luận văn 1 số bài toán về đường tròn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Lê Bá Cường
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 0113
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH Hà Huy Khoái
Thái Nguyên - 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học -
Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH Hà Huy
Khoái. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo,
người hướng dẫn khoa học của mình, GS.TSKH Hà Huy Khoái, người đã
đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của
tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa
Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi
điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn
thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH,
tổ Toán trường THPT Xuân Giang - Sóc Sơn - Hà Nội và các bạn trong
lớp Cao học K4C, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và
làm luận văn.
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
Mở đầu 3
1 Định nghĩa số phức 5
1.1 Sự biểu diễn đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng . . . . . . . . 6
1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân . . . . . . . 6
1.1.4 Dạng đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Lũy thừa của số i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.6 Số phức liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.7 Mô đun của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số . . . . . . . . . 13
1.2.1 Ý nghĩa hình học của một số phức . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Ý nghĩa hình học của môđun . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số . . . . . 15
2 Số phức và hình học 16
2.1 Một vài khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Đoạn thẳng, tia, đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Góc định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Phép quay một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Điều kiện thẳng hàng, vuông góc và cùng thuộc một đường
tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.8 Tam giác đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.9 Tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
3 Hình học giải tích trong số phức 34
3.1 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Phương trình đường thẳng xác định bởi hai điểm . . . . . . 35
3.3 Diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Phương trình đường thẳng được xác định bởi điểm đi qua
và phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5 Hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng . 40
3.6 Khoảng cách từ một điểm đến một đương thẳng . . . . . . 41
4 Các bài toán về đường tròn trong số phức 42
4.1 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn . . . . . 43
4.3 Góc giữa hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Tài liệu tham khảo 49
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài:
Là một giáo viên đã dạy môn toán trong trường THPT 12 năm, tôi
thấy trong toán học phổ thông hình học là một trong môn học mà nhiều
học sinh thấy khó học, nhất là hình học không gian. Để đại số hóa hình
học các nhà toán học đã gắn hệ trục tọa độ vào hình học để có hình học
giải tích. Khi học về hình học giải tích tôi thấy học sinh dễ học hơn và
tiếp thu tốt hơn.
Nay số phức lại được bộ giáo dục và đào tao đưa vào dạy ở chương
trình THPT, mỗi bài toán về số phức là các bài toán thường mới và rất
khó. Liên quan đến các dạng toán này là các bài toán về đường tròn. Mong
muốn là có một cách khác nữa để trình bầy về hình học nhờ số phức nên
tôi mới chọn đề tài này.
Đề tài “ Môt số bài toán về đường tròn” nhằm đáp ứng mong muốn của
tôi về một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho quá
trình giảng dạy của mình ở trường phổ thông.
Đề tài liên quan đến nhiều chuyên đề, trong đó có các kiến thức của số
phức, các kiến thức của hình học và nhiều kiến thức cơ bản khác.
2.Mục đích nghiên cứu:
Hệ thống và tổng quát các bài toán về đường tròn giải bằng số phức
và các ứng dụng khác nhau trong trường phổ thông. Nắm được một số kĩ

thuật tính toán biến đổi hình học liên quan đến số phức.
3. Nhiệm vụ của đề tài:
Đưa ra định nghĩa số phức và các phép toán về số phức một cách tổng
quát có ví dụ minh họa kèm theo, ngoài ra đề tài cũng mở rộng mảng kiến
thức về số phức với các bài toán về đường tròn giải bằng số phức
Thông qua đề tài trang bị cho giáo viên thêm một số nguồn tư liệu
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
trong quá trình dạy học và ngiên cứu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Nghiên cứu các bài toán hình học về đường tròn trên tập số phức và
xét các ứng dụng liên quan.
Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của GS – TSKH Hà Huy Khoái,
các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chuyên toán, Tạp chí toán học
và tuổi trẻ, .
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh
trung học phổ thông. Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy và học các
chuyên đề toán trong trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo từ
những bài toán cơ bản nhất.
6. Cấu trúc của luận văn:
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 4 chương
Chương I: Định nghĩa số phức
Chương II: Số phức và hình học
Chương III: Hình học giải tích trong số phức
Chương IV: Các bài toán về đường tròn trong số phức
Tuy đã cố gắng nghiên cứu kĩ đề tài và viết luận văn, song khó tránh
khỏi những sai sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫn
của các thầy cô và sự đóng góp ý kiến của các bạn bè đồng nghiệp để bản
luận văn của tôi được hoàn chỉnh và có ý nghĩa hơn. Tôi xin chân thành

cảm ơn.
Thái Nguyên, năm 2012
Tác giả
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Chương 1
Định nghĩa số phức
1.1 Sự biểu diễn đại số của số phức
1.1.1 Định nghĩa số phức
Giả thiết ta đã biết định nghĩa và các tính chất cơ sở của tập hợp các
số thực R. Ta xét tập hợp R
2
= R × R = {(x, y) |x, y ∈ R }. Hai phần
tử (x
1
, y
1
) và (x
2
, y
2
) bằng nhau khi và chỉ khi x
1
= x
2
và y
1
= y
2
. Các

phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R
2
như sau:
z
1
+ z
2
= (x
1
, y
1
) + (x
2
, y
2
) = (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
) ∈ R
2
.
Và
z
1
.z

2
= (x
1
, y
1
) . (x
2
, y
2
) = (x
1
x
2
− y
1
y
2
, x
1
y
2
+ x
2
y
1
) ∈ R
2
,
với mọi z
1

