CHUYÊN ĐỀ 8: phương pháp động lực học

CĐ8. LỰC MA SÁT- PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG LỰC HỌC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Lực ma sát
1. Lực ma sát nghỉ
+ Điều kiện xuất hiện: Lực ma sát nghỉ xuất hiện khi một vật có xu hướng trượt (chưa
trượt) trên mặt một vật khác do có ngoại lực tác dụng và có tác dụng cản trở lại xu hướng
trượt của vật.
+ Đặc điểm: Lực ma sát nghỉ có:
• gốc: trên vật có xu hướng trượt (chỗ tiếp xúc).
• phương: tiếp tuyến với mặt tiếp xúc.
• chiều: ngược chiều với ngoại lực tác dụng làm vật có xu hướng trượt.
• độ lớn: luôn cân bằng với thành phần tiếp tuyển của ngoại lực; có giá trị cực đại tỉ lệ với áp
F

 N ; F

 N

n
msn  max 
lực ở mặt tiếp xúc: msn n
( n là hệ số ma sát nghỉ; N là áp lực).
2. Lực ma sát trượt
+ Điều kiện xuất hiện: Lực ma sát trượt xuất hiện khi một vật trượt trên mặt một vật
khác và có tác dụng cản trở lại chuyển động trượt của vật.
+ Đặc điểm: Lực ma sát trượt có:
• gốc: trên vật chuyển động trượt (chỗ tiếp
xúc).
• phương: tiếp tuyến với mặt tiến xúc.
• chiều: ngược chiều với chuyển động trượt.

• độ lớn: tỉ lệ với áp lực ở mặt tiếp xúc: Fmst t N ( t là hệ số ma sát trượt).
II. Phương pháp động lực học
Phương pháp vận dụng các định luật Niu-tơn và các lực cơ học để giải các bài toán về
Động lực học gọi là phương pháp động lực học. Có thể vận dụng phương pháp này để giải
hai bài tốn chính của Động lực học như sau:
- Bài toán thuận: Cho biết lực tác dụng vào vật, xác định chuyển động của vật (v, a,
s, t...): Để giải bài toán loại này ta thực hiện các bước sau:
+ Chọn hệ quy chiếu và viết dữ kiện của bài toán.
+ Biểu diễn các lực tác dụng vào vật (coi vật là chất điểm).
a

F
m.

+ Xác định gia tốc của vật:
+ Dựa vào các điều kiện ban đầu, xác định chuyển động của vật.
- Bài toán ngược: Cho biết chuyển động của vật (v, a, s, t...), xác định lực tác dụng
vào vật: Để giải bài toán loại này ta thực hiện các bước sau:
+ Chọn hệ quy chiếu và viết dữ kiện của bài toán.
+ Xác định gia tốc của vật từ các dữ kiện đã cho.
+ Xác định hợp lực tác dụng vào vật: F = ma.
+ Biết hợp lực, xác định được các lực tác dụng vào vật.
III. Bài tập chuyển động của hệ vật
- Xác định hệ vật cần khảo sát.


- Chọn hệ quy chiếu thích hợp.
- Xác định các ngoại lực tác dụng vào hệ vật (ngoại lực: các lực do các vật ngoài hệ
tác dụng lên các vật trong hệ). Vẽ hình.
- Sử dụng phương trình định luật II Niu-tơn:

 


  F F 1  F 2  ...
a

; F
 m m1  m2  ...

là tổng vectơ

m

các ngoại lực tác dụng lên hệ,  là tổng khối lượng các vật của hệ.
- Chiếu hệ thức vectơ trên lên chiều (+) đã chọn, tính được a.
- Kết hợp với các điều kiện ban đầu, xác định các đại lượng khác theo yêu cầu của bài.
* Chú ý: Để xác định các đại lượng cho từng vật ta khảo sát chuyển động của vật tương ứng.
B. BÀI TẬP VÍ DỤ
VD8. 1.

Một quyển sách đặt trên mặt bàn nghiêng và được thả cho truợt xuống.

0
Cho biết góc nghiêng  30 so với phương ngang và hệ số ma sát giữa quyển sách

và mặt bàn là  0,3. Lấy g 9,8 m/s2. Tính gia tốc của quyển sách và quãng đường
đi được của nó sau 2s.
Giải
- Áp dụng định luật II Newton, ta có:

   

F  N  P  Fms ma (1)

- Chọn hệ Oxy như hình vẽ
- Chiếu (1)/Oy, ta có:  Py  N 0  N Py mg cos 
- Chiếu (2)/Ox, ta có:
 Fms  Px ma
  mg cos   mg sin 
m
 g    cos   sin  

 a 

9,8.   0,3cos 300  sin 300  2,35 m/s2
1
1
S v0t  at 2  .2, 35.22 4, 7 m
2
2
- Quãng đường quyển sách đi được sau 2s:

VD8. 2.
Một vật có khối lượng m = 2kg đang nằm yên trên mặt bàn nằm ngang
thì được kéo bằng một lức có độ lớn F = 10 N theo hướng tạo với mặt phẳng ngang
0

một góc  30 . Biết lực ma sát giữa vật và mặt sàn là
vật sau 5 giây kể từ lúc bắt đầu chịu lực tác dụng
Giải

 
 

F  Fms  N  P ma  1
- Áp dụng định luật II Newton:
- Chọn hệ Oxy như hình vẽ
- Chiếu (1)/Ox, ta có:
Fx  Fms ma  a 

F cos   Fms 10 cos 300  7,5

0,58 m/s2
m
2
a

- Vận tốc của vật sau 5s:

v v0  at 0  0, 58.5 2, 9 m/s

Fms 7, 5 N

. Tìm vận tốc của


VD8. 3.
Một học sinh dùng dây kéo một thùng sách nặng 10 kg chuyển động
trên mặt sàn nằm ngang. Dây nghiêng một góc chếch lên trên 45 0 so với phương
ngang. Hệ số ma sát trượt giữa dây thùng và mặt sàn là  0, 2 (lấy g 9,8 m/s2).
Hãy xác định độ lớn của lực kéo để thùng sách chuyển động thẳng đều

Giải
- Thùng sách chuyển động thẳng đều nên a 0
 
  
F

F

N
 P 0 (1)
ms
- Áp dụng định luật II Newton, ta có:

- Chiếu (1)/Oy, ta có:
Fy  N  P 0  N P  Fy mg  F sin 450

- Chiếu (2)/Ox, ta có:
Fx  Fms ma  F cos 450    mg  F sin 450  0
 F  cos 450  sin 450   mg
 F 

 mg 0, 2.10.9,8

13,85 N
2
2

VD8. 4.
Một người đi xe đạp có khối lượng tổng cộng m = 86 kg đang chuyển động
trên đường nằm ngang với vận tốc v = 4 m/s. Nếu người đi xe ngừng đạp và hãm phanh

để giữ không cho các bánh xe quay, xe trượt đi một đoạn 2 m thì dừng lại
a) Lực nào đã gây ra gia tốc cho xe ? Tính lực này
b) Tính hệ số ma sát trượt giữa mặt đường và lốp xe ? Lấy g = 10 m/s2
Giải
a) Khi người đạp xe hãm phanh, lực gây ra gia tốc cho xe là lực ma sát giữa bánh xe với mặt
đường
v 2  v02 2aS  a 

v 2  v02 02  42

 4 m/s2
2S
2.2

- Gia tốc của xe:
(dấu “-“ chứng tỏ gia tốc ngược với chiều chuyển động)
- Theo định luật II Newton: F ma 86.   4   344 N
Fms  mg   

Fms
344

0, 4
mg 86.10

b) Độ lớn lực ma sát:
VD8. 5.
Một ô tô khối lượng m = 1 tấn, chuyển động trên mặt đường nằm ngang. Hệ số
ma sát lăn giữa xe và mặt đường là  0 ,1 . Tính lực kéo của động cơ ơ-tơ trong mỗi trường
hợp sau:

a) Ơ tơ chuyển động thẳng đều.
b) Ơ tơ chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a = 2 m/s2.
Lấy g = 10 m/s2.
Giải:




Q
- Các lực tác dụng lên xe: trọng lực P , phản lực , lực kéo của động cơ F và lực ma sát lăn




của mặt đường Fms .



  

P

Q

F

F

ma (1)
ms

- Theo định luật II Niu-tơn, ta có:

- Chiếu (1) lên phương thẳng đứng ta được:
- P  Q 0  Q P mg
- Chiếu (1) lên phương nằm ngang ta được:
F  Fms ma  F ma  Fms

a) Khi ô tô chuyển động thẳng đều
.
.10 1000 N .
Ta có: a 0  F Fms  mg 0 ,11000
Vậy: Khi ơ tơ chuyển động thẳng đều thì lực kéo của động cơ ô tô là F = 1000 N.
b) Khi ô tô chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a = 2 m/s2
F ma  F ma   mg m a   g 1000. 2  0 ,110
.
3000 N





ms
Ta có:
.
2
Vậy: Khi ơ tơ chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a = 2 m/s thì lực kéo của động cơ ơ tơ
là F = 3000 N. 
VD8. 1.
Hai vật m1 = 5 kg, m2 = 10 kg nối với nhau bằng một dây nhẹ, đặt trên mặt
phẳng nằm ngang không ma sát. Tác dụng lực nằm ngang F = 18 N lên vật m1.

a) Phân tích lực tác dụng lên từng vật và dây. Tính vận tốc và quãng đường mỗi vật sau khi
bắt đầu chuyển động 2s.
b) Biết dây chịu lực căng tối đa 15 N. Hỏi khi hai vật chuyển động, dây có đứt khơng?


c) Tìm độ lớn lực kéo F để dây bị đứt.
d) Kết quả của câu c có thay đổi không, nếu hệ số ma sát trượt giữa m1 và m2 với sàn là  ?

Giải:
a) Lực tác dụng, vận tốc và quãng
đường chuyển động của mỗi vật
- Các lực tác dụng lên vật m 1: trọng lực

Q
P1 , phản lực 1 của mặt sàn, lực kéo


F , lực căng T 1 của dây.





- Các lực tác dụng lên vật m2: trọng lực trọng lực P 2 , phản


Q
T
2
lực

của mặt sàn, lực căng 2 của dây.

- Theo định luật II Niu-tơn, ta có:



 

P
1  Q1  F  T 1 m1 a1
+ Vật m1:

(1)







P
2  Q 2  T 2 m2 a 2
+ Vật m2:

(2)
- Chiếu (1) và (2) lên phương ngang, theo chiều chuyển động của mỗi vật, ta được:
F  T1 m1a1 (1’)
T2 m2 a2
(2’)

F  m1  m2  a
- Vì T1 T2 , a1 a2 a nên từ (1’) và (2’), ta được
 a

F
18

1, 2
m1  m2 5  10
m/s2

- Vận tốc của mỗi vật sau khi chuyển động được 2s là: v at 1, 2.2 2,4 m/s
1
1
s  at 2  .1, 2.22 2, 4
2
2
- Quãng đường vật đi được sau khi chuyển động được 2s là:
m

Vậy: Sau khi chuyển động được 2s, vận tốc và quãng đường mỗi vật đi được là v 2, 4 m/s
và s 2,4 m.
b) Dây có bị đứt khơng?
Thay a 1, 2 m/s2 vào (2’), ta được: T2 10.1, 2 12 N
Vậy: Dây khơng bị đứt khi các vật chuyển động vì lực căng có độ lớn nhỏ hơn lực căng tối
đa là 15 N.


c) Độ lớn lực kéo F để dây bị đứt
- Thay

a

F
F
T2 m2
m1  m2 vào (2’) ta được:
m1  m2 (2’’)
T2 T0 15

- Để dây bị đứt thì:
 m2

N

F
m  m2
T0  F T0 1
m1  m2
m2

 F 15.

5  10
22,5
10

N

Vậy: Để dây bị đứt thì F 22,5 N

d) Khi hệ số ma sát trượt giữa m1 và m2 với sàn là 




F
ms
1
- Các lực tác dụng lên m1 và m2 có thêm các lực ma sát
và F ms 2 . Do đó:

+ Vật m1:



 


P1  Q1  F  T 1  F ms1 m1 a1

(3)

+ Vật m2:






P 2  Q 2  T 2  F ms 2 m2 a 2

(4)
- Chiếu (3), (4) lên phương thẳng đứng,
chiều dương hướng lên, ta được:
Q1 P1 m1 g (3’)
Q2 P2 m2 g (4’)

- Chiếu (3), (4) lên chiều chuyển động của mỗi vật ta được:
F  Fms1  T1 m1a1  F  Q1  T1 m1a1

(3”)


T2  Fms 2 m2a2  T2  Q2 m2a2

- Tương tự,
Do đó:

T T2 , a1 a2 a  a 

T2 m2 .

(4’’)
F   g  m1  m2 
m1  m2

F   g  m1  m2 
mF
  m2 g  2
m1  m2

m1  m2

(5)
(6)

- So sánh (6) và (2”), ta suy ra điều kiện để đây bị đứt vẫn không thay đổi: F 22,5 N.
Vậy: Kết quả ở câu c vẫn không thay đổi khi hệ số ma sát trượt giữa m1 và m2 với sàn là  .


C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
8. 1. Một khối gỗ m = 4 kg bị ép giữa hai tấm ván. Lực nén của mỗi tấm
ván lên khối gỗ là N = 50 N, hệ sổ ma sát trưọt giữa gỗ và ván là  0 , 5 .
Lấy g = 10 m/s2.
a) Hỏi khối gỗ có tự trượt xuống được khơng?

b) Cần tác dụng lên khối gỗ lực F thẳng đứng theo hướng nào, độ lớn
bằng bao nhiêu để khối gỗ:
- đi xuống đều?
- đi lên đều?
8. 2. Một xe lăn, khi được đẩy bằng lực F = 20 N nằm ngang thi xe chuyển động thẳng đều.
Khi chất lên xe một kiện hàng khối lượng 20 kg thì phải chịu tác dụng lực F' = 60 N nằm
ngang xe mới chuyến động thẳng đều.
Tính hệ số ma sát giữa xe và mặt đường.
8. 3. Vật khối lượng m = 0,5 kg nằm trên mặt bàn
nằm ngang, gắn vào đầu một lị xo thẳng đúng có k =
10 N/m. Ban đầu lị xo dài l0 = 0,1 m và khơng biến
dạng. Khi bàn chuyển động đều theo phương ngang, lò
xo nghiêng góc  60 so với phương thẳng đứng.
Tìm hệ số ma sát  giữa vật và bàn. Lấy g = 10 m/s2.
8. 4. Đặt một cái li lên trên một tờ giấy nhẹ đặt trên bàn rồi dùng tay

kéo tờ giấy theo phương ngang.
a) Cần truyền cho tờ giấy một gia tốc bao nhiêu để li bắt đầu trượt trên tờ giấy? Biết hệ số
ma sát trượt giữa li và tờ giấy là 1 0 , 3 . Lấy g = 9,8 m/s2.
b) Trong điều kiện trên, lực tác dụng lên tờ giấy là bao nhiêu? Biết hệ số ma sát trượt giữa tờ
giấy và mặt bàn là 2 0 , 2 , khối lượng của li m = 50 g.
c) Kết quả ở hai câu trên có thay đổi khơng nếu li có nước?
8. 5. Cho hệ như hình vẽ. Biết ml, m2,
hệ số ma sát trượt của hai vật 1, 2 và
lực căng tối da T0 của dây.


F
Tìm độ lớn
đặt lên ml ( F
hướng dọc theo dây) để dây
khơng đứt.
8. 6. Cho hệ như hình vẽ: m1 = 1 kg, m2 = 2kg;
1 2 0,1 ,F = 6N,  = 30°, g = 10 m/s2,

3 =

1,7.
Tính gia tốc chuyển động và lực căng của dây.



HƯỚNG DẪN GIẢI
8. 1.

 

- Các lực tác dụng lên khối gỗ: trọng lực P , áp lực N1 ,N 2 của hai tấm ván, lực ma sát của
 
mỗi tấm ván Fms1 ,Fms2 .



-Từ định
luật II Niu-tơn,
ta có:

  
P  Fms1  Fms 2  N 1  N 2 ma (1)

a) Khối gỗ có tự trượt xuống khơng?
Nếu khối gỗ tự trượt xuống được thì
P  2 Fms ma  P 2 Fms

Mà P mg 4.10 40 N , Fms  N 0 , 5.50 25 N  P  2 Fms .
Vậy: Vật không tự trượt xuống được.

b) Hướng và độ lớn của lực F


- Để khối gỗ chuyển động, cần tác dụng lực F có phương thẳng đứng.
- Từ định luật II Niu-tơn, ta có:


    

F  P  Fms1  Fms 2  N 1  N 2 ma (1)


b1) Để khối gỗ trượt xuống đều: (a = 0): Lực F phải hướng xuống,
với:
F  P  2 Fms 0  F1 2 Fms  P 2.25  4.10 10 N


b2) Để khối gỗ đi lên đều: (a = 0): Lực F phải hướng lên, với:
F  P  2 Fms 0  F2 P  2 Fms 4.10  2.25 90 N


Vậy: Để khối gỗ truọt xuống đều thì lực F phải có độ lớn 10 N và hướng xuống; để khối gỗ

đi lên đều thì lực F phải có độ lớn 90 N và hướng lên.
8. 2.
- Chọn chiều dương là chiều chuyển động của xe.


   
P

Q  Fms  F 0
- Khi chưa chất kiện hàng lên xe, xe chuyển động thẳng đều nên:

(1)

  Fms  F 0  F Fms  gm

(1’)
- Khi đã chất kiện hàng lên xe, xe chuyển động thẳng đều nên:



   
P'  Q'  F'ms  F' 0 (2)

  F'ms  F' 0  F' F' ms  g  m  mh 

Từ (1’) và (2’) suy ra:

(2’)

F'  F  gmh   

F'  F 60  20

0 , 2
gmh
10.20

Vậy: Hệ số ma sát giữa xe và mặt đường là  0 , 2 .
8. 3.


- Các lực tác dụng lên vật: trọng lực P , phản lực


của lò xo, lực ma sát F ms .


Q



của mặt phẳng ngang, lực đàn hồi F dh




 


P  Q  F dh  F ms 0

- Vì vật chuyển động đều nên:
(1)
- Chiếu (1) lên phương thẳng đứng, chiều dương hướng lên:
 P  Q  Fdh cos  0  Q P  Fdh cos 

(1’)
- Chiếu (1) lên phương ngang, chiều dương hướng theo chiều
chuyển động:
Fms  Fdh sin  0  Fms Fdh sin 

(1’’)

- Thay (1’) vào (1”) ta được:
  P  Fdh cos   Fdh sin 
   mg  k l.cos   k l.sin 

k l.sin 

mg  k l cos 
l
0,1
l l  l0  0  l0 
 0,1 0,1
cos 
cos60
Với:
m.
 

10.0,1.
 

3
2

1
0,5.10  10.0,1.
2

0,192

Vậy: Hệ số ma sát  giữa vật và bàn là  0,192
8. 4.
a) Gia tốc cần truyền cho tờ giấy



Q

- Các lực tác dụng lên li: trọng lực P , phản lực , lực ma sát Fms .
- Theo định luật II Niu-tơn, ta có:


 

P  Q  Fms ma (1)

- Chiếu (1) lên chiều chuyển động của li, ta được:
Fms ma  a 

Fms 1 P

1g 0 , 310
. 3
m
m
m/s2

- Khi li bắt đầu trượt thì gia tốc của tờ giấy bằng gia tốc của li: ag = a = 3 m/s2.
Vậy: Gia tốc cần truyền cho tờ giấy là ag = 3 m/s2.
b) Lực tác dụng lên tờ giấy



Q
- Các lực tác dụng lên tờ giấy là: lực kéo F , phản lực của mặt bàn 2 , áp lực của li N1 , các




F
lực ma sát ms 2 và Fms1 . 



    
F

Q2  N1  Fms 2  Fms1 0 (2)
Theo định luật II Niu-tơn:

Chiếu (2) lên chiều chuyển động của tờ giấy, ta được:
F  Fms1  Fms 2 0  F Fms1  Fms 2

Trong đó: Fms1 1mg; Fms 2 2 mg
 F  1  2  mg  0 , 3  0 , 2  .0 ,05.9 , 8 0 , 25 N

Vậy: Lực tác dụng lên tờ giây là F = 0,25 N.
c) Khi li cỏ nước


- Ở câu a, gia tốc cần truyền cho tờ giấy không phụ thuộc vào khối lượng của li nên nếu li có
nước thì kết quả vẫn khơng thay đổi.
- Ở câu b, lực tác dụng lên tờ giấy phụ thuộc vào khối lượng của li nên nếu li có nước thì kết
quả sẽ thay đổi.
8. 5.
- Các ngoại lực tác dụng lên hệ gồm:




P
1, P2
các trọng lực
;
 

Q
,
Q
1
2
các phản lực
; lực kéo F ;


F
ms1 , F ms 2
các lực ma sát

- Áp dụng định luật II Niu-tơn
cho hệ, ta được:





 


P1  P 2  Q1  Q 2  F  F ms1  F ms 2  m1  m2  a

(1)

- Chiếu (1) lên chiều chuyển động của hệ ta được:
F  Fms1  Fms 2  m1  m2  a
 a

F  Fms1  Fms2 F  1N1   2 N 2

m1  m2
m1  m2
(1’)

- Chiếu (1) lên phương thẳng đứng, chiều dương hướng lên, ta được:
 P1  P2  Q1  Q2 0
 Q1 P1 m1 g ; Q2 P2 m2 g

(1’’)
- Thay (1”) vào (1 ’), chú ý: N1 = Q1 và N2 = Q2 ta được:
a

F   1m1   2 m2  g
m1  m2

(2)

- Xét riêng vật (2), ta có: T  Fms 2 m2 a  T m2 a  Fms 2
 T m2

F   1m1  2m2  g

m2
 2 m2 g 
 F   1  2  m1 g 
m1  m2
m1  m2 

- Để dây không bị đứt:
 F

T T0 

m2
 F   1  2  m1 g  T0
m1  m2 

 m1  m2  T0  m1m2  1  2  g
m2



Vậy: Để dây khơng bị đứt thì lực F đặt lên m1 phải có độ lớn thỏa mãn:
F

 m1  m2  T0  m1m2  1  2  g
m2

8. 6.

 



Q
P
1, P 2
- Các ngoại lực tác dụng lên hệ gồm: các trọng lực
; các phản lực 1, Q 2 ; lực kéo F ;


F
ms1 , F ms 2
các lực ma sát
.


-Áp dụng định luật II Niu-tơn cho hệ, ta được:
 

 


P1  P 2  Q1  Q 2  F  F ms1  F ms 2  m1  m2  a

(I)


- Chiếu (1) lên chiều chuyển động của hệ ta được:
F cos   Fms1  Fms 2  m1  m2  a

 a


F cos   Fms1  Fms 2 
m1  m2

F   1 N1  2 N 2 
m1  m2

(1’)
- Chiếu (1) lên phương thẳng đứng, chiều dương hướng lên, ta được:

  F sin  

P1  Q1     P2  Q2  0

 Q1 P1  F sin  m1 g  F sin  ; Q2 P2 m2 g

(1’’)

- Thay (1”) vào (1’), chú ý: N1 Q1, N 2 Q2 , 1 2  , ta được:
a

F cos    m1 g  F sin     m2 g 
m1  m2

 a

F  cos    sin      m1  m2  g F  cos    sin  

 g
m1  m2

m1  m2

 3
1
6.
 0,1. 
2
2
6.  cos30  0,1.sin 30 
 a
 0,1.10  
 0,1.10 0,8
1 2
1 2
m/s2

- Xét riêng m2 ta có: T  Fms 2 m2 a  T m2a  Fms 2
 T m2 a   m2 g m2  a   g  2.  0,8  0,1.10  3,6

N
Vậy: Gia tốc chuyển động là a = 0,8 m/s và lực căng của dây là T = 3,6 N.
2

8.44. Vật m được kéo trượt đều trên mặt phẳng nghiêng góc
 để F nhỏ nhất.

Bài giải:


- Các lực tác dụng lên vật gồm: trọng lực P ,


Q
phản lực của mặt phẳng nghiêng , lực kéo


F và lực ma sát F ms .



  

P

Q

F

F
ms 0
- Để vật trượt đều thì:
- Chiếu (1) lên hai trục của hệ tọa độ Đề-các
vng góc: Ox hướng dọc theo mặt phẳng
nghiêng, Oy hướng vng góc với mặt phẳng

(1)

 , lực kéo



F hợp với hệ số ma sát là

 . Tìm


nghiêng ta được:
 P sin   F cos   Fms 0

(2)

 P cos   Q  F sin  0

(3)

- Từ (3) suy ra: Q P cos   F sin 

 Fms  N Q   P cos   F sin  

 P sin   F cos     P cos   F sin   0

- Thay (4) vào (2) ta được:

 F P

(4)

sin    cos 
cos    sin 

- Vì P = mg,  và

 M cos  
 M M max



(5)

xác định nên F = Fmin khi mẫu số M cos    sin  cực đại, với

 tan  

sin 
cos  .

sin 
cos  cos   sin  sin  cos     
sin  

cos 
cos 
cos 

khi

cos      1    arctan 


F Fmin P sin     

Vậy: Để lực kéo F nhỏ nhất mà vật trượt đều thì  arctan  và
, với

     90 .



8.45. Vật m đặt trên mặt phẳng nghiêng góc



chịu lực F dọc theo cạnh ngang của mặt phẳng như hình

vẽ.
a) Tìm giá trị F nhỏ nhất để m chuyển động, biết hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng là   tan  .
b) Khi

F  Fmin

, tìm gia tốc của a.

Bài giải:
a) Giá trị F nhỏ nhất để m chuyển động


Q
- Các lực tác dụng lên vật m gồm: trọng lực P , phản lực
của mặt phẳng nghiêng, lực ma sát




kéo F .



 


P

Q

F
ms  F ma
- Khi m chuyển động thì:
- Chiếu (1) lên mặt phẳng nghiêng, ta được:

(1)



F ms và lực


 P sin  


2

 F 2  Fms ma

 mg sin  

2

 F 2   mg cos  ma

- Để vật chuyển động:

a 0 

(2)

 mg sin  

2

 F 2   mg cos  0

 F mg  2 cos 2   sin 2   Fmin mg  2 cos 2   sin 2 
2
2
2
Vậy: Giá trị F nhỏ nhất để m chuyển động là Fmin mg  cos   sin  .

b) Tính gia tốc a
Từ (2) suy ra:

 mg sin  

a

2

 F 2   mg cos 
m

2

F
 g sin       g cos 
 m
2

2

2

F
a  g sin       g cos 
 Fmin , gia tốc của vật m là
 m
.
2

Vậy: Khi

F

2

8.46. Vật trượt từ đỉnh mặt phẳng nghiêng nhẵn dài l = 10 m góc nghiêng  30 . Hỏi vật tiếp tục chuyển
động trên mặt phẳng ngang bao lâu khi xuống hết mặt nghiêng, biết hệ số ma sát với mặt ngang là  0,1 .
Bài giải:
- Gia tốc của vật khi trượt trên mặt phẳng nghiêng là:

a g  sin 30   cos30 

- Vì mặt phẳng nghiêng nhẵn nên hệ số ma sát bằng 0, do đó:
a 10.

1
5
2
m/s2

- Vận tốc của vật ở cuối mặt phẳng nghiêng là:
v  2 as  2.5.10 10 m/s

- Gia tốc của vật trên mặt phẳng ngang là:
a 

Fms
 mg

  g  0,1.10  1
m
m
m/s2

- Thời gian vật còn đi trên mặt phẳng ngang là:
t 

v  v0 0  v
 10

 t 
10
a
a
1
s

(vật dừng lại nên v 0 )
Vậy: Thời gian vật còn tiếp tục đi trên mặt phẳng ngang là t  10 s
8.47. Do có vận tốc đầu, vật trượt lên rồi lại trượt xuống trên một mặt nghiêng, góc nghiêng  15 . Tìm hệ
số ma sát  biết thời gian đi xuống gấp n = 2 lần thời gian đi lên.
Bài giải:


- Khi vật trượt lên (chọn chiều dương
hướng lên), chuyển động của vật là
chuyển động chậm dần đều với gia tốc:

a1 

  P sin   Fms    mg sin    mg cos  

m

m

 a1  g  sin    cos  
- Thời gian vật trượt lên là:

t1 

v  v0
 v0

a1
 g  sin    cos  

- Quãng đường vật trượt lên là:
s1 

v 2  v02
 v02
v02


2a1
 2 g  sin    cos   2 g  sin    cos  

- Khi vật trượt xuống:

a2  g  sin    cos  
t2 

- Thời gian vật trượt xuống là:

2s2
2s1

a2
a2

2v02
v0
 t2 

2
2 g  sin    cos   g sin    2 cos 2 
g  sin    cos  


t2
v0
v0

:
2
2
2
t1 g sin    cos  g  sin    cos  



 sin    cos  
 sin    cos    sin    cos  



t2
sin    cos 
sin    cos 

n 
n 2
t1
sin    cos 
sin    cos 

2

n2  1
22  1
3 3
   2 .tan   2 .tan 30  .
0,16
n 1
2 1
5 3
Vậy: Hệ số ma sát của mặt phẳng nghiêng là  = 0,16.