, ) epi f (0, 1). ớ ọ > 0 t
ó
f(x) < à + , f(y) < + .

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn
ó
f [ (1 )

+

] < (1 )(à + ) + ( + ) = (1 )à + + .

(1 )(x, à) + (y, ) epi f.
ồ
ớ ột ị ĩ t ề ồ ồ ự
ệ ệ số ồ
ị ĩ f : R
n
R {+} t tết ồ
C R
n
ột t ồ rỗ ột số tự ó ệ số ồ
ủ f tr C ế ớ (0, 1), x, y C t ó
f(x + (1 )y) < f(x) + (1 )f(y)
1
2
(1 ) x y
2
.
ể ế = 0 tì f ồ tr C ế ó ệ số ồ tr C > 0
tì ồ tr C ớ ệ số .
ị ĩ ột f ợ ọ í tờ ế dom f =
f(x) > ớ ọ
f ợ ọ ó ế epi f ột t ó tr R
n+1
.
ú ý
ừ ị ĩ ủ epi f t t r ột ồ t ợ
ị ế ết epi f.
ế f ột ồ tr ột t ồ C tì ó tể t trể f t
t
f

e
(x) =

f(x) ế x C
+ ế x C.
ể f
e
(x) = f(x) ớ x C f
e
ồ tr R
n
ữ f
e
í
tờ ỉ f í tờ tự f
e
ó ỉ f ó
ế f ồ tr R
n
s r f ồ ì f ì ế tr C ủ
f
dom f = {x : f(x) < +} = {x : à, (x, à) epif} .

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn