Tl ôn tap thi vao thpt tap 2

Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tp 2

Phần 1: Đại số
Chuyờn 7: H HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. Kiến thức cơ bản:
I. Các khái niệm:
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
ax  by  c. (1)
+ Dạng:  ,
,
,

a x  b y  c (2)

+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phương trình
+ Nếu hai phương trình ấy khơng có nghiệm chung thì ta nói hệ vơ nghiệm
+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm:
-Phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng (d)
-Phương trình (2) được biểu diễn bởi đường thẳng (d')
*Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất
*Nếu (d) song song với (d') thì hệ vơ nghiệm
*Nếu (d) trùng (d') thì hệ vơ số nghiệm.
2. Minh họa hình học số nghiệm của hệ phương trình
ax  by  c
(với a, b, c, a’, b’, c’ khác 0)
a'x  b ' y  c '
a b
+ Hệ có nghiệm duy nhất khi 
a' b'
a b
c

 
+ Hệ vô nghiệm khi
a' b' c'
a b c
+ Hệ vô số nghiệm khi  
a' b' c'

Hệ phương trình: 

3 .Hệ phương trình tương đương:
* KN: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có
cùng tập nghiệm.
- Nếu nhân (hay chia) hai vế của mỗi phương trình trong hệ cho cho cùng một số
khác 0 ta được hệ phương trình mới tương đương hệ phương trình đã cho.
II. Các phương pháp giải hệ phương trình:
1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
a) Quy tắc thế:
+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi
thay vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ cịn 1 ẩn).
+ Bước 2: Dùng phương trình mới này để thay thế cho phương trình thứ hai trong
hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn
theo ẩn kia có được ở bước 1).
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
 x  2 y  1.(1)

3 x  2 y  3.(2)

a) Các bước thực hiện:
1

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

+ Bước 1: Từ phương trình (1) ta biểu diễn x theo y ( gọi là rút x) ta có:
x  1  2 y.(*)

Thay x  1  2 y.(*) vào phương trình (2) ta được: 3(1  2 y)  2 y  3.(**)
+ Bước 2: Thế phương trình (**) vào phương trình hai của hệ ta có:
x  1  2 y

3(1  2 y )  2 y  3

b) Giải hệ :
x  1  2 y
x  1  2 y
x  1  2 y
x 1


 

3(1  2 y )  2 y  3
3  6 y  2 y  3
y  0
y 0

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x = 1; y = 0).
Ví dụ 2: Giải các HPT sau:
2 x  y  3

3 x  y  7

 y  2x  3
 y  2x  3 x  2
x  2




3x  2 x  3  7
5 x  10
 y  2.2  3  y  1
x  2
y 1

Vậy HPT đã cho có nghiệm là: 
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giải hệ phương trình
2 x  y  3
x  2 y  4

a) 

4 x  5 y  3
3x  y  16

b) 

4 x  2 y  6
x  y  3
d) 
2 x  y  3
3x  4 y  2

c) 

Bài 2: Giải hệ phương trình
3x  2 y  11
4 x  5 y  3

a) 





 2  3 x  3y  2  5 3


 x  y 5  0

c) 

b) 

 x 5  3 y  1  5

4 x  y  4  2 3
x 2
 2 1 x  y  2
x y
 x 2  y 3  1

  1
 
d)  2 3
e)  y 3
f) 
g) 
x  y 2 1  1
5 x  8 y  3
 x  y  10  0  x  y 3  2


 x  3 y  1
Bài 2: Giải hệ phương trình  2
, trong mỗi trường hợp sau :
 a  1 x  6 y  2a
a) a  1;
b) a  0 ;
c) a  1 .









Bài 3:
2 x  by  4
có nghiệm là 1; 2  .
bx

ay


5


a) Xác định hệ số a, b biết rằng hệ phương trình 

3ax   b  1 y  93
bx  4ay  3

b) Xác định hệ số a, b biết rằng hệ phương trình 
có nghiệm là: (x; y) = 1; 5 .

 a  2  x  5by  25
2ax   b  2  y  5

c) Xác định hệ số a, b biết rằng hệ phương trình 
có nghiệm là: (x; y) =  3; 1 .
Bài 4: Giải hệ pt bằng phương pháp thế:
2

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

3x  y  5
5 x  2 y  28

a) 

x y
 2  3
c) 
 x 8  9
 y  4 4

3x  5 y  1
2 x  y  8

b) 

y x y
 2  5  0,1
5 y  2( x  y )  1
 2 x  3 y  1
x  4
d) 

⇔
⇔
⇔ …. ⇔ 
2 y  5( x  y )  1
 5 x  7 y  1
y  3
 y  x  y  0,1
2
 5
 2x  5 y  2
x  2  5 y
e) 
⇔ 
⇔
 x  5 y  2
 2 (2  5 y )  5 y  2

 x  2  5 y
⇔

2 2  y 10  y 5  2

x  0


2 5
y 
5


3x  by  7
ax  by  5

Bài 5: Xác định các giá trị của a và b để hệ phương trình: 

a) có nghiệm (-1;3)
b) Có nghiệm ( 2 ; 3 )
HD giải:
a) Hệ pt có nghiệm (-1;3) ta thay x = -1; y = 3 vào hệ pt ta có
3.(1)  b.3  7
Giải hệ PT ẩn a, b

a.(1)  b.3  5

Bài 6: Cho hệ phương trình:

mx  2 y  1
Giải hệ pt khi:

mx  my  m  1

a) m = 3
c) m = 0

b) m = 2
3x  2 y  1
gải hệ pt được nghiệm
3x  3 y  2

HD giải: a) Khi m = 3 hệ ph-ơng trình trở thành 

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
a)Quy tắc cộng đại số:
+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ của hệ phương trình đã
cho để được một phương trình mới.
+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của
hệ (và giữ nguyên phương trình kia)
*Lưu ý: - Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.
- Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.
- Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì
ta chọn nhân với số thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc
bằng nhau).
( tạm gọi là quy đồng hệ số).
Áp dụng quy tắc sau để chuyển về hệ có hệ số của cùng một ẩm là bằng nhau
hoặc đối nhau. “ Nếu nhân (hay chia) hai vế của mỗi phương trình trong hệ cho
cho cùng một số khác không ta được hệ phương trình mới tương đương hệ phương
trình đã cho”.
Ví dụ 1: Giải các hệ PT sau:
2 x  3 y  2
10 x  15 y  10
11 y  22
 y  2
x  2





5 x  2 y  6
10 x  4 y  12

5 x  2 y  6
5 x  2.( 2  6)
 y  2

3

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

x  2
 y  2

Vậy HPT có nghiệm là 

2 x  3 y  1
4 x  6 y  2
0 x  3


vô lý
4 x  6 y  5
4 x  6 y  5
2 x  3 y  1

Ví dụ 2: Giải hệ PT sau: 

Vậy hệ phương trình vơ nghiệm
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình
2 x  5 y  8
2 x  3 y  0

4 x  3 y  6
2 x  y  4

2 x  3 y  2
3 x  2 y  3

b) 

a) 

c) 

0,3x  0,5 y  3
1,5 x  2 y  1,5

d) 

( HS tự làm)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Giải hệ phương trình
 x 2  3 y  1
a) 
2 x  y 2  2





 
 

 2x  2 3y  5

c) 
9
3 2 x  3 y 
2


5 x 3  y  2 2
b) 
 x 6  y 2  2




 1 2 x  1 2 y  5

d) 
 1 2 x  1 2 y  3

1
1 1
 1
x  y 1
 x  2  y 1  2



f) 
g) 
3  4  5
 2  3 1
 x y
 x  2 y  1

Bài 2: Giải hệ phương trình

5  x  2 y   3x  1
2 x  4  3  x  5 y   12

3 5 x  4 y  15  2 7

e) 

2 5 x  8 7 y  18
 2x
 x 1 

h) 
 x 
 x  1

y
 2
y 1
3y

 1
y 1

 x  3 2 y  5    2 x  7  y  1
 4 x  1 3 y  6    6 x  1 2 y  3

a) 

b) 

4 x 2  5  y  1   2 x  32
c) 
3  7 x  2   5  2 y  1  3x
 x  3 y  1
Bài 3: Giải hệ phương trình  2
, trong mỗi trường hợp sau :
 a  1 x  6 y  2a
a) a  1;
b) a  0 ;
c) a  1 .
2 x  by  4
Bài 4: a) Xác định hệ số a, b biết rằng hệ phương trình

bx  ay  5

có nghiệm là 1; 2  . b) Hệ trên có nhiệm là





2  1; 2 .

Bài 5: Tìm giá trị của a, b để hai đường thẳng  d1  :  3a  1 x  2by  56 và

 d2  :

1
ax   3b  2  y  3 cắt nhau tại điểm M  2; 5 .
2

Bài 6: Tìm giá trị của a, b :
3



a) Để đường thẳng y  ax  b đi qua hai điểm A  5;3 , B  ; 1 .
2

4

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

b) Để đường thẳng ax  8 y  b đi qua điểm M  9; 6  và đi qua giao điểm của
hai đường thẳng  d1  : 2 x  5 y  17 ,  d1  : 4 x  10 y  14 .

3. Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.
Ta đặt ẩn phụ một cách thích hợp đưa hệ phương trinh về dạng hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn rồi giải.
Ví dụ 1: Giải phươmng trình:
+ Cách 1: Sử dụng PP đặt ẩn phụ.
Đặt

 2
 x 1 


 2 
 x  1

3
 1
y
(I)
5
 1
y

ĐK: x  1, y  0 .

1
1
a ;
 b . HPT (I) đã cho trở thành:
x 1
y

 1
3

 x  1  2
2a  3b  1 2a  5b  1 2a  5.1  1 a  2
x  





2 (TMĐK)




1
2a  5b  1
2b  2
b  1
b  1
 1
 y  1
 y


3

x

Vậy HPT có nghiệm là 
2
 y  1

* Lưu ý: - Nhiều em còn thiếu ĐK XĐ cho những hệ PT ở dạng này. Ta
phải có ĐKXĐ vì các phương trình của hệ là các phương trình chứa ẩn ở mẫu
hoặc chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai.
Ví dụ 2: Giải các pt sau:
15
 8
 x 1  y  2  1
b) 
 1  1  1
 x  1 y  2 12

3 1 1
 5 x  y  10
a) 
3  3  1
 4 x 4 y 12

Giải
3 1 1
3 1 1
 5 x  y  10
 5 x  y  10


a) 
(ĐK: x ≠ 0, y ≠ 0)


3
3
1
3
3
1
 
  

 4 x 4 y 12
 x y 3
1
3
 5 a  b  10
1
1

Đặt  a;  b ⇒ hệ PT trở thành: 
1
x
y
3a  3b 

3

1 3

b  10  5 a
 .......


1
3
1
3a  3(  a) 

10 5
3

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm là (x;y)=(36;12)
b) (ĐK: x ≠ 1, y ≠ -2)
8u  15v  1
1
1

 u;
Đặt
 v ⇒ hệ PT trở thành: 
1
x 1
y2
u  v  12

Hệ pt đã cho có nghiệm là (x;y) = (29;19)

5

GV:

Lê Đình Bằng

Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

Bài tập áp dụng.
Bài 1: Giải hệ pt.
4
 2
 x  1  3 y  1  1
a) 
 5  8 5
 x  1 3 y  1

1

y 1  5
3 x  1 
3
b) 
5 x  1  2 y  1  4


1
5
5
 1
 4




 x 1 x  y 8
 2 x  3 y 3x  y  2


e) 
g) 
 1  1  3
 3  5
 21
 x  y x  y
 3 x  y 2 x  3 y
8

HD giải:
c) ĐK: x  1, y  -1; Đặt x  1 = a  0,

1 1 4
x  y  5

c) 
1  1  1
 x y 5

15 7
 x  y 9

d) 
 4  9  35
 x y

7
5


 x  y  2 x  y  1  4,5

h) 
.
3
2


4
 x  y  2 x  y  1

y  1 = b  0  hệ pt có dạng

1

3a  b  5
giải hệ pt được a = 2, b = 3 (TM)
3

5a  2b  4

nghiệm của hệ pt là (x;y) = (5;8)
Bài 2: Giải hệ PT:
1 1 1
 x  y  8
a) 

3. 1  1  0,8
 x 2

b)

1
 4
x  2y  x  2y  1


 20  3  1
 x  2 y x  2 y

3( x  7)  6( x  y  1)  0
4( x  1)  2( x  y  7)  0

c) 

BÀI TẬP TỔNG HỢP:
Bài 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
4 x  y  2


8 x  3 y  5
2 x  3 y  1


 4 x  6 y  2
x  4 y  2


3x  2 y  4

x  y  m


2 x  y  4
2 x  3 y  5


5 x  4 y  1
 x  y  2


2 x  3 y  9

3x  2 y  6


x  y  2

3x  y  7


x  2 y  0
2x  3y  2
4x  6y  2



Bài 2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
2 x  11 y  7


10 x  11 y  31

3x  y  3


2 x  y  7

3 x  2 y  2
3 x  2 y  3


6 x  3 y  7



3x  2 y  1
2 x  y  3



2 x  5 y  2
6 x  15 y  6







 5 x  2 y  4

2 x  5 y  8


2 x  3 y  0
2 x  3 y  11
 4 x  6 y  5

3x  2 y  4
6 x  4 y  3

Bài 3. Đặt ẩn phụ rồi giải các hệ phương trình sau

6

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

2( x  y )  3( x  y )  4
( x  y )  2( x  y )  5



1
x 
 
1 
 x

1 4

y 5
1 1

y 5



 1
x  2 


 2 
 x  2

1
2
y 1
3
1
y 1

Bài 4. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thích hợp
2 x  11y  7
a. 
10 x  11y  31
2 x  5 y  8
b. 
2 x  3 y  0

3 x  2 y  1
c. 
2 x  y  3
4 x  3 y  6
d. 
2 x  y  4

0,3 x  0,5 y  3
e. 
1,5 x  2 y  1,5

 2 x  3 y  1
f .
2 x  2 y  2

Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
2( x  y )  3( x  y )  4
a. 
( x  y )  2( x  y )  5

1 1 4
x  y  5


b. 
1  1  1
 x y 5

 1
x  2 

c. 
 2 
 x  2

1
5
 4
2

2

y 1
 2 x  3 y 3x  y
d. 
3
3
 3 
1
 21
 2 x  y 2 x  3 y
y 1

Bài 6: Giải các hệ phương trình sau
2
 1

x  y x  y  2
a) 
 5  4 3
 x  y x  y

3 x  4 y  8
b) 
2 x  y  2

3 x  2  4 y  2  3

c) 

(đk x;y  2)

2 x  2  y  2  1

Bài 7: Giải các hệ phương trình sau ( Nâng cao)
 x2  1  3 y

 x 2  1  3 y
2
x  y  0
a)  2
(Trừ từng vế được pt tích ta có hệ x  1  3 y
<=>  2

 y  1  3x
( x  y)( x  y  3)  0
  x  1  3 y
  x  y  3  0

 x 2  xy  y 2  4
b) 
 x  xy  y  2

u 2  t  4
(đặt x+y=u; xy=t ta có hệ 
cộng từng vế và giải
u  t  2

được u;t
x  y  1

c) 

( đặt x+y=u; xy=t ta có u=1; t2 –t-6=0 =>u=...

 x  y  31
 x  y  xy  19
d)  2
( đặt x+y=u; xy=t ta có u và v là 2 nghiệm của pt k2-19k+84=0
2
x
y

y

x

84

 xy  12
=> k1=7; k2=12 <=> 
.........
x  y  7
5

5

x  y  4

e) 

2
2
 x  y  10

( x  1)( y  1)  18

f) 

2
2
 x  y  65

(hay x+y=4 và x.y=3
( từ (1) => xy-(x+y)=17 ta có hệ mới rồi đặt -(x+y)=u;

xy=t

7

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

 x  y  xy  5
g)  2
2
x y  y x  6

x  y  5
h)  x y 13
y  x  6


tương tự câu d

đk x; y  0

4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp dùng định thức cấp hai
a. Kiến thức cơ bản:
 ax  by  c

Cho hệ phương trình : 
với a và b ; a/ và b/ không đồng thời bằng 0
a x  b y  c 
Lập các biểu thức : D =

a b
= ab/ - a/b
a  b

Dx =

c b
= cb/ - c/b
c b

Dy =

a c
= ac/ - a/c
a c

Nếu D  0 : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x , y) với :
x

Dx
và
D

y

Dy
D

Nếu D = 0 :
+ Nếu Dx  0 hoặc Dy  0 thì hệ phương trình vơ nghiệm
+ Nếu Dx = Dy = 0 thì hệ phương trình có vơ số nghiệm
* Chỳ ý 1 : Các biểu thức để tìm D ; Dx ; Dy được gọi là cụng thức Cramer
* Chỳ ý 2 : Trường hợp a = a/ = b = b/ = 0 .
 0x  0 y  c
0 x  0 y  c 

Hệ phương trình có dạng : 

+ Nếu c = c/ = 0 thì hệ phương trình có nghiệm với mọi x , y
+ Nếu c  0 hoặc c/  0 thì hệ phương trình vơ nghiệm
Ví dụ 1: Giải các hệ pt sau
2 x  3 y  13
7 x  4 y  2

 2x  y  1
 5 x  3 y  8

a) 

b) 

Giải
a)

Ta có D 

Dx 

2
7

-3
 8  (21)  29  0
4

13
2

-3
 58
4

Vậy hệ có nghiệm duy nhất:

b) Ta có :
D x

D=

Dy 


 x 

y 


2
7

13
 87
2

Dx 58

2
D 29
Dy  87

 3
D
29

2 1
=6-(-5)=11  0
5 3

1 1
 11
8 3

Dy

2
1

 11
5 8

8

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

Dx 11

 x  D  11  1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : 
Dy  11
y 

 1
D
11


5. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số
A. Kiến thức cơ bản
ax  by  c
a ' x  b ' y  c '

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng 

trong đó x, y là ẩn a, b , c a’ ,b ‘ c’ là các hệ số trong đó a, b a’ , b;’ khơng đồng
thời bằng 0
1. Minh họa hình học số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
a b

a' b'
a b c
 Hệ vô số nghiệm khi  
a' b' c'
a b
c
 
 Hệ vô nghiệm khi
a' b' c'
 mx  y  1
Ví dụ : Cho hệ phương trình: 
 x  my  1  m

 Hệ có nghiệm duy nhất khi

a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vơ nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vơ nghiệm.
Giải:
a) Để phương trình có nghiệm duy nhất 

m 1
 m2  1  m  1


1 m

Vậy với m  1 thì hpt có 1 nghiệm duy nhất
 m 1


m2  1
m 1
1
  1 m 

 
b) Hệ phương trình vơ nghiệm 

1
1
1 m 1 m
m  1  m
 
m 1 m
m  1
m  1

 
(t/m)

1
 2m  1
m  2
Vậy với m  1 thì hpt vơ nghiệm

m 1
 1  m
m2  1
m  1
 
 
c) Hệ phương trình có vô số nghiệm  
 2m  1
m  1  m
1  1
 m 1  m
m  1

 
Vậy khơng có giá trị nào của m đẻ hpt có vơ số nghiệm.
1
m  2

2. Sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số đưa về giải và
biện luận số nghiệm theo phương trình bậc nhất một ẩn.
3x  y  m

Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình sau: 

2
9 x  m y  3 3

9

(m là tham số)

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

3x  y  m

Giải: 

2
9 x  m y  3 3

9 x  3 y  3m



2
9 x  m y  3 3

- Trừ theo vế hai phương trình trong hệ ta được:
m2y - 3y = 3 3 -3m <=> (m - 3 )(m  3 ) y  3( 3  m) (*)
+ Nếu (m- 3 )(m+ 3 ) ≠ 0 hay m   3 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất
y

3( 3  m)
3


(m  3)(m  3) m  3

m 2  m 3  3
3
=> x=
m 3
m 3
m 2  m 3  3
3
=> hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(
;y
).
m 3
m 3
(m  3 )(m  3 )  0
+ Nếu 
 m = - 3 thì phương trình (*) vơ nghiệm
 3  m  0

Thay vào phương trình (1) ta được: 3x= -m-

=> Hệ phương trình đã cho vơ nghiệm.
(m  3)(m  3)  0
 m  3 thì phương trình (*) có nghiệm với mọi y  R.
+ Nếu 
 3  m  0

3x  y   3
=> Hệ phương trình đó có dạng: 

3x  y   3

9x  3y  3 3
3x  y   3


y 3
x
Hệ phương trình có vơ số nghiệm. Tập nghiệm của hệ là: 
3
y  R

 x  (3  m) y  0
với m là tham số
(m  2) x  4 y  m  1

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình 

a. Giải hệ phương trình khi m=-1
b. Giải và biện luận hệ phương trình
Bài giải
a. Với m=-1 phương trình có dạng
x  2 y  0
3x  6 y  0
x  2



3x  4 y  2
3 x  4 y  2

y  1
 x  (3  m) y
 x  (3  m) y  0
 x  (3  m) y


(m  2) x  4 y  m  1
(m  2)(m  3) y  4 y  m  1
(m  1)(m  2) y  m  1 (*)

b. 

- Hệ vô nghiệm khi PT (*) vô nghiệm => Nếu m= - 2 → 0y= -3 hệ vô nghiệm
- Hệ vô số nghiệm khi PT (*) vô số nghiệm => Nếu m=1→ 0y = 0 hệ vô số
nghiệm
1

 y  m  2
-Nếu m≠1và m ≠ -2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
x  m  3

m2

10

GV:

Lê Đình Bằng

Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

3. Giải và biện luận hệ phương trình bằng phương pháp dùng định thức cấp
hai
Kiến thức cơ bản:
 ax  by  c

Cho hệ phương trình : 
với a và b ; a/ và b/ không đồng thời bằng 0



a
x

b
y

c

Lập các biểu thức : D =

a b
= ab/ - a/b
a  b

Dx =

c b
= cb/ - c/b

c b

Dy =

a c
= ac/ - a/c
a c

Nếu D  0 : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x , y) với :
x

Dx
và
D

y

Dy
D

Nếu D = 0 :
+ Nếu Dx  0 hoặc Dy  0 thì hệ phương trình vơ nghiệm
+ Nếu Dx = Dy = 0 thì hệ phương trình có vơ số nghiệm
mx  y  m  1
 x  my  2

Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình sau: 
Giải
Ta tính: D, Dx, Dy : D 
Dx 

Dy 

m
1

m 1
 m 2  1  (m  1)(m  1)
1 m

m 1
2

1
 m 2  m  2  (m  1)(m  2)
m

m 1
 m 1
2

Biện luận:
+ Nếu D  0  m  -1 và m  1 thì hệ có nghiệm duy nhất:
(m  1)(m  2) m  2

x



(m  1)(m  1) m  1



m 1
1
y 


(m  1)(m  1) m  1

+ Nếu D= 0  m=-1 hoặc m=1
. với m=-1 => Dx=-2  0 => hệ vô nghiệm
. với m=1 => Dx=Dy = 0 => hệ có vơ số nghiệm
 xR

y  2  x

Kết luận :

m2

x  m  1
+ Với m 1 hệ có nghiệm duy nhất 
1
y 
m 1


+ Với m=-1 hệ vô nghiệm
 xR
y  2  x

+ Với m =1 hệ có vơ số nghiệm 
11

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

mx  4 y  m  2
 x + my  m

Ví dụ 2: Cho hệ pt 

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn : x + y = 1
Giải
Ta có : D =

Dx =
Dy =

m 4
 m 2  4  (m  2)(m  2)
1 m
m2 4
 m 2  2m  m(m  2)
m
m
m m2

 m 2  m  2  (m  1)(m  2)
1
m

Để hệ có nghiệm duy nhất thì D  0  m2  4  0  m  2
Dx
m(m  2)
m

 x  D  (m  2)(m  2)  m  2
Khi đó nghiệm duy nhất là : 
Dy (m  1)(m  2) m  1
y 



D
(m  2)(m  2) m  2
m
m 1

 1  2m  1  m  2  m  1(t / m)
Vì x+y =1 
m2 m2

6. Tìm các giá trị của tham số biết hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều
kiện cho trước.
* Phương pháp giải:
- Thay các giá trị của ẩn vào hệ phương trình rồi tiến hành giải hệ phương trình với
ẩn là các tham số.

- Hoặc giải hệ phương trình chứa tham số để tìm nghiệm và biện luận theo các điều
kiện cho trước.
Ví dụ 1: Xác định các giá trị của a và b để hệ phương trình
3x  by  7

ax  by  5

có nghiệm (-1;3)

Hệ phương trình có nghiệm (-1;3), ta thay x=-1; y=3 vào hệ phương trình ta có
10

1

b  3
b  3

3

10
 a  3.  5
a  5

3
1
Vậy: với a=5 và b= 3 thì hệ phương trình có nghiệm là (-1;3).
3
 3x  2 y  m
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình 
2 x  y  1

3.(1)  b.3  7


a.(1)  b.3  5

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x > 0, y > 0.
Giải: Ta có:
m2

x

 3x  2 y  m
3x  2(2 x  1)  m
7 x  m  2

7
 



y  2x 1
2 x  y  1

 y  2x 1
 y  2m  3

7

12

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

m2

m  2
 x  7  0
3


- Để hệ phương trình có nghiệm x>0, y>0 thì: 
3 m
2
 m  2
 y  2m  3  0

7
3
Vậy: với m  thì hệ phương trình có nghiệm x>0, y>0.
2
 m  1 x  y  m
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình: 
 x   m  1 y  2

a) Giải hệ phương trình khi m = 3
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y khơng phụ thuộc vào m.

c) Tìm giá trị của m thoả mãn: 2x2 – 7y = 1
d) Tìm các giá trị của m để biểu thức

2x  3y
nhận giá trị nguyên.
x y

 m  1 x  y  m
Giải: a) Thay m = 3 vào hệ phương trình 
ta có hệ phương trình trở
 x   m  1 y  2
4

 x  3
2 x  y  3
 
…….  
x  2 y  2
y  1

3

 3  1 x  y  3
thành : 

 x   3  1 y  2

4 1
Vậy với m = 3 thì hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) =  ; 
3 3





b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
 m  1 x  y  m
 x   m  1 y  2

Xét hệ phương trình 

1
 2

Từ phương trình  2   x  my  y  2  my  2  x  y  m 
2 x y
vào
y
 2 x y 
2 x y

 1 x  y 

y
y



thay

m

phương

trình

1

ta

2 x y
y

có

phương

trình:

 2 x y y 
2 x y

 .x  y 
y
y


2
2
2x  x  y
2 x y


y
y

 2 x 
2 x y
 

 .x  y 
y
 y 
 2 x  x 2  y 2  2  x  y  x 2  y 2  3x  y  2  0

Vậy x2  y 2  3x  y  2  0 là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
 m  1 x  y  m
theo tham số m ta có hpt
x

m

1
y

2




c)Giải hệ phương trình 

 m  12 x   m  1 y  m.  m  1
 
 x   m  1 y  2
 m2  2m  1  1 x  m2  m  2


 x   m  1 y  2

13

 m  1 x  y  m

 x   m  1 y  2

 m  12 x  x  m.  m  1  2
 
 x   m  1 y  2
m.  m  2  x   m  1 m  2 
 
 x   m  1 y  2

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2



m 1
m 1


 x  m
 x  m
 

 m  1   m  1 y  2
 m  1 y  2  m  1
 m

m
m 1
m 1


 x  m
 x  m
 


2
m

m

1
m


1
 m  1 y 
 m  1 y 


m
m

m 1

 x  m
`

y  1

m
m 1 1 
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = 
; 
 m m

Thay vào biểu thức: 2x2 - 7y = 1 ta được:
2m 2  4 m  2 7
 m 1 
1

2

7.


1
  1  2m 2  4m  2  7 m  m 2

 
2
m
m
m
m


 
 m2  3m  2  0
  m  2  .  m  1  0
2

m  2  0
 
m  1  0



m  2
m  1


Vậy với m = 2 hoặc m = 1 thì hpt trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x2 - 7y = 1
m 1
1
2x  3y

; y  vào biểu thức A =
ta được biểu thức
m
m
x y
1
 m 1 
2m  2  3
2. 
  3.
2  m  2  5
2m  1 m  2
2m  1
m
m


m
:
A =
=
=
=
=
m 11
m 1 1
m2
m
m
m2


m
m
m
2  m  2
5
5
=
= 2

m2
m2
m2
2x  3y
Để biểu thức A =
nhận giá trị nguyên
x y
5
 2
nhận giá trị nguyên
m2
5

nhận giá trị nguyên
m2
 5  m  2   (m+2) là ước của 5.
Mà Ư(5) = 1; 5

d)Thay x 



m  2  1
 m  2  1

m  2  5

 m  2  5



m  1  2
 m  1  2

m  5  2

 m  5  2



 m  1
 m  3

m  3

 m  7

Kết hợp với điều kiện m  1; m  2 Vậy với các giá trị m = -1; m = -3; m = -7; m = 3
thì giá trị của biểu thức
Ví dụ 4: Cho hệ pt

2x  3y
nhận giá trị nguyên.
x y
mx  y  5
(I) 
Tìm m dể hệ có nghiệm (x,y) thỏa mãn
2 x  y  2

a) x+y=1
b) x>0 và y>0
Giải
14

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

a) Ta có
 y = 5 - mx
 y = 5 - mx

<=> 
(I)  
3 <=>
2x - (5 - mx) = -2
 x = 2 + m

3
10 + 3m


 y = 5 - m( 2 + m )
 y = 2 + m
 

x = 3
x = 3
2+m
2+m



10 + 3m

 y = 2 + m
3
10 + 3m
 x  y  1 

1

3
2
+
m
2

+
m
Theo điều kiện đề bài ta có :  x =

2+m
11
 m  
2
11
Vậy m   thì x + y =1
2

 3
0
 m  2
 x  0

 m2  0
 10  m  2
b) 
  m2


m
3m  10
y

0
3
m


10

0




0
3


 m2

Vậy với m>-2 thì x>0 và y>0
7. Giải bài tốn bằng cách đưa về hệ phương trình.
* Phương pháp giải:
- Từ các giả thiết của bài tốn lập hệ phương trình rồi giải hệ phương trình đó
Ví dụ 1:
3
2

a; Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(- 5 ; 3 ), B ( ;1)
b; Tìm a, b để đường thẳng ax- 8y= b đi qua hai điểm M(9 ;-6) và đi qua giao điểm
của hai đường thẳng(d1) : 2x +5y = 17, 9d2) : 4x - 10y = 14.
HD : a; Gọi đường thẳng cần tìm có dạng: y = ax + b đi qua hai điểm A(- 5;3 ),
3
B ( ;1) nên thay vào phương trình đường thẳng ta có hệ PT :
2

3  5a  b

3

 1  2 a  b

8
1
;b=13
13
8
1
Vậy đường cần tìm là : y = - x 13
13
2 x  5 y  17
b; Trước hết ta giải hệ 
tìm được giao điiểm của(d1) và (d2) là A(6;1).
4 x  10 y  14

Giải ra ta được : a= -

Muốn cho đường thẳng ax- 8y=b đi qua hai điểm M và A thì a, b phải là nghiệm
9a  48  b
6a  8  b
56
Đáp số: a=- , b  120
3

của hệ phương trình : 

Ví dụ 2: Tìm a và b biết đường thẳng y=ax + b đi qua điểm M(9;-6) và đi qua giao
điểm của hai đường thẳng (d1) : 2x+5y = 17, (d2); 4x - 10y = 14.
Giải :
- Giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:

15

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

2 x  5 y  17
x  6
 …….. 

y  1
4 x  10 y  14

=> giao điểm của (d1) và (d2) là A(6;1).
- Để đường thẳng ax-y= -b đi qua hai điểm M và A thì a,b phải là nghiệm của hệ
7

9a  6  b
9a  b  6
a 

phương trình: 


3
6a  1  b
6a  b  1
b  15
7
Vậy: đường thẳng đó cho có phương trình: y=  x  15
3

Bài tập tổng hợp :
Bài 1: Phương trình nào kết hợp với pt x- 2 y = 2 để được một hệ phương trình
vơ số nghiệm.
A. – 0,5 x + y = -1
B. 0,5x – y = -1
C. 2x- 3y = 3 D . 2x – 4y = 2
Hỏi tương tự với hệ phương trình có nghiệm duy nhất và vô nghiệm
Bài 2:
mx  y  1
a) Cho hệ pt  x y
(I) Tìm giá trị của m để hệ pt vô nghiệm
 2  3  334
nx  y  m (1)
b) Cho hệ pt 
Tìm m để hệ pt có nghiệm với mọi giá trị của n
 x  y  1 (2)
 x  ay  1
Bài 3: Cho hệ pt 
(I)
a.x  y  2

a) Giải hệ pt khi a = 2
b) Với giá trị nào của a thì hệ pt có nghiệm duy nhất
 x  y 1

mx  y  m

Bài 4: Cho hệ phương trình :
a.
b.

Giải hệ phương trình với m = 1.
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
3x  y  m

Bài 5: Cho hệ pt 

2
9 x  m y  3 3

a) Với giá trị nào của m thì hệ pt VN
b) Với giá trị nào của m thì hệ pt có VSN? Viết dạng tổng qt của hệ pt
c) Với giá trị nào của m thì hệ pt có nghiệm duy nhất
mx  2my  10
(1  m) x  y  0

Bài 6 Cho hệ phương trình : 

a. Giải hệ phương trình với m= -2
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất, vơ nghiệm, vô số nghiệm
Bài 7: Cho hệ PT :

mx  2 y  1

mx  my  m  1

a; Tìm m biết nghiệm của hệ là x= -1/3 ; y =1 ?
b; Giải hệ với m =0 ?
c; Tìm m để hệ đã cho vơ số nghiệm ?

16

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

3x  y  6
Tìm giá trị của m và n để:
mx  y  n  3

Bài 8: Cho hệ phương trình: 
a) Hệ có nghiệm duy nhất.
b) Hệ vơ nghiệm.
c) Hệ có vơ số nghiệm.

x  my  2
mx  2y  1

Bài 9: Cho hệ phương trình: 

a) Giải hệ phương trình trên khi m = 2.
b) Tìm các số ngun m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0.
c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số
ngun.
d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn nhất.
Bài 10:

Cho hệ phương trình :

3ax  (b  1) y  93

bx  4ay  3

a; Giải hệ với a =4; b =-5
b; Tìm giá trị của a và b để hệ có nghiệm duy nhất (1;-5)
c; Tìm a và b để hệ có vô số nghiệm
(m  1) x  y  3m  4
 x  (m  1) y  m

Bài 11 Cho hệ phương trình 

a. Giải hệ phương trình với m= -1
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x+y=3
mx  y  2
m≠0
3 x  my  5

Bài 12 Cho hệ phương trình 

a. Giải hệ phương trình với m = 2
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x+y < 1
2 x  ay  b
ax  by  1

Bài 13: Cho hệ phương trình 

a) Giải hệ khi a=3 ; b=-2
b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=( 2 ; 3 )
c) Tìm a;b để hệ có vơ số nghiệm
ax  y  2
 x  ay  3

Bài 14: Cho hệ phương trình 
a)
b)
c)
a)
d)

Giải hệ khi a= 3  1
C/m rằng hệ ln có nghiệm với mọi a
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x+y=<0
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x<0; y<0
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y>0
ax  2 y  a
 2 x  y  a  1

Bài 15:Cho hệ phương trình 

a)Giải hệ khi a=-2
b)Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x-y=1

17

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

Chuyên đề 8: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. Kiến thức cơ bản
Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình gồm các bước sau
B1: Lập hệ phương trình:
- Chọn 2 ẩn thích hợp và đặt điều kiện cho ẩn.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết và các đại lượng đã biết theo ẩn
- Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
B2: Gải hệ phương trình trên.
B3: Kiểm tra xem các nghiệm của hệ phương trình có thoả mãn điều kiện của
bài toán và kết luận
* Chú ý: Việc tóm tắt bài tốn trước khi làm.
B. Bài tập vận dụng :
Bài 1: Bảy năm trước tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4. Năm nay tuổi
mẹ vừa đúng gắp 3 lần tuỏi con. Hỏi năm nay mỗi nguời bao nhiêu tuổi ?
Giải:
Gọi số tuổi năm nay của mẹ là x
Gọi số tuổi năm nay của con là y ( x,y N*)Vì bảy năm truớc tuổi mẹ bằng 5 lần

tuổi con cộng thêm 4 nên ta có:
(x-7) = 5 (y-7) + 4 (1)
Năm nay mẹ gấp 3 lần tuổi con nên:
x = 3y (2)
 x  7  5( y  7)  4(1)
 x  3 y.(2)

Ta có hệ PT 

 x=36 (TM)
 y=12 (TM)

Giải hệ PT trên được 

vậy tuổi mẹ năm nay là 36 ; cịn tuổi con là 12
Bài 2: Tìm một số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục bằng hai lần chữ số
hàng đơn vị cộng thêm 2 và tổng của hai chữ số là số nguyên tố nhỏ nhất có hai
chữ số
Giải:
Gọi số phải tìm là ab ( a;b  N ; 1≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 )
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
a  2.b  2

a  b  11

Giải hệ này ta tìm được : a = 8 ; b = 3
Vậy số phải tìm là : 83
Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có tổng nửa chu vi và chiều dài bằng 66m ; có
nửa tổng chu vi và 2 lần chiều rộng là 48 m . Tính diện tích khu vườn ?
Giải:

Gọi x ( m ) là chiều rộng hình chữ nhật ; Gọi y (m) là chiều dài hình chữ nhật
( ĐK: 0Chú ý : nữa chu vi là : x +y

18

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

 x  2 y  66
3 x  y  48

Ta có hệ PT: 

Giải hệ ra ta có : x = 6 ; y = 30
Vậy chiều rộng là 6 m ; chiều dài là 30 m
Diện tích Hình chữ nhật đó là : 6 . 30 = 180 m2
Bài 4: Một người đi xe máy từ Chu Lai đến phố cổ Hội An . Nếu đi với V= 45 km
/h thì đên nơi sớm hơn dự định 13phút 20 giây . Nêú đi với V= 35km/h thì đến nơi
chậm hơn so với dự định là 2/7 h . Tính quảng đường Chu Lai - Hội An và vận tốc
dự định ?
Giải:
GV: Thông thường các bài tốn giải bằng cách lập hệ PT có hai điều kiện ; mổi
đkiện giúp ta lập được một PT . Trong các bài tốn về chuyển động cần nhớ cơng
thức liên hệ giữa quảng đường ; vận tốc và thời gian : S = vt ; chú ý đến đơn vị của
mỗi đại lượng .

Các em có thể dựa vào bảng tóm tắt sau để lập hệ phương trình
Điều kiện
Quảng đường Vận tốc
Thời gian
Quan hệ
Dự định
y
y/x
x
x- y/45=2/9
y/35- x =2/7
Điều kiện 1
y
45
y/45
Điều kiện 2
y
35
y/35
Ta có hệ PT :
y

 x  45 

 y x
 35

2
9
2

7

Giải hệ ra ta được : x = 2 ; y = 80 (thỗ mãn bài tốn)

Vậy quảng đường ChuLai - Hội An là 80 km ; và thời gian dự định là 2 giờ .
Bài 5: Nếu hai đội cơng nhân cùng làm chung sẽ hồn hành công việc trong 8 h ;
nếu đội thứ nhất chỉ làm trong 3 h rồi đội thứ hai cùng làm tiếp trong 4 h nữa thì
chỉ xong được 0,8 cơng việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì sau bao lâu hồn thành
cơng việc ?
Giải:
GV hướng dẫn HS làm như sau :
Gọi thời gian đội 1 làm 1 mình xong việc là x giờ
Thời gian đội 2 làm một mình xong việc là y giờ ( x;y > 8 )
Mỗi giờ đội 1 làm được 1/x ( công việc )
--2 làm được 1/y (--)
Mổi giờ cả hai đội làm được 1/8 (cơng vịêc)
Ta có PT: 1/x + 1/ y = 1/8
Mặt khác nếu đội 1 làm trong 3 h ; đội 2cùng làm tiếp 4 h thì chỉ xong 0,8 cơng
việc nên ta có PT: 3. 1/x + 4. 1/8 = 0,8
1 1 1
 x  y  8
Ta có hệ PT: 
Ta đặt 1/x = a ; 1/y = b
3. 1  1  0,8
 x 2

19

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

1

a  b  8
Ta có hệ mới : 
Giải ra ta có : a= 1/10 ; b= 1/40
3a  1  0,8
2


Suy ra : x = 10 ; y = 40 ( thỗ mãn bài tốn)
Vậy nếu đội 1 làm 1 mình thì sau 10 h mới xong cơng việc
...
2
...
40 h ...
CÁC LOẠI TỐN
GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
*Loại I: BÀI TỐN TÌM SỐ, CHỮ SỐ
* kiến thức cần nhớ:
* Nhắc lại công thức liên hệ giữa số bị chia, số chia, thương và số dư
Số bị chia = (số chia) x (thương) + (số dư); (Số dư < số chia)
* Nhắc cách viết số dưới dạng một tổng (cấu tạo số) (Phân tích sang dạng thập
phân)
+ Số tự nhiên có 2 chữ số có dạng: ab

Với a, b  N và 1  a  9 ; 0 ≤ b  9

(a là chữ số hàng chục, b là chữ số hàng đơn vị) thì ab = 10a + b
+ Số tự nhiên có 3 chữ số có dạng: abc  100a  10b  c Với a, b,c  N và 1  a
 9 ; 0 ≤ b  9 ;0 ≤ c  9

Ví dụ 1: Tìm số tự hiên có hai chữ số biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn
chữ số hàng chục là 1 đơn vị và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì
được một số mới ( có hai chữ số) bế hơn số cũ là 27 đơn vị
BG
Gọi chữ số hàng chục cần tìm là x chữ số hàng dơn vị là y
Điều kiện x, y nguyên và 0< x, y ≤9
Khi đó số cần tìm là
xy  10x  y
Khi viết theo thứ tự ngược lại ta có số yx  10y  x
Theo bài ta có phương trình 2y – x= 1 hay –x+2y =1(1)
Theo điều kiện sau của bài ta có (10x+y)-(10y+x)=27
 x-y= 3(2)
 x  2 y  1  x  7

x  y  3
y  4

Từ (1) và (2) đó ta có hệ  

(tmđk)

Vậy số phải tìm là 74
Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng các chữ số bằng 8, nếu đổi vị trí
hai chữ số cho nhau thì số tự nhiên đó giảm đi 36 đơn vị.

HD
Gọi chữ số hàng chục là x , điều kiện 0  x  9 ;
20

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

chữ số hàng đơn vị là y , điều kiện 0  y  9 .
 x  y  8
x  6

.
10 x  y   10 y  x   36  y  2

Theo bài ra ta có hệ phương trình 
Trả lời : Số phải tìm là : 62.

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng
đơn vị là 2 và nếu viết xen chữ số 0 vào giữa hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị
thì số tự nhiên đó tăng thêm 630 đơn vị.
HD
Gọi chữ số hàng chục là x , điều kiện x  N * , 2  x  9 ;
chữ số hàng đơn vị là y , điều kiện y  N * ,0  y  7 .
 x  y  2
x  7


.
10 x  y   10 y  x   630  y  5

Theo bài ra ta có hệ phương trình 

Trả lời : Số phải tìm là : 75.
Bài 2: Tổng 2 số bằng 59, hai lần của số này bé hơn ba lần của số kia là 7. Tìm hai
số đó.
HD
Cách 1 : Gọi hai số phải tìm là x , y .
 x  59  y
 x  y  59
 x  25


3x  2 y  7 3  59  y   2 y  7  y  34

Theo bài ra ta có hệ phương trình : 

Vậy hai số cần tìm là : 34, 25.
Cách 2 : Gọi x là một trong hai số phải tìm, thế thì số thứ 2 phải tìm sẽ là : 59  x .
Theo bài ra ta có phương trình : 2 x  3  59  x   7 .
Giải phương trình 2 x  3  59  x   7  5x  3.59  7  x  34 .
Vậy hai số cần tìm là : 34, 25.
Bài 3: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số
mới lớn hơn số đã cho là 54. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 88. Tìm
số đã cho ?
HD
Gọi số đã cho gồm hai chữ số là : ab  10a  b , điều kiện a, b  N * ; a, b  9 .

Khi hoán vị hai chữ số ta có số mới là : ba  10b  a .
10b  a  10a  b   54 a  1

.
10a  b  10b  a  88
b  7

Theo bài ra ta có hệ phương trình : 

Vậy hai số phải tìm là 17, 71.
Bài 4: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số
mới lớn hơn số đã cho là 45. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm
số đã cho ?
Bài 5: Tổng hai số bằng 59 .Hai lần số này hơn 3 lần số kia là 7 ,Tìm hai số
HD
Gọi hai số phải tìm là x,y đk x, y nguyên và 1≤x,y≤9
Vậy hai số cần tìm là 34, 25
21

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

Bài 6: Cho một số có hai chữ số .Nếu đổi chỗ hai chữ số ấy cho nhau được một
số mới lớn hơn số đã cho là 63 .Tổng của ssố đã cho và mới tạo thành là 99.Tìm
số đã cho
HD

Gọi chữ số hàng chục là x chữ số hàng đơn vị là y đk x, y nguyên và 1≤x,y≤9
số đã cho là 10x+ y, số mới tạo thành là 10y+ x
Số phải tìm là 18
Bài 7: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng tổng của 2 chữ số đó là 12 và khi đảo
ngược thứ tự của 2 chữ số ta được 1 số mới lớn hơn số cũ 18 đv.
Bài 8: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng hiệu chữ số hàng chục và chữ số
hàng đv =3 và tổng của số đó với số viết ngược lại của nó =77.
Bài 9: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số
hàng đv là 5 và khi đảo ngược thứ tự của 2 chữ số ta được 1 số mới = 3/8 số ban
đầu.
Bài 10: Tìm số tn có 2 chữ số. biết rằng số đó gấp 4 lần tổng các chữ số của nó.
nếu đổi thứ tự các csố đó ta được 1 số > số cũ 36 đv
* Loại II: BÀI TỐN VỀ TỶ SỐ - PHẦN TRĂM
Ví dụ: Tủ A có hai ngăn sách, số sách ngăn trên bằng

1
số sách ngăn dưới. Nếu
5

thêm 25 cuốn vào ngăn trên, bớt 15 cuốn ở ngăn dưới thì số sách ngăn trên bằng

2
3

số sách ngăn dưới. Tính số sách ở mỗi ngăn lúc ban đầu.
BG
Gọi số sách ngăn trên là x , (cuốn), điều kiện x  N .
Gọi số sách ngăn dưới là y , (cuốn), điều kiện y  N .
 y  5x
 x  15


Theo bài ra ta có hệ phương trình  x  25 2  
Thoart mãn ĐK

y

75

 y  15 3


Trả lời : lúc ban đầu ngăn trên có 15 cuốn sách, ngăn dưới có 75 cuốn sách.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 156, nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ
thì được thương là 6, số dư là 9.
HD
Gọi số lớn là x , số nhỏ là y .
 x  y  156  x  135

.
 y  21
x  6 y  9

Theo bài ra ta có hệ phương trình 

Trả lời : hai số phải tìm là 135 và 21.
Bài 2: Hai anh A và B góp vốn cùng kinh doanh. Anh A góp 15 triệu đồng, anh B
góp 13 triệu đồng. Sau một thời gian được lãi 7 triệu đồng. Lãi được chia theo tỷ lệ
vốn đã góp. Em hãy dùng cách giải lập hệ phương trình để tính tiền lãi mà mỗi anh
được hưởng.

HD
Gọi số lãi mà anh A, anh B được hưởng lần lượt là : x, y ; điều kiện x  y  0 .
22

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

x  y  7
 x  3,75

heo bài ra ta có hệ phương trình :  x y  
.
 y  3, 25
15  13

Vậy anh A được hưởng 3,75 triệu đồng, anh B được hưởng 3,25 triệu đồng tiền lãi.
Bài 3: Sáng nay bạn Lan và bạn Anh cùng đi siêu thị mua hàng. Bạn Lan mua 5
quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 10000 đ. Bạn Anh mua 3 quả trứng gà và 7 quả
trứng vịt hết 9600 đ. Hỏi giá một quả trứng mỗi loại là bao nhiêu ?
HD
Gọi giá mỗi quả trứng gà, vịt lần lượt là : x; y , (đ); điều kiện x  0, y  0 .
5 x  5 y  10000  x  1100

.
3x  7 y  9600
 y  900

Theo bài ra ta có hệ phương trình : 

Vậy giá một quả trứng gà là 110 đ, một quả trứng vịt là 900 đ.
Bài 4: Hai xí nghiệp phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Xí nghiệp I đã vượt mức
kế hoạch 12%, xí nghiệp II đã vượt mức kế hoạch 10%, do đó cả hai xí nghiệp đã
làm tổng cộng 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ mà mỗi xí nghiệp phải làm theo kế
hoạch.
HD
Gọi dụng cụ xí nghiệp I, II phải làm theo kế hoạch lần lượt là x , y ; điều kiện
x, y  0 .
 x  y  360
 x  200

Theo bài ra ta có hệ phương trình  12

.
10
y

160
x

y

400

360

100

100

Trả lời : Số dụng cụ làm theo kế hoạch của xí nghiệp I là 200, II là 160.
* Loại III: BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
* Kiến thức cần nhớ
+ vận tốc = quãng đường /thời gian

s
t

(v= )

Đối với chuyển động trên sơng có vận tốc dịng nước (v(nước))
+ v(xi dịng)= v(riêng)+ v(nước) (1)
+ v(ngược dịng)= v(riêng) -v(nước) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
+ v(xi dịng) + v(ngược dịng) = 2. v(riêng)
+ v(xi dịng) - v(ngược dòng) = 2. v(nước)
Lưu ý vận tốc riêng v(riêng) là vận tốc của vật khi nước đứng yên.
Ví dụ 1: Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận
tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50
km/h thì sẽ đến B sớm 1giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời
điểm xuất phát của ơ tơ tại A
23

GV:

Lê Đình Bằng

Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

Bảng phân tích
S(km)
Dự định
Nếu xe chạy chậm
Nếu xe chạy nhanh

V(km/ h)

T(giờ)

35
50

y
y+2
y-1

x
x
x

Giải:
Gọi x km) là độ dài quãng đường AB ( x > 35)
Thời gian dự định để đi đến B lúc 12h trưa là y (h), ( y >1 )
Nếu xe chạy với vận tốc 35 (km/h) thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định,
ta có phương trình: x = 35(y+2) (1)
Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1giờ so với dự định ta có
phương trình:

x = 50(y - 1) (2)
 x  35( y  2)
 x  50( y  1)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

 y 8
(TMĐK)
 x  350

Giải hệ phương trình ta được: 

Vậy quãng đường AB là 350 km và thời điểm xuất phát của ô tô tại A là:
12 - 8 = 4 (h)
Ví dụ: Một ơ tơ và một xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đường sau 3 giờ thì
gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát cùng một lúc cùng một địa điểm sau 1
giờ hai xe cách nhau 28 km . Tìm vận tốc của mỗi xe biết quãng đường là 156
km
Giải
Gọi vận tốc của ô tô là x km/h
vận tốc xe đạp là y km/h Điều kiện x> 0; y> 0
 x  y  52
 x  40

( tm đk)
 x  y  28
 y  12

Ta có hệ  

Vậyvận tốc của ô tô là 40 km/h
vận tốc xe đạp là 12 km/h
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Hai điểm A ;B cách nhau 150 km và hai ô tô khởi hành cùng 1 lúc đi
ngược chiều nhau .Gặp nhau ở vỉt5í C cách A 90 km .Nếu vận tốc vận tốc vẫn
không đổi nhưng ô tô đi từ B đi trước ô tô đi từ A 50 phút thì hai xe gặp nhau ở
chính giữa qng đường .Tìm vận tốc của mỗi xe?
HDGọi vận tốc của ô tô đi từ A là x km/h
vận tốc của ô tô đi từ Blà ykm/h
Đk x,y > 0
 75 75 5
x  y  6
 x  45

Ta có hệ 
(tmđk)
 y  30
3  2
 x y

Vậy vận tốc của ô tô đi từ A là 45 km/ h
vận tốc của ơ tơ đi từ Blà 30 km/ h
24

GV:

Lê Đình Bằng


Tài liệu ôn tập, ôn thi vào lớp 10 THPT - Tập 2

Bài 2: Bác Toàn đạp xe từ xã về làng cô Ba đạp xe từ làng lên xã .Họ gặp nhau
khi bác Tồn đi được 1,5 giờ cịn cô Ba đi được 2 giờ .Một lần khác cũng từ hai
địa điểm trên nhưng họ khởi hành đồng thời sau 1h15’ họ cịn cách nhau 10,5
km .Tìm vận tốc của mỗi người?
Bài 3: Một canô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu canơ tăng
vận tốc thêm 3km/h thì thời gian rút ngắn được 2 giờ. Nếu canơ giảm vận tốc đi
3km/h thì thời gian đi tăng thêm 3 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định.
Bài 4: : Từ bến xe Sài gòn đến bến xe Dầu giây cánh nhau 65 km. Xe khách ở bến
xe Sài gòn, xe hàng ở bến xe Dầu giây đi ngược chiều nhau và xe khách khởi hành
sau xe hàng 36 phút, sau khi xe khách khởi hành 24 phút nó gặp xe hàng. Nếu hai
xe khởi hành đồng thời và cùng đi Hà nội thì sau 13 giờ hai xe gặp nhau. Tính vận
tốc mỗi xe, biết rằng xe khách đi nhanh hơn xe hàng.
Bài 5: Hai chiếc ca nô cùng khởi hành từ 2 bến A và B cách nhau 85 km và đi
ngược chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút . vận tốc ca nơ xi dịng lớn hơn
vận tốc ca nơ ngược dịng là 9km/h Tính vận tốc riêng của mỗi ca nơ Biết vận
tốc của dịng là 3km/h.
HD
Vận tốc riêng V xi dịng V ngược
t (h) S (km)
dịng
Ca nơ 1
x
X+3
5/3
Ca nơ 2
y
y-3
5/3
Bài 6: Một người dự định đi từ A đến B cách nhau 36km trong một thời gian nhất

định. Đi được nửa đường, người đó nghỉ 18phút nên để đến B đúng hẹn phải tăng
vtốc thêm 2km/h. Tính vtốc dự định.
Bài 7: Một ơtơ khởi hành từ A để đi đến B cách nhau 240km. Một giờ sau, ôtô thứ
2 cũng khởi hành từ A đi đến B với vtốc lớn hơn vtốc xe thứ nhất 10km/h nên đã
đuổi kịp ơtơ thứ nhất ở chính giữa qng đường AB. Tính vtốc mỗi xe.
Bài 8: Một ơtơ chuyển động từ A->B dài 150km. Khi đến B nghỉ lại 3h15’, rồi trở
về A hết tất cả 10h. Tính vận tốc ôtô lúc về, biết vtốc đi > vtốc về 10km/h.
Bài 9: Khoảng cách giữa 2 tỉnh A và B là 108km. 2 ôtô cùng khởi hành 1 lúc đi từ
A->B, mỗi giờ xe thứ 1 chạy nhanh hơn xe 2 6km nên đén B trước xe 2 12’. Tính
vt mỗi xe.
Bài 10: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108km. Cùng lúc đó 1 ôtô khởi
hành từ B về A với vtốc lớn hơn vtốc xe đạp 18km\h. Sau khi 2 xe gặp nhau, xe
đạp phải đi mất 4h nữa mới tới B. Tính vtốc mỗi xe?
Bài 11: Một tầu thuỷ chạy trên khúc sơng dài 120km, cả đi và về mất 6h45’. tính
vtốc tầu thuỷ khi nước yên lặng, biết vtốc dòng nước là 4km/h.
Bài 12: 2 bến sông A và B cách nhau 30km. 1 canô đi từ A->B, nghỉ tại B 40’ rồi
lại quay về A, với tgian tổng cộng là 6h. tìm vt riêng của canơ. biết vt dịng nước là
3km/h
Bài 13: 1 canơ xi dịng 30km và ngược dịng 28km hết 1 tgian bằng tgian mà
canô đi 59,5km trên mặt hồ n lặng. Tính v/tốc của canơ khi đi trên hồ, biết rằng
v/tốc của dòng nước là 3km/h.
Bài 14: Một chiếc thuyền đi trên dịng sơng dài 50km. tổng thời gian xi dịng và
ngược dịng là 4h10’. Tính vtốc thực của thuyền, biết một chiếc bè thả nổi phải mất
10h mới xi hết dịng sơng.
25

GV:

Lê Đình Bằng