Chuyên đề ôn luyện thi vào THPT của SGD Thanh Hóa- Tam Giác đồng dạng - Bài tập cơ bản và nâng cao

I . định lý talet tam giác đồng dạng
Trong chơng này, chúng ta sẽ ôn lại các kiến thức chung về tam giác, các trờng hợp bằng
nhau của tam giác, các dạng tam giác đặc biệt, các đờng đặc biệt trong tam giác, các dạng
tứ giác và tính chất của chúng. Vì lý do đó, chúng tôi chỉ nhắc lại các kiến thức này dới
dạng lý thuyết, các bài tập vận dụng chúng sẽ đợc gắn vào trong các bài tập về Định lý
Talet và tam giác đồng dạng .
I. Nhắc lại một số kiến thức cơ bản
1. Tam giác
Trong một tam giác:
- Ba đờng cao đồng quy, điểm đồng qui gọi là
trực tâm của tam giác.
- Ba đờng trung tuyến đồng quy, điểm đồng qui gọi là
trọng tâm của tam giác
- Ba đờng phân giác đồng quy, điểm đồng qui là tại tâm đờng tròn nội tiếp tam giác
- Ba đờng trung trục đồng quy, điểm đồng qui là tâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác.
Xét tam giác ABC:
- Nếu

ABC có AB = AC hoặc
à
à
B C=
thì tam giác cân tại A.
- Nếu

ABC có AB = AC = BC hoặc
à à
à
A B C= =
thì tam giác đều.
- Nếu

ABC cân và có một góc bằng 60
0
thì tam giác đều.
Đờng trung bình của tam giác:
- Nếu MA = MB; NA = NC thì MN đợc gọi là đờng trung bình của

ABC.
- Nếu MN là đờng trung bình thì MN// BC và MN =
2
1
BC.
- Nếu





=
=




=
BCMN
NCNA
MBMA
BCMN
2

1
//
Chú ý: Từ





=
=
BCMN
MBMA
2
1
Không suy ra đợc



=
NCMA
BCMN //
I.2. Tứ giác- các dạng tứ giác đặc biệt
1. Tứ giác
- Tổng 4 góc trong 1 tứ giác:
à à
à
à
0
360A B C D+ + + =
A

CB
M N
d
A
B
C
H MD
A
B
C
H
B
A
D
C
- Tổng các góc ngoài của tứ giác bằng 180
0
2. Các dạng tứ giác đặc biệt
1. Hình thang
Tứ giác ABCD là hình thang nếu có hai cạnh đối song song (AB//CD)
- AB và CD đợc gọi là 2 đáy AH là đờng cao.
- Hai góc kề 1 cạnh bên của hình thang bù nhau.
- Nếu hình thang có 1 góc vuông thì có ít nhất 2 góc vuông.
Khi đó nó đợc gọi là hình thang vuông.
- Hình thang ABCD (AB//CD) là hình thang cân nếu có:
+ Hai góc kề một đáy bằng nhau (A = B hoặc C = D).
+ Hai đờng chéo bằng nhau (AC = BD)
+ Nhận đờng thẳng đi qua trung điểm của 2 đáy (MN) làm trục đối xứng..
2. Hình bình hành
Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu:

+ Các cạnh đối song song (AB//CD, BC//AD)
+ Các góc đối bằng nhau :
à
à
à
à
;A C B D= =
+ Có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau
(AB//CD và AB = CD hoặc BC//AD và BC = AD)
+ Hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng (OA = OC; OB=OD)
+ Các cạnh đôí bằng nhau: AB = CD; BC = AD.
Chú ý: Giao điểm của hai đờng chéo là là tâm đối xứng của hình bình hành
.3. Hình chữ nhật:
Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi:
+ Có ba góc vuông (A = B = C = 90
0
)
+ Là hình bình hành có 1 góc vuông.
+ Là hình bình hành có 2 đờng chéo bằng nhau.
+ Là hình thang cân có 1 góc vuông.
+ Là hình thang cân có 2 đờng chéo bằng nhau
và cắt nhau tại trung điểm của nửa đờng.
+ Nhận các đờng thẳng đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối làm trục đối xứng.
.4. Hình thoi.
Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi:
+ Các cạnh bằng nhau: AB = BC = CD = DA
+ Hai đờng chéo vuông góc với nhau
A
D C
B

H
A
B
C
D
O
N
M
B
C
D
A
B
A
C
D
O
A B
CD
H
G
O
l
F
E
B
A
D
C
và cắt nhau tại trung điểm của nửa đờng.

+ Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau.
+ Các đờng chéo là tia phân giác của các góc.
+ Hình bình hành có một đờng chéo là tia phân giác của 1 góc.
+ Các đờng chéo là các trục đối xứng.
.5. Hình vuông:
Tứ giác ABCD là hình vuông nếu và chỉ nếu:
+ Có 4 góc bằng nhau, 4 cạnh bằng nhau.
+ Hình chữ nhật có 2 đờng chéo vuông góc.
+ Hình thoi có 2 đờng chéo bằng nhau.
+ Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau.
+ Hình thoi có 1 góc vuông.
+ Hình chữ nhật có 1 đờng chéo là tia phân giác của 1 góc.
1. Đờng trung trực:
Đờng trung trực d là đờng trung trực của AB nếu: d

AB và MA =MB
M

d <=> MA = MB
Oz là tia phân giác của
ã
xOy
khi và chỉ khi:
+
ã
xOz
=
ã
yOz
và Oz nằm giữa Ox và Oy.

+
ã
ã ã
1
2
xOz yOz xOy= =
+ Với điểm M bất kỳ, M

Oz thì MH = MK
II. Định lý Talet Tam giác đồng dạng
1. Kiến thức cần nhớ:
- Định lý Talét:
Cho

ABC, đờng thẳng d cắt AB, AC tại M, N
Ta có: MN // BC <=>
AC
AN
AB
AM
=
Nếu
BC
MN
AC
AN
AB
AM
AC
AN

AB
AM
===
- Tam giác đồng dạng:
à
à
à
à
ả
à
'; '; 'A A B B C C= = =

ABC đồng dạng

ABC
<=>
'''''' CB
BC
CA
AC
BA
AB
==
-

ABC và

ABC đồng dạng nếu:
+ Có 2 góc bằng nhau (g.g.)
+ Hai cặp cạnh tơng ứng tỷ lệ và góc xen giữa bằng nhau: (c.g.c)

H
K
x
z
y
0
A
B C
M
Nd
+ Ba cạnh tơng ứng tỷ lệ (c.c.c)
- Các trờng hợp đồng dạng của tam giác vuông:
+ Hai cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ (c.g.c)
+ Hai góc nhọn bằng nhau (g.g)
+ Cạnh góc vuông và cạnh huyền tơng ứng tỷ lệ.
2. Lu ý
- Trong khi giải các bài tập về đồng dạng nên quen nhìn

ABC và

AMN đồng dạng ở các
hình vẽ sau:
Nếu hai tam giác đồng dạng:
- Tỷ số chu vi bằng tỷ số đồng dạng
- Tỷ số diện tích bằng bình phơng tỷ số đồng dạng.
- Tỷ số các đờng cao, trung tuyến, phân giác tơng ứng
bằng tỷ số đồng dạng.
VD:

ABC đồng dạng với

ABC theo tỷ số k thì
2
' ' '
; ,
' ' ' ' ' ' ' '
ABC
A B C
S
AB AC BC AH
k k k
A B A C B C S A H
+ +
= = =
+ +
3. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho

ABC, hình vuông MNPQ đợc gọi là nội tiếp

ABC nếu nó có hai đỉnh nằm
trên hai cạnh của

và cạnh còn lại của hình vuông nằm trên cạnh thứ ba của

.
a) Hãy nêu cách vẽ một hình vuông nh vậy với

ABC cho trớc.
b) Tính cạnh hình vuông với M

AB; N

AC theo BC = a và đờng cao AH = h.
Giải:
a) Vẽ hình vuông EFGK sao cho E

AB; K và G nằm trên BC
Nói BF cắt AC tại N.
A
A
B
C
A
B
C
C
M
B
N
C
A
N
M
N
N
M
B
M
A

B
C
C'
B'
A'
H H'
A
B
C
F
E
K
G
N
P
M
Q
Qua N vẽ NM //EF cắt AB tại M.
Vẽ MQ

MN; MP

MN cắt BC tại Q và P.
Ta có MNPQ là hình vuông. Thật vậy.
Vì MN//EF//BC, MQ

BC; NP

BC
Nên MNPQ là hình chữ nhật.

Mặt khác EF//MN =>
MN
EF
BN
BP
=
FG//NP =>
NP
FG
BN
BF
=
(Định lý Talét)
NP
FG
MN
EF
=
mà EF = FG => MN = NP
Vậy MNPQ là hình vuông
b) Vì MN//BC nên
a
x
BC
MN
AB
AM
==
MQ//AH nên
h

x
AH
MQ
AB
BM
==
(Định lý Talét)
Do vậy:
ha
ah
x
haxAB
BM
AB
AM
h
x
a
x
+
==>+==>=+=+
111
1
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD)
Có AB = a ; CD = b ( a< b ) . Hai đờng chéo cắt nhau tại O.
Qua O kẻ đờng thẳng song song với hai đáy cắt các cạnh bên tại M và N.
a) Chứng minh: OM = ON.
b) Tính MN theo a và b.
Giải:
a) Vì MN//AB =>

DB
DO
AB
OM
=
(Định lý Talét)
CA
CO
AB
ON
=
(Định lý Talét)
Mà AB//CD nên
DB
DO
CA
CO
=
(Định lý Talét)
Do vậy
ONOM
AB
ON
AB
OM
==>=
Để chứng minh hai đoạn thẳng a và b bằng nhau. Ta có thể dùng đoạn có độ dài c
làm trung gian và chứng minh
ba
c

b
c
a
==>=
b) Ta có:
DB
DO
AB
OM
=
BD
BO
CD
ON
=
a
x
h
A
B
C
N
P
M
Q H
a
b
O
A
B

D
C
M
N
Đặt OM = ON x ta có:
ba
ab
x
baxb
x
a
x
+
==>+==>=+
111
1
Vậy MN =
ba
ab
+
2
Để tính x theo a và b ta có thể dùng tỷ lệ suy ra
k
b
x
a
x
=+
không đổi.
Từ đó suy ra x.

Ví dụ 3: Cho

ABC có
à à
2A B=
Chứng minh rằng:
BC
2
= AC
2
+ AC.AB
Giải:
Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = AB
Khi đó

ABC cân tại A nên:
ã
ã ã
2 2BAC ABD ADB= =
Xét

ABC và

BDC có:
ã
ã
ã
1
2
BDC ABC BAC= =

à
C
chung nên

ABC đồng dạng với

BDV (g.g)
ABACACABACACADACACCDACBC
BC
AC
CD
BC
.)()(.
22
+=+=+===>=
4. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho

ABC, dựng ra phía ngoài của nó các tam giác vuông cân BAD và CAE (vuông
tại A). Chứng minh rằng đờng cao AH của

ABC đi qua trung điểm M của DE.
Bài 2: Cho

ABC cân tại A, phân giác CD. Trên tia CB lấy M sao cho CM = 2 BD.
Chứng minh rằng

CDM vuông tại D.
Bài 3: Cho

ABC, biết rằng ngời ta có thể chọn đợc điểm M sao cho AM chia

ABC thành
hai tam giác con đồng dạng và tỷ số đồng dạng bằng
3
. Tính các góc của

ABC.
Bài 4: Cho

ABC nhọn các đờng cao AA, BB, CC đồng quy tại H. Chứng minh rằng:
a)
1
'
'
'
'
'
'
=++
CC
HC
BB
HB
AA
HA
b) HA.HA = BH.HB = CH.HC
Bài 5. Cho

ABC. M là 1 điểm bất kỳ trong

. Nối M với các đỉnh A, B, C cắt các cạnh
đối diện lần lợt tại A, B, C qua M kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB; AC tại K và
H.
Chứng minh rằng: MK = MH
Bài 6. Trên đờng phân giác của
ã
xOy
lấy 1 điểm M. Qua đó vẽ một đờng thẳng bất kỳ định ra
trên hai cạnh của góc các đoạn thẳng có độ dài a và b
B
C
D
A