luận văn 1 số bắt đẳng thức và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số : 60.46.40
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN VĂN MINH
Thái Nguyên - Năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Trang phụ bìa
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Danh mục các kí hiệu, các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . ii
Mở đầu 1
Nội dung 3
1 Bất đẳng thức Cauchy 3
1.1 Các dạng của bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy . . . . . . 6

1.1.3 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy . . . . . 6
1.1.4 Bất đẳng thức Cauchy với tổng vô hạn . . . . . 7
1.1.5 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với tích trong
thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.6 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với tích trong
phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.7 Bất đẳng thức Bunyakovsky . . . . . . . . . . . 13
1.1.8 Mở rộng bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . 14
1.2 Phương pháp bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . 14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
i
1.2.1 Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm . . . . . 15
1.2.2 Kĩ thuật tách và ghép bộ số . . . . . . . . . . . 16
1.2.3 Thứ tự và sắp lại thứ tự của bộ số . . . . . . . 24
1.2.4 Điều chỉnh và lựa chọn tham số . . . . . . . . . 26
2 Bất đẳng thức giữa các giá trị trung bình 29
2.1 Các giá trị trung bình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Bất đẳng thức giữa các giá trị trung bình . . . . . . . . 32
2.2.1 Bất đẳng thức AM - GM . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Bất đẳng thức HM - GM . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.3 Bất đẳng thức HM - AM . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.4 Bất đẳng thức RMS - AM . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Một số kĩ thuật vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.1 Độ gần đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.2 Kĩ thuật tách và ghép bộ số . . . . . . . . . . . 48
2.3.3 Điều chỉnh và lựa chọn tham số . . . . . . . . . 53
2.3.4 Kĩ thuật Cauchy ngược dấu . . . . . . . . . . . 55
Kết luận 57
Tài liệu tham khảo 58
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

ii
Danh mục các kí hiệu, các chữ viết tắt
• AM - Arithmetic Mean.
• GM - Geometric Mean.
• HM - Harmonic Mean.
• IMO - International Mathematical Olympiad.
• JBMO - Junior Balkan Mathematical Olympiad.
• MO - National Mathematical Olympiad.
• PM - Power Mean.
• RMS - Root Mean Square.
• TST - Selection Test for International Mathematical Olympiad.
•

a = a + b + c.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1
Mở đầu
Bất đẳng thức là một vấn đề cổ điển xong cũng đầy thách thức
trong thế giới hiện đại, ta thường thấy sự góp mặt của bất đẳng thức
ở điểm khó trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, đề thi đại
học, cao đẳng hay trong đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi olympic
toán khu vực và quốc tế. Bất đẳng thức giữ một ví trí đặc biệt bởi nó
hữu ích trong tất cả các lĩnh vực của Toán học. Sự khó khăn của các
bài toán về bất đẳng thức chính là điều thú vị cuốn hút những người
yêu Toán.
Mục tiêu của luận văn này là hệ thống lại một số bất đẳng thức cơ
sở có nhiều ứng dụng trong quá trình giải các bài toán về bất đẳng
thức: bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức giữa các giá trị trung bình,
. và ứng dụng của chúng. Hi vọng luận văn có thể làm tài liệu tham
khảo cho học sinh và giáo viên trong các chuyên đề bồi dưỡng về bất

đẳng thức.
Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tài
liệu tham khảo.
Chương một hệ thống các dạng của bất đẳng thức Cauchy, dạng
thực, dạng phức, dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy với tổng hữu
hạn; bất đẳng thức Cauchy với tổng vô hạn; bất đẳng thức Cauchy -
Schwarz với tích trong thực và phức; bất đẳng thức Bunyakovsky với
tích phân, sau đó là các kĩ thuật vận dụng.
Chương hai trình bày về bất đẳng thức giữa các giá trị trung bình,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
2
trung bình bình phương - trung bình cộng - trung bình nhân - trung
bình điều hòa, dưới dạng các hệ quả của bất đẳng thức trung bình lũy
thừa, và bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức Carleman là các ứng
dụng quan trọng của bất đẳng thức AM - GM. Cuối chương là một
số bài tập minh họa.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS.
Nguyễn Văn Minh về sự hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá
trình làm luận văn. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy
Cô, Ban giám hiệu, khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại
học Thái Nguyên, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã luôn động viên,
khích lệ, tạo mọi điều kiện trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu
để luận văn và khóa học được hoàn thành.
Mặc dù đã rất cố gắng, xong kết quả đạt được trong luận văn còn
rất khiêm tốn và không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tác giả mong
nhận được nhiều ý kiến, góp ý quý báu của quý Thầy Cô, các anh chị
và các đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, 18 tháng 0 9 năm 2010.
Người thực hiện
Nguyễn Thị Huyền Trang

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
3
Chương 1
Bất đẳng thức Cauchy
Augustin - Louis Cauchy (1789 - 1857) công bố bất đẳng thức nổi
tiếng của ông năm 1821 ở phần chú thích về lí thuyết các bất đẳng
thức mà lập thành phần cuối cuốn sách Cours d’Analyse Algébrique
của ông. Cauchy đã không sử dụng bất đẳng thức c ủa ông trong nội
dung chính mà chỉ có trong một số bài tập có tính minh họa. Bất
đẳng thức Cauchy được áp dụng rộng rãi sớm nhất vào năm 1829, khi
Cauchy đã sử dụng bất đẳng thức của ông trong một nghiên cứu về
phương pháp Newton cho sự tính toán tìm nghiệm của các phương
trình đại số và siêu việt. Năm 1859, học trò của Cauchy là Victor
Yacovlevich Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn,
chúng ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết
quả tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng
minh bởi Hermann Amandus Schwarz vào năm 1885. Ngày nay, mỗi
tháng có hàng trăm - có lẽ hàng nghìn - sự công bố mới về khoa học,
trong đó bất đẳng thức Cauchy được áp dụng theo cách này hay cách
khác.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
4
1.1 Các dạng của bất đẳng thức Cauchy
1.1.1 Bất đẳng thức Cauchy
Định lí 1.1. Với hai bộ n số (a
1
, a
2
, . . . , a
n

), (b
1
, b
2
, . . . , b
n
), ta luôn có
bất đẳng thức sau
(a
1
b
1
+a
2
b
2
+···+a
n
b
n
)
2
 (a
2
1
+a
2
2
+···+a
2

n
)(b
2
1
+b
2
2
+···+b
2
n
). (1.1)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a
1
, a
2
, . . . , a
n
), (b
1
, b
2
, . . . , b
n
)
là hai bộ tỉ lệ, tức là tồn tại số thực k để a
i
= kb
i
, ∀i = 1, n.
Bất đẳng thức (1.1) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy hay

Cauchy - Schwarz (đôi khi còn gọi là bất đẳng thức Bunyakovsky,
Cauchy - Bunyakovsky hay Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz).
Chứng minh (Xem [1], [2], [3]).
Các hệ quả sau đây sẽ củng cố thêm các các ứng dụng khác nhau
của bất đẳng thức quan trọng này.
Hệ quả 1 .1 . Với 2 dãy số thực a
1
, a
2
, . . . , a
n
và b
1
, b
2
, . . . , b
n
, b
i
>
0, ∀i = 1, n , ta có
a
2
1
b
1
+
a
2
2

b
2
+ ···+
a
2
n
b
n

(a
1
+ a
2
+ ···+ a
n
)
2
b
1
+ b
2
+ ···+ b
n
. (1.2)
Bất đẳng thức trên thường được gọi là bất đẳng thức Schwarz.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai bộ số

a
i
√

b
i

và
√
b
i
, b
i
> 0, ∀i = 1, n, ta thu được bất đẳng thức (1.2).
Hệ quả 1.2. Với 2 dãy số thực a
1
, a
2
, . . . , a
n
và b
1
, b
2
, . . . , b
n
, ta có

a
2
1
+ b
2
1

+ ···+

a
2
n
+ b
2
n


(a
1
+ ···+ a
n
)
2
+ (b
1
+ ···+ b
n
)
2
.
(1.3)
Chứng minh (Xem [2]).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
5
Hệ quả 1.3. Với mọi dãy số thực a
1
, a

2
, . . . , a
n
, ta có
(a
1
+ a
2
+ ···+ a
n
)
2
 n(a
2
1
+ a
2
2
+ ···+ a
2
n
). (1.4)
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai bộ n số
(a
1
, a
2
, . . . , a
n
) và (1, 1, . . . , 1) ta thu được bất đẳng thức (1.4).

Ta thu được hệ quả sau đây bằng cách chia cả hai vế bất đẳng thức
(1.4) cho n
2
.
Hệ quả 1.4. Với mọi dãy số thực a
1
, a
2
, . . . , a
n
, ta có

a
1
+ a
2
+ ···+ a
n
n

2

a
2
1
+ a
2
2
+ ···+ a
2

n
n
. (1.5)
Hệ quả 1 .5. Với 2 dãy số thực không âm a
1
, a
2
, . . . , a
n
và b
1
, b
2
, . . . , b
n
,
ta có

(a
1
+ a
2
+ ···+ a
n
)(b
1
+ b
2
+ ···+ b
n

) 

a
1
b
1
+

a
2
b
2
+···+

a
n
b
n
.
(1.6)
Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với hai bộ n số (
√
a
i
)
và (
√
b
i
), a

i
 0, b
i
 0, ta được điều cần chứng minh.
Hệ quả 1.6. Với 2 dãy số thực a
1
, a
2
, . . . , a
n
và b
1
, b
2
, . . . , b
n
, a
i
>
0, b
i
= 0, ta có
a
1
b
2
1
+
a
2

b
2
2
+ ···+
a
n
b
2
n

1
a
1
+ a
2
+ ···+ a
n

a
1
b
1
+
a
2
b
2
+ ···+
a
n

b
n

2
. (1.7)
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ha i bộ n số

√
a
i
b
i

và
√
a
i
, a
i
> 0, b
i
= 0, ∀i = 1, n, ta thu được bất đẳng thức (1.7).
Hệ quả 1.7. Với 2 dãy số thực dương a
1
, a
2
, . . . , a
n
và b
1

, b
2
, . . . , b
n
,
ta có

a
1
b
1
+
a
2
b
2
+ ···+
a
n
b
n


(a
1
+ a
2
+ ···+ a
n
)

2
a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ ···+ a
n
b
n
. (1.8)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
6
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai bộ n số


a
i
b
i

và
√
a
i
b
i

, a
i
> 0, b
i
> 0, ∀i = 1, n, ta thu được bất đẳng thức cần
chứng minh.
Định lí 1.2. (Bất đẳng thức Cauchy đối với bộ số phức) .Với
mọi bộ số phức (a
i
, b
i
), ta luôn có bất đẳng thức sau
n

i=1
|a
i
|
2
n

i=1
|b
i
|
2





n

i=1
a
i
b
i



2
. (1.9)
Chứng minh (Xem [3]).
1.1.2 Dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy
Định lí 1.3. Giả sử ta có bộ các cặp số dương (a
k
, b
k
) sao cho
a
k
b
k
∈ [α, β], α > 0, k = 1, n.
Khi đó

n

k=1
a

2
k

1
2

n

k=1
b
2
k

1
2

A
G
n

k=1
a
k
b
k
, (1.10)
trong đó
A =
α + β
2

, G =

αβ.
Chứng minh (Xem [3]).
1.1.3 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy
Định lí 1.4. (N .G. de Bruijn). Với bộ số thực (a
1
, . . . , a
n
) và bộ số
phức (hoặc thực) (z
1
, . . . , z
n
), ta có



n

k=1
a
k
z
k



2


1
2

n

k=1
|z
k
|
2
+



n

k=1
z
2
k




n

k=1
a
2
k


. (1.11)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
k
=  (λz
k
), (k = 1, 2, . . . , n), trong
đó λ là số phức và

n
k=1
λ
2
z
2
k
là số thực không âm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
7
Chứng minh (Xem [3]).
1.1.4 Bất đẳng thức Cauchy với tổng vô hạn
Bổ đề 1.1. Với hai dãy vô hạn {a
k
}, {b
k
} thỏa mãn
∞

k=1
a

2
k
< ∞ và
∞

k=1
b
2
k
< ∞
ta luôn có
∞

k=1
|a
k
b
k
| < ∞.
Chứng minh. Từ bất đẳng thức hiển nhiên
0  (x − y)
2
= x
2
− 2xy + y
2
ta có
xy 
1
2

x
2
+
1
2
y
2
, ∀x, y ∈ R.
Áp dụng bất đẳng thức này với x = |a
k
| và y = |b
k
|, ta thu được
∞

k=1
|a
k
b
k
| 
1
2
∞

k=1
a
2
k
+

1
2
∞

k=1
b
2
k
. (1.12)
Từ đây, ta được điều cần chứng minh.
Định lí 1.5. (Bất đẳng thức Cauchy đối với tổng vô hạn). Với
hai chuỗi hội tụ
∞

k=1
a
k
,
∞

k=1
b
k
, ta có
∞

k=1
a
k
b

k


∞

j=1
a
2
j

1
2

∞

j=1
b
2
j

1
2
. (1.13)
Dấu đẳng thức xảy ra đối với hai dãy khác không khi và chỉ khi a
k
=
λb
k
, với 0 = λ ∈ R, k = 1, 2,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

8
Chứng minh. Bất đẳng thức (1.13) luôn thỏa mãn với hai dãy bằng
không. Do vậy, ta chỉ cần xét các dãy khác không. Đặt
a
k
= a
k

∞

j=1
a
2
j

1
2
và

b
k
= b
k

∞

j=1
a
2
j


1
2
.
Khi đó, ta có
∞

k=1
a
2
k
=
∞

k=1

a
2
k

∞

j=1
a
2
j

= 1
và
∞


k=1

b
2
k
=
∞

k=1

b
2
k

∞

j=1
b
2
j

= 1.
Theo (1.12), ta có
∞

k=1
a
k


b
k

1
2
∞

k=1
a
2
k
+
1
2
∞

k=1

b
2
k
= 1.
Suy ra
∞

k=1

a
k


∞

j=1
a
2
j

1
2

b
k

∞

j=1
b
2
j

1
2

 1,
hay
∞

k=1
a
k

b
k


∞

j=1
a
2
j

1
2

∞

j=1
b
2
j

1
2
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi
∞

k=1
a
k


b
k
=
1
2
∞

k=1
a
2
k
+
1
2
∞

k=1

b
2
k
= 1.
hay
a
k

b
k
=

1
2
a
2
k
+
1
2
a
2
k
, ∀k = 1, 2,
Suy ra
a
k
=

b
k
, ∀k = 1, 2,
Tức là
a
k

∞

j=1
a
2
j


1
2
= b
k

∞

j=1
b
2
j

1
2
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
9
hay
a
k
= λb
k
, k = 1, 2,
trong đó
λ =

∞

j=1

a
2
j

1
2

∞

j=1
b
2
j

1
2
.
Rõ ràng bất đẳng thức Cauchy với các tổng dễ sử dụng, và bây giờ
ta bắt đầu tiến xa hơn, chúng có thể trở nên khó sử dụng hơn.
1.1.5 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với tích tr ong thực
Trước hết, ta nhắc lại tích vô hướng đối với cặp vectơ
a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
), b = (b
1
, b

2
, . . . , b
n
)
trong không gian R
n
được định nghĩa như sau
a, b =
n

i=1
a
i
b
i
. (1.14)
Từ (1.14) ta thấy ngay rằng
a, a  0, a, a = 0 ⇔ a = (0, 0, . . . , 0).
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có
a, b  a, a
1
2
b, b
1
2
. (1.15)
Định nghĩa 1.1. Nếu V là không gian vectơ thực, thì ta nói một hàm
trên V × V xác định bởi ánh xạ (a, b) → a, b là một tích trong và
(V, ., .) là không gian tích trong thực nếu như cặp (V, ., .) có các
tính chất sau đây:

(i) v, v  0, ∀v ∈ V,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
10
(ii) v, v = 0 ⇔ v = 0,
(iii) αv, w = αv, w, ∀α ∈ R, ∀v, w ∈ V,
(iv) u, v + w = u, v+ u, w, ∀u, v, w ∈ V,
(v) v, w = w, v , ∀v, w ∈ V.
Ví dụ 1.1. Ta dễ dàng kiểm tra được tích vô hướng (1.14) có các tính
chất trên, do vậy nó là một tích trong.
Ví dụ 1.2. Cho bộ các số thực dương (w
j
), j = 1, 2, , n. Khi đó, tích
vô hướng với trọng (w
j
)
a, b =
n

i=1
a
i
b
i
w
i
là tích trong trên R
n
, vì nó thỏa mãn các tính chất (i) - (v).
Ví dụ 1.3. Một ví dụ đặc biệt hữu ích về tích trong có thể được cho
bởi việc xét tập V = C[a, b] các hàm xác định liên tục nhận giá trị

thực trên đoạn [a, b] và ta định nghĩa ., . trên V bằng cách đặt
f, g =

b
a
f(x)g(x)dx,
hay mở rộng hơn, nếu w : [a, b] → R là một hàm liên tục sao cho
w(x) > 0 với mọi x ∈ [a, b], thì ta có thể định nghĩa một tích trong
trên C[a, b] bằng cách đặt
f, g =

b
a
f(x)g(x)w(x)dx.
Định lí 1.6. Với không gian tích trong thực (V, ., .) bất kì và với mọi
v, w ∈ V , ta đều có bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
v, w  v, v
1
2
w, w
1
2
. (1.16)
Dấu đẳng thức xảy ra đối với cặp vectơ v, w khác 0 khi và chỉ khi
v = λw với 0 = λ ∈ R.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
11
Chứng minh 1. Sử dụng tính chất (i) dưới dạng
v − w, v − w  0,
ta có

v, w 
1
2
v, v +
1
2
w, w. (1.17)
Vì bất đẳng thức (1.16) luôn thỏa mãn nếu v hoặc w bằng 0, nên
không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng v, v và w, w đều
khác 0. Ta đặt
v = v/v, v
1
2
và w = w/w, w
1
2
.
Khi đó, theo (1.17), ta có v, w  1. Trở lại phép đặt, đưa về các biến
v và w, ta có
v, w  v, v
1
2
w, w
1
2
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi v, w = 1, hay
v − w, v − w = 0.
Từ đây, suy ra v − w = 0; hay nói cách khác, v = λw, trong đó
λ = v, v

1
2
/w, w
1
2
.
Chứng minh 2. (Lí luận của Schwarz).
Xét đa thức
p(t) = v + tw, v + tw, ∀t ∈ R.
Ta có
0  p(t) = v, v + 2tv, w+ t
2
w, w, ∀t ∈ R.
Suy ra biệt thức của p(t) là D = B
2
−AC = v, w
2
−v, vw, w  0.
Từ đây ta được điều cần chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi v + tw, v + tw = 0, suy ra v + tw = 0
hay v = −tw với t = −v, w/w, w = −v, v
1
2
/w, w
1
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
12
1.1.6 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với tích tr ong phức

Định nghĩa 1.2. Nếu V là không gian vectơ phức, thí dụ C
d
hoặc tập
các hàm liên tục nhận giá trị phức trên [0, 1], thì ta nói một hàm trên
V ×V xác định bởi ánh xạ (a, b) → a, b ∈ C là tích trong phức và ta
nói rằng (V, ., .) là không gian tích trong phức nếu như cặp (V, ., .)
có các tính chất sau đây:
(i) v, v  0, ∀v ∈ V,
(ii) v, v = 0 ⇔ v = 0,
(iii) αv, w = αv, w, ∀α ∈ C, ∀v, w ∈ V,
(iv) u, v + w = u, v+ u, w, ∀u, v, w ∈ V,
(v) v, w = w, v , ∀v, w ∈ V.
Định lí 1.7. (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với tích trong
phức). Với không gian tích trong phức (V, ., .) bất kì và với mọi
v, w ∈ V , ta đều có bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
|v, w|  v, v
1
2
w, w
1
2
. (1.18)
Dấu đẳng thức xảy ra đối với cặp vectơ v, w khác 0 khi và chỉ khi
v = λw với 0 = λ ∈ C.
Chứng minh. Sử dụng tính chất (i) và (v) ta có
0 v − w, v − w = v, v + w, w− v, w − w, v
=v, v + w, w − (v, w+ v, w)
=v, v + w, w − 2Rev, w,
ta suy ra rằng
Rev, w 

