Chủ đề 14: Bài toán va chạm

CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

Chủ đề 4. SỰ VA CHẠM GIỮA CÁC VẬT
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. ĐỊNH NGHĨA
- Va chạm là tương tác giữa các vật xảy ra trong thời gian rất ngắn và vận tốc của các vật
thay đổi không đáng kể.
- Lực va chạm là xung lực, lực này rất lớn nên làm thay đổi đột ngột động lượng của mỗi
vật.
- Có thể coi hệ hai vật va chạm là hệ kín trong thời gian va chạm. Do đó có thể áp dụng
định luật bảo toàn động lượng cho hệ trước và sau va chạm.
II - CÁC TRƯỜNG HỢP THƯỜNG GẶP
1. Va chạm hoàn toàn đàn hồi
Va chạm giữa hai vật là hoàn toàn đàn hồi nếu trong q trình va chạm khơng có hiện
tượng chuyển một phần động năng của các vật trước va chạm thành nhiệt và công làm biến
dạng các vật sau va chạm. Nói cách khác, sau va chạm đàn hồi các quả cầu vẫn có hình dạng
như cũ và khơng hề bị nóng lên.
Lưu ý rằng va chạm xảy ra trong mặt phẳng nằm ngang tức là độ cao so với mặt đất của các
quả cầu không thay đổi nên thế năng của chúng không thay đổi trong khi va chạm, vì vậy bảo
tồn cơ năng trong trường hợp này chỉ là bảo tồn động năng.
Do vậy, ta có phương trình :
1
1
1
1
m1v12  m 2 v 22  m1v'12  m 2 v'22
2
2
2
2
(2)

Để giải hệ phương trình (1) và (2) ta làm như sau :

   
v
,v , v' , v'
Vì các vectơ 1 2 1 2 có cùng phương nên ta chuyển phương trình vectơ (1) thành
phương trình vơ hướng :

m1v1  m 2 v 2 m1v '1  m 2 v '2 )
và biến đổi phương trình này thành :

m1 (v1  v'1 ) m 2 (v '2  v 2 )

(1’)

Biến đổi (2) thành :

m1 (v12  v '12 ) m 2 (v'22  v 22 )

(2’)

Chia (2’) cho (1’) ta có :
(v1  v'1 ) (v'2  v 2 )
Nhân hai vế của phương trình này với m1 ta có :
m1 (v1  v'1 ) m1 (v'2  v 2 )
(3)
Cộng (3) với (1’) ta tìm được vận tốc của vật thứ hai sau va chạm :
1

CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

v '2 

2m1v1  (m1  m 2 )v 2
m1  m 2

(4)
Ta nhận thấy vai trò của hai quả cầu m 1 và m2 hồn tồn tương đương nhau nên trong cơng
thức trên ta chỉ việc tráo các chỉ số 1 và 2 cho nhau thì ta tìm được vận tốc của quả cầu thứ nhất
sau va chạm:
2m v  (m 2  m1 )v1
v '1  2 2
m1  m 2
(5)
Ta xét một trường hợp riêng của biểu thức (4) và (5) :
Giả sử hai quả cầu hoàn toàn giống nhau , tức là m1 = m2. Từ (4) và (5) ta có :

v '2 v1

v '1 v2
Nghĩa là hai quả cầu sau va chạm trao đổi vận tốc cho nhau : quả cầu thứ nhất có vận tốc của
quả cầu thứ hai trước khi có va chạm và ngược lại.
=> Kết luận: Va chạm xuyên tâm đàn hồi: Trường hợp này động lượng và động năng của hệ
được bảo toàn:
+ Bảo toàn động lượng:
+ Bảo toàn động năng:
Wđ ( t ) Wđ  s  

 





pt  ps  m1 v1  m2 v2  m1 v1'  m2 v2'   4.1

1
1
1
1
m1v12  m2v22  ...  m1v1'2  m2 v2'2
2
2
2
2
+... (4.2)

* Với hệ hai vật

 m1 , m2  :





m v  m v m v '  m v '
2 2
1 1
2 2
 1 1

1
1
1
1
2
2
'2
'2
 m1v1  m2v2  m1v1  m2v2
2
2
2
2

m1v1  m2 v2 m1v1'  m2 v2'

 1
 4.3
1
1
1
2
2
'2
'2
 m1v1  m2 v2  m1v1  m2 v2
2
2
2
2

 m  m2  v1  2m2v2
 m  m1  v2  2m1v1
v1'  1
v2'  2
m1  m2
m1  m2
Từ (4.3):
và
.

2. Va chạm mềm
Va chạm giữa các vật là va chạm mềm nếu sau va chạm hai vật dính liền với nhau thành
một vật. Trong va chạm mềm một phần động năng của các quả cầu đã chuyển thành nhiệt và
công làm biến dạng các vật sau va chạm. Dĩ nhiên trong va chạm mềm ta khơng có sự bảo tồn
cơ năng của các vật.
Định luật bảo tồn động lượng dẫn đến phương trình :
2


CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN




m1v1  m 2 v 2 (m1  m 2 )v


Trong đó v là vận tốc của vật sau va chạm. Từ đó, ta tính được vận tốc của các vật sau va chạm :




 m1v1  m 2 v 2
v
m1  m 2

(6)
Phần động năng tổn hao trong quá trình va chạm :
Động năng của hai vật trước va chạm :
1
1
Wd(t )  m1v12  m 2 v 22
2
2
Động năng của chúng sau va chạm :


1
(m1v1  m 2 v 2 ) 2
2
Wd(s)  (m 1 m 2 )v 
2
2(m 1 m 2 )
Phần

động

năng

Wd Wd( t )  Wd(s) 

tổn

hao

trong

quá

trình

va

1 m1m 2
(v1  v 2 ) 2  0
2 m1  m 2

chạm

là

:

(7)
Biểu thức trên chứng tỏ rằng động năng của các quả cầu luôn luôn bị tiêu hao thành nhiệt và
công làm biến dạng các vật sau va chạm.
Ví dụ : Muốn đập vỡ một viên gạch, tức là muốn chuyển động năng của búa thành năng
lượng biến dạng làm vỡ viên gạch thì theo (7) ta cần tăng vận tốc v 1 của búa trước khi va chạm,
tức là phải đập búa nhanh. Ngược lại, khi đóng đinh ta phải làm giảm phần động năng tiêu hao vì
ta muốn chuyển động năng của búa thành động năng của đinh ấn sâu vào gỗ. Muốn vậy, phải
tăng khối lượng m1 của búa để đạt được động năng của búa vẫn lớn khi mà vận tốc v 10 của búa

không lớn , nhờ vậy mà giảm được phần động năng tiêu hao thành nhiệt.
=> Kết luận: Va chạm mềm (hồn tồn khơng đàn hồi): Trường hợp này động lượng của hệ
được bảo tồn nhưng động năng của hệ khơng được bảo tồn:
+ Bảo toàn động lượng:







pt  ps  m1 v1  m2 v2  m1 v1'  m2 v2' 

(4.4)
Wđ  t   Wđ ( s ) Q

+ Động năng chuyển hóa thành nội năng:
(4.5)
(Q thường là nhiệt năng làm nóng vật hoặc tỏa ra mơi trường xung quanh).
 m ,m 
* Với hệ hai vật 1 2 :



m1 v1  m2 v2  m1  m2  v

 1
1
1
2

2
2
 m1v1  m2v2    m1  m2  v Q
2
 2
 2

3


CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

m1v1  m2v2  m1  m2  v

  1
(4.6)
1
1
2
2
2
 2 m1v1  2 m2 v2   2  m1  m2  v Q



v

m1v1  m2v2
1 mm 
2

; Q   1 2   v1  v2  .
m1  m2
2  m1  m2 

Từ (4.6):
3. Va chạm chạm xiên


v
Giả sử vật 1 chuyển động với vận tốc 1 đến va

chạm xiên vào vật 2 đang đứng yên

 v2 0  . Sau va

  
v
chạm, hai vật có vận tốc là 1 , v 2 và hợp với phương
vận tốc ban đầu của vật 1 là 1 , 2 . Ta có:


- Bảo tồn động lượng:




 

'
pt  ps  m1 v1  m2 v2 m1 v1  m2 v2' .

m1v1 m1v1' cos 1  m2 v2' cos  2

'
'
0 m1v1 sin 1  m2 v2 sin  2

(4.7)

- Trường hợp va chạm là đàn hồi, động năng bảo toàn:
1
1
1
m1v12  m1v1' 2  m2v2' 2
2
2
2

Wd  t  Wd  s 

.

 4.8 

B. NHỮNG CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP
- Từ đặc điểm của sự va chạm, ta thấy: hệ hai vật va chạm có thể coi là hệ kín trong thời gian va
chạm. Do đó ln có thể áp dụng định luật bảo tồn động lượng cho hệ trước và sau va chạm:


pt  p s
.

- Đối với các va chạm đàn hồi (xuyên tâm và không xuyên tâm), động năng luôn được bảo toàn:
Wđ ( t ) Wđ ( s ) .
- Đối với các va chạm không đàn hồi (xuyên tâm và khơng xun tâm), động năng khơng được
bảo tồn, một phần động năng thường được biến thành nhiệt:
Wđ (t ) Wđ ( s )  Q
W  Wđ ( s )  Q
hay đ (t )
.
C. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Dạng bài tập về va chạm hoàn toàn đàn hồi.
- Sử dụng cơng thức của định luật bảo tồn động lượng (va chạm) và bảo toàn động năng (đàn
hồi):

4


CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

m1v1  m2v2 m1v1'  m2v2'


1
1
1
1
2
2
'2
'2
m

v

m
v

m
v

m
v
 11
2 2
1 1
2 2
2
2
2
2

 '  m1  m2  v1  2m2v2
v1 
m1  m2


v '   m2  m1  v2  2m1v1
 2
m1  m2


- Một số chú ý: Vận tốc của hai vật có giá trị đại số: theo chiều dương nếu vectơ vận tốc cùng

chiều với chiều dương thì v  0 ; nếu vectơ vận tốc ngược chiều với chiều dương thì v  0 .
- Lập phương trình bảo toàn động lượng và bảo toàn động năng.
- Áp dụng các công thức vận tốc của các vật sau va chạm.
Lưu ý: Khi giải các bài toán va chạm, điều quan trọng nhất là phải nhận biết được quá
trình va chạm và các q trình khơng va chạm. Trong các q trình khơng va chạm (q trình
trước va chạm và sau va chạm) ta áp dụng các định lí đã thiết lập cho q trình động lực khơng
va chạm, cịn trong các quá trình va chạm chúng ta sử dụng các cơng thức nêu ra ở trên. Nói
cách khác, việc giải bài toán va chạm bao giờ cũng kèm theo giải các bài tốn khơng va chạm.
2. Dạng bài tập về va chạm mềm.
- Lập phương trình bảo tồn động lượng.
- Áp dụng công thức vận tốc của các vật sau va chạm.
- Sử dụng công thức của định luật bảo toàn động lượng (va chạm) và độ giảm động năng (không
đàn hồi):
m1v1  m2v2 m1v1'  m2v2'

 1
1
1
1
2
2
'2
'2
 2 m1v1  2 m2v2    2 m1v1  2 m2v2  Q
 


'
'
- Với va chạm mềm (hoàn tồn khơng đàn hồi): v1 v2 v , do đó:

m1v1  m2v2  m1  m2  v


 1
1
1
2
2
2
m
v

m
v

m

m
v

Q


2
 2 1 1 2 2 2  2 1



m1v1  m2v2


v


m1  m2


Q  1  m1m2   v  v  2

 1 2

2  m1  m2 

 v 0  trong
- Một số chú ý: va chạm mềm giữa vật 1 có vận tốc v1 với vật 2 đang đứng yên 2
thực tế: búa – cọc; búa – đe, ta được:
+ Vận tốc hệ sau va chạm và nhiệt lượng toả ra:
v

m1v1
1 mm 
; Q   1 2  v12 .
m1  m2
2  m1  m2 

+ Nếu m1  m2 (búa – cọc):

5

CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

v
m2v12 .
1
1
v  1 v1 ; Q 
 m2v12  m1v12 Wd  t 
m
2
 m  2
1 2
2 1 2 
m1
 m1 

: nhiệt lượng toả ra rất ít.

+ Nếu m1  m2 (búa – đe):
v
m1v12 .
1
v  1 0; Q 
 m1v12 Wd  t 
m
m
 2
1 2
2  1  1
m1

 m2


: nhiệt lượng toả ra rất lớn.
3. Dạng bài tập về va chạm đàn hồi của quả cầu với mặt phẳng cố định.
- Sử dụng công thức của định luật bảo toàn động lượng (va chạm) và bảo toàn động năng (đàn
hồi), với m2 ; v2 0 ta được:
+ Với va chạm xuyên tâm:
m1v1 m1v1'  m2v2'

1
1
1
2
'2
'2
 m1v1  m1v1  m2 v2
2
2
2

m1

1

m1  m2
m2
'
v1 
v1 

v1  v1
m1  v1  v1'  m2v2
m1
m1  m2


1


'
'
'2
m
2
m1  v1  v1   v1  v1  m2 v2

2m1
 '
v2  m  m v1 0

1
2

+ Với va chạm xiên:
v1' t v1t ; v1' n v1n ; v1  v12t  v12n ; v1'  v1'2t  v1'2n ; v1' v1

.

( vt là thành phần tiếp tuyến, vn là thành phần pháp tuyến).
- Một số chú ý: Với va chạm xiên, để xác định các thành phần vận tốc ta chiếu hệ thức định luật

bảo toàn động lượng dạng vectơ lên hai phương tiếp tuyến và pháp tuyến. Kết hợp với hệ thức
bảo toàn động năng ta xác định được các đại lượng cần tìm.
4. Dạng bài tốn va chạm hay, lạ, khó
Ngồi ba dạng tốn va chạm được xét ở trên thì cịn có các dạng tốn va chạm chỉ cần áp dụng
các kiến thức của động học, động lực học và định luật bảo toàn năng lượng cũng giải quyết
được. Sau đây là một số ví dụ.
D. BÀI TẬP VÍ DỤ
Ví dụ 1. Một quả bóng có khối lượng 300g va chạm vào tường theo phương vuông góc và nảy
ngược trở lại với cùng tốc độ. Vận tốc của vật trước va chạm là 5 m/s. Xác định độ biến thiên
động lượng của quả bóng

6


CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

Giải



- Gọi p là động lượng của quả bóng trước va chạm, p là động lượng của quả bóng sau va

chạm.
- Độ biến thiên động lượng:
  



p  p2  p1   p     p   2 p

- Chọn chiều (+) như hình vẽ:



v
v
1
- Vì và 2 ngược hướng, nên:
p m1v2  m2v1 0,3.5  0,3.( 5) 3kg .m / s
 26

Ví dụ 2. Một phân tử khí có khối lượng m 4.10 kg bay với v 600m / s va chạm vng
góc với thành bình và bật trở lại với tốc độ như cũ; chọn chiều dương là chiều chuyển động
ban đầu. Tính xung lượng của lực tác dụng vào phần khí khi va chạm với thành bình.
Giải




- Gọi p là động lượng trước va chạm, p là động lượng sau va chạm.
- Chọn chiều (+) là chiều chuyển động ban đầu
- Ta có mối liên hệ giữa động lượng và xung lượng
 
  
  p F .t

p

F
.


t

p
của lực:
- Chiếu liên chiều (+), ta được:
F .t 4.10 26   600  600   4,8.10 23 N .s

Ví dụ 3.
Một quả bóng m = 200g bay đến đập vào mặt phẳng
0
ngang với tốc độ 25 m/s theo góc  60 . Bóng bật
trở lại với cùng tốc độ v theo góc phản xạ   '

như hình bên. Độ biến thiên động lượng của quả
bóng do va chạm có độ lớn bằng bao nhiêu ?
Giải
- Độ biến thiên động lượng quả bóng do va chạm:
   

p  p  p  p    p 
- Từ hình vẽ, ta thấy tam giác tạo với 3 cạnh này là tam giác cân có 1
góc 600 là tam đều
- Độ lớn: p  p  p mv 0, 2.25  5kg.m / s

7


CHUN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN

Ví dụ 4. Trên mặt phẳng nằm ngang một hòn bi m 1 = 15g đang chuyển động sang phải với vận
tốc v1 = 22,5cm/s va chạm trực diện đàn hồi với hòn bi m 2 = 30g chuyển động sang trái với vận
tốc v2 = 18cm/s. Tìm vận tốc mỗi vật sau va chạm, bỏ qua ma sát?
Giải
- Hệ hai viên bị ngay sai khi va chạm là một hệ kín nên động lượng của hệ được bảo toàn





m1v1  m2v2 m1v1'  m2v2'

- Chọn chiều (+) là chiều chuyển động ban đầu của hòn bi 1
- Va chạm của hai viên bi là va chạm đàn hồi xuyên tâm, ta có
- Vận tốc của viên bi 1 và 2 ngay sau va chạm lần lượt là:

{

v '1=

( m1−m2 ) v 1 +2 m2 v 2 ( 0,015−0,03 ) .22,5−2.0,015 .18

=
=−31,8 cm/s
m1+ m2
0,015+0,03
( m2−m1 ) v2 +2 m1 v 1 ( 0,03−0,015 ) . (−18 )+ 2.0,015.22,5
v '2 =
=
=9 cm/s

m1 +m2
0,03+ 0,015

Ví dụ 5. Một quả cầu thứ nhất có khối lượng 2 kg chuyển động với vận tốc 3m/s, tới va chạm
với quả cầu thứ hai có khối lượng 3 kg đang chuyển động với vận tốc 1 m/s cùng chiều với quả
cầu thứ nhất trên một máng thẳng ngang. Sau va chạm, quả cầu thứ nhất chuyển động với vận
tốc 0,6 m/s theo chiều ban đầu. Bỏ qua lực ma sát và lực cản. Xác định chiều chuyển động và
vận tốc của quả cầu thứ hai.
Giải
- Chọn chiều chuyển động ban đầu của quả cầu thứ nhất là chiều dương.
- Vì bỏ qua ma sát và lực cản, nên tổng động lượng của hệ được bảo toàn.




p

m
v

m
v
0
1
1
2
2
- Động lượng của hệ ngay trước khi va chạm:



'2
'2
p

m
v

m
v
1
1
2
2
- Động lượng của hệ sau khi va chạm:
- Vì bỏ qua ma sát và lực cản nên đơng lượng của hệ được bảo tồn
- Áp dụng định luật bảo tồn động lượng ta có:
 




p  p0  m1v1'2  m2v2'2 m1v1  m2v2


'
  m1v1  m2 v2   m1v1
 v2 
m2
(1)
 2.3  3.1  2.0, 6 2, 6m / s

v2 
3
- Chiếu (1) lên chiều dương:

- Vậy quả cầu thứ hai chuyển động với vận tốc 2,6 m/s theo hướng ban đầu.
Ví dụ 6. Xe có khối lượng 10 tấn, trên xe gắn một khẩu đại bác (khối lượng cả khẩu đại bác
và đạn là 5 tấn, với đạn có khối lượng 100 kg). Bắn một phát súng theo phương ngang với tốc
độ của đạn so với súng là 500 m/s. Tìm tốc độ của xe ngay sau khi bắn, nếu:
8


CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

a) Ban đầu xe đứng yên.
b) Xe đang chạy với tốc độ 18 km/h và cùng hướng bắn đạn.

Giải
- Gọi:
+ M 15 tấn là tổng khối lượng của xe và khẩu đại bác;
+ m 100kg là khối lượng của đạn;
+ Vận tốc của xe ngay trước khi bắn là v;
+ Vận tốc của đạn và xe ngay sau khi bắn lần lượt là
đối với đất)

v1 và v2 (các vận tốc v , v1 và v2 được tính




Mv mv1   M  m  v2  1

- Áp dụng định lauajt bảo toàn động lượng:
v vsúng/đất 0
a) Ban đầu xe đứng n, nên:
v v
v
v
500m / s
=> 1 đạn/đất đạn/súng súng/đất
- Chọn chiều dương là chiều chuyển động của đạn:
0 mv1   M  m  v2  v2 

mv1
100.500

 3,6m / s
Mm
15000  10

(1) =>
Vậy ngay sau khi bắn xe chuyển động ngược chiều với chiều bay của đạn và có tốc độ 3,36 m/s
b) Xe đang chạy với tốc độ 18 km/h
v vsúng/đạn 18km / h 5m / s
v1 vđạn/đất vđạn/súng  vsúng/đất 500  5 505m / s
- Chọn chiều dương là chiều bay của đạn
Mv mv1   M  m  v2
(1) =>
v2 

Mv  mv1 15000.5  100.505


1, 64m / s
Mm
15000  100

=>
- Trường hợp này, sau khi bắn xe chuyển động cùng chiều chuyển động ban đầu của xe với tốc
độ 1,64 m/s.
Ví dụ 7. Quả cầu khối lượng M 1kg treo ở đầu một dây mảnh nhẹ chiều dài  1,5m . Một quả
cầu m 20 g bay ngang đến đập vào M với v 50 (m/s). Coi va chạm là đàn hồi xuyên tâm. Tính
góc lệch cực đại của dây treo M. 
Giải
Gọi v1 và v2 lần lượt là vận tốc của quả cầu m và M ngay sau va chạm.

9


CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN


v
- Chọn chiều dương theo chiều của vận tốc . Theo phương ngang, động lượng được bảo
tồn nên:
mv mv1  Mv2
(1)

- Vì va chạm là đàn hồi xuyên tâm nên động năng bảo toàn:
m

v2

v2
v2
m 1  M 2
2
2
2

(2)

M
v2
m
- Từ (1) suy ra:
(3)
M
v 2  v12  v22
m
- Từ (2) suy ra:
v  v1 

(4)

- Chia theo vế (4) cho (3) ta được:
v  v1 v2

- Giải hệ (3) và (5) ta được:
v1 

m

Mv
2mv
; v2 
mM
m  M (6)

- Áp dụng định luật bảo tồn cơ năng cho vật M tại vị trí A và B (gốc thế năng trọng lực tại
vị trí cân bằng A):
M

v22
Mgh Mg  1  cos  
2

v2
1  2mv 
 cos  1  2 1 
.

2 g
2 g  m  M 

2

(7)

2

 cos  1 

1
 2.0, 02.50 
.
0,87   29,50

2.10.1,5  0, 02  1 

.

0

Vậy: Góc lệch cực đại của dây treo là  29,5 .
Ví dụ 8. Một xe chở cát khối lượng 38 kg đang chạy trên một đường nằm ngang không ma sát
với vận tốc 1 m/s. Một vật nhỏ khối lượng 2 kg bay theo phương chuyển động của xe với vận tốc
7 m/s (đối với mặt đất) đến chui vào cát và nằm yên trong đó. Xác định vận tốc mới của xe trong
hai trường hợp:
a) Vật bay đến ngược chiều xe chạy.
b) Vật bay đến cùng chiều xe chạy.
Giải

v ,v
- Gọi 1 2 là vận tốc của xe chở cát và đạn so với đất, v là vận tốc của đạn và xe sau va chạm.
- Chọn chiều dương cùng chiều chuyển động của xe.
10


CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng:



m1v1  m2 v2



m1v1  m2v2  m1  m2  v  v 
m1  m2
a) Vật bay đến ngược chiều xe chạy:
m v  m2v2
v 1 1
0,6m / s
m1  m2
b) Vật bay đến cùng chiều xe chạy:
m v  m2 v2
v 1 1
1,3m / s
m1  m2
Ví dụ 9. Con lắc đạn đạo là thiết bị được sử dụng để đo tốc
độ
của viên đạn. Viên đạn được bắn vào một khúc gỗ lớn treo lơ lửng bằng dây nhẹ, không dãn. Sau
khi va chạm, viên đạn ghim vào trong khối gỗ. Sau đó, tồn bộ hệ khối gỗ và viên đạn chuyển
động như một con lắc lên độ cao h (xem hình). Xét viên đạn có
khối lượng

m1 5 g , khối gỗ có khối lượng m2 1kg và h 5cm .
2

Lấy g 9,8m / s . Bỏ qua sức cản của không khí
a) Tính vận tốc của hệ sau khi viên đạn ghim vào khối gỗ
b) tính tốc độ ban đầu của viên đạn.

Giải:
a) Chọn gốc thế năng tại vị trí thấp nhất của con lắc.
- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ ngay sau khi va chạm cho đến khi con lắc đạt độ
cao cực đại:
1
 m1  m2  v 2  m1  m2  .g.h  v  2 gh 0,99m / s
2

b) Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ khối gỗ - viên đạn ngay trước và sau va chạm


  m  m2  
m1v0  m1  m2  v  v0  1
v
m1
v0 

 m1  m2  v 198,99m / s

m1
- Độ lớn:
E. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Hai quả cầu m1 200 g , m2 100 g treo cạnh nhau bởi hai dây song song
bằng nhau như hình vẽ. Nâng quả cầu I lên độ cao h 4,5cm rồi buông tay.
Hỏi sau va chạm, các quả cầu được nâng lên độ cao bao nhiêu, nếu va chạm là
hoàn toàn đàn hồi?
11

CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

Bài 2. Hai quả cầu giống nhau treo cạnh nhau bởi hai dây song
song bằng nhau. Kéo lệch hai quả cầu khỏi phương thẳng đứng
về hai phía với cùng góc  rồi thả cùng lúc. Coi va chạm giữa
hai quả cầu là hoàn tồn đàn hồi. Tính lực tác dụng lên giá treo:
a) Tại lúc bắt đầu thả các quả cầu.
b) Tại các thời điểm đầu, cuối của quá trình va chạm giữa
các quả cầu.
c) Tại thời điểm các quả cầu bị biến dạng nhiều nhất.

Bài 3. Hai quả cầu khối lượng m và km treo cạnh nhau trên hai dây song song
chiều dài 1 và 2 . Kéo dây treo m lệch góc  rồi bng tay.
Tìm góc lệch cực đại của hai dây treo sau va chạm lần I. Coi va chạm là tuyệt đối
đàn hồi và bỏ qua ma sát.
Bài 4. Vật khối lượng m1 được thả không vận tốc đầu và trượt xuống một vịng
xiếc bán kính R. Tại điểm thấp nhất nó va chạm đàn hồi với vật m2
đang đứng yên.
Sau va chạm, m2 trượt theo vòng xiếc đến độ cao h thì rời khỏi
vịng xiếc

 h  R .

Vật m1 giật lùi lên máng nghiêng rồi lại trượt xuống lên đến độ cao h của vòng xiếc thì cũng rời
vịng xiếc.
Tính độ cao ban đầu H của m1 và tính tỉ số các khối lượng. Bỏ qua ma sát.
v 100  m / s 
Bài 5. Một viên đạn khối lượng m1 1kg bay với vận tốc 1
đến cắm vào một toa xe
chở cát có khối lượng m2 1000kg đang chuyển động với vận tốc

toả ra trong hai trường hợp:
a) Xe và đạn chuyển động cùng chiều.
b) Xe và đạn chuyển động ngược chiều.

v2 10  m / s 

.Tính nhiệt lượng

k 20  N / m 
Bài 6. Đĩa cân của một cân lị xo có khối lượng m1 120 g , lị xo có độ cứng
. Vật
khối lượng m 60 g rơi xuống đĩa từ độ cao h 8cm (so với đĩa) không vận tốc đầu.

Coi va chạm là hồn tồn khơng đàn hồi.
Hỏi vật dời xa nhất đến đâu so với vị trí ban đầu? Bỏ qua sức cản của khơng khí.

12


CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

Bài 7. Vật nặng của búa máy có trọng lượng P1 900 N được dùng để đóng một chiếc cọc
P2 300 N vào đất. Mỗi lần đóng cọc lún sâu h 5cm .

a) Búa rơi từ độ cao H 2m xuống đầu cọc và lực cản của khơng khí vào búa khi rơi F 0,1P1 .
Coi va chạm là tuyệt đối không đàn hồi. Tìm lực cản của đất.
b) Tính phần trăm năng lượng của búa bị tiêu hao để làm nóng và biến dạng trong va chạm giữa
búa, cọc.
c) Tính phần năng lượng của búa bị tiêu hao để thắng lực cản của đất.
Bài 8. Hòn bi thép khối lượng M và hòn bi sáp khối lượng m treo cạnh

nhau ở đầu hai sợi dây song song bằng nhau.
Kéo dây treo M lệch góc  rồi bng tay, sau va chạm (tuyệt đối
khơng đàn hồi), góc lệch cực đại của hai dây treo là  .
Tìm khối lượng hịn bi sáp và độ tiêu hao cơ năng của hệ. Bỏ qua sức
cản của khơng khí.
Bài 9. Viên đạn khối lượng m bay theo phương ngang với vận tốc v1 và đâm xuyên qua một quả
cầu khối lượng M đặt trên sàn nhẵn.
Sau khi xuyên qua M, m chuyển động theo chiều cũ với vận tốc v2 . Tìm nhiệt lượng tỏa ra trong
quá trình trên.
v 160  m / s 
Bài 10. Đạn khối lượng m1 9 g bay với vận tốc 0
theo hướng hợp với phương
0
ngang góc  30 , xuyên qua giữa một bệ ván
m2 0,3kg ; sau đó đạn lên đến độ cao cực đại
H 45m tính từ vị trí ban đầu của bệ ván. Hỏi tấm ván

sẽ được nâng lên đến độ cao nào?
Bỏ qua lực cản của khơng khí, coi lực tương tác giữa
vật và bệ ván là rất lớn.
F. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.Gọi v0 là vận tốc của vật m1 ngay trước va chạm. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho
vật m1 tại 2 vị trí A và B (gốc thế năng trọng lực tại vị trí cân bằng);
1
m1 gh  m1v02  v02 2 gh
2

(1)

Gọi v1 và v2 lần lượt là vận tốc của vận tốc của vật m1 và vật m2 ngay sau va chạm. Áp dụng

định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang cho hệ trước và sau va chạm, với chiều dương

v
theo chiều của 0 :
m1v0 m1v1  m2v2

(2)
13


CHUN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN

Vì va chạm là đàn hồi xuyên tâm nên động năng bảo toàn:
m1

v02
v2
v2
m1 1  m2 2
2
2
2

(3)

Giải hệ (2) và (3) ta được:
v1 

 m1  m2  v0
m1  m2

v2 

(4)

2m1v0
m1  m2

và
(5)
- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho mỗi vật:
v2
1
m1 : m1 gh1  m1v12  h1  1
2
2g
* Vật

(6)

Thay (4) vào (6) và chú ý đến (1) ta được:
2

2

 m  m2  v02   m1  m2  .h 
h1  1
2
2
 m1  m2  .2 g  m1  m2 

2

 0, 2  0,1 .4,5 0,5cm
h1 
2
 0, 2  0,1
.

1
v2
m2 : m2 gh2  m2 v22  h2  2
2
2g
* Vật

(7)

Thay (5) vào (7) và chú ý đến (1) ta được:
h2 

4m1v02

 m1  m2 

2

.2 g



4m12v02

 m1  m2 

.h  h2 
2

4.0,2 2

 0, 2  0,1

2

.4,5 8cm

.

Vậy: Sau va chạm hai vật lên được độ cao cực đại lần lượt là h1 0,5cm và h2 8cm .
Bài 2. a) Lực tác dụng lên giá treo tại lúc bắt đầu thả các quả cầu:
Gọi lực căng của mỗi dây treo lúc bắt đầu thả các quả cầu là T1 ; vận tốc của mỗi quả cầu là v1 0
. 
- Theo định luật II Niu-tơn, ta có:



T 1  P ma
(1)
- Chiếu (1) xuống phương dây treo với chiều dương hướng về điểm treo O, ta được:
T1  mg cos  maht m

v12
0


 T1 mg cos 

- Hai dây hợp với nhau góc 2 (hình vẽ) nên hợp lực do hai dây tác dụng lên giá treo là:
F1 2T1 cos  2mg cos 2 
2
Vậy: Lực tác dụng lên giá treo tại lúc bắt đầu thả các quả cầu là F1 2mg cos  .

14


CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

b) Lực tác dụng tại các thời điểm đầu, cuối của quá trình va chạm giữa các quả cầu:
* Tại thời điểm đầu của quá trình va chạm (ngay trước va chạm): Tại thời điểm đầu của quá trình
va chạm, 2 quả cầu ở vị trí cân bằng.
Gọi lực căng của mỗi dây treo lúc này là T2 , vận tốc của mỗi quả cầu là v2 .
- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho mỗi quả cầu (gốc thế năng trọng lực tại vị trí cân
bằng):
1
mg  1  cos    mv22  v22 2 g  1  cos  
2

(2)

Phương trình định luật II Niu-tơn (tương tự câu a):

T2  mg m

v22
v2
 T2 mg  m 2



(3)

T mg  2 gm  1  cos   mg  3  2 cos  
- Thay (2) vào (3) ta được: 2
- Hợp lực do hai dây treo tác dụng vào giá treo (hai dây song song nhau):
F2 2T2 2mg  3  2 cos  
(4)
* Tại thời điểm cuối của quá trình va chạm (ngay sau va chạm):

- Gọi lực căng của mỗi dây treo lúc này là T3 , vận tốc của mỗi quả cầu là v3 .
- Do va chạm là đàn hồi xuyên tâm và hai quả cầu giống nhau nên sau va chạm, hai quả cầu đổi
vận tốc cho nhau. Có nghĩa là hai quả cầu đổi chiều chuyển động nhưng độ lớn vận tốc không
đổi so với ngay trước va chạm.
- Lực căng của mỗi dây treo là: T3 T2
- Lực do hai dây treo tác dụng vào giá treo (hai dây song song nhau): 
F3 2T3 2mg  3  2 cos   F2
(5)
Vậy: Lực tác dụng tại các thời điểm đầu, cuối của quá trinh va chạm giữa các quả cầu là
F2 F3 2mg  3  2 cos   .
c) Lực tác dụng lên giá treo tại thời điểm các quả cầu bị biến dạng nhiều nhất:
- Các quả cầu bị biến dạng nhiều nhất khi chúng đi qua vị trí cân bằng và có vận tốc v4 0 . Gọi
lực căng mỗi dây lúc này là T4 .

- Tương tự, ta có phương trình định luật II Niu-tơn: T4  mg 0  T4 mg
- Lực do hai dây treo tác dụng vào giá treo (hai dây song song nhau):
F4 2T4 2mg

Vậy: Lực tác dụng lên giá treo tại thời điểm các quả cầu bị biến dạng nhiều nhất là F4 2mg .
Bài 3. Gọi v0 là vận tốc của vật m ngay trước va chạm. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho
vật m tại 2 vị trí A và B (gốc thế năng trọng lực tại vị trí cân bằng):
15


CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

1
mg 1  1  cos    mv02  v02 2 g 1  1  cos  
2

(1)

Gọi v1 và v2 lần lượt là vận tốc của vật m và vật km ngay sau va chạm. Vì va chạm là đàn hồi
xuyên tâm, nên ta có:
v1 

 m  km  v0  1  k  v0

v1 

2mv0
2v
 0
m  km 1  k

m  km

1 k

(3)

(4)
- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho mỗi vật:
1 2
mv1 mg 1  1  cos 1 
* Vật m: 2
v2
1   1  k  v0 
 cos 1 1  1 1 
.

2 g 1
2 g 1  1  k 

2

(5)
2

- Thay (1) vào (5) ta được:

cos 1 1 

1  1 k 

.
 .2 g 1  1  cos  
2 g 1  1  k 

2

 1 k 
 cos 1 1  
 .  1  cos  
 1 k 
  1 k 2

 1 arccos 1  
 .  1  cos   
  1  k 

1
M km : mv22 kmg 2  1  cos  2 
2
* Vật

v2
1  2v0 
 cos  2 1  2 1 
.
2 g 2
2 g 2  1  k 

2

(6)

- Thay (1) vào (6) ta được:
2

cos  2 1 

1  2 
.
 .2 g 1  1  cos  
2 g 2  1  k 

 cos  2 1 

41
2  1  k 

2

.  1  cos  



41
  2 arccos  1 
.
1

cos





2
 2  1  k 
 .

Vậy: Góc lệch cực đại của hai dây treo sau va chạm lần I là:

16


CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

  1 k 2

 1 arccos 1  
.
1

cos





  1  k 




41
 2 arccos 1 
.
1

cos




2
2  1  k 



và
Bài 4. Gọi v0 là vận tốc của vật m1 ngay trước va chạm (tại vị trí thấp nhất B).

- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho m1 tại 2 vị trí A và B:
1
m1 gH  m1v02  v0  2 gH
2

(1)

Gọi v1 và v2 lần lượt là vận tốc của hai vật m1 và m2 ngay sau va chạm.
- Vì va chạm đàn hồi xuyên tâm nên ta có:
v1 

 m1  m2  v0

v2 

m1  m2

(2)

2m1v0
m1  m2

(3)

* Xét m2 sau va chạm:
Giả sử vật m2 rời khỏi vòng xiếc tại C, gọi vận tốc
của m2 tại C là v2 .



Q
m
- Các lực tác dụng vào 2 tại C: trọng lực P 2 và phản lực 2 của vòng xiếc, với Q2 0 .
- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho m2 cho 2 vị trí B và C:
1
1
m2 v22  m2v2'2  m2 gh
2
2
2
'2
 v2 v2  2 gh

(4)

- Áp dụng định luật II Niu-tơn cho m2 tại C với Q2 0 ta được:
m2 g cos  m2

v2'2
 v2'2 gR cos  g (h  R )
R

(5)

* Xét m1 sau va chạm: Theo đề bài, vật m1 cũng rời khỏi vòng xiếc tại C, gọi vận tốc của m1 tại
'
C là v1 .


Q1
m
P
1
1
- Các lực tác dụng vào tại C: trọng lực
và phản lực
của vòng xiếc, với Q1 0 .
- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho m1 cho 2 vị trí B và C:

17

CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

1
1
m1v12  m1v1'2  m1 gh  v 2 v '2  2 gh
1
1
2
2

(6)

- Áp dụng định luật II Niu-tơn cho m1 tại C với Q1 0 ta được:
v1' 2
R
'2
 v1  gR cos   g (h  R ) (7)
m1 g cos  m2

- Từ (5) và (7) suy ra:

v1'2 v2'2

 8

2
2
- Thay (8) vào (4) và (6): v1 v2

(9)

2

  m1  m2  v0 
 2m1v0 

 

m1  m2 
 m1  m2 
- Thay (2) và (3) vào (9) ta được: 
2

  m1  m2  4m12  m1  m2 2m1  m2 3m1


m2
3
m1

v22  2 gh g  h  R   v22 3gh  gR

- Thay (10) vào (3) và chú ý đến (1) ta được:
gH
2

(loại nghiệm m2  m1 ).

(10)

- Thay (5) vào (4) ta được:

 v22 

2

v2 

(11)

2 gH
v0

2
2

(12)

- Từ (11) và (12) suy ra:
 H 2  3h  R 

3 gh  gR 

gH
2

(13)

Vậy: độ cao ban đầu H của m1 và tính tỉ số các khối lượng là

v

Bài 5. Gọi là vận tốc của hệ (đạn + xe cát) sau va chạm.

H 2  3h  R 

và

m2
3.
m1

- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang cho hệ (các vectơ vận tốc

v2
đạn và của xe trước va chạm cùng phương):
m1v1  m2 v2  m1  m2  v
 v

m1v1  m2v2
m1  m2

(1)

- Nhiệt lượng tỏa ra trong quá trình va chạm:

18


v1

của

CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

1
1
1
Q W0 d  Wd  m1v12  m2v22   m1  m2  v 2
2
2
2

(2)

- Thay (1) vào (2) ta được:
 m v  m2v2 
1
1
1
Q  m1v12  m2 v22   m1  m2  .  1 1

2
2
2
 m1  m2 
1
1
1  m1v1  m2v2 
 Q  m1v12  m2v22 
2

2
2
m1  m2

2

2

(3)

a) Xe và đạn chuyển động cùng chiều: Chọn chiều dương theo chiều
chuyển động của đạn trước va chạm (hình vẽ).
v 100  m / s  v2 10  m / s 
Ta có: 1
;
Thay số vào (3) ta được:
2

1
1
1  1.100  1000.10 
Q  .1.1002  .1000.102  .
=4046J
2
2
2
1  1000
Vậy: Nhiệt lượng tỏa ra khi va chạm là Q 4046 J .

b) Xe và đạn chuyển động ngược chiều:

Chọn chiều dương theo chiều chuyển động của đạn trước va chạm (hình vẽ).
v 100  m / s  v2  10  m / s 
Ta có: 1
;
Thay số vào (3) ta được:
2

1
1
1  1.100  1000.   10  
2
Q  .1.1002  .1000.   10   . 
=6044J
2
2
2
1 1000
Vậy: Nhiệt lượng tỏa ra khi va chạm là Q 6044 J .

v  2 gh
Bài 6. Gọi v0 là vận tốc của vật m ngay trước khi va chạm với đĩa m1 . Ta có: 0

 1

Gọi v là vận tốc của hệ (m + m1 ) ngay sau va chạm. Theo định luật bảo toàn động lượng theo
phương thẳng đứng khi va chạm mềm, ta có:
mv0 (m  m1 )v  v 

mv0
m  m1

(2)

Gọi O là vị trí cân bằng của hệ (m + m1 ) , khi đó lị xo bị nén thêm đoạn x0 do có thêm vật m. Ta
có:
mg 0, 06.10

0,03m 3cm
k
20
Gọi M là vị trí của đĩa cân m1 khi va chạm và N là vị trí thấp nhất của đĩa cân m1 (khi lò xo bị nén
mg kx0  x0 

tối đa). Chọn trục tọa độ Ox như hình vẽ.

19


CHUYÊN ĐỀ HSGVL10: CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

- Theo định luật bảo toàn cơ năng (gốc thế năng đàn hồi tại vị trí cân bằng O của hệ m1  m  lò
xo)):
WM WN
1 2 1
1
kxM   m  m1  vM2  kxN2
2
2
2



 kxM2   m  m1  vM2 kxN2 (3)

với:

xM  OM  x0 ; vM v 

mv0
;
m  m1 xN ON
.
2

 mv0 
2
kx   m  m1  . 
 kxN
m

m

1 
- Thay vào (3), ta được:
2
0

m 2 v02
 kx 
kxN2

m  m1
2
0

m 2 v02
 xN  x 
k  m  m1 
2
0

(4)

- Thay (1) vào (4):
xN  x02 

2 ghm 2
2.10.0, 08.0, 06 2
= 0,032 
0, 05m 5cm.
k  m  m1 
20  0, 06  0,12 

- Khoảng cách xa nhất của vật so với vị trí ban đầu:
hmax h  x0  xN 8  3  5 16cm

Vậy: Khoảng cách xa nhất của vật so với vị trí ban đầu là 16cm.
Bài 7. a) Lực cản của đất:
Ta có:

m1 

P1
P
90kg ; m2  2 30kg
g
g
.

F 0,1P1 0,1.900 90 N .

Gọi v1 là vận tốc của búa ngay trước va chạm.
- Áp dụng định lý động năng cho chuyển động của búa:
AP  AF W1d
1

1
 m1 gH  F .H  m1v12  0
2

F 
90 

 v1  2 H  g 
  2.2  10 
 6  m / s 
m1 
90 



Gọi v là vận tốc của hệ búa và cọc ngay sau va chạm.
- Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho va chạm mềm:
20