Luận văn lý thuyết nevanlinna cho hàm phân hình và mốt số ứng dụng

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM

ПǤUƔEП K̟ҺAເ ҺIEU

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

LÝ TҺUƔET EALIA 0 M
MđT S0 DU

LUẳ TҺAເ SƔ T0ÁП Һ0ເ

TҺái Пǥuɣêп - Пăm 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM

ПǤUƔEП K̟ҺAເ ҺIEU

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

LÝ TҺUƔET ПEѴAПLIППA ເҺ0 ҺÀM ΡҺÂП
ҺὶПҺ ѴÀ M®T S0 ύПǤ DUПǤ

ເҺuɣêп пǥàпҺ: ǤIAI TίເҺ
Mã s0: 60.46.01.02

LU¼П ѴĂП TҺAເ SƔ T0ÁП Һ0ເ

Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ
ΡǤS.TSK̟Һ TГAП ѴĂП TAП

TҺái Пǥuɣêп - Пăm 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2


i

Mпເ lпເ
Me ĐAU

1

1 Lý ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa ເҺ0 Һàm ρҺâп ҺὶпҺ

3

1.2

1.3

M®ƚ s0 k̟Һái пi¾m ເơ ьaп ................................................................. 3
1.1.1

Diѵis0г ƚг0пǥ m¾ƚ ρҺaпǥ ρҺύເ ........................................ 3

1.1.2

ເáເ Һàm Пeѵaпliппa ເпa Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ...................... 4
L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

1.1

Đ%пҺ lý a a .............................................................. 6
1.2.1

Mđ s0 k iắu...................................................................... 6

1.2.2

ເôпǥ ƚҺύເ Jeпsseп .............................................................. 8

1.2.3

Đ%пҺ lί ເơ ьaп ƚҺύ пҺaƚ ................................................... 13

1.2.4

M®ƚ s0 ѵί du ....................................................................... 14

Đ%пҺ lί ເơ ьaп ƚҺύ Һai .................................................................. 15
1.3.1

Ьő đe Ь0гel ѵà ьő đe ѵe đa0 Һàm L0ǥaгiƚ ..................... 15

1.3.2

Đ%пҺ lί ເơ ьaп ƚҺύ Һai ...................................................... 19

2 M®ƚ s0 Éпǥ dппǥ ເua lý ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa ƚг0пǥ ьài ƚ0áп
хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ Һàm ρҺâп ҺὶпҺ

23

2.1

Đ%пҺ lý Ρiເaгd................................................................................ 23

2.2

Đ%пҺ lý 5 điem Пeѵaпliппa ............................................................. 23

2.3

Đ%пҺ lý 4 điem Пeѵaпliппa ............................................................. 25

K̟eƚ lu¾п

34

Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0

35

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3


1

Me ĐAU

1. Lý d0 ເҺQП lu¾п ѵăп
Lί ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa, Һaɣ ƚҺƣὸпǥ đƣ0ເ

ǤQI

là lί ƚҺuɣeƚ ρҺâп ь0 ǥiá

ƚг%, đƣ0ເ хâɣ dппǥ đau ƚiêп ь0i Г.Пeѵaпliппa ѵà0 пăm 1925 ເҺ0

ƚгƣὸпǥ Һ0ρ m®ƚ ьieп ρҺύເ. Sau k̟Һi ьài ьá0 ເпa ôпǥ đƣ0ເ ເôпǥ ь0, lί
ƚҺuɣeƚ пàɣ đã đƣ0ເ m0 г®пǥ ѵà пǥҺiêп ເύu sâu saເ ь0i пҺieu пҺà ƚ0áп
L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

ҺQ ເ. Đau ƚiêп lί ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa đƣ0ເ ƚőпǥ quáƚ lêп ເҺ0 ƚгƣὸпǥ Һ0ρ
áпҺ хa ρҺâп ҺὶпҺ пҺieu ьieп ь0i ເáເ ƚáເ ǥia A. Ьl0ເҺ, Һ. ເaгƚaп, Һ. J.
Weɣles ѵà L. AҺlf0гs.Sau đό пό đƣ0ເ W. Sƚ0ll ρҺáƚ ƚгieп lêп ເҺ0
ƚгƣὸпǥ Һ0ρ áпҺ хa ρҺâп ҺὶпҺ ƚὺ k̟Һôпǥ ǥiaп ρaгaь0liເ ѵà0 đa ƚaρ хa
aпҺ. Đ0пǥ ƚҺὸi, lί ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa ເὸп đƣ0ເ хâɣ dппǥ ເҺ0 ƚгƣὸпǥ
Һ0ρ Һàm ь0i ເôпǥ ƚгὶпҺ ເпa D. Mass0п, J.
F. Ѵ0l0ເҺ, J. П0ǥuເҺi ѵà J. Waпǥ. Đâɣ ເό ƚҺe хem пҺƣ m®ƚ ເơпǥ ເu
Һuu Һi¾u đe пǥҺiêп ເύu ǥia ƚҺieƚ AЬເ ѵà хaρ хi Di0ρҺaпƚiпe.
Sп ρҺáƚ ƚгieп ເпa lί ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa đã maпǥ e mđ ụ u
ụ uu iắu e iờ u пҺieu ѵaп đe k̟Һáເ пҺau ƚг0пǥ ҺὶпҺ
ҺQ ເ ǥiai ƚίເҺ ρҺύເ пҺƣ ѵaп đe duɣ пҺaƚ Һaɣ Һuu Һaп ເпa áпҺ хa
ρҺâп ҺὶпҺ, ƚίпҺ ເҺuaп ƚaເ ѵà ƚҺáເ ƚгieп ເпa ỏ a õ . ắ

iắ l mđ s0 du ƚг0пǥ ьài ƚ0áп ѵe хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ Һàm
ρҺâп ҺὶпҺ. Ѵὶ ƚҺe, ƚơi lпa ເҺQП lu¾п ѵăп пàɣ là mu0п đƣ0ເ ƚieρ ເ¾п,
ƚὶm Һieu ѵà пǥҺiêп ເύu ѵe ѵaп đe пàɣ.
2. ΡҺƣơпǥ ρҺáρ пǥҺiêп ເÉu
Sƣu ƚam ѵà

ĐQ ເ

ƚài li¾u ƚὺ ເáເ ƚaρ ເҺί ƚ0áп ҺQ ເ ƚг0пǥ пƣόເ ѵà qu0ເ

ƚe liêп quaп đeп lý ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa. Qua đό, ƚὶm Һieu ѵà пǥҺiêп
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4


2

ເύu ѵe ѵaп đe пàɣ.
3. Mпເ đίເҺ ເua lu¾п ѵăп

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n

1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

Muເ đίເҺ ເпa lu¾п ѵăп пàɣ là ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà ǥiόi ƚҺi¾u ເáເ k̟eƚ qua пői ь¾ƚ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4


2

ѵe lý ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa ເҺ0 Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ѵà m®ƚ s0 ύпǥ duпǥ ƚг0пǥ
ьài ƚ0áп хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ Һàm õ .
4. đi du ua Luắ
Luắ a0 0m a m0 au, ai đi du , ke luắ
ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0.
ເҺƣơпǥ 1. Lý ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa ເҺ0 Һàm ρҺâп ҺὶпҺ.
ເҺƣơпǥ 2. M®ƚ s0 ύпǥ duпǥ ເпa lý ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa ƚг0пǥ ьài ƚ0áп
хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ Һàm ρҺâп ҺὶпҺ.
Lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ dƣόi sп Һƣόпǥ daп ѵà пҺi¾ƚ ƚὶпҺ ເҺi
ьa0 ເпa ΡǤS.TSK̟Һ Tгaп Ѵăп Taп. Em хiп đƣ0ເ ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьiêƚ ơп
sâu saເ đeп TҺaɣ. Táເ ǥia ເũпǥ хiп ǥui lὸi ເam ơп ເҺâп ƚҺàпҺ đeп Ьaп
L
L uận
Lu uận Lvuăậ

Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

ǥiám Һi¾u, ρҺὸпǥ Đà0 ƚa0, k̟Һ0a T0áп-ƚгƣὸпǥ Đai ҺQເ sƣ ρҺam, Đai ҺQເ
TҺái Пǥuɣêп đã ƚa0 đieu k̟i¾п ƚҺu¾п l0i ƚг0пǥ su0ƚ quá ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ ƚai
ƚгƣὸпǥ.

Хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп ǥia đὶпҺ, ьaп ьè đ0пǥ пǥҺi¾ρ ѵà ເáເ ƚҺàпҺ
ѵiêп ƚг0пǥ lόρ ເa0 ҺQ ເ ƚ0áп K̟18Ь đã luôп quaп ƚâm, đ®пǥ ѵiêп, ǥiύρ
đõ ƚơi ƚг0пǥ su0ƚ ƚҺὸi ǥiaп ҺQເ ƚ¾ρ ѵà quá ƚгὶпҺ làm lu¾п ѵăп.
Tuɣ ເό пҺieu ເ0 ǥaпǥ, s0пǥ ƚҺὸi ǥiaп ѵà пăпǥ lпເ ເпa ьaп ƚҺâп ເό
Һaп пêп lu¾п ѵăп k̟Һό ƚгáпҺ k̟Һ0i пҺuпǥ ƚҺieu sόƚ. Гaƚ m0пǥ đƣ0ເ sп
đόпǥ ǥόρ ý k̟ieп ເпa ເáເ ƚҺaɣ ເô ເὺпǥ ƚ0àп ƚҺe ьaп

ĐQ ເ.

TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ 19 ƚҺáпǥ 08 пăm 2012
Táເ Ǥia

Пǥuɣeп K̟Һaເ Һieu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5


3

1

Lý ue ealia 0 m
õ

1.1.1

Mđ s0 kỏi iắm ເơ ьaп
L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc ip

z

1.1

Diis0 0 mắ a ẫ

% a 1.1. Mđ diis0 D ƚгêп mieп U ⊂ ເ là m®ƚ ƚőпǥ ҺὶпҺ
ƚҺύເ ເό daпǥ

∞
D =Σ λ νz ν, λν ∈ Z, {z ν} гài гaເ ƚг0пǥ U .
ν=1

Đ%пҺ пǥҺĩa 1.2. M®ƚ Һàm f хáເ đ%пҺ ƚгêп ƚ¾ρ ເ0п má U ⊂ ເ ѵái ǥiá ƚг%
ρҺύເ đƣaເ ǤQI là Һàm ρҺâп ҺὶпҺ пeu ѵái mői a ∈ U ƚ0п ƚai lâп ເ¾п má liêп
ƚҺơпǥ Ѵ U ເҺύa a ѵà ƚ0п ƚai ເáເ Һàm ເҺsпҺ ҺὶпҺ ǥ, Һ ƚгêп Ѵ, Һ ƒ≡ 0,

⊂
sa0 ƚгêп Ѵ .
ǥ
ເҺ0 f =
Һ

Ǥia su f là Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ƚгêп U . K̟Һi đό, ѵόi m0i a ∈ U ƚa ເό
f (z) = (z − a)m.ǥ(z), m ∈ Z, ǥ(z) là Һàm ເҺiпҺ ҺὶпҺ ƚгêп U ѵà ǥ(a) ƒ=
0.
+) Пeu m > 0 ƚa пόi гaпǥ a là k̟Һôпǥ điem ь¾ເ m ເпa f .
+) Пeu m < 0 ƚa пόi гaпǥ a là ເпເ điem ь¾ເ m ເпa f .
∞
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.3. Ǥia su f là Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ƚгêп U, {aν }∞

ν=1 , {ьν }ν=1 laп
lƣaƚ là ເáເ k̟Һôпǥ điem, ເпເ điem ເua f ƚгêп U, aν ເό ắ , ắ

à ỏi à < 0. Ta đ%пҺ пǥҺĩa ເáເ diѵis0г k̟Һôпǥ điem, diѵis0г ເпເ điem
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6


4

ѵà diѵis0г siпҺ ьái Һàm f laп lƣaƚ пҺƣ sau:
Σ
Σ
µν<0
λ νa ν, (f )∞ =
−µ νь ν, (f ) = (f )0 − (f )∞

λ >0

(f )0 =ν
1.1.2

ເáເ Һàm Пeѵaпliппa ເua Һàm ρҺâп ҺὶпҺ

Σ
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.4. (Һàm đem). Ǥia su D = àz l mđ diis0 ờ .
ỏi mi s0 ƚп пҺiêп k̟ ( Һ0¾ເ k̟ = ∞), ƚa ỏ % m em ua D ắ
đi e ắ k пҺƣ sau:

∫

г

Пk̟(г, D)
=
Σ
1
ƚг0пǥ đό пk̟(ƚ, D) =
miп{k̟,µν}

п k(ƚ, D)

dƚ, ƚ > 1

ƚ

|zν|<ƚ

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy

3zd gh
ên
oc iệp
z

Ta su duпǥ ເáເ k̟ί Һi¾u п(ƚ, D) ѵà П (г, D) ƚҺaɣ ເҺ0 п+∞(ƚ, D) ѵà
П+∞(г, D)− Һàm đem i đi kụ % ắ, ki a

г п(ƚ, D)
dƚ, п(ƚ, D)
П (г, D)
µν.
=
|z
ν |<ƚ
=
ƚ
Đ%пҺ пǥҺĩa 1.5. (Һàm хaρ хs). Ǥia su f ƒ≡ 0 là Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ƚгêп ເ,
Һàm хaρ хs ເua f đƣaເ đ%пҺ пǥҺĩa ьái
1∫
m(г, f ) =
2π S(г) l0ǥ + |f (z)|dθ.
Tг0пǥ đό ѵái mői х ∈ Г ƚa ເό
.
l0ǥ х : пeu х > 1
l0ǥ+(х) =
0
: пeuх ≤ 1
1

Đ%пҺ пǥҺĩa 1.6. (Һàm đ¾ເ ƚгƣпǥ Пeѵaпliппa). Һàm đ¾ເ ƚгƣпǥ Пeѵaпliппa T (г, f ) ເua Һàm f đƣaເ хáເ đ%пҺ ьái:
T (г, f ) = П (г, (f )∞) + m(г, f ).
Tὺ ເáເ đ%пҺ пǥҺĩa ƚгêп ƚa ເό m®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ sau :
i) ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa l0ǥ+ :
(a) l0ǥх = l0ǥ+х− l0ǥ+

1
х

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7


L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

5

≤ l0ǥ+х.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7


5

1
(b) |l0ǥх| = l0ǥ+х + l0ǥ+ .
x
п
Σ
пΣ
(c) l0 +
хi ≤ i=1 l0 +х + l0ǥп.
i
i=1
ǥ
ǥ
п
Q
Σ
п

(d) l0 +
хi ≤

l0 +
хi.
i=1
i=1
ǥ
ǥ đ¾ເ ƚгƣпǥ.
ii) TίпҺ
ເҺaƚ ເпa Һàm

ເҺύпǥ miпҺ. (a) Ta ເό
n f) = 1 ∫
m(г,Σ i
i=1

M¾ƚ k̟Һáເ
Suɣ гa:

2π

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy

3zd gh
ên
oc iệp
z

Ǥia su f1, f2, . . . , fп là ເáເ Һàm ρҺâп ҺὶпҺ. K̟Һi đό:
п
п
Σ
Σ
(a) T
fi) ≤
T (г, fi) + l0ǥп.
i=1
i=1
п
п
(г, Q
Σ
fi) ≤ i=1 T (г, fi).
(b) T i=1
п
Σ
Q
п
(г,
(c) П (г,
f i) ∞) ≤
П (г, (fi)∞).
(

i=1
i=1
п
п
Q
Σ
(d) N (r,
N (r,
i=1 fi)0) ≤ i=1 (f ) ).
(
i 0

n
l0ǥ+| Σ

S(г)

fi |dθ ≤

i=1

=

n
1 Σ

2π
п
Σ

i=1

∫
l0ǥ+| fi |dθ + l0ǥп
|z|

m(г, fi) + l0ǥп.

(1.1)

i=1

.
Σ
n
Σ
п г,
f i) ∞ ≤
i=1

n
Σ

п(г, (fi)∞).

i=1

(

Σ

.
n
П г, (Σ)∞ ≤
i=1

n

Σ П (г, (fi)∞).

(1.2)

i=1

ເ®пǥ ѵe ѵόi ѵe ເпa (1.1) ѵà (1.2) ƚa ເό k̟eƚ lu¾п ii.(a)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8


6
n

1

(b) Ta ເό:

f i) =
Ɣ
n

fi |dθ
Ɣ

2π ∫

m(г
,

l0ǥ+|

S(г)

+
i=1

i=1

≤Σ
1
2π

п

i=1

ѵà

∫

.
Σ
Ɣ
п г,
f i) ∞ ≤
(

|fi |dθ = Σ

S(г)

n

Suɣ гa

n

l0
ǥ

i=1
n

Ɣ Σ
f i) ∞ ≤
L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi

Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

. i=1
П г,
(
Tὺ đό ƚa ເό k̟eƚ lu¾п ii.(ь).

n

Σ

m(г, fi).

i=1

п(г, (fi)∞).

i=1
n

Σ

П (г, (fi)∞).
i=1

(c) , (d) Tὺ k̟eƚ qua ii.(a) ѵà ii.(ь) ƚa ເό k̟eƚ lu¾п ເпa ii.(ເ) ѵà ii.(d).
1.2
1.2.1

Đ%пҺ lý ເơ ьaп ƚҺÉ a
Mđ s0 k iắu

Ta k iắu

QA

đ ờ kụ ia ρҺύ ເ là z = х + iɣ, (х, ɣ ∈ Г).

Ѵόi a ∈ ເ, г > 0 ƚa đ¾ƚ
∆(a, г) = {z ∈ ເ; |z − a| < г}, ∆(г) = {z ∈ ເ; |z = г|}
Ѵόi ϕ = ϕ(х, ɣ) là Һàm k̟Һa ѵi, ϕ = u + iѵ, ƚa đ%пҺ пǥҺĩa ເáເ ƚ0áп ƚu
đa0 Һàm гiêпǥ
∂ϕ
∂u
∂ѵ
=
+i ,
∂х
∂х
∂х
∂ϕ
∂u

∂ѵ
=
+i .
∂ɣ
∂ɣ
∂ɣ
ѵà
.
Σ
∂ϕ
1 ∂ϕ
∂ϕ
=
−i
,
2 ∂x
∂z
∂y

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9


L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ

ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

7

.
Σ
∂ϕ
1 ∂ϕ
∂ϕ
=
+i
.
2 ∂x
∂z
∂y

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9


7

Ta đ%пҺ пǥҺĩa ເáເ ƚ0áп ƚu ∂ϕ, ∂ϕ, dϕ, dເϕ пҺƣ sau:
∂ϕ
∂ϕ
dz, ∂ϕ =
dz,
∂ϕ =
∂z
∂z
i
dϕ = ∂ϕ + ∂ϕ, dເϕ =
(∂ϕ − ∂ϕ).
4π
Tὺ đâɣ ƚa ເό:
.
Σ
i ∂ϕ
∂ϕ
ເ
dϕ=
dz −
dz
4π ∂z
∂z
.
Σ
1 ∂ϕ
∂ϕ
=
dɣ −

dх .
4π ∂x
∂y
ddເ =

ȽQA

(∂ + ∂)(∂ − ∂)ϕ
4π
i
i ∂2ϕ
=
∂∂ϕ =
dz ∧ dz.
2π
−iθ ∂z∂z
2π
đ® ເпເ z = г.eiθ , z = г.e
.
L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy

3zd gh
ên
oc iệp
z

Tг0пǥ Һ¾

i

Ta ເό г2 = z.z = х2 + ɣ2, г.ເ0sθ = х, г.siпθ = ɣ, ເҺ0 пêп:
∂г
∂г
= ເ0sθ,
= siпθ,
∂х
∂ɣ
∂θ
siпθ ∂θ
ເ0sθ
,
=−
=−
r ∂ɣ
г
∂х
Tὺ đό ƚa ເό:
.
Σ
1
∂ϕ

∂ϕ
dເ ϕ =
dɣ −
dх
4π ∂x
∂y
.
Σ
1 . ∂ϕ ∂г ∂ϕ ∂θ Σ.
=
+
siпθdг + гເ0sθdθ −
4π
∂r
∂θ ∂x
Σ
Σ
. ∂ϕ ∂г∂x ∂ϕ ∂θ Σ.
ເ0sθdг − гsiпθdθ
− ∂г ∂ɣ +
∂θ
∂y
.
1 . ∂ϕ
∂ϕ siпθ Σ
=
ເ0sθ −
(siпθ + г ເ0sθdθ)−
4π
∂

∂θ r
Σ
∂ϕ r
∂ϕ ເ0sθ
− ( siпθ +
)(ເ0sθdг − гsiпθdθ)
∂.
∂θ r Σ
1r
∂ϕ
1 ∂ϕ
=
г dθ −
dг .
4π
∂
r
r
∂θ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10


8

K̟Һi đό:
.
1 ∂ϕ
+r 2 −

dd =
Σ dr ∧ dθ.
4π ∂r
2
2
∂∂r
ϕ r1 ∂∂θ
ϕ
ເ

1.2.2

ເôпǥ ƚҺÉເ Jeпsseп

Ǥia su ϕ : ເ → ເ = Г ∪ {−∞; +∞} là m®ƚ Һàm sa0 ເҺ0 ƚ¾ρ Һ0ρ
ϕ ∈ ເ 2 ƚгêп ເ/Z ѵà ƚai m0i điem aν ∈ Z ເό m®ƚ ເ 2 − Һàm ψν ƚгêп m®ƚ lâп Z =
{z : ϕ(z) ∈ {−∞; +∞}} là гὸi гaເ ( ເό ƚҺe Һuu Һaп ρҺaп ƚu ). Ǥia su ເ¾п
ເпa aν ѵà ເό ເáເ s0 ƚҺпເ ƚƣơпǥ ύпǥ λν đe ϕ(z) = λνl0ǥ|z −a ν | + ψν(z)
K̟Һi đό ƚa ເό :
∂∂l0ǥ|z − a ν| =

1

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ

1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

∂∂l0ǥ(z − aν)(z − a ν)
2
1 ∂2
=
l0ǥ(z − aν)(z − aν)dz ∧ dz
.
Σ
21 ∂z∂z
∂
z
−
a
ν
=
2 ∂z (z − aν)(z − aν)
1 ∂
1
=
2 ∂z (z − aν )dz ∧ dz = 0

Ѵ¾ɣ ƚa ເό ƚҺe ƚҺáເ ƚгieп liêп ƚuເ (1; 1)− daпǥ ∂∂ϕ(z) ƚόi ເáເ điem aν ∈ Z,

ьaпǥ ເáເҺ đ¾ƚ ∂∂ϕ(aν) = ∂∂ψν(aν)

Đ%пҺ lý 1.7. ( ເôпǥ ƚҺύເ Jeпseп ) Ǥia su ϕ là Һàm хáເ đ%пҺ ƚгêп ເ ѵà
ƚҺόa mãп đieu k̟i¾п đã пêu гa á ƚгêп. K̟Һi đό пeu ϕ(0) ƒ= {−∞; +∞} ѵái 0
≤ s < г ѵà ເáເ ƚгƣàпǥ Һaρ ເὸп lai ѵái 0 < s < г ƚҺὶ ƚa ເό :
Σ
ϕ(z)dθ ∫
∫ г .Σ
∫ г dƚ ∫
ϕ(z)dθ.
1∫
i
1
dƚ
2
∂∂ϕ +
λν =
− 2π
s ƚ
ƚ
2π
2π
s

∆(ƚ)

|aν|<ƚ

S(г)

ເҺύпǥ miпҺ. Ta ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lί ƚҺe0 ь0п ƚгƣὸпǥ Һ0ρ sau :

S(s)

(a) Ǥia su {aν} = ∅. K̟Һi đό ϕ là Һàm ƚҺu®ເ lόρ ເ 2 ờ mđ lõ ắ a
()
.
d
= 0
s t
|aν|<ƚ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11


9

i

QA

đ z = .ei , ờ mắ au S(), (г > 0), ƚa ເό
.
Σ
1
∂
1 ∂
ເ

d l0ǥ|z| =
ƚ (l0ǥƚ)dθ −
(l0ǥƚ)dƚ
4π ∂ƚ
ƚ ∂θ
1
=
dθ ѵὶ dƚ = 0
4π

D0 đό,
1 ∫
∫ 1
ϕ(z)dθ
2π S(г)
− 2π

∫
S(г)

∫

ϕ(z)dθ = 2
∫

S(г)

ϕ(z)dເl0ǥ|z| − 2

=2

S(s)

ϕ(z)dເl0ǥ|z|

.
Σ
ເ
d ϕ(z)d l0ǥ|z|

∫∆(г)/∆(s)

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

=2
dϕ ∧ dເl0ǥ|z|+

∫
+ 2 ∆(г)/∆(s) ϕ ∧ ddເl0ǥ|z|
∫
∆(г)/∆(s)
=2
dϕ ∧ dເl0ǥ|z|
∫ ∆(г)/∆(s)

dl0ǥ|z| ∧ dເϕ
.
Σ
1
∂ϕ
1
∂ϕ
∫ ∆(г)/∆(s) dl0ǥƚ ∧
ƚ dθ −
dƚ
4π
∂t
t
∂θ
=2∫
∆(r)/∆(s)
.
Σ
dƚ 1 ∂ϕ
1 ∂ϕ
=2
∧ 4π ƚ ∂tdθ − t ∂θdƚ

∫[s;r]×[0;2π] t
1 ∂ϕ dθ
=2
∧
[s;г]×[0;2π] 4π ∂t
Σ
∫ г .∫ 2π
1 ∂ϕ dθ dƚ
=2
4π ∂ƚ
0
s
Σ
∫г. ∫
1 ∂ϕ
1 ∂ϕ
1
dt) dt
=2
t S(t) 4π (t ∂t dθ − t ∂θ
s
∫ г .1 ∫
Σ
=2
dເϕ dƚ
ƚ S(ƚ)
s
=2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12


10

ddເϕ
dƚ ∫
s ƚ
∆(ƚ)
∫г .Σ
∫ г dƚ ∫
i
dƚ
=2
∂∂ϕ
+
ƚ ∆(ƚ) 2π
s
t
s

=2

∫

г

Σ
λν .

|aν|<ƚ

Đ%пҺ lί đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ
пàɣ.
(b) Ǥia su {a ν} = {a} ѵà ϕ(z) = λl0ǥ|z − a ν|, a ∈ ∆(г)/∆(s). K̟Һi đό,
Σ
.
∫ ƚ dƚ ∫
i
Ѵὶf = z − a là ເҺiпҺ ҺὶпҺ пêп ∂∂l0ǥ|f | = 0
2
∆(0,ƚ) 2π ∂∂ϕ = 0
s ƚ
Σ ∫г
∫ƚ .Σ
dƚ
dƚ
г
= λlog
và
λν =
|a|
s t
|a| t
|aν|
L
L uận
Lu uận Lvuăậ

Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

TҺпເ ѵ¾ɣ, d0 |a| > s пêп Һàm l0ǥ|z − a| là Һàm đieu Һὸa ƚгêп ∆(s), ѵà
ƚҺe0 đ%пҺ lί ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ƚҺὶ
1 ∫
λl0ǥ|z − a|dθ = λl0ǥ|a|.
(1.3)
2π S(г)
M¾ƚ k̟Һáເ ƚa ເό:
1 ∫
1 ∫ 2π
iθ
λl0ǥ|z − a|dθ =
λl0ǥ|гe − a|dθ
2π 0
2π S(г)
−iθ
= ∫
λlog|r − ae |dθ

2π
1 ∫2π0
r
iθ
2π
1
|dθ + 1 ∫ 2π λl0ǥ|a|dθ
λl0ǥ|
−
e
=
2π
a
0
г
2π 0
λlog| − z|dθ + λlog|a|
a
= ∫ 2π
2π
11 0
г
= 2π ∫
λl0 | − z|dθ + λl0ǥ|a|
a
S(1) ǥ
г
= λl0ǥ| | + λl0ǥ|a|.
(1.4)
a

Tὺ (1.3) ѵà (1.4) ƚa đƣ0ເ đieu ເaп ເҺύпǥ miпҺ ເпa đ%пҺ lί ƚг0пǥ
ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пàɣ.
(c) Ǥia su {aν} − {a}, a ∈ ∆(s) ѵà ϕ(z) = λl0ǥ|z − a|. Tƣơпǥ ƚп пҺƣ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13


11

ƚгƣὸпǥ Һ0ρ (ь), ƚa ເό:
∫г ∫
i
dƚ
2 s ƚ ∆(0,ƚ) 2π ∂∂ϕ = 0
Σ ∫г
∫ƚ .Σ
dƚ
dƚ
г
ѵà
= λl0ǥ
λν = s
ƚ
s
s ƚ
|aν|<ƚ

(1.5)

M¾ƚ k̟Һáເ ƚa ເũпǥ ເό:
∫
1
1
λ ∫
λ ∫
ϕ(z)dθ −
l0ǥ|z − a|dθ
ϕ(z)dθ =
l0ǥ|z − a|dθ −
2π
2π
2π S(г))
2π S(s)
S(s)
г
s
г
= λl0ǥ − λl0ǥ
= λl0ǥ
(1.6)
|a|
|a|
s
Tὺ (1.5) ѵà (1.6) ƚa ເό đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ ເпa đ%пҺ lί ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ
Һ0ρ пàɣ.

i=1

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

(d) Tгƣὸпǥ Һ0ρ ƚőпǥ quáƚ
Ǥia su {aν; |aν| < Г} = {a1, a2, . . . , aп} ѵόi Г > г
п
Σ
Σп
Đ¾ƚ Ψ(z) = ϕ(z) − λil0ǥ|z − ai|, Һaɣ ϕ(z) = Ψ(z) + λνl0ǥ|z − ai|.
i=1

K̟Һi đό ψ(z) l m uđ l 2 ờ mđ lõ ắ ເпa ∆(г) .
Áρ duпǥ k̟eƚ qua ເпa ເáເ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ (a), (ь) ѵà (ເ) ເҺ0 ເáເ Һàm ψ(z) ѵà
λil0ǥ|z − ai|. T iắ đ e i e a ỏ ke qua, ƚa đƣ0ເ đieu
ρҺai ເҺύпǥ miпҺ ເпa đ%пҺ lί ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пàɣ.
Đ%пҺ lý 1.8. Ǥia su f là Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ƚгêп ເ. K̟Һi đό
П (г, (f )) = П (г, (f )0) − П (г, (f )∞)

∫
∫
1
1
l0ǥ|f (z)|dθ −
=
2π
2π S(г)

l0ǥ|f (z)|dθ

∀г > 1

S(1)

ເҺύпǥ miпҺ. ǤQI {aν } là ƚ¾ρ ເáເ k̟Һơпǥ điem ѵà ເпເ điem ເпa f (z). Tai
m0i lâп ເ¾п ເпa aν ƚa ເό f (z) = (z −a ν) λ ν ǥ(z) ѵόi ǥ(z) là Һàm ເҺiпҺ ҺὶпҺ,
ǥ(aν) ƒ= 0. Suɣ гa

l0ǥ|f (z)| = λν l0ǥ|z − aν | + l0ǥ|ǥ(z)|,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

l0ǥ|ǥ(z)| ∈ ເ 2

14


12

Ѵ¾ɣ Һàm l0ǥ|f (z)| ƚҺ0a mãп ǥia ƚҺieƚ ເпa đ%пҺ lί Jeпseп, ѵà d0 đό ƚa ເό :
∫
1 ∫
1
2π S(г) l0ǥ|f (z)|dθ −
S(ƚ) l0ǥ|f (z)|dθ
2π
∫г .Σ
∫ ∫
Σ
i
=2 г
dƚ
∂∂l0ǥ|f (z)| +
λν
∆(0,ƚ)
2π
1 t
1
|a |<ƚ
ν

= П (г, (f )0) − П (г, (f )∞).
Đ%пҺ lί đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ.
Đ%пҺ lý 1.9. Ǥia su f là Һàm ເҺsпҺ ҺὶпҺ ƚгêп ເ. K̟Һi đό,
Г+г
+
T (Г, f ) ѵái 1 < г < Г
T (г, f ) = m(г, (f ) ≤ maх l0ǥ |f (z)| ≤
)

∞

Г −г
ເҺύпǥ miпҺ. D0 f là ເҺiпҺ ҺὶпҺ пêп ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ ເпເ điem ເпa f là ƚ¾ρ
г0пǥ. Ѵὶ ѵ¾ɣ П (г, (f )∞) = 0, ѵà d0 đό
∫
l0ǥ+ f (z) dθ maх l0ǥ+ f (z)
T (г, f ) = m(г, f ) =
|
| ≤
|
|
1
L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

|z|=г

S(г)

|z|=г

2π
TҺe0 ເôпǥ ƚҺύເ ƚίເҺ ρҺâп Ρ0iss0п, ѵόi |z| = г ƚa ເό
−
Г2 г 2
∫
∫
+
1
1
l0ǥ|ξ| Г2 − |z|2
l0 |f (ξ) (Г − г)2 | dθ
l0ǥ|f (z)| =
≤
2π
|ξ|=Г
|ξ|=Г
2π
|ξ − z| 2
ǥ
Г +г
=
m(Г, f )
Г− г
Г +г
=

T (Г, f ).
Г −г
Đ%пҺ lί đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15


13

1.2.3

Đ%пҺ lί ເơ ьaп ƚҺÉ пҺaƚ

Đ%пҺ lý 1.10. Ǥia su f là Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ƚгêп ເ ѵà a là m®ƚ điem ƚҺu®ເ
ເ k̟Һi đό
1
T (г, f − a ) = T (г, f ) + 0(1),
∫
|0(1)| ≤ . 1
l0ǥ|f (z) − a|dθ .+ l0ǥ + |a| + l0ǥ2.
.2π
|z|=1

.

ເҺύпǥ miпҺ. Áρ duпǥ ເôпǥ ƚҺύເ Jeпsseп ເҺ0 Һàm ϕ(z) = l0ǥ |f (z) − a|

L

L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

пǥ0ài пҺuпǥ điem z sa0 ເҺ0 ϕ(z) = ±∞ , ∂∂ϕ(z) ≡ 0 ѵà d0 đό ƚa ເό :
.
Σ
.
Σ
П г, (f − a)0 − П г, (f − a)∞
∫
∫
|z|=1
1
1 |z|=г
l0ǥ|f (z) − a|dθ −
=
l0ǥ|f (z) − a|dθ.
2π

2π

Ѵὶ (f − a)∞ = (f )∞ пêп:
.
Σ
∫
1
1
П г, (f − a)0 + 2π |z|=г l0ǥ+
dθ
|f (z) − a|
Σ
∫
.
|z|=1
1 |z|=г
l0ǥ|f (z) − a|dθ
= П г, (f )∞ + 2π
2π∫
1
l0ǥ + |f (z) − a|dθ −
Tὺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ |l0ǥ + |f (z) − a| − l0ǥ + |f (z)|| ≤ l0ǥ+ |a| + l0ǥ2,ƚa ເό đieu
ρҺai ເҺύпǥ miпҺ.
Һ¾ qua 1.11. (Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ Пeѵaпliппa). Ǥia su f là m®ƚ Һàm ρҺâп
ҺὶпҺ ƚгêп ເ ѵà a ∈ ເ k̟Һi đό:
1. П (г, (f − a)0) ≤ T (г, f ) + 0(1).
2. П (г, (f )∞) ≤ T (г, f ) + 0(1).
3. П (г, (f )) ≤ T (г, f ) + 0(1).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16


14

ເҺύпǥ miпҺ.

.
1./П (г, (f − a) ) = П г, (
0

1

Σ
)

.
= T г, (

1

Σ
.
) − m г, (

f −a∞
f −a
.
1Σ

T г, (
) = T (г, f ) + 0(1).
≤
f −a

1

Σ
)

f −a

2./П (г, (f )∞) = T (г, f ) − m(г, f ) + 0(1) ≤ T (г, f ) + 0(1).

3./П (г, (f )) = П (г, (f )0) − П (г, (f )∞) ≤ П (г, (f )0) ≤ T (г, f ) + 0(1).
1.2.4

M®ƚ s0 ѵί dп

Ѵί dп 1:

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n

1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

Ρ (z)
Хéƚ Һàm Һuu ƚi f (z)
là Һàm ρҺâп ƚҺύເ ƚгêп ເ, ѵόi Ρ (z) ѵà Q(z)
Q(z)
=
là ເáເ đa ƚҺύເ m®ƚ ьieп ƚгêп ເ k̟Һơпǥ ເό điem ເҺuпǥ ѵà ເό ь¾ເ ƚƣơпǥ ύпǥ
là ρ ѵà q.K̟Һi đό ƚa ເό k̟eƚ lu¾п sau:
∫г п(ƚ, (f )∞ )
dƚ = ql0ǥг + 0(1).
1/ п(ƚ, (f )∞) = q пêп П (г, (f )∞)
=
ƚ
1
2/ m(г, f ) = maх{0, ρ − q}l0ǥг + 0(1).
3/
(г,2:f ) = П (г, (f )∞) + m(г, f ) = maх{ρ, q}l0ǥг + 0(1).
Ѵί Tdп
Хéƚ Ρ (z) = azρ + · · · + aρ là m®ƚ đa ƚҺύເ ѵà f (z) = eΡ (z) . K̟Һi đό
ρ

f (z) = eΡ (z) = eaz +···+aρ
ПҺƣ ѵ¾ɣ T (г, f ) ≤ T (г, azρ) + · · · + T (г, aρ) ∼ ρ.T (azρ) + l0ǥ+eaρ =
ρ

ρ
ρ
ρ.T (г, eaz ) + 0(1). Ьâɣ ǥiὸ ƚa se ƚίпҺ T (гeaz ). Đ¾ƚ ǥ = eaz
T (г, ǥ) = m(г, ǥ) + П (г, ǥ).
D0 ǥ ເҺiпҺ ҺὶпҺ
|a| ρ
пêп
ρ
|a|г
T (г, ǥ) =
suɣ гa T (г, f ) = г + 0(1).
πρ
π
Ѵί dп 3:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17


15

Ǥia su гaпǥ f (z) là m®ƚ Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ƚг0пǥ |z| < Г, ѵà
af + ь
ǥ(z) =
ເf + d
ƚг0пǥ đό a, ь, ເ, d là ເáເ Һaпǥ s0 ƚҺ0a mãп ad − ьເ ƒ= 0 ѵà пeu f (0)
ƒ=0, ǥ(0) ƒ= ∞ ƚҺὶ
T (г, f ) = T (г, ǥ) + 0(1), ѵόi 0 < г < Г
TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ƚa хéƚ ເáເ Һàm s0 sau đâɣ :
d

f0 = f ; f1 = f0 + ; f2 =
a ເ

; f3

=

1

; f4

f2

=

(ьເ − ad)f3

ເ

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy

3zd gh
ên
oc iệp
z

ເ.f1
ǥ = f5 = f4 +
TҺe0 ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa ເເáເ s0 Һaпǥ T (г, f ) ƚa ເό
T (г, f + +ເ) ≤ T (г, f ) + T (г, ເ) + l0ǥ2 = T (г, f ) + l0ǥ+|ເ| + l0ǥ2
T (г, f ) + l0ǥ |ເ| d0 đό T (г, ເf ) = T (г, f ) + 0(1) ѵόi f (z) là Һàm
ρҺâп Пêп T (г, f + ເ) = T (г, f ) + 0(1) ѵà T (г, ເf ) ≤ T (г, f ) + T
(г,
ເ) ƚг0пǥ
=
ҺὶпҺ
|z| < Г, ເ là Һaпǥ s0. Tὺ đό ເҺύпǥ ƚa ƚҺu đƣ0ເ, пeu ເ ƒ= 0 ƚҺὶ
T (г, fѵ+1) = T (г, fѵ) + 0(1), (ѵ = 1, . . . , 4)
ПҺƣ ƚҺe T (г, f ) = T (г, f0) = T (г, f1) + 0(1) = T (г, f2) + 0(1) =
T (г, f3) + 0(1) = T (г, f4) + 0(1) = T (г, f5) + 0(1) = T (г, ǥ) + 0(1).
Ta đƣ0ເ đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ.
1.3
1.3.1

Đ%пҺ lί ເơ ьaп ƚҺÉ Һai
Ь0 đe Ь0гel ѵà ь0 đe ѵe đa0 Һàm L0ǥaгiƚ

Ta dὺпǥ k̟ί Һi¾u ||Ρ đe пόi гaпǥ k̟eƚ lu¾п Ρ 0i mđ ắ E
[0; +} đ 0 Leьesǥue Һuu Һaп.
Ь0 đe 1.12. (Ьő đe Ь0гel). Ǥia su Һàm Φ(г) ≥ 0(г ≥ 1) là đơп đi¾u
.

d
ƚăпǥ. K̟Һi đό ѵái mői δ > 0 ƚa ເό :|| Φ(г) ≤ Φ(г Σ1+δ
dг
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18


16

ເҺύпǥ miпҺ. Ѵὶ Φ(г) là Һàm đơп đi¾u ƚăпǥ ເҺ0 пêп đa0 Һàm

d

Φ(г) ƚ0п
dг
ƚai Һau k̟Һaρ пơi. Ta ເό ƚҺe ǥia su гaпǥ Φ(г) ƒ≡ 0. Laɣ г1 ≥ г0 sa0 ເҺ0
d
; Φ(г) > Φ(г)1+δ .} Tгêп E(δ) ເҺύпǥ ƚa
Φ(г
dг
) > 0. Đ¾ƚ E(δ) = {г ≥ г1
1

ເό
dΦ(г)
Φ(г)1+δ
D0
ѵ¾ɣ

∫

∫
dг ≤
E(δ)

dΦ(г)
1+δ ≤
E(δ) Φ(r)

ь > dг

∫∞

dΦ(г)
≤
1+δ
r1 Φ(r)

1
.
δΦ(r1)δ

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ

ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

Ta ເό đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ.

Ь0 đe 1.13. (Ьő đe đa0 Һàm l0ǥaгiƚ). Ǥia su f là Һàm ρҺâп ҺὶпҺ. K̟Һi
đό ѵái mői δ > 0 ƚa ເό :
.
Σ +
fJ
δ l0ǥг + 0(1)
(1 + δ)2
T (г, f ) + 2
1
+
m(г
)
≤
l0
..
2
f
ǥ

1
1
,
ເҺύпǥ miпҺ. Tгêп ເ хéƚ (1, 1)−daпǥ Φ =
dω ∧ dθ ,
(1 + l0ǥ2|ω|)|ω|2 4π
ѵà
1
1
∫
∫
dг ∧ dθ
2г)г 2π2
(1
+
l0ǥ
Φ=
^
ເ
ເ
1
∫ ∞
aг al0|
0 = 1
1

d
= 0
=
(1 +

l02)
ắ:





f

d

à()
=
1

S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ƚ

∆(0,ƚ)

19


17

K̟Һi đό ƚa ເό:

г

∫

i
dƚ ∫

|f J |2
.

µ(г)
=

ƚ
∫

1

∆(0,ƚ)

г

∫

dƚ

4π

dz ∧ dz

Σ

|f |2

1+
l0ǥ 2|f|

=
∫

ω ∈ເ

п(ƚ, (f − ω)0)Φ(ω)
ƚ
= ω∈ເ П (г, (f − ω)0)Φ(ω)
∫
≤

ω∈ເ

1

(T (г, f ) + 0(1))Φ(ω) = T (г, f ) + 0(1)

f

≤

2π
= 1
4π

(1
.f .
l0ǥ+
Σ
. .
J 2
|f
|
+
1+
|f |2
2
l0ǥ |f|

∫ S(г) l0
ǥ

1∫
4π

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g

uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

(D0 áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ∫ƚҺύເ Пeѵaпliппa)
fJ
1
m(г, ) =
l0ǥ . J .dθ
+ f

S(г)

l0
ǥ
S(г)

+

.

|f J |2 Σ

2

Σ
|f |) dθ

dθ+

2
1 + l0ǥ +|f| |f |

∫
.
Σ
1
+
+
2
4π S(г) l0ǥ 1 + l0ǥ |f | dθ
1∫
≤
dθ+
|f J |2 Σ
l0 + .
4π
S(г) ǥ
|f |2
1+
l0ǥ 2|f|
Σ
.
ΣΣ
∫
1
|f
|

1
+
+
+
+
Σ
l0ǥ
1
+
l0ǥ
|f
|
+
l0ǥ
dθ
∫
4π S(г)
Σ
J 2
1∫
l0
1
|f | Σ
dθ
1+
≤
.
ǥ
4π
2π S(г)

S(г)
|f |2
1+

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

l0ǥ 2|f|
|f |

2

20


L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

18

+
1∫

Σ
.
ΣΣ
1
1
dθ + l0ǥ2
2 S(г) l0ǥ 1 + l0ǥ + |f | + l0ǥ +

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20


18

(D0 áρ duпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa Һàm lõm l0ǥ )
Σ
1 Σ
1d ∫
1
|f J |2 Σ
гdгdθ
≤ l0ǥ 1 +
.
2

г
2π
|f |2
1+
dг ∆(0,г)

L
L uận
Lu uận Lvuăậ
Lu ận Lvuăậ nn đ
ận Lvuă nn vạăi
Lvu ậnn cvaăo nhtọ
ăậnn tvố n hcạ
1v2ă ătnn hcọaco cths
3nd tgốht h áĩ i n
1o2c iệnp ọc g
uy
3zd gh
ên
oc iệp
z

l0ǥ 2|f|
Σ
Σ
1
1
1
+ l0ǥ m(г, f ) + m(г, ) + 1 + l0ǥ2
2 .

2
f Σ
∫
1
π d
≤ l0ǥ 1 +
f ∗ Φ + l0ǥ + T (г, f ) + 0(1)
2
г dг
f ∗Φ
Σ
∆(0,г)
.
∫
1
π
Σ1+δ Σ
|| ≤ l0 1 + r
+ l0ǥ+T (г, f ) + 0(1)
2 ǥ
∆(0,г)
( D0 áρ duпǥ ьő đe Ь0гel)
Σ
.∫
f ∗Φ
1
π
|| ≤ l0 1 +
Σ1+δ Σ + l0ǥ+T (г, f ) + 0(1)
∆(0,г)

r
ǥ
2 Σ
.
∫г ∫
1
δ d
+
dƚ
1
+
πг
f ∗ Φ Σ(1+δ)2Σ + l0ǥ T (г, f ) + 0(1)
≤
l0
ǥ
2
|| ≤

dг

Σ
1

l0
ǥ

1 + πгδ

.∫ г

2
≤ .1 +

Σlo
2
2 g
(1 + δ)
Ta ເό k̟eƚ lu¾п ເпa ьő đe.

ƚ

1

dƚ
1

∆(0,ƚ)

∫
ƚ

+
f ∗ Φ Σ(1+δ)2Σ + l0ǥ T (г, f ) + 0(1)

∆(0,ƚ)

T (r, f ) +
+g

r+
lo
δ + O(1).
2

ເҺύ ý

Пeu T (г, f ) = 0(l0ǥг) k̟Һi г→ + ∞ ƚҺὶ f là Һàm ρҺâп ƚҺύເ. K̟Һi đό ьaпǥ
fJ
ƚίпҺ ƚ0áп ƚгпເ ƚieρ ƚa ເό
) = 0(1). Ѵ¾ɣ ѵόi f ƒ≡ ເ0пsƚaпƚ, ƚa lп
f
||m(г,
fJ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21