1
2
v, v +
1
2
w, w, (1.19)
trong đó, dấu đẳng thức xảy ra khi v = w.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
13
Vì bất đẳng thức (1.18) luô n thỏa mãn nếu v hoặc w bằng 0, không
mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng v, v và w, w đều khác 0.
Ta đặt
v = v/v, v
1
2
và w = w/w, w
1
2
.
Khi đó, theo (1.19), ta có v, w  1. Trở lại phép đặt, đưa về các biến
v và w, ta có
Rev, w  v, v
1
2
w, w
1
2
. (1.20)
Đặt v, w = ρe
iθ

với ρ > 0 và ˜v = e
−iθ
v. Khi đó, theo các tính chất
của tích trong phức thì
˜v, ˜v = v, v và ˜v, w = Re˜v, w = |v, w|.
Theo (1.20), ta có
|v, w| = Re˜v, w  ˜v, ˜v
1
2
w, w
1
2
= v, v
1
2
w, w
1
2
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi v, w = 1, hay
v − w, v − w = 0.
Từ đây, suy ra v − w = 0; hay nói cách khác, v = λw, trong đó
λ = v, v
1
2
/w, w
1
2
.
Một trong những ứng dụng lớn nhất của bất đẳng thức Cauchy

trong đó các tổng được thay thế bởi các tích phân, đó là bấ t đẳng
thức Bunyakovsky được trình bày sau đây.
1.1.7 Bất đẳng thức Bunyakovsky
Định lí 1.8. Với mọi cặp hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b],
ta có

b
a
f(x)g(x)dx 


b
a
f
2
(x)dx

1
2


b
a
g
2
(x)dx

1
2
. (1.21)

Chứng minh (Xem [3]).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
14
1.1.8 Mở rộng bất đẳng thức Cauchy
Bất đẳng thức Cauchy (1.1) đề cập đến hai bộ n số (ta thấy sự
xuất hiện các số mũ 2 ở (1.1)). Ta hãy mở rộng bất đẳng thức (1.1)
cho m bộ n số. Vì m có thể là số nguyên dương lẻ, nên trong trường
hợp tổng quát, phải sử dụng đến các bộ số không âm.
Để tiện việc kí hiệu, một bộ n số được viết là (a, b, . . ., k). Ta có:
Định lí 1.9. Cho m bộ số, mỗi bộ gồm n số không âm (a
i
, b
i
, . . . , k
i
), i =
1, m. Khi đó
(a
1
a
2
. . . a
m
+ b
1
b
2
. . . b
m
+ ···+ k

1
k
2
. . . k
m
)
m

 (a
m
1
+ b
m
1
+ ···+ k
m
1
)(a
m
2
+ b
m
2
+ ···+ k
m
2
) . . . (a
m
m
+ b

m
m
+ ···+ k
m
m
).
(1.22)
Dấu đẳng thức xảy ra khi m bộ số đó tỉ lệ với nhau, tức là tồn tại một
bộ số (a, b, . . . , k) sao cho với mỗi i =
1, m, tồn tại một số t
i
sao cho
a = t
i
a
i
, b = t
i
b
i
, . . . k = t
i
k
i
.
Chứng minh (Xem [1]).
1.2 Phương pháp bất đẳng thức Cauchy
Bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức có nhiều ứng dụng, nhưng
làm sao ta nhận biết được một bất đẳng thức có thể giải bằng phương
pháp này? Rất khó để có thể nói một cách rõ ràng, nhưng có lẽ ta nên

nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy khi thấy tổng của các căn thức, tổng
của các bình phương hay khi ta có các biểu thức chứa căn. Sau đây,
ta xét một số kĩ thuật áp dụng bất đẳng thức này, (Xem [1], [2], [3],
[5], [6], [7] ).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
15
1.2.1 Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm
Định nghĩa 1.3. i) Xét các cặp số không âm (x, y) với tổng ( hoặc
tích) không đổi. Ta gọi hiệu
ρ(x, y) = max(x, y) − min(x, y)
là độ lệch hay độ gần đều của cặp số (x, y).
ii) Cặp (x
1
, y
1
) được gọi là gần đều hơn (độ lệch nhỏ hơn) cặp
(x
2
, y
2
) (hay cặp (x
2
, y
2
) được gọi là xa đều hơn cặp (x
1
, y
1
)), nếu
ρ(x

1
, y
1
)  ρ(x
2
, y
2
).
Quá trình sắp đều có thể dùng để điều chỉnh bộ số như sau:
Bài toán 1.1. Giả sử
B =

a
1
+ a
2
2
,
a
2
+ a
3
2
, ··· ,
a
2009
+ a
2010
2
,

a
2010
+ a
1
2

là một hoán vị của bộ số
A = {a
1
, a
2
, . . . , a
2010
}.
Chứng minh rằng
a
1
= a
2
= ··· = a
2010
.
Giải. Theo bất đẳng thức Cauchy thì
a
2
k
+ a
2
k+1
2



a
k
+ a
k+1
2

2
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
k
= a
k+1
, k = 1, 2, . . . , 2010,
trong đó a
2011
:= a
1
. Do B là một hoán vị của A, nên
2010

k=1
a
2
k
=
2010

k=1

a
2
k
+ a
2
k+1
2
=
2010

k=1

a
k
+ a
k+1
2

2
.
Điều này chỉ xảy ra khi đồng thời a
1
= a
2
, a
2
= a
3
, . . . , a
2010

= a
1
.
Ta thu được điều cần chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
16
1.2.2 Kĩ thuật tách và ghép bộ số
Trong mục này, chúng ta đưa ra một số dạng bất đẳng thức mà
cách giả i dựa chủ yếu vào kĩ thuật tách, g hép và điều chỉnh bộ hệ số
{a
k
} trong bất đẳng thức Cauchy.
Bài toán 1.2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a + b + c  2

a
2
b + c
+
b
2
c + a
+
c
2
a + b

.
Giải. Ta viết vế trái dưới dạng
a + b + c =

a
√
b + c
√
b + c +
b
√
c + a
√
c + a +
c
√
a + b
√
a + b.
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có
(a + b + c)
2


a
2
b + c
+
b
2
c + a
+
c
2

a + b

[(b + c) + (c + a) + (a + b)].
Từ đây, ta thu được điều cần chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bằng phương pháp tương tự, ta dễ dàng giải được bài toán tổng
quát sau:
Bài toán tổng quát 1.1. Cho bộ số dương (a
1
, a
2
, . . . , a
n
). Chứng
minh rằng
a
k
1
+ a
k
2
+ ···+ a
k
n
 2

a
2k
1
a

k
2
+ a
k
3
+
a
2k
2
a
k
3
+ a
k
4
+ ···+
a
2k
n
a
k
1
+ a
k
2

.
Bài toán 1.3. (MO Romanian 2004). Chứng minh rằng với mọi
a, b, c > 0, ta đều có
a

bc(c + a)
+
b
ca(a + b)
+
c
ab(b + c)

27
2(a + b + c)
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
17
Giải. Đặt
a
bc(c + a)
+
b
ca(a + b)
+
c
ab(b + c)
= M.
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có


a
bc
+


b
ca
+

c
ab

2
=
=


a
bc(c + a)
√
c + a +

b
ca(a + b)
√
a + b +

c
ab(b + c)
√
b + c

2



a
bc(c + a)
+
b
ca(a + b)
+
c
ab(b + c)

[2(a + b + c)] = M[2(a + b + c)].
Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức Cauchy, thì
(a + b + c)
2
 3(ab + bc + ca),
và
1
a
+
1
b
+
1
c

9
a + b + c
,
nên



a
bc
+

b
ca
+

c
ab

2
 3

1
a
+
1
b
+
1
c


27
a + b + c
.
Suy ra
M 

27
2(a + b + c)
2
.
Ta được điều cần chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài toán 1.4. (Iran MO 1998). Chứng minh rằng với mọi x, y, z > 1
sao cho
1
x
+
1
y
+
1
z
= 2, ta có
√
x + y + z 
√
x − 1 +

y − 1 +
√
z − 1.
Giải. Ta chú ý rằng
1
x
+
1

y
+
1
z
= 2 ⇔
x − 1
x
+
y − 1
y
+
z − 1
z
= 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
18
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta suy ra
√
x + y + z =

(x + y + z)

x − 1
x
+
y − 1
y
+
z − 1
z



√
x − 1 +

y − 1 +
√
z − 1.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3/2.
Bài toán 1.5. (JBMO 2002 Shortlist). Cho a, b, c là các số thực
dương. Chứng minh rằng
a
3
b
2
+
b
3
c
2
+
c
3
a
2

a
2
b
+

b
2
c
+
c
2
a
.
Giải. Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có
a
2
b
+
b
2
c
+
c
2
a
 a + b + c,
và
(a + b + c)

a
3
b
2
+
b

3
c
2
+
c
3
a
2



a
2
b
+
b
2
c
+
c
2
a

2
,
Từ đây suy ra ngay được điều cần chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bằng quy nạp toán học, ta dễ dàng chứng minh được bài toán tổng
quát sau:
Bài toán tổng quát 1.2. Cho bộ số dương (a

1
, a
2
, . . . , a
n
). Chứng
minh rằng
a
k+1
1
a
k
2
+
a
k+1
2
a
k
3
+ ···+
a
k+1
n
a
k
1

a
k

1
a
k−1
2
+
a
k
2
a
k−1
3
+ ···+
a
k
n
a
k−1
1
.
Bài toán 1.6. (Junior TST 2002 , Romania). Cho a, b, c ∈ (0, 1),
chứng minh rằng
√
abc +

(1 − a)(1 − b)(1 − c) < 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
19
Giải. Vì a, b, c ∈ (0, 1) nên
√
abc +


(1 − a)(1 − b)(1 − c) <
√
b
√
c +
√
1 − b
√
1 − c  1,
điều này được suy ra trực tiếp từ bất đẳng thức Cauchy.
Bài toán 1.7. (IMO Shortlist 1987). Chứng minh rằng nếu x, y,
z là các số thực sao cho x
2
+ y
2
+ z
2
= 2, thì
x + y + z  xyz + 2.
Giải. Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Ca uchy, ta có
x + y + z −xyz = x(1−yz) + y +z 

(x
2
+ (y + z)
2
)((1 − yz)
2
+ 1).

Vì vậy, ta chỉ cần chứng minh

(x
2
+ (y + z)
2
)((1 − yz)
2
+ 1)  2
⇔ (2 + 2yz)(2 − 2yz + (yz)
2
)  4
⇔ 2(yz)
2
(yz − 1)  0.
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì 2  y
2
+ z
2
 2yz.
Bài toán 1.8. (Bất đẳng thức Nesbitt). Chứng minh rằng với mọi
số thực dương a, b, c ta có
a
b + c
+
b
c + a
+
c
a + b


3
2
.
Giải. Đặt
M =
a
b + c
+
b
c + a
+
c
a + b
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
20
Ta có
M =

a
b + c
+ 1

+

b
c + a
+ 1


+

c
a + b
+ 1

− 3
= (a + b + c)

1
b + c
+
1
c + a
+
1
a + b

− 3
=
1
2

(
√
b + c)
2
+ (
√
c + a)

2
+ (
√
a + b)
2


1
b + c

2
+


1
c + a

2
+


1
a + b

2

− 3

1
2

(1 + 1 + 1)
2
− 3.
Vậy M 
3
2
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bằng phương pháp chứng minh tương tự, ta dễ dàng giải được bài
toán tổng quát sau:
Bài toán tổng quát 1.3. Cho hai bộ số dương p, q, r và x, y, z.
Chứng minh rằng
p
q + r
x
2
+
q
r + p
y
2
+
r
p + q
z
2

1
2
(x + y + z)

2
− (x
2
+ y
2
+ z
2
).
Bài toán 1.9. (USA MO 2003). Cho a, b, c là các số thực dương.
Chứng minh rằng
(2a + b + c)
2
2a
2
+ (b + c)
2
+
(2b + a + c)
2
2b
2
+ (a + c)
2
+
(2c + a + b)
2
2c
2
+ (a + b)
2

 8.
Giải. Đặt x =
b + c
a
, y =
c + a
b
, z =
a + b
c
. Ta cần chứng minh
(x + 2)
2
x
2
+ 2
+
(y + 2)
2
y
2
+ 2
+
(z + 2)
2
z
2
+ 2
 8
⇔

2x + 1
x
2
+ 2
+
2y + 1
y
2
+ 2
+
2z + 1
z
2
+ 2

5
2
⇔
(x − 1)
2
x
2
+ 2
+
(y − 1)
2
y
2
+ 2
+

(z − 1)
2
z
2
+ 2

1
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên