đề thi đại học môn toán năm 2014 đáp án chi tiết

www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com

www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com 1


I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (
2,0 điểm).
Cho hàm số y = x
3
- 6x
2
+ 9x -2, gọi đồ thị là (C).
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
( )
M C
∈
, biết M cùng với hai điểm
cực trị A, B của đồ thị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 6 (đơn vị diện tích).
Câu II
(2,0 điểm).
1.
Giải phương trình: 5cosx + sinx - 3 =
2
sin







+
4
2
π
x
.

2. Giải hệ phương trình :
3 3 2
2 2
3
6 3 15 14
4 2 9 4 10 3
x y y x y
x y xy x x y


− − + − =




+ + = + − + −



.
Câu III (
2,0 điểm

).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
mặt phẳng (SCD) hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc
ϕ
sao cho
1
cos
7
ϕ =
.
Biết rằng SA = SC = SD, AB = BC = a, AD = 2a.
a. Tính thể tích của khối chóp theo a.
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD và góc giữa hai mặt phẳng
(SCD) và (SAD) theo a.
Câu IV
(
1,0 điểm
).
Cho các số thực dương
x, y, z
thỏa mãn
2
y xz
≥
và
2
z xy
≥
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức :

x y 2014z
P
x y y z z x
= + +
+ + +
.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn.
Câu Va (1,0 điểm).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hình vuông
ABCD
biết
(
)
M 2;1 ;N(4; 2);P(2;0);Q(1;2)
−
, lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phương
trình các cạnh của hình vuông ABCD.
Câu VIa (1,0 điểm).

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton
3
1
2
n
x

x
 
+
 
 
.
Biết rằng
2 1
1
4 6
n
n n
A C n
−
+
− = +
.
Câu VIIa (1,0 điểm).
Giải phương trình
(
)
(
)
1 2
2
log 4 2 2 1 log 1 1 0
x x x
+ − + + + + =
.

B. Theo chương trình Nâng cao.
Câu Vb (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hai đường tròn:
2 2
1
(C ):x y 13
+ =
và
2 2
2
(C ):(x 6) y 25
− + =
. Gọi A là giao điểm của
1
(C )
và
2
(C )
với
A
y 0
<
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt
1
(C )
,
2

(C )
theo hai dây cung phân biệt có độ
dài bằng nhau.
Câu VIb (1,0 điểm).
Một thầy giáo có 12 quyển sách đôi một khác nhau trong đó có 5 quyển
sách Toán, 4 quyển sách Vật lý, và 3 quyển sách Hóa học. Ông muốn lấy ra 6 quyển đem
tặng cho 6 học sinh A,B,C,D,E,F mỗi em một quyển.Tính xác suất để sau khi tặng sách
xong mỗi một trong ba loại Toán, Vật lý, Hóa học đều còn lại ít nhất một quyển.
SỞ GD VÀ ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 1

KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ I NĂM HỌC 2013 – 2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A, A1, B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com

www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com 2

Câu VIIb (1,0 điểm).
Giải bất phương trình:
(
)
2
2 2
2
2 1 2
(3 5) 3 5 2 0
x x
x x x x
−

− + −
− + + − ≤
.
H
Ế
T
Thí sinh không được sử dụng tài liệu .Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:……………………………………………… SBD:……………………


S
Ở
GD VÀ
Đ
T B
Ắ
C NINH
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 1

ĐÁP ÁN


(Câu
Đáp án
Điểm
1) (1,0 điểm)
•
TX
Đ
: D = R

•
S
ự
bi
ế
n thiên: - Chi
ề
u bi
ế
n thiên:
, 2 ,
1
3 12 9, 0
3
x
y x x y
x
=

= − + = ⇔

=


0,25
- Hàm s
ố

đồ
ng bi

ế
n trên các kho
ả
ng
( ;1)
−∞
và
(3; )
+∞
, Hàm s
ố nghịch biến trên khoảng
(1;3)
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x

=1 và y
CĐ
=2, đạt cực tiểu tại x=3 và y
CT
= -2
- Giới hạn:
lim ; lim
x x→−∞ →+∞
= −∞ = +∞

0,25
-

B
ả
ng bi

ể
n thiên:
x -
∞
1 3 +
∞

y
,
+ 0 - 0 +
y 2 +
∞



-
∞
-2


0,25
•
Đồ
th
ị
:
,, ,,
6 12, 0 2
y x y x
= − = ⇔ =

⇒

Đ
i
ể
m u
ố
n I(2;0), I là tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a (C)
Giao
đ
i
ể
m v
ớ
i Ox: I(2;0), giao
đ
i
ể
m v
ớ
i Oy: M(0;-2)

4
2

-2
-4
-5
5
10 15
3
1

0,25
2) (1,0 điểm)
Đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i c
ủ
a (C): A(1,2).
Đ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a (C): B(3;-2)

2 5,
AB⇒ = và đường thẳng
: 2 4 0
AB x y
+ − =

3 2
3 2
6 11 6
( ) ( ; 6 9 2) ( ; )
5
a a a
M C M a a a a d M AB
− + −
∈ ⇒ − + − ⇒ =

0,25
I
(2,0
điểm)

Gọi
1
, . ( ; ) 6
2
MAB
S S S AB d M AB
∆
= = =

0,25
www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com

www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com 3

3 2
6 11 6 6(1)
a a a⇔ − + − =
3 2
3 2
6 11 0 0
(1)
4
6 11 12 0
a a a a
a
a a a

− + = =

⇔ ⇔


=
− + − =




*) a = 0

⇒
M(0;-2)
⇒
TT t
ạ
i M: y = 9x-2
0,25
*) a = 4
⇒
M(4;2) TT t
ạ
i M: y = 9x-34
0,25
Câu Điểm

1) (1 điểm)
5cosx + sinx - 3 =
2
sin






+
4
2
π
x

⇔
5cosx +sinx – 3 = sin2x + cos2x

0,25
⇔
2cos
2
x – 5cosx + 2 + sin2x – sinx = 0
⇔
(2cosx – 1 )(cosx – 2) + sinx( 2cosx – 1)
= 0
⇔
(2cosx – 1) ( cosx + sinx – 2 ) = 0.

0,25
+/ cosx + sinx = 2
vô nghi
ệ
m.
0,25
+/ cosx =
1
2 ,
2 3
x k k Z
π
π
⇔ = ± + ∈
.

0,25
2) (1,0 điểm)
T
ừ
ph
ươ
ng trình
đầ
u ta có
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
3
3
2
2
3 2 3 2
2 2 2 . 3 0
x x y y
y x y y x x
+ = + + +
 
⇔ + − + + + + + =
 
 
 

(

)
(
)
2
2
2 2 ( 2 2 . 3 0 , .)
y x hay y x Do y y x x x y
⇔ + = = − + + + + + > ∀

0,5
Thê vào ph
ươ
ng trình th
ứ
hai ta
đượ
c
(
)
(
)
(
)
3 3
3 3 3
6 5 5 5 6 5 6 5 6 5 *
x x x x x x x f x f x+ = − − ⇔ + + + = + ⇔ = +
V
ớ
i

3
( ) , .
f t t t t R
= + ∈
Ta có
'( ) 3 1 0,
f t t t R
= + > ∀ ∈
nên
(
)
f t

đồ
ng bi
ế
n trên R
0,25
II
(2,0
điểm)

Do
đ
ó
(
)
(
)
(

)
3 2
3
* 6 5 6 5 0 1 5 0
x x x x x x x
⇔ = + ⇔ − − = ⇔ + − − =

1 21
1
2
x x
±
⇔ = − ∨ =
. V
ậ
y
( )
1 21 3 21 1 21 3 21
1; 3 ; ; ; ; .
2 2 2 2
S
 
   
 
− − − + − +
 
 
 
 
 

 
= − −
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 

0,25
III
(2,0
điểm)

E

F

A

D

B

C

S

H

www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com

www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com 4


Gọi F, E lần lượt là trung điểm của AD, CD; ta có FA = FD = FC, do đó tam giác ACD
vuông tai C, có tâm đường tròn ngoại tiếp là F( vuông cân) . Vì SA = SD = SC nên SF là
đường cao của hình chópS.ABCD.

Dễ thấy SE và EF đồng thời vuông góc với CD, do đó góc giữa mp(SCD) và mp(ABCD) là
góc SEF =
ϕ


0,5
Từ giả thiết ta có
tan 6 SF a 3
ϕ = ⇒ = . Như vậy ta có thể tích khối chóp S.ABCD là
2 3
1 AD BC 1 3a 3
V SF.AB. a 3. a (dvtt)
3 2 3 2 2
+
= = =
0,5
(
)
(
)
(
)
Do AD//BC nên d SC,AD =d (SCB),AD =d F,(SBC)

K
ẻ
FH vuông góc v
ớ
i SC ta có

( )
2 2 2 2 2 2
BC CF
BC (SCF) BC FHmà FH SC nên FH (SBC) d AD,(SBC) F
H
BC SF
1 1 1 1 1 4 a 3
Tính FH : FH
FH FS FC 3a a 3a 2
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ =

⊥

= + = + = ⇒ =



0,5






a(1,0
điểm)

b(1,0
điểm)

D
ự
ng
FK SD
⊥
, do
(
)
CF SAD CF SD
⊥ ⇒ ⊥

(
)
FKC SD
⇒ ⊥
. Do
đ
ó góc gi

ữ
a
(SAD) và (SCD) là góc FKC (vì góc CFK b
ằ
ng 90
0
).
Ta có

0
3 2
sin 60 ; tan .
2
3
a CF
FK FD CF a FKC
FK
= = = ⇒ = =

V
ậ
y

2
arctan .
3
FKC =

0,5
Ta có:

1 1 2014
P
y z x
1 1 1
x y z
= + +
+ + +
, đặt
y z x
a ;b ;c
x y z
= = =
kết hợp với giả thiết ta suy
ra
a b c 0 0 c 1
abc 1 ab 1
≥ ≥ > < ≤
 
⇒
 
= ≥
 
. Khi đó
1 1 2014
P
1 a 1 b 1 c
= + +
+ + +

0,25

Ta có
(
)
(
)
2
1 1 2
a b ab 1 0
1 a 1 b
1 ab
+ ≥ ⇔ − − ≥
+ +
+
(đúng do
ab 1
≥
)
Suy ra
1 1 2 c
1 a 1 b
c 1
+ ≥
+ +
+
hay
2 c 2014 2 c 2014 2014 2 c
P
c 1
c 1 c 1 c 1 c 1
+

≥ + ≥ + =
+
+ + + +
vì
0 c 1 c c
< ≤ ⇒ ≤

0,25
Đặt
t c 0 t 1
= ⇒ < ≤

Xét hàm số
( )
2t 2014
f t
t 1
+
=
+
với
0 t 1
< ≤
. Ta có hàm số
(
)
f t
liên tục trên
(
]

0;1
,
( )
( )
( )
2
2012
f ' t 0, t 0;1
t 1
= − < ∀ ∈
+
.
0,25
IV
(1,0
điểm)

Hàm s
ố

(
)
f t
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
(
]
0;1
. Suy ra
(
)
(
)
f t f 1 1008
≥ =

V
ậ
y giá tr

ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
P
b
ằ
ng
1008
khi và ch
ỉ
khi
x y z
= =
.
0,25
www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com

www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com 5

(1,0 điểm)
Gọi phương trình AB :
( 2) ( 1) 0
a x b y
− + − =
khi đó phương trình AD:

( 1) ( 2) 0
b x a y
− − − =
. Tứ giác ABCD là hinh vuông
2
( ; ) ( ; ) 3 4
a b
d P AB d N AD b b a
a b
= −

⇔ = ⇔ = + ⇔

= −


0,5
* Với 2a=-b chọn b=2 a=-1 phương trình các cạnh của hình vuông :
: 2 0; : 2 4 0; : 2 2 0; :2 6 0
AB x y AD x y DC x y CB x y
− + = + − = − + + = + − =

0,25
V.a

* Với a=-b chọn b=-1 a=1 phương trình cách cạnh của hình vuông
:
: 1 0; : 3 0; : 2 0; : 2 0
AB x y AD x y DC x y CB x y
− − = − − + = − − = − − + =

0,25
(1,0 điểm)
Điều kiện 2,n n
≥ ∈
ℤ

Ta có:
( )
(
)
2 1
1
1
4 6 1 4 6
2
n
n n
n n
A C n n n n
−
+
+
− = + ⇔ − − = +

2
1( )
11 12 0
12
n loai

n n
n
= −

⇔ − − = ⇔

=


0,25


0,25
VI.a











Với n = 12 ta có:
( )
12
12 12
12

3 3 3 12 36 4
12 12
0 0
1 1 1
2 2 2 2
n k
k
k k k k
k k
x x C x C x
x x x
−
− −
= =
     
+ = + = =
     
     
∑ ∑

Số hạng không chứa x ứng với k = 9 là
9 3
12
.2 1760
C = .


0,25

0,25
(1,0điểm)

§K
1
x
2
≥
. PT t−¬ng ®−¬ng:
( ) ( )
(
)
2 2 2 2
2 x x 1
log 4 2 2x 1 log x x 1 log 2 0 log 0 x x 1 2 2x 1
4 2 2x 1
+ +
− + − + + + + = ⇔ = ⇔ + + = + −
+ −

0,25
1
(x 2) ( x 1 2x 1) 0 (x 2) 1 0
x 1 2x 1
 
⇔ − + + − − = ⇔ − − =
 
+ + −

 

+) x = 2 thỏa mãn

0,25
VIIa
+)
1
1 0 x 1 2x 1 1 0
x 1 2x 1
− = ⇔ + + − − =
+ + −

Vô lý vì
3 1
x 1 2x 1 1 1 0 x
2 2
+ + − − ≥ − > ∀ ≥
.
Vậy tập nghiệm
{
}
2
S =

0,5

Xét hệ

+ = =



⇔ ⇒ −
 
= ±
− + =



2 2
2 2
x y 13 x 2
A(2; 3);B(2;3)
y 3
(x 6) y 25

0,25
V.b
(1,0
điểm)

Gọi
∆
là đường thẳng cần lập. Giả sử
∆
cắt
1
(C )
;
2

(C )
tại M và N.
Gọi
M(a;b)
vì A là trung điểm MN nên
N(4 a; 6 b)
− − −

Do
1
M (C )
∈
;
2
N (C )
∈
ta có hệ phương trình
2 2
2 2
a b 13
( 2 a) ( 6 b) 25

+ =


− − + − − =



0,25

www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com

www.MATHVN.com – www.DeThiThuDaiHoc.com 6

Giải hệ phương trình ta được:
a 2;b 3
17 6
a ;b
5 5
= = −


− −

= =

+ Với
a 2;b 3
= = −
thì
M(2; 3)
−
loại do
M A
≡
+ Với
17 6
a ;b
5 5
− −

= =
thì
17 6
M( ; )
5 5
− −
và
37 24
N( ; )
5 5
−

0,25
Lập phương trình đường thẳng đi qua MN là:
∆ + + =
: x 3y 7 0

0,25
(1,0 điểm)
Ta thấy không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách
Số cách chọn 6 quyển sách từ 12 sách là
6
12
665280
AΩ = =

Gọi A là biến cố: “sau khi tặng sách song mỗi một trong ba loại Toán, Vật lý, Hóa học
đều còn lại ít nhất một quyển.” P(A)=1-P(
A
)

0,5
Số cách chọn sao cho không còn sách Toán:
5
6
.7
A
=5040
Số cách chọn sao cho không còn sách Vật lý:
4 2
6 8
. 20160
A A =

Số cách chọn sao cho không còn sách Hóa học:
3 3
6 9
. 60480
A A =

0,25
VI.b





|
A
|=
5040 20160 60480

+ +
=85680 nên P(
A
)=
85680 17
665280 132
=
⇒
P(A)=1-
17 115
132 132
=
.
0,25
(1,0 điểm)


Bất phương trình tương đương với:
2 2
2 2
3 5 3 5
( ) ( ) 2 0
2 2
x x x x− −
− +
+ − ≤

0,25
Đặt
2 2

2 2
3 5 3 5 1
( 0)
2 2
x x x x
t t
t
− −
   
+ −
= > ⇒ =
   
   
   

0,25


VIIb




ta được bất phương trình:
1
2 0
t
t
+ − ≤
( )

2
1
0 1
t
t
t
−
⇔ ≤ ⇔ =
2
2 0
x x
⇒
− = ⇔
x=0
∨
x =
2
0,5

Hết
Chú ý : Các cách khác đúng cho điểm tương đương