= (x
1
, y
1
) ∈ R
2
và z
2
= (x
2
, y
2
) ∈ R
2
.
Phần tử z
1
+ z
2
gọi là tổng của z
1
, z
2
và phần tử z
1
.z
2
∈ R
2
gọi là tích

của z
1
, z
2
.
Nhận xét 1.1.1. 1) Nếu z
1
= (x
1
, 0) ∈ R
2
và z
2
= (x
2
, 0) ∈ R
2
thì
z
1
z
2
= (x
1
x
2
, 0).
2) Nếu z
1
z

2
= (x
1
x
2
, 0) và z
2
= (0, y
2
) ∈ R
2
thì z
1
z
2
= (−y
1
y
2
, 0).
Định nghĩa 1.1.2. Tập hợp R
2
cùng với các phép toán cộng và nhân được
gọi là tập số phức, kí hiệu là C. Mỗi phần tử z = (x, y) ∈ C được gọi là
một số phức.
Kí hiệu C
∗
để chỉ tập hợp C\{(0, 0)}.
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6

1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng
(a) Tính giao hoán z
1
+ z
2
= z
2
+ z
1
với mọi z
1
, z
2
∈ C.
(b) Tính kết hợp (z
1
+ z
2
) + z
3
= z
1
+ (z
2
+ z
3
) với mọi z
1
, z
2

, z
3
∈ C.
Chứng minh. Thật vậy, nếu z
1
= (x
1
, y
1
) ∈ C, z
2
= (x
2
, y
2
) ∈ C, z
3
=
(x
3
, y
3
) ∈ C thì
(z
1
+ z
2
) + z
3
= [(x

1
, y
1
) + (x
2
, y
2
)] + (x
3
, y
3
)
= (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
) + (x
3
, y
3
)
= ((x
1
+ x
2
) + x

3
, (y
1
+ y
2
) + y
3
)
Và
z
1
+ (z
2
+ z
3
) = (x
1
, y
1
) + [(x
2
, y
2
) + (x
3
, y
3
)]
= (x
1

, y
1
) + (x
2
+ x
3
, y
2
+ y
3
)
= (x
1
+ (x
2
+ x
3
), y
1
+ (y
2
+ y
3
))
Những khẳng định trên giống như phép cộng số thực.
(c) Phần tử đơn vị: Có duy nhất một số phức 0=(0,0) để
z + 0 = 0 + z = z với mọi z = (x, y) ∈ C.
(d) Phần tử đối: Mỗi số phức z = (x,y) có duy nhất số phức –z =
(-x,-y) sao cho
z + (−z) = (−z) + z = 0.

Ta dễ dàng kiểm tra các khẳng định (a),(c),(d).
Số phức z
1
− z
2
= z
1
+ (−z
2
) được gọi là hiệu của hai số phức z
1
, z
2
.
Phép toán z
1
, z
2
trên đối với hai số z
1
, z
2
là số z
1
− z
2
gọi là phép trừ và
được định nghĩa như sau:
z
1

− z
2
= (x
1
, y
1
) −(x
2
, y
2
) = (x
1
− x
2
, y
1
− y
2
) ∈ C.
1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân
Phép nhân các số phức thỏa mãn các tính chất sau:
(a) Tính giao hoán: z
1
z
2
= z
2
z
1
với mọi z

1
z
2
= z
2
z
1
.
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
(b) Tính kết hợp: z
1
z
2
= z
2
z
1
với mọi z
1
z
2
= z
2
z
1
.
(c) Phần tử đơn vị: Có duy nhất số phức 1 = (1, 0) ∈ C thỏa mãn
z.1 = 1.z = z với mọi z ∈ C. Sử dụng biến đổi đại số dễ thấy
z.1 = (x,y)(1,0) = (x.1 - y.0,x.0 + y.1) = (x,y) = z.

Và
1.z = (1,0)(x,y) = (1.x - 0.y,1.y + 0.x) = (x,y) = z.
(d) Phần tử nghịch đảo: Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C có duy nhất
số phức z
−1
= (x
,
, y
,
) ∈ C sao cho
z.z
−1
= z
−1
z = 1.
Ta tìm z
−1
= (x
,
, y
,
) với chú ý rằng (x, y) = (0, 0) kéo theo x = 0
hoặc y = 0 và hệ quả là x
2
+ y
2
= 0. Từ hệ thức z.z
−1
= 1 ta có
(x, y)(x

,
, y
,
) = (1, 0) hay hệ sau thỏa mãn

xx
,
− yy
,
= 1
yx
,
+ xy
,
= 0.
Giải hệ phương trình trên ta có x
,
=
x
x
2
+ y
2
và y
,
= −
y
x
2
+ y

2
.
Vì thế phần tử nghịch đảo của số phức z = (x, y) ∈ C
∗
là:
z
−1
=
1
z
= (
x
x
2
+ y
2
, −
y
x
2
+ y
2
) ∈ C
∗
.
Bằng cách làm tương tự ta cũng có z
−1
z = 1.
Hai số phức z
1

= (x
1
, y
1
) và z = (x, y) ∈ C
∗
xác định duy nhất một số
gọi là thương của chúng, kí hiệu là
z
1
z
, được định nghĩa như sau:
z
1
z
= z
1
.z
−1
= (x
1
, y
1
).(
x
x
2
+ y
2
, −

y
x
2
+ y
2
)
= (
x
1
x + y
1
y
x
2
+ y
2
,
−x
1
y + y
1
x
x
2
+ y
2
) ∈ C
Lũy thừa với số mũ nguyên của số phức z ∈ C
∗
được định nghĩa như

sau z
0
= 1 ; z
1
= z ; z
2
= z.z và z
n
= z.z z

n lâ n
với mọi số nguyên n > 0
và z
n
= (z
−1
)
−n
với mọi số nguyên n < 0.
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Mọi số phức z
1
, z
2
, z
3
∈ C
∗
và mọi số nguyên m,n ta có các tính chất

sau
1) z
m
.z
n
= z
m+n
4) (z
1
z
2
)
n
= z
1
n
z
2
n
2)
z
m
z
n
= z
m−n
5)

z
1

z
2

n
=
z
1
n
z
2
n
3) (z
m
)
n
= z
mn
Khi z = 0 ta định nghĩa 0
n
= 0 với mọi số nguyên n > 0.
e)Tính phân phối: z
1
(z
2
+ z
3
) = z
1
z
2

+ z
1
z
3
với mọi z
1
, z
2
, z
3
∈ C
∗
Trên đây là những tính chất của phép cộng và phép nhân,thấy rằng tập
hợp các số phức cùng với các phép toán trên lập thành một trường.
1.1.4 Dạng đại số của số phức
Mỗi số phức được biểu diễn như một cặp số sắp thứ tự, nên khi thực
hiện các biến đổi đại số thường không được thuận lợi. Đó là lí do để tìm
dạng khác khi viết. Ta sẽ đưa vào dạng biểu diễn đại số mới. Xét tập hợp
R × {0} cùng với phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R
2
. Hàm
số
f : R → R x {0} , f (x) = (x, 0)
là một song ánh và ngoài ra (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) và (x, 0).(y, 0) =
(xy, 0).
Người đọc sẽ không sai lầm nếu chú ý rằng các phép toán đại số trên
R × {0}.
Đồng nhất với các phép toán trên R; vì thế chúng ta có thể đồng nhất
cặp số (x, 0) với số x, với mọi x ∈ R. Ta sử dụng song ánh trên và kí hiệu
(x, 0) = x.

Xét i = (0, 1) ta có
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1)
= x + yi = (x, 0) + (0, 1).(y, 0).
Từ trên ta có mệnh đề
Mệnh đề 1.1.3. Mỗi số phức có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
z = x + yi,
với x,y là các số thực và i
2
= −1.
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Hệ thức i
2
= −1 được suy ra từ định nghĩa phép nhân
i
2
= i.i = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1.
Biểu thức x + yi được gọi là biểu diễn dạng đại số của số phức z = (x, y).
Vì thế ta có thể viết C =

x + yi |x ∈ R, y ∈ R , i
2
= −1

. Từ giờ ta kí
hiệu z = (x, y) bởi z = x + yi. Số thực x = Re(z) được gọi là phần thực
của số phức z, y = Im(z) được gọi là phần ảo của z. Số phức có dạng
yi , y ∈ R gọi là số ảo. Số phức có dạng yi , y ∈ R
∗
gọi là số thuần ảo, số

phức i gọi là đơn vị ảo.
Từ các hệ thức trên ta dế dàng có các kết quả sau:
a) z
1
= z
2
khi và chỉ khi Re(z
1
) = Re(z
2
) và Im(z
1
) = Im(z
2
).
b) z ∈ R khi và chỉ khi Im(z) = 0.
c) z ∈ C\R khi và chỉ khi Im(z) = 0.
Sử dụng dạng đại số, các phép toán về số phức được thực hiện như sau:
a. Phép cộng: z
1
+z
2
= (x
1
+y
1
i)+(x
2
+y
2

i) = (x
1
+x
2
)+(y
1
+y
2
)i ∈ C.
Dễ thấy tổng hai số phức là một số phức có phần thực là tổng các phần
thực, có phần ảo là tổng các phần thực ảo:
Re(z
1
+ z
2
) = Re(z
1
) + Re(z
2
)
Im(z
1
+ z
2
) = Im(z
1
) + Im(z
2
)
b. Phép nhân

z
1
.z
2
= (x
1
+ y
1
i).(x
2
+ y
2
i) = (x
1
x
2
− y
1
y
2
) + (x
1
y
2
+ x
2
y
1
) i ∈ C.
Ta có

Re(z
1
z
2
) = Re(z
1
) Re(z
2
) −Im(z
1
) Im(z
2
)
Im(z
1
z
2
) = Im(z
1
) Re(z
2
) + Im(z
2
) Re(z
1
)
Mối số thực λ ,số phức z = x + yi, λz = λ(x + yi) = λx + λyi ∈ C là
tích của một số thực với một số phức.Ta có các tính chất sau.
1) λ(z
1

+ z
2
) = λz
1
+ λz
2
.
2) λ
1
(λ
2
z) = (λ
1
λ
2
)z.
3) (λ
1
+ λ
2
)z = λ
1
z + λ
2
z.
Thực ra, hệ thức 1 và 3 là trường hợp đặc biệt của luật phân phối, hệ
thức 2 được suy ra từ luật kết hợp của số phức.
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
c. Phép trừ: z

1
−z
2
= (x
1
+y
1
i)−(x
2
+y
2
i) = (x
1
−x
2
)+(y
1
−y
2
)i ∈ C
với
Re(z
1
− z
2
) = Re(z
1
) −Re(z
2
)

Im(z
1
− z
2
) = Im(z
1
) −Im(z
2
)
1.1.5 Lũy thừa của số i
Các công thức cho số phức với lũy thừa là số nguyên được bảo toàn đối
với dạng đại số. Xét z = x + yi, ta thu được z = i.
i
0
= 1 ; i
1
= i ; i
2
= −1 ; i
3
= i
2
.i = −i
i
4
= i
3
.i = 1; i
5
= i

4
.i = i ; i
6
= i
5
.i = −1; i
7
= i
6
.i = −i
Ta có thể tổng quát các công thức trên đối với số mũ nguyên dương n:
i
4n
= 1 ; i
4n+1
= i ; i
4n+2
= −1 ; i
4n+3
= −i
Vì thế i
n
∈ {−1 , 1 , −i , i} với mọi số nguyên n  0. Nếu n là số
nguyên âm ta có:
i
n
=

i
−1


−n
=

1
i

−n
= (−i)
−n
.
1.1.6 Số phức liên hợp
Mỗi số phức z = x + yi đều có số phức z = x −yi, số phức đó được gọi
là số phức liên hợp hoặc số phức liên hợp của số phức z.
Mệnh đề 1.1.4.
1) Hệ thức z = z đúng khi và chỉ khi z ∈ R.
2) Mỗi số phức z ta luôn có đẳng thức z = z.
3) Mỗi số phức z ,số phức z.z là một số thực không âm
4) z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
(số phức liên hợp của một tổng bằng tổng các số phức
liên hợp).
5) z
1

.z
2
= z
1
.z
2
(số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phức liên
hợp).
6) Mỗi số phức z khác không đẳng thức sau luôn đúng z
−1
= z
−1
.
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
7)

z
1
z
2

=
z
1
z
2
, z
2
= 0 (liên hợp của một thương bằng thương các liên

hợp).
8) Công thức Re(z) =
z + z
2
và Im(z) =
z − z
2i
, với mọi số phức z.
Chứng minh. 1) Nếu z = x + yi, từ hệ thức z = z ta có đẳng thức
x + yi = x − yi vì thế 2yi = 0 hay y = 0. Vậy z = x ∈ R.
2) Ta có z = x − yi và z = x −(−y)i = x + yi = z.
3) Chú ý rằng z.z = (x + yi)(x −yi) = x
2
+ y
2
 0.
4)
z
1
+ z
2
= (x
1
+ y
1
i) + (x
2
+ y
2
i) = (x

1
+ x
2
) + (y
1
+ y
2
)i
= (x
1
+ x
2
) −(y
1
+ y
2
)i = (x
1
− y
1
i) + (x
2
+ y
2
i) = z
1
+ z
2
.
5) Ta có thể viết

z
1
.z
2
= (x
1
x
2
− y
1
y
2
) + (x
1
y
2
+ x
2
y
1
)i = (x
1
x
2
− y
1
y
2
) −(x
1

y
2
+ x
2
y
1
)i
= (x
1
− y
1
i)(x
2
− y
2
i) = z
1
.z
2
.
6) Vì z.
1
z
= 1 , ta có

z.
1
z

= 1 do đó z.


1
z

= 1, suy ra (z
−1
) = ( z)
−1
.
7) Ta có

z
1
z
2

=

z
1
.
1
z
2

= (z
1
) .

1

z
2

= (z
1
)
1
(z
2
)
=
z
1
z
2
8)Từ hệ thức
z + z = (x + yi) + (x −yi) = 2x;
z − z = (x + yi) −(x −yi) = 2yi.
Ta có Re(z) =
z + z
2
và Im(z) =
z − z
2i
.
Tính chất 4) và 5) có thể mở rộng
4’)

n


k=1
z
k

=
n

k=1
z
k
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
5’)
n

k=1
z
k
=
n

k=1
z
k
, ∀z
k
∈ C , k = 1, 2, 3 n
Ghi chú: a) phần tử nghịch đảo của số phức z ∈ C
∗
có thể được tính như

sau
1
z
=
z
z.z
=
x −yi
x
2
+ y
2
=
x
x
2
+ y
2
−
y
x
2
+ y
2
i.
b) Số phức liên hợp được sử dụng trong việc tìm thương của hai số phức
như sau:
z
1
z

2
=
z
1
.z
2
z
2
z
2
=
(x
1
+ y
1
i) (x
2
− y
2
i)
x
2
2
+ y
2
2
=
x
1
x

2
+ y
1
y
2
x
2
2
+ y
2
2
+
−x
1
y
2
+ x
2
y
1
x
2
2
+ y
2
2
i.
1.1.7 Mô đun của số phức
Số |z| =


x
2
+ y
2
được gọi là mô đun hay giá trị tuyệt đối của số
phức z = x + yi.
Mệnh đề 1.1.5. Các tính chất dưới đây được thỏa mãn 1) −|z| 
Re(z)  |z| và −|z|  Im(z)  |z|.
2) |z|  0 , ∀z ∈ C, ngoài ra |z| = 0 khi và chỉ khi z = 0.
3) |z| = |−z| = |z|
4) z.z = |z|
2
5)|z
1
z
2
| = |z
1
|. |z
2
| (mô đun của một tích bằng tích các mô đun).
6)|z
1
| −|z
2
|  |z
1
+ z
2
|  |z

1
| + |z
2
|
7)


z
−1


= |z|
−1
, z = 0.
8)




z
1
z
2




=
|z
1

|
|z
2
|
, z
2
= 0 (mô đun của một tích bằng tích các mô đun).
9) |z
1
| −|z
2
|  |z
1
− z
2
|  |z
1
| + |z
2
|.
Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra các tính chất từ (1) đến (4) luôn đúng.
5) Ta có |z
1
z
2
|
2
= (z
1
z

2
) .(z
1
z
2
) = (z
1
z
1
) . (z
2
z
2
) = |z
1
|
2
.|z
2
|
2
, do |z| 
0 ∀z ∈ C nên ta có |z
1
z
2
| = |z
1
|. |z
2

|.
6)Ta có
|z
1
+ z
2
|
2
= (z
1
+z
2
) (z
1
+ z
2
) = (z
1
+z
2
)(z
1
+z
2
) = |z
1
|
2
+z
1

z
2
+z
1
z
2
+|z
2
|
2
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Vì z
1
z
2
= z
1
.z
2
= z
1
.z
2
nên
z
1
z
2
+ z

1
.z
2
= 2 Re(z
1
z
2
)  2 |z
1
z
2
| = 2 |z
1
||z
2
|.
Suy ra |z
1
+ z
2
|
2
 (|z
1
| + |z
2
|)
2
. Vậy |z
1

+ z
2
|  |z
1
| + |z
2
|
|z
1
| = |z
1
+ z
2
+ (−z
2
)|  |z
1
+ z
2
| + |−z
2
| = |z
1
+ z
2
| + |z
2
|.
Vì thế |z
1

| −|z
2
|  |z
1
+ z
2
|
7) Từ hệ thức z.
1
z
= 1 ta có |z|




1
z




= 1 do đó




1
z





=
1
|z|
vì thế


z
−1


=
|z|
−1
.
8)Ta có




z
1
z
2




=





z
1
.
1
z
2




=


z
1
.z
−1
2


= |z
1
|.


z

−1
2


= |z
1
||z
2
|
−1
=
|z
1
|
|z
2
|
.
9) Ta có thể viết |z
1
| = |z
1
− z
2
+ z
2
|  |z
1
− z
2

|+ |z
2
| vì thế |z
1
|−|z
2
| 
|z
1
− z
2
| nên ta có
|z
1
− z
2
| = |z
1
+ (−z
2
)|  |z
1
| + |z
2
|
Chú ý:1) Bất đẳng thức |z
1
+ z
2
|  |z

1
| + |z
2
| trở thành đẳng thức
khi và chỉ khi Re(z
1
z
2
) = |z
1
||z
2
|. Điều này tương đương với z
1
= tz
2
, với
t là số thực không âm.
2) Tính chất 5) và 6) có thể mở rộng như sau:
5’)




n

k=1
z
k





=
n

k=1
|z
k
|.
6’)




n

k=1
z
k





n

k=1
|z
k

| , ∀z
k
∈ C , k = 1, n.
Từ 5’) và 7) ta có hệ quả sau
5”) |z
n
| = |z|
n
với mọi số nguyên n và số phức z.
1.2 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số
1.2.1 Ý nghĩa hình học của một số phức
Chúng ta định nghĩa số phức z = (x, y) = x + yi là một cặp số thực
sắp thứ tự (x, y) ∈ R ×R, vì thế hoàn toàn tự nhiên khi xem mỗi số phức
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
z = x + yi là một điểm M(x,y) trong không gian R ×R. Xét P là tập hợp
các điểm của không gian

với hệ trục tọa độ Oxy và song ánh ϕ : C → P
với ϕ (z) = M (x, y).
Định nghĩa 1.2.1. Điểm M(x,y) được gọi là dạng hình học của số phức
z = x + yi.
Số phức z = x + yi được gọi là tọa độ phức của điểm M(x,y). Chúng
ta kí hiệu M(z) để chỉ tọa độ phức của điểm M là số phức z.
Dạng hình học của số phức liên hợp z của sô phức z = x + yi là điểm
M’(x,-y) đối xứng với M(x,y) qua truc tọa độ Ox.
Dạng hình học của số đối –z của số phức z = x + yi là điểm M”(-x,-y)
đối xứng với M(x,y) qua gốc tọa độ.
Song ánh ϕ từ tập R lên trục Ox ta gọi là trục thực, lên trục Oy ta gọi
là trục ảo. Không gian


cùng với các điểm được đồng nhất với số phức
gọi là không gian phức.
Ta cũng có thể đồng nhất các số phức z = x + yi với véc tơ
−→
v =
−−→
OM,
với M(x,y) là dạng hình học của số phức z.
Gọi V
0
là tập hợp các véc tơ có điểm gốc là gốc tọa độ O. Ta có thể
định nghĩa song ánh ϕ

: C → V
0
, ϕ

(z) =
−−→
OM = x
−→
i + y
−→
j , với
−→
i ,
−→
j
là các véc tơ đơn vị trên trục tọa độ Ox, Oy.

1.2.2 Ý nghĩa hình học của môđun
Xét số phức z = x + yi, biểu diễn hình học trong mặt phẳng là M(x,y).
Khoảng cách Ơclit OM cho bởi công thức
OM =

(x
M
− x
O
)
2
+ (y
M
− y
O
)
2
.
Vì thế OM =

x
2
+ y
2
= |z| = |
−→
v | mô đun |z| của số phức z = x + yi
là độ dài của đoạn thẳng OM hoặc là độ lớn của véc tơ
−→
v = x

−→
i + y
−→
j .
Chú ý. a) Mỗi số thực dương r ,tập hợp các số phức có mô đun r tương
đương với đường tròn C(O;r) tâm O bán kính r trong mặt phẳng.
b) Các số phức z với |z| < r là các điểm nằm bên trong đường tròn C(O;r).
Các số phức z với |z| > r là các điểm nằm bên ngoài đường tròn C(O;r).
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
1.2.3 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số
a) Phép cộng và phép trừ Xét hai số phức z
1
= x
1
+ y
1
i và z
2
=
x
2
+ y
2
i tương đương với hai véc tơ
−→
v
1
= x
1

−→
i + y
2
−→
j và
−→
v
2
= x
2
−→
i + y
2
−→
j .
Tổng của hai số phức là z
1
+ z
2
= (x
1
+ x
2
) + (y
1
+ y
2
) i.
Tổng hai véc tơ
−→

v
1
+
−→
v
2
= (x
1
+ x
2
)
−→
i + (y
1
+ y
2
)
−→
j .
Vì thế z
1
+ z
2
tương đương với
−→
v
1
+
−→
v

2
.
Hoàn toàn tương tự đối với phép trừ.
Hiệu của hai số phức là z
1
− z
2
= (x
1
− x
2
) + (y
1
− y
2
) i.
Hiệu hai véc tơ
−→
v
1
−
−→
v
2
= (x
1
− x
2
)
−→

i + (y
1
− y
2
)
−→
j .
Vì thế z
1
− z
2
tương đương với
−→
v
1
−
−→
v
2
.
Chú ý: Khoảng cách giữa M
1
(x
1
; y
1
) và M
2
(x
2

; y
2
) bằng mô đun của số
phức z
1
− z
2
hoặc độ dài của véc tơ
−→
v
1
−
−→
v
2
.
Vậy M
1
M
2
= |z
1
− z
2
| = |
−→
v
1
−
−→

v
2
| =

(x
2
− x
1
)
2
+ (y
2
− y
1
)
2
.
b) Tích của số thực và số phức
Xét số phức z = x + yi tương đương với véc tơ
−→
v = x
−→
i + y
−→
j . Nếu
λ là số thực, thì tích số thực λz = λx + λyi tương đương với véc tơ
λ
−→
v = λx
−→

i + λy
−→
j .
Chú ý rằng nếu λ > 0 thì véc tơ λ
−→
v và
−→
v cùng hướng và |λ
−→
v | = λ |
−→
v |,
nếu λ < 0 thì véc tơ λ
−→
v và
−→
v ngược hướng và |λ
−→
v | = −λ |
−→
v |. Tất nhiên
λ = 0 thì λ
−→
v =
−→
0 .
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Chương 2
Số phức và hình học

2.1 Một vài khái niệm và tính chất
Giả sử các số phức z
1
và z
2
có biểu diễn hình học là các điểm M
1
và M
2
khi đó khoảng cách giữa hai điểm M
1
và M
2
được cho bởi công thức
M
1
M
2
= |z
1
− z
2
|.
Hàm khoảng cách d : CxC → [0, ∞) được định nghĩa như sau
d (z
1
, z
2
) = |z
1

− z
2
|.
Và nó thỏa mãn các tính chất
a) Dương và không suy biến d (z
1
, z
2
)  0 , ∀z
1
, z
2
∈ C,d (z
1
, z
2
) = 0 khi
và chỉ khi z
1
= z
2
.
b) Đối xứng d (z
1
, z
2
) = d (z
2
, z
1

) ∀z
1
, z
2
∈ C.
c) Bất đẳng thức tam giác d (z
1
, z
2
)  d (z
1
, z
3
)+d (z
3
, z
2
) , ∀ z
1
, z
2
, z
3
∈
C.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có số thực dương k sao cho z
3
− z
1
=

k (z
2
− z
3
).
2.2 Đoạn thẳng, tia, đường thẳng
Cho A và B là hai điểm phân biệt, trong mặt phẳng phức có tọa độ là
a và b. Ta nói điểm M có tọa độ z nằm giữa A và B nếu z = a , z = b và
hệ thức sau thỏa mãn |a − z| + |z − b| = |a −b|.
Ta sử dụng kí hiệu A-M-B . Tập hợp (AB) = {M : A − M − B} được gọi
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
là đoạn thẳng mở xác định bởi điểm A và B.
Tập hợp [AB] = (AB) ∪ {A, B} được gọi là đoạn thẳng đóng định nghĩa
bởi A và B.
Định lý 2.2.1. Giả sử A(a) ,B(b) là hai điểm phân biệt. Khi đó các trình
bày dưới đây là tương đương
1) M ∈ (AB);
2) có số thực dương k sao cho z − a = b (k − z);
3) Có số thực t ∈ (0, 1) sao cho z = (1 −t) a + tb, với z là tọa độ phức
của M
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh 1) và 2) tương đương. Thật vậy
M ∈ (AB) khi và chỉ khi |a − z| + |z − b| = |a −b|. Đó là d (a, z) +
d (z, b) = d (a, b), hoặc tương đương với: có số thực dương k để
z − a = k (b −z) .
Ta chứng minh 2) tương đương 3). Xét t =
k
k + 1
∈ (0, 1) hoặc k =
t

1 −t
> 0. Từ đó ta có z−a = k (b − z) khi và chỉ khi z =
1
k + 1
a+
k
k + 1
b
hay z = (1 − t) a + tb. Đó là điều phải chứng minh.
Tập hợp (AB = {M|A −M −B or A - B - M} được gọi là tia mở với
điểm cuối A và chứa B.
Định lý 2.2.2. Giả sử A(a), B(b) là hai điểm phân biệt. Khi đó các khẳng
định dưới đây là tương đương
1)M ∈ (AB);
2) Có số thực dương t sao cho z = (1 −t) a + tb, với z là tọa độ phức của
M
3) arg (z − a) = arg (z − b);
4)
z − a
b −a
∈ R
+
;
Chứng minh. Ta chứng minh 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 4) ⇒ 1).
1) ⇒ 2) Từ M ∈ (AB) ta có A-M-B hoặc A-B-M.Có các số t, l ∈ (0, 1)
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
sao cho z = (1 − t) a + tb hoặc b = (1 −l) a + lz.
Trường hợp đầu ta đã làm, trường hợp hai ta đặt t =
1

l
ta có
z = tb − (t −1) a = (1 − t) a + tb.
Đó là điều phải chứng minh.
2 ⇒ 3 từ z = (1 −t) a + tb ta có z −a = t (b −a),t > 0.
Vì thế arg (z − a) = arg (z − b).
3) ⇒ 4). Hệ thức arg
z − a
b −a
= arg (z − a) − arg (b − a) + 2kπ với k là
số nguyên. Suy ra arg
z − a
b −a
= 2kπ, vì arg
z − a
b −a
∈ [0, 2π) nên k=0 và
arg
z − a
b −a
= 0. Do đó
z − a
b −a
∈ R
+
. Điều phải chứng minh.
4) ⇒ 1) Lấy
z − a
b −a
∈ R

∗
vì z = a + t (b −a) = (1 − t) a + tb , t > 0
Nếu t ∈ (0, 1) thì M ∈ (AB) ⊂ (AB . Nếu t = 1 thì z = b và M ≡ B ∈
(AB). Cuối cùng nếu t >1 ta đặt l =
1
t
∈ (0, 1), ta có b = lz + (1 −l) a.
Từ đấy A-M-B và M ∈ (AB).
Định lý 2.2.3. Giả sử A(a) ,B(b) là hai điểm phân biệt. Khi đó các khẳng
định dưới đây là tương đương
1) M nằm trên đường thẳng AB;
2)
z − a
b −a
∈ R;
3) Có số thực t sao cho z = (1 −t) a + tb;
4)




z − a z −a
b −a b − a




= 0;
5)






z z 1
a a 1
b b 1





= 0.
Chứng minh. Ta có 1) ⇔ 2) ⇔ 3). Nếu một điểm C thỏa mãn C-A-B thì
đường thẳng AB chính là (AB ∪ {A}∪(AC sau đó áp dụng Định lý 2.2.2
ta có kết quả trên.
Bây giờ ta sẽ chứng minh 2) ⇔ 4) ⇔ 5).
Thật vậy, ta có
z − a
b −a
∈ R khi và chỉ khi
z − a
b −a
=

z − a
b −a

=
z − a

b −a
đẳng
thức này tương đương với




z − a z −a
b −a b − a




= 0. Vậy 2) ⇔ 4).
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Ngoài ra ta có





z z 1
a a 1
b b 1






= 0 khi và chỉ khi





z − a z −a 0
a a 1
b −a b − a 0





= 0
Hệ thức này tương đương với




z − a z −a
b −a b − a




= 0. Vì thế 4) ⇔ 5).
2.3 Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số
Cho hai điểm A(a),B(b) phân biệt. Một điểm M(z) nằm trên đường
thẳng AB chia đoạn AB theo tỉ số k ∈ R\{1} khi hệ thức véc tơ sau thỏa

mãn:
−−→
MA = k.
−−→
MB.
Sử dụng tọa độ hệ thức trên có thể viết a−z = k (b − z) hoặc (1 − k) .z =
a −k.b.
Vì thế ta có z =
a −kb
1 −k
. Khi k<0 điểm M nằm trên đoạn thẳng nối A và
B.
Nếu k ∈ (0, 1), thì M ∈ (BA\[AB].
Trường hợp còn lại k>1 thì M ∈ (AB\[AB] Ta có một hệ quả, khi k=
-1, M là trung điểm AB,tọa độ M là z
M
=
a + b
2
.
2.4 Góc định hướng
Nhớ lại rằng, một tam giác được định hướng nếu như các đỉnh của nó
được chỉ rõ thứ tự. Tam giác có hướng dương nếu hướng các đỉnh ngược
chiều kim đồng hồ, hướng ngược lại là hướng âm. Lấy M
1
(z
1
) và M
2
(z

2
)
là hai điểm phân biệt khác gốc tọa độ trong mặt phẳng phức. Góc

M
1
OM
2
được gọi là định hướng nếu các điểm M
1
và M
2
có thứ tự thuận chiều
kim đồng hồ.
Mệnh đề 2.4.1. Số đo góc định hướng

M
1
OM
2
bằng arg
z
2
z
1
.
Chứng minh. Ta xét hai trường hợp
a) Tam giác M
1
OM

2
có hướng âm

M
1
OM
2
=

xOM
2
−

xOM
1
= arg z
2
− arg z
1
.
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
b) Tam giác M
1
OM
2
có hướng dương

M
1

OM
2
= 2π −

M
2
OM
1
= 2π − arg
z
1
z
2
Vì tam giác M
2
OM
1
có hướng âm nên

M
1
OM
2
= 2π −

2π −arg
z
2
z
1


= arg
z
2
z
1
.
Chú ý Kết quả trên vẫn đúng nếu O, M
1
, M
2
thẳng hàng.
Định lý 2.4.2. Cho ba điểm phân biệt M
1
(z
1
) , M
2
(z
2
) , M
3
(z
3
) . Số
đo góc định hướng

M
2
M

1
M
3
là arg
z
3
− z
1
z
2
− z
1
.
Chứng minh. Tịnh tiến theo véc tơ −z
1
, ảnh của các điểm M
1
, M
2
, M
3
biến thành O, M

2
, M

3
, có tọa độ phức là O , z
2
− z

1
, z
3
− z
1
. Ngoài ra

M
2
M
1
M
3
=

M

2
OM

3
.
Sử dụng lại kết quả trên ta có

M

2
OM

3

= arg
z
3
− z
1
z
2
− z
1
. Đó là điều phải
chứng minh.
Chú ý: Sử dụng biểu diễn cực, từ trên ta có kết quả sau
z
3
− z
1
z
2
− z
1
=




z
3
− z
1
z

2
− z
1





cos

arg
z
3
− z
1
z
2
− z
1

+ i sin

z
3
− z
1
z
2
− z
1


=




z
3
− z
1
z
2
− z
1





cos

M
2
M
1
M
3
+ i sin

M

2
M
1
M
3

2.5 Góc giữa hai đường thẳng
Cho bốn điểm M
i
(z
1
) , i ∈ {1, 2, 3, 4}. Số đo góc xác định bởi đường
thẳng M
1
M
3
và M
2
M
4
bằng arg
z
3
− z
1
z
4
− z
2
hoặc arg

z
4
− z
2
z
3
− z
1
. Chứng minh
giống như kết quả phần trước.
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
2.6 Phép quay một điểm
Xét góc α và số phức cho bởi ε = cosα + i sin α.
Lấy z = r (cos t + i sin t) là số phức và M là biểu diễn hình học.
Dạng tích zε = r (cos (t + α) + isin (t + α)), ta có |rε| = r và arg (zε) =
arg z + α.
Gọi M’ là biểu diễn hình học của zε, ta thấy rằng điểm M’ là ảnh của M
qua phép quay tâm O (gốc tọa độ ) góc quay là α.
Mệnh đề 2.6.1. Giả sử điểm C là ảnh của B qua phép quay tâm A góc
quay α. Nếu a,b,c là các tọa độ của A,B,C phân biệt thì
c = a + (b −a) ε với ε = cosα + i sin α.
Chứng minh. Tịnh tiến theo véc tơ –a , các điểm A, B, C biến thành O,
B’, C’ với tọa độ phức tương ứng O, b-a, c-a. Điểm C’ là ảnh của điểm B’
qua phép quay quanh gốc góc quay α, vì thế ta có
c −a = (b −a) ε hay c = a + (b −a) ε.
Bài toán 1. Cho ABCD và BNMK là hai hình vuông không trùng nhau .
E là trung điểm của AN, F là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng
CK.Chứng minh rằng E,F,B thẳng hàng.
Giải: Xét không gian phức gốc F các trục tọa độ CK và FB với FB là

trục ảo. Lấy c, k, bi là tọa độ các điểm C,B,K với c, k, b ∈ R. Phép quay
tâm B góc quay θ =
π
2
biến điểm C thành điểm A vì thế A có tọa độ là
a = b (1 −i) + ci. Tương tự N là ảnh của điểm B góc quay θ = −
π
2
và có
tọa độ phức là n = b (1 + i) −ki.
Trung điểm E của đoạn thẳng AN có tọa độ phức là e =
a + n
2
= b+
c −k
2
i.
Vậy E nằm trên đường thẳng FB.
Bài toán 2. Cho tứ giác ABCD, trên các cạnh AB,BC,CD,DA ta lần lượt
dụng về phía ngoài của tứ giác các hình vuông có tâm O
1
, O
2
, O
3
, O
4
phân
biệt. Chứng minh rằng
O

1
O
3
⊥O
2
O
4
và O
1
O
3
= O
2
O
4
.
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Giải: Lấy ABMM’,BCNN’,CDPP’,DAQQ’ lần lượt là các hình vuông
có tâm O
1
, O
2
, O
3
, O
4
.
Điểm M là ảnh của A qua phép quay tâm B góc quay θ =
π

2
vì thế
m = b + (a −b) i.
Tương tự
n = c + (b −c) i , p = (c −d) i , q = a + (d −a) i.
Từ đó ta có
o
1
=
a + m
2
=
a + b + (a − b) i
2
, o
2
=
b + c + (b − c) i
2
o
3
=
c + d + (c − d) i
2
và o
4
=
d + a + (d − a) i
2
Vì

o
3
− o
1
o
4
− o
2
=
c + d −a − b + i (c − d −a + b)
a + d −b − c + i (d − a −b + c)
= −i ∈ iR
∗
.
Nên ta có
O
1
O
3
⊥O
2
O
4
.
Ngoài ra do




o

3
− o
1
o
4
− o
2




= |−i| = 1.
Nên ta thu được
O
1
O
3
= O
2
O
4
.
Bài toán 3. Về phía ngoài tam giác ABC ta dựng các tam giác ABR,BCP,CAQ
sao cho

P BC =

CAQ = 45
o
;


BCP =

QCA = 30
o
;

ABR =

RAB = 15
o
.
Chứng minh rằng

QRP = 90
o
và RQ = RP
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
Giải: Xét mặt phẳng phức với gốc tọa độ là R, gọi M là hình chiếu
vuông góc của P lên BC.
Từ MP=MB và
MC
MP
=
√
3 ta có
p −m
b −m
= i và

c −m
p −m
= i
√
3.
Vì thế
p =
c +
√
3b
1 +
√
3
+
b −c
1 +
√
3
i.
Tương tự
q =
c +
√
3a
1 +
√
3
+
a −c
1 +

√
3
i.
Điểm B có được từ điểm A bằng cách quay quanh R một góc θ = 150
o
vì
thế
b = a

−
√
3
2
+
1
2
i

.
Sử dụng biến đổi đại số ta có
p
q
= i ∈ iR
∗
, vì thế QR⊥P R. Ngoài ra
|p| = |iq| = |q| nên QR = PR.
2.7 Điều kiện thẳng hàng, vuông góc và cùng thuộc
một đường tròn
Xét bốn điểm phân biệt
M

i
(z
i
) , i ∈ {1, 2, 3, 4}.
Mệnh đề 2.7.1. Các điểm M
1
, M
2
, M
3
thẳng hàng khi và chỉ khi
z
3
− z
1
z
2
− z
1
∈ R
∗
.
Chứng minh. Các điểm M
1
, M
2
, M
3
thẳng hàng thì


M
2
M
1
M
3
∈ {0, π}.
Suy ra arg

z
3
− z
1
z
2
− z
1

∈ {0, π} hay
z
3
− z
1
z
2
− z
1
∈ R
∗
.

Mệnh đề 2.7.2. Đường thẳng M
1
M
2
và M
3
M
4
vuông góc khi và chỉ khi
z
1
− z
2
z
3
− z
4
∈ iR
∗
.
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên