Hsg đs8 chuyên đề giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức ( 79 trang)

ĐS8-CHUYÊN ĐỀ .GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC
PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Xét trong tập xác định (D):
a) Hằng số a là giá trị lớn nhất của A(x) với x xo nếu:
x, A( x)  A( xo ) a . Ký hiệu: max A( x ) a  x  xo
b) Hằng số b là giá trị nhỏ nhất của B(x) với x xo nếu:
x, B ( x) B ( xo ) b . Ký hiệu: min B ( x) b  x xo
c) Hằng số a là giá trị lớn nhất của A(x, y,…_) với x xo ; y  yo ;...
nếu x, y,...

A( x, y,....)  A( xo , yo ,....) a

Ký hiệu: max A( x, y ,...) a  x  xo ; y  yo ;...
d) Hằng số b là giá trị nhỏ nhất của B( x, y,...) với x xo ; y  yo ;...
nếu x, y ,...B ( x, y,...) B( xo ; yo ,...) b
Ký hiệu: min B( x, y,...) b  x xo ; y  yo ;...
2. Định lý về cực trị:
a) Nếu tổng hai số dương khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
b) Nếu tích của hai số dương khơng đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
3. Một số bất đẳng thức hay dùng: (đã nêu trong chuyên đề 21)
a. Bất đẳng thức Cauchy.
b. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
c. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.
d. Bất đẳng thức tam giác.
B. Một Số Ví Dụ
1.


1. Dạng tam thức bậc hai và đưa về tam thức bậc hai
Ví dụ 1:

2
a) Tìm giá trị lớn nhất của A( x) 2015  2 x  x
2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B ( x) 2 x  2( x  5).
2
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của C ( y ) ( y  2)  ( y  5)

* Tìm lời giải:
Để tìm giá trị lớn nhất của A(x) ta phân tích A(x) thành một số a trừ đi bình phương một tổng (hoặc hiệu).
Từ đó tìm xo để x A( x )  A( xo ) a.
Khi ấy max A( x ) a  x xo
Để tìm giá trị nhỏ nhất của B(x) ta phân tích B(x) thành bình phương một tổng (hoặc hiệu) trừ đi một số
b. Từ đó tìm xo để x B ( x ) B ( xo ) b.
Khi ấy min B( x) b  x xo .
Giải
2
2
2
a) A( x) 2015  2 x  x 2016  ( x  2 x  1) 2016  ( x  1)
2
2
Do ( x  1) 0, x nên 2016  ( x  1) 2016, x

Do đó max A( x) 2016  x  1 0  x 1
2

1 1 19 
1  19



B( x) 2 x  2 x  10 2  x  x  5  2  x 2  2 x    2  x   
2 4 4
2
2


b)
2

2

1

2  x   0, x.
2
Do 
Nên

2

2

1  19 19

2  x     x
2
2
2


19
1
min B( x)   x 
2
2
Do đó
2
2
2
2
c) C ( y ) ( y  2)  ( y  5)  y  4 y  4  y  10 y  25

2.


29 

2 y 2  6 y  29 2  y 2  3 y  
2 

2

3 9 49 
3  49 49


2  y 2  2 y    2  y   
 , y
2 4 4 

2
2
2


Do đó min C ( y ) 24,5  y 1,5.
2. Dạng đa thức một biến bậc lớn hơn hai
Ví dụ 2:
4
3
2
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của C x  6 x  12 x  18 x  15

b) Tìm giá trị lớn nhất của D ( y  2)( y  5)( y  6)(9  y)
* Tìm cách giải:
a) Sử dụng tách hoặc thêm bớt để biến đổi biểu thức làm xuất hiện các bình phương một nhị thức.
2
b) Hốn vị và nhân từng cặp làm xuất hiện các biểu thức có phần giống nhau y  11y rồi đặt ẩn phụ để

giải.
Giải
4
3
2
2
a) C  x  6 x  9 x  3 x  18 x  27  12

 x 2 ( x  3)2  3( x  3) 2  12 ( x  3)2 ( x 2  3)  12
2
2

2
2
Do x  3  0 x;( x  3) 0, x  ( x  3) ( x  3)  12  12,  x .

Nên min C  12  x 3.
b)

D  ( y  2)(9  y)  ( y  5)( y  6)    y 2  11y  18   y 2  11y  30 

2
2
Đặt y  11 y  24  z ta có: D  ( z  6)( z  6) 36  z 36 z.
2
Vậy max D 36  z 0  y  11 y  24 ( y  3)( y  8) 0

 y 3; y 8

3. Dạng đa thức nhiều biến bậc hai
Ví dụ 3:
3.


2
2
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A( x; y ) x  2 x  9 y  6 y  2018

b) Tìm x, y, z để đa thức B(x, y, z) có giá trị lớn nhất.
B( x, y, z ) 1  (2 x 2  2 y 2  z 2  2 xy  2 xz  2 yz  2 x  4 y )
* Tìm cách giải:
a) Biến đổi biểu thức thành tổng các bình phương các nhị thức với một hằng số

b) Dùng tách, thêm bớt các hạng tử làm xuất hiện bình phương các biểu thức. Sử dụng hằng đẳng thức:
a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc (a  b  c ) 2
Giải
2
2
2
2
a) A( x, y ) x  2 x  1  9 y  6 y  1  2016 ( x  1)  (3 y  1)  2016
2
2
Do ( x  1) 0, x và (3 y  1) 0, y
2
2
Nên ( x  1)  (3 y  1)  2016 2016, x; y

1
min A( x, y ) 2016  ( x  1; y  )
3
Do đó

b)

B ( x, y, z ) 1    x 2  2 x  1   y 2  4 y  4    x 2  y 2  z 2  2 xy  2 xz  2 yz   5 

2
2
2
6    x  1   y  2    x  y  z   6, x, y, z



Do đó

 x  1 0

max B( x, y, z ) 6   y  2 0

 x  y  z 0


 x 1

 y 2
 z 3


4. Dạng phân thức
Ví dụ 4:

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A

16
.
x  2 x  19

B

2

x2  9
x2  3 .

4.


c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

C

1  2 x  x2
x2  2 x  2
Giải

2
2
a) Do x  2 x  19 ( x  1) 18 18, x



1
1
16
16 8
 , x  A 
  , x
2

2
( x  1)  18 18
( x  1)  18 18 9

8
max A   x 1
9
Vậy

b)

B

x 2  3  12
12
12
12
1  2
.
4  1  2
 3, x.
2
2
2
x 3
x  3 Do x  3 3 x nên x  3
x 3

Vậy min B  3  x 0.

c)

C

2
1  2 x  x2 3   x  2 x  2
3

 2
1
2
2
x  2x  2
x  2x  2
x  2x  2

1
3
1 
3
2
( x  1) 2  1
Do x  2 x  2 ( x  1)  1 1 x nên ( x  1)  1
2



2

3

 1 2, x.
( x  1) 2  1
Vậy max C 2  x 1.

5. Dạng chứng minh giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức
Ví dụ 5:
 x2  x  1
3
A 2
( x 1)

x  2 x 1
a) Chứng minh giá trị lớn nhất của
là 4 khi và chỉ khi x  1.

b) Chứng minh giá trị nhỏ nhất của

B

x2  2x  2
1
( x 0)
2
x
là 2 khi và chỉ khi x 2.

* Tìm cách giải:
+ Phương pháp chứng minh max A( x ) a (a là hằng số).

x 

Chứng minh A( x) a, x và có o sao cho A( xo ) a
+ Phương pháp chứng minh min B( x ) b (b là hằng số).
5.


x 
Chứng minh B( x ) b, x và có o sao cho B( xo ) b
Giải

a) Ta chứng minh

A

 x2  x  1
3
 x 1.
2
x  2x 1
4
Thật vậy x 1

 x2  x  1
3
 x2  x  1 3
 x2  2x  1
 ( x  1) 2
  2
 0  2
0 
0

x 2  2 x 1
4
x  2 x 1 4
x  2 x 1
( x  1) 2
2
Hiển nhiên đúng. Dấu “=” xảy ra  ( x  1) 0  x  1

b) Ta chứng minh

B

x2  2 x  2 1
 x 0.
x2
2
Thật vậy x 0.

x2  2 x  2 1
x2  2 x  2 1
x2  4x  4
( x  2) 2
 
 0 
0 
0
x2
2
x2
2

2x2
2 x2
2
Hiển nhiên đúng. Dấu “=” xảy ra  ( x  2) 0  x 2.

6. Dạng cùng tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
10( x  2)
M 2
x 5
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

Tìm cách giải: Biến đổi biểu thức M để có a M b, x (a, b là các hằng số).
Giải

x
M

2

 10 x  25    x 2  5 
x2  5



( x  5) 2
 1  1, x
x2  5

Do đó min M  1  x  5

*

M

5( x 2  5)  5( x 2  2 x  1)
( x  1) 2

5

5, x
x2  5
x2  5

Do đó max M 5  x 1
7. Dạng bài tập áp dụng định lý, tính chất về cực trị
Ví dụ 7: Chứng minh định lý:
1) Nếu tổng hai số dương khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
6.


2) Nếu tích của hai số dương khơng đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Áp dụng:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của

T

16
x
 ,

x  2 4 với x  2

b) Cho 7 a  9b 42 với a, b  0 . Tìm giá trị lớn nhất của tích P ab
Giải
Gọi 2 số dương là a và b
a  b
Ta có 

2

0  a 2  2ab  b 2 0  (a  b) 2 4ab

1) Nếu a  b k  0 khơng đổi thì

Vậy

max(a.b) 

4ab k 2  ab 

k2
4

k2
k
 a b 
4
2

2

2) Nếu a.b h  0 khơng đổi ta có (a  b) 4h

 a  b 2 h . Do đó min(a  b) 2 h  a b  h
Áp dụng:

a)

T

16
x
16
x 2 2
 


x 2 4 x 2
4
4

16 x  2
16 x  2
.
4
;
Ta có với x  2 thì x  2 4 là 2 số dương có tích x  2 4
khơng đổi nên tổng của chúng nhỏ

nhất



16
x 2

x 2
4

 ( x  2) 2 64. Phương trình có 2 nghiệm x 10 và x  6.
Nghiệm x 10 thỏa mãn điều kiện của bài. Vậy min A 4, 5  x 2.
b) Xét 63P 7 a.9b trong đó 7 a  9b 42 khơng đổi nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó
bằng nhau.

7.


7 a 9b 21. Vậy

max P 7  a 3; b 

7
3

Ví dụ 8: Chứng minh tổng một số dương với nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất là 2.
Áp dụng:
 1 1
A (a  b)   
 a b
a) Với a, b  0 tìm giá trị nhỏ nhất của
 1 1 1

B 1   a  b  c     
 a b c
b) Với a, b, c  0 tìm giá trị lớn nhất của
Giải
1
Gọi số dương là x . Thì số nghịch đảo của nó là x
1
1
1
x. 1
x
x   x 1
x nhỏ nhất khi và chỉ khi
x
Ta có tích x
khơng đổi nên tổng

1

min  x   2  x 1.
x

Vậy
 1 1 a b
a
b
A  a  b        2 2.
 a b b a
a)
Do b và a là hai số dương nghịch đảo nhau. Theo chứng minh

trên A 2  2 4.
Vậy min A 4  a b
 1 1 1
a b b c  c a
C  a  b  c      3            
a b c
 b a  c b  a c
b) Ta có
Theo chứng minh trên ta có C 3  2  2  2 9
Nên B 1  C 1  9 . Vậy min B  8  x  y z.
8. Dạng bài tập các biến bị ràng buộc bởi các hệ thức
Ví dụ 9: Cho x  y  z 6.
2
2
2
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x  y  z .

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B  xy  yz  zx.
8.


c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  2 B.
Giải
2
2
2
2
a) Cách 1: x  y  z 6  ( x  y  z )  x  y  z  2( xy  yz  zx ) 36
2
2

2
2
2
2
Mặt khác x  y 2 xy; y  z 2 yz ; z  x 2 zx

Do đó cộng vế với vế của ba bất đẳng thức cùng chiều này ta được:
2  x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx   x 2  y 2  z 2  2  x 2  y 2  z 2  36

 3  x 2  y 2  z 2  36
Vậy min A 12  x  y z 2
Cách 2:Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho bộ 3 số 1, 1, 1 và x, y, z ta có
( x.1  y.1  z.1) 2  12 12  12   x 2  y 2  z 2 
x  y  z
Hay 

Từ đó

A

2

3( x 2  y 2  z 2 )

( x  y  z ) 2 36
 12, x, y , z
3
3

Vậy min A 12  x  y  z 2.

b) Theo a) ta có A  2 B 36 và A B  3B  A  2 B 36 nên B 12
 max B 12  x  y  z 2.

c) Ta có A  2 B 36 mà B 12 nên:
A  2 B  A  2 B  4 B 36  48  min( A  2 B )  12  x  y  z 2.

9. Dạng bài chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ 10:
1945  2 x  9
A
2015
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B  2 x  5  2 x  11 .
9.


C 4 5 x  8  16  (5 x  8) 2 .

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Giải

a) Ta ln có:

x, 2 x  9 0

do đó

1945  2 x  9 1945

1945  2 x  9 1945
A

.
2015
2015
và

Dấu “=” xảy ra  2 x  9 0  x 4,5

Do đó

max A 

1945 389

 x 4,5
2015 403

b) Cách 1: Sử dụng
Ta có:

a  b  a b .

Dấu “=” xảy ra  ab 0

B  2 x  5  2 x  11  2 x  5  11  2 x  (2 x  5)  (11  2 x) 6

Vậy B 6 . Dấu “=” xảy ra  (2 x  5)(11  2 x) 0
Lập bảng xét dấu:
x

2,5

5,5

2x  5

-

0

+

|

11  2x

+

|

+

0

-

Vế trái

-

0

+

0

-

+

(2 x  5)(11  2 x) 0  2,5  x 5,5

Do đó min B 6  2,5  x 5,5
Cách 2: Lập bảng xét giá trị tuyệt đối:
x

2,5

5,5

2x  5

5  2x

0

2x  5

|

2x  5

2 x  11

11  2x

|

11  2x

0

2 x  11

* Với x  2, 5 ta có B 16  4 x  6

(1)

* Với 2,5  x 5,5 thì B 6

(2)
10.


* Với x  5,5 ta có B 4 x  16  6

(3)

Từ (1), (2), (3) ta có min B 6  2,5  x 5,5
c) Đặt

5x  8  y

thì

C 4 5 x  8  16  (5 x  8) 2 4 5 x  8  16  5 x  8

2

 ( y 2  4 y  4)  12  ( y  2) 2  12  12
Vậy

max C  12  y 2  5 x  8 2  x 2; x 1, 2.

C. Bài Tập Vận Dụng
Dạng tam thức bậc hai và đưa về tam thức bậc hai
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
2
a) A( x) 4 x  8 x  15.
2
2
2
2
b) A( y ) ( y  1)  ( y  2)  ( y  3)  ( y  4) .
3
2

c) A( z ) ( z  2)  ( z  2)(z  2 z  4).

Hướng dẫn giải – đáp số
2

a)

A( x) 4  x 1 11 11, x.

Vậy min A( x) 11  x  1

2
2
b) A( y ) 2 y  16 y  2 2( y  4)  34  34, y. Vậy min A( y )  34  y 4.
2
2
c) A( z ) 6 z  12 z  16 6( z  1)  10 10, z. Vậy min A( z ) 10  z  1.

2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
2
a) B( x) 15  6 x  x .
2
2
2
2
2
b) B ( y ) ( y  2)  2( y  1)  (2  y )(2  y )

B( z ) 
c)

11z 2  22 z  33
 1
 1
 1
  1

 2  1  2  1  2  1 ...  2  1
2
 3
 4
  10

Hướng dẫn giải – đáp số
11.


2
2
a) B( x) 24  ( x  6 x  9) 24  ( x  3) 24, x.

Vậy max B ( x) 24  x 3.
2
2
b) B ( y )  2 y  4 y  10 12  2( y  1) 12, y.

Vậy max B( y ) 12  y  1
11
 1
 1

 1
  1

 2  1  2  1  2  1 ...  2  1 
20 ( bạn đọc tự rút gọn)
 3
 4
  10

c) Rút gọn  2
1
1.3 1
2.4
1
9.11
 1 
; 2  1 
;...; 2  1 
2
2.2 3
3.3
10
10.10
Lưu ý 2
2
2
Do đó B( z )  20( z  2 z  3)  40  20( z  1)  40, z.

Vậy max B ( z )  40  z 1.
Dạng đa thức một biến bậc lớn hơn hai

3.
2
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C ( x  3)( x  5)( x  8 x  17)
3
2
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D (1  x)( x  11x  41x  55).
2
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E ( x  9 x  18)( x  x  2)  1.

d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

F 2018   ( x  2014) 4  ( x  2016) 4  .

Hướng dẫn giải – đáp số
2
2
a) C ( x  8 x  15)( x  8 x  17)
2
C  y  1  y  1  y 2  1  1, y.
Đặt x  8 x  16  y ta có
2

Vậy
b)

min C  1  y 0   x  4  0  x 4.

D  1  x   x  5   x 2  6 x  11   x 2  6 x  5   x 2  6 x  11

2
D   y  3  y  3  9  y 2 9, y
x

6
x

8

y
Đặt
ta có

12.


 x 2
max D 9  y 0  x 2  6 x  8 0  ( x  2)(x  4) 0  
 x 4
Vậy
2
2
c) E ( x  6)( x  3)( x  2)(x  1)  1 (x  5 x  6)( x  5 x  6)  1
2
2
Đặt x  5 x  y ta có E ( y  6)( y  6)  1  y  36  1  35, y
2
Vậy min E  35  y 0  x  5 x ( x  5) x 0  x 0; x  5.

4

4
F 2018    y  1   y  1 
x

2015

y


d) Đặt
thì

Áp dụng hằng đẳng thức

 a  b

4

a 4  4a 3b  6a 2b 2  4ab3  b 4

ta có

F 2018  2( y 4  6 y 2  1) 2016  2( y 4  6 y 2 ) 2016, y
Vậy max F 2016  y 0  x 2015.
Dạng đa thức nhiều biến bậc hai
4.
a) Tìm x, y để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị đó:
M ( x, y ) x 2  2 xy  4 y 2 12 y  22.
b) Tìm x, y để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó:
N ( x, y ) 2006  x 2  3 y 2  2 xy  2 x  6 y

c) Tìm x, y, z để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó:
P ( x, y, z ) 1  x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z
d) Tìm x, y, z , t để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị đó:
Q( x, y , z , t ) ( x  y  z ) 2  x 2  y 2  2t 2  2 xt  4 y  6t  113.
Hướng dẫn giải – đáp số
2

a)

2

M ( x, y )  x  y   3  y  2   10 10, x, y.

Do đó

min M ( x, y ) 10   x  2; y  2  .
13.


2

b)

2

N ( x, y ) 2015   x  y  1  2  y  2  2015, x, y.

Do đó

max N ( x, y ) 2015   x  3; y 2  .

2

c)

2

Do đó

max P( x, y, z ) 15   x 1; y 2; z 3  .
2

d)

2

P( x, y, z ) 15   x  1   y  2    z  3  15, x, y, z

2

2

2

Q( x, y, z, t )  x  y  z    x  t    y  2    t  3   100 100, x, y, z, t .

Do đó

min Q( x, y, z, t ) 100   x  3; y 2; z 1; t 3  .

5.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
R  x12  x22  x32  ...  x102  4( x1  x2  x3  ...  x10 )

b) Với n  N và n  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
S x12  22 x22  32 x32  ...  n 2 xn2  2( x1  2 x2  3x3  ...  nxn )  2n

c) Với n  N và n  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
T 2(50  x1  2 x2  3x3  ...  nxn )  (12  2 2  33  ...  n 2 )  ( x12  x22  x32  ..  xn2 )

Hướng dẫn giải – đáp số
2

a)

2

2

2

R  x1  2    x2  2    x3  2   ...   x10  2   40  40, xi (i 1; 2;...;10)

minR  40   x1 x2 ...  x10 2 
b) Ta có

i 2 xi2  2ixi  1  ixi  1
2

Do đó

2

2

2

S  x1  1   2 x2  1   3x3  1  ...  ( nxn  1) 2  n n, xi (i 1; 2;....; n)

1
1
1
minS n  x1 1; x2  ; x3  ;...; xn  .
2
3
n
Do đó
2

c) Ta có

xi2  2ixi  i 2  xi  i  (i 1; 2;3;...; n).

Do đó:
14.


2

2

2

2

T 100   x1  1   x2  2    x3  3  ...   xn  n  100, xi
Do đó

max T 100   x1 1; x2 2; x3 3;...; xn n 

Dạng phân thức
6.
200
A
.
2
16 x  8 x  21
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B

 50
.
x  4x  6

E

2015
.

x  y  2( x  y )  2018

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

2

2

Hướng dẫn giải – đáp số
A

200
200

10, x
2
(4 x  1)  20 20
. Vậy max A 10  x 0, 25

B

 50
 50
 50


 25 x
2

( x  4 x  4)  2 ( x  2)  2
2
. Vậy min B  25  x 2.

E

2015
2015
2015
max E 


x, y
2
2
2016
( x  1)  ( y  1)  2016 2016
. Vậy

a)

b)

c)

2

7.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

D

5x 2  2 x  9
.
x2  2

5 x 2  26
E 2
x 5
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

F

G

4 x 2  8 x  16
.
x2  4

4 x 2  16 x  38
.
x2  4 x  8

Hướng dẫn giải – đáp số
15.

 x 1

 y 1


a)

b)

D

4( x 2  2)  (x 2  2 x  1)
( x  1) 2

4

4, x
x2  2
x2  2
. Vậy min D 4  x 1.

E

5( x 2  5)  1
1
5  2
.
2
x 5

x 5

Do x ta có

x 2  5 5 

1
1
1
26
  5 2
 , x  max E 5, 2  x 0.
x 5 5
x 5 5
2

2( x  2) 2
F 2  2
2, x.
x 4
c)
Vậy min F 2  x 2.
Q 4 
d)

6
6
4  , x  max Q 5,5  x  2.
2
( x  2)  4

4

8.

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

f ( x) 

x
.
x  2 x 1

g ( x) 

2

x 2  12 x  13  2( x  2)
x2  4 x  4
với x 2.

Hướng dẫn giải – đáp số
x  1; f ( x ) 
a) Với

3( x  1)  3
3
3
1



.
y
2
2
( x  1)
x  1 ( x  1) Đặt
x 1
2

1 1 1
1 3 3


f ( x ) 3 y  3 y  3  y 2  2 y     3  y     , y
2 4 4
2 4 4


Ta có
2

3
1
max f ( x )   y 
4
2 hay x 1.
Vậy

g ( x) 
b)

1
2
1

 3  y 2  2 y  1  2 ( y  1) 2  2 2 y
y
2
( x  2)
x 2
x  2 và với x 2. Vậy
với

min g ( x) 2  y 1 hay x 3.

Dạng chứng minh giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức
9.
2
a) Chứng minh giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x  6 x  15 là 6 khi và chỉ khi x 3.

16.


b) Chứng minh giá trị lớn nhất của biểu thức
C
c) Cho

B

 x2  4 x  4
x 2  4 x  5 là 8  x 2.

 2 y
2  y 2 chứng minh rằng: max C 1  y 1 và min C  0,5  y  2.
Hướng dẫn giải – đáp số

a) Ta chứng minh A 6, x. Thật vậy
x 2  6 x  15 6  x 2  6 x  9 0  ( x  3) 2 0 đúng x.
Dấu “=” xảy ra  x 3.
b) Ta chứng minh B 8, x. Thật vậy: x, ta có:

 x2  4x  4
 x 2  4 x  4  8( x 2  4 x  5)
 9( x  2) 2

8


0

0
x2  4 x  5
x2  4x  5
( x  2) 2  1
Hiển nhiên đúng. Dấu “=’ xảy ra  x 2.

C  1
c) Xét

1 2 y
1  2 y  2  y 2  ( y  1) 2

1


0, y.
2  y2
2  y2
2  y2
Như vậy C 1, y, dấu “=” xảy ra  y 1

nghĩa là max C 1  y 1.
2

1 1  2 y 1 2  4 y  2  y 2  y  2
C 
 

0, y.
2 2  y2 2
2  y2
2  y2
Xét
Như vậy C  0,5, y, dấu “=” xảy ra
 y  2 nghĩa là minC  0,5  y  2.

10. Chứng minh rằng với x  Z , các biểu thức:

a)

b)

A

30
4  x có giá trị lớn nhất là 30  x 3.

B

x  26
x  3 có giá trị lớn nhất là 24  x 2.

975  x
C
x  1945 có giá trị nhỏ nhất là  31  x 1944.
c)

Hướng dẫn giải – đáp số

17.


a) Với x  4 thì A  0. Với x  Z .
Xét x  4 thì mẫu 4 – x là số nguyên dương. Phân số A có tử và mẫu đều dương, tử bằng 30 không đổi
nên A lớn nhất  mẫu (4 – x) là số nguyên dương nhỏ nhất.
Do đó 4  x 1  x 3 Khi đó A 30 . Vậy max A 30  x 3,
b) Với x 3 thì
B

x  26 ( x  3)  23
23
23

1 
1 
x 3
x 3
x 3
3 x

23
23
0
B lớn nhất khi 3  x lớn nhất. Nếu x  3 thì 3  x
23
23
0
Nếu x  3 thì 3  x
nên 3  x lớn nhất  (3  x) nhỏ nhất

3  x  0

3  x
(3  x)  Z


nhỏ nhất  3  x 1 hay x 2.

Khi đó max B 24  x 2
1975  x 30  ( x  1945)
30
C


1
x  1945
x  1945
x  1945
c) Với x 1945 thì

Đặt

E

30
x  1945 Ta có: C nhỏ nhất  E nhỏ nhất

* Với x  1945 thì E  0

* Với x  1945 thì E  0 nên C nhỏ nhất  số đối của E lớn nhất
30
1945  x  0 nên 1945  x lớn nhất  (1945  x) nhỏ nhất

1945  x  0

(1945  x)
1945  x  Z


nhỏ nhất  1945  x 1. Khi đó C  31.

Vậy min C  31  x 1944.
18.



30
1945  x lớn nhất. Do


Dạng cùng tìm giá tị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức
11. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức:
x2  4x  6
E 2
.
x  2x  3
b)

6 x 1
D 2
.
9x  2
a)

c)

G

2 x2  2 x  2
x 2  2 x  1 với x 0.

2

d) K x  y với x  y 50.

Hướng dẫn giải – đáp số

a)

D

Do đó

D

max D 1  x 

1
3

12 x  2
(9 x 2  12 x  4)  (9 x 2  2) (3 x  2) 2 1
1


  x,
2
2

2
2(9 x  2)
2(9 x  2)
2(9 x  2) 2
2

Do đó

b)

(9 x 2  2)  (9 x 2  6 x  1)
(3x  1) 2

1

1 x.
9 x2  2
9 x2  2

min D 

E

1
2
 x  .
2
3

2( x 2  2 x  3)  x 2

x2

2

2, x
x2  2x  3
x2  2 x  3

Do đó max E 2  x 0

E

2 x 2  8 x  12 ( x 2  2 x  3)  (x 2  6 x  9) 1
( x  3) 2
1



 , x
2
2
2
2( x  2 x  3)
2( x  2 x  3)
2 2( x  2 x  3) 2

1
min E   x  3
2
Do đó

c)

2( x   x  1)
G 2

( x  x  1)  x 1 

2
x
2
x  x 1

2, x 0

Vậy maxG 2  x 0
G
* Xét với x  0 thì

2 x2  4 x  2  2 x
2x
2
2  2
2 
2
1
x  2 x 1
x  2 x 1
x2
x

19.


Do

x

1
2
x
nên

2

2
3
 , x  0.
1
x 2 2
x
Vậy min G 1, 5  x 1.

2
2
2
2
2
d) Ta có 2 xy x  y  ( x  y ) 2( x  y ) 100

 x  y 10   10 x  y 10

Vậy max K 10  x  y 5; min K  10  x  y  5
Dạng bài tập áp dụng định lý, tính chất về cực trị
12.
a) Chứng minh trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vng có diện tích lớn nhất.
b) Chứng minh trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vng có chu vi nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải – đáp số
Áp dụng trực tiếp định lý về cực trị.
13.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B

( x  8)(2 x  9)
x
với x  0

C

x  3
x  1 với x 0

2
2
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D ( x  5 x  20)(28  x  5 x)

Hướng dẫn giải – đáp số

a)

B

2 x 2  25 x  72
72
2 x   25
x
x

72
Ta có với x  0 thì 2x và x là hai số dương có tích bằng 144 khơng đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất

khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau tức là:
2x 

72
 x 2 36.
x
Nghiệm x 6 thỏa mãn điều kiện của bài.

Vậy minB 49  x 6
20.