phương pháp tọa độ trong không gian

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN PHẦN 2
1) Phương trình đường thẳng:
a) Đi qua điểm
0
( ; ; )
o o
M x y z
và có vectơ chỉ phương
1 2 3
( ; ; )u u u u=
r
:
Phương trình tham số:
1
2
3
o
o
o
x x u t
y y u t
z z u t
= +


= +


= +

Phương trình chính tắc

1 2 3
o o o
x x y y z z
u u u
− − −
= =
VD: Phương trình đường thẳng qua
( )
0; 1;2M −
, có vectơ chỉ phương
( )
3; 1;2u = −
r
là
3
1
2 2
x t
y t
z t
=


= − −


= +

hoặc viết dưới dạng chính tắc:
1 2

3 1 2
x y z+ −
= =
−
.
b) Đi qua 2 điểm phân biệt M, N:
Tính
MN
uuuur
. Đường thẳng qua M, N nhận
MN
uuuur
là một vectơ chỉ phương, chọn 1 trong 2
điểm M hoặc N rồi viết phương trình như phần a).
VD: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
( ) ( )
2; 1;0 , 1;2;1A B−
.
Giải:
( )
1;3;1AB = −
uuur
. Phương trình đường thẳng AB:
2
1 3
x t
y t
z t
= −



= − +


=


c) Đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng
α
:
Tính vectơ pháp tuyến
n
r
của mặt phẳng
α
. Đường thẳng qua M vuông góc với
α
nhận
n
r

là một vectơ chỉ phương. Viết phương trình như phần a.
VD: Viết phương trình đường thẳng qua
( )
2;1; 3I −
và vuông góc với mặt phẳng
( )
: 2 3 1 0x y
α
− + =

.
Giải: Đường thẳng qua
( )
2;1; 3I −
và vuông góc với mặt phẳng
( )
: 2 3 1 0x y
α
− + =
nhận
vectơ pháp tuyến
( )
2; 3;0−
của
( )
α
làm vectơ chỉ phương nên có phương trình
2 2
1 3
3
x t
y t
z
= +


= −


= −


d) Là giao tuyến của 2 mặt phẳng
,
α β
cắt nhau cho trước:
Có 3 cách
Cách 1: Tọa độ các điểm nằm trên giao tuyến thỏa
0
' ' ' ' 0
ax by cz d
a x b y c z d
+ + + =


+ + + =

Cho
z t=
, giải hệ phương trình để tính x và y theo t khi đó ta có ngay phương trình tham
số.
1
Cách 2: Xác định các vectơ pháp tuyến
,n n
α β
uur uur
. Tính
,n n
α β
 
 

uur uur
. Giao tuyến của
,
α β
nhận
,a n n
α β
 
=
 
r uur uur
là một vectơ chỉ phương. Tọa độ các điểm nằm trên giao tuyến thỏa
0
' ' ' ' 0
ax by cz d
a x b y c z d
+ + + =


+ + + =

Cho z = 0 tính x, y để tìm 1 điểm M thuộc giao tuyến. Viết phương trình như phần a).
Cách 3: Tìm 2 điểm trên giao tuyến từ hệ
0
' ' ' ' 0
ax by cz d
a x b y c z d
+ + + =



+ + + =

. Lập phương trình
đường thẳng qua 2 điểm đó.
VD: Viết phương trình giao tuyến của 2 mặt phẳng
( )
: 2 3 0x y z
α
+ − + =
,
( )
: 2 1 0x y z
β
− + + =
.
Giải:
C1: Tọa độ các điểm nằm trên giao tuyến thỏa
2 3 0
2 1 0
x y z
x y z
+ − + =


− + + =

. Đặt
z t
=
ta được

4
2 3
3 3
1 2 7 11
3 3
t
x
x y t
x y t
y t


= − −


+ = − +
 
⇒
 
− = − −
 
= − +




. Vậy phương trình giao tuyến là
4
3 3
7 11

3 3
t
x
y t
z t

= − −



= − +


=

C2: Chỉ nên dùng khi biết trước một giao điểm. Xem phần f.
C3: Tọa độ các điểm nằm trên giao tuyến thỏa
2 3 0
2 1 0
x y z
x y z
+ − + =


− + + =

. Cho
0x =
, ta giải được
7, 4y z= − = −

. Cho
2z
=
, ta giải được
2, 3x y= − =
. Hai điểm thuộc giao tuyến là
( )
0; 7; 4A − −
,
( )
2;3;2B −
,
( )
2;10;6AB = −
uuur
. Phương trình giao tuyến:
2
7 10
4 6
x t
y t
z t
= −


= − +


= − +


.
e) Đi qua điểm M và song song với 2 mặt phẳng
,
α β
cắt nhau cho trước:
Xác định các vectơ pháp tuyến
,n n
α β
uur uur
. Tính
,n n
α β
 
 
uur uur
. Đường thẳng qua M song song với
,
α β
có một vectơ chỉ phương là
,a n n
α β
 
=
 
r uur uur
. Viết phương trình như phần a).
VD: Viết phương trình đường thẳng qua
( )
4; 1;2A −
, song song với hai mặt phẳng

( )
: 2z 1 0x y
α
+ − + =
và
( )
: 2 3 0x y z
β
+ − + =
.
Giải: Các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là
( )
1;1; 2n
α
= −
uur
,
( )
2;1; 1n
β
= −
uur
.
2
( )
1 2 2 1 1 1
, ; ; 1; 3; 1
1 1 1 2 2 1
n n
α β

− −
 
 
= = − −
 ÷
 
− −
 
uur uur
. Đường thẳng qua
( )
4; 1;2A −
, song song
với hai mặt phẳng
,
α β
nhận
( )
, 1; 3; 1n n
α β
 
= − −
 
uur uur
làm một vectơ chỉ phương nên có
phương trình:
4
1 3
2
x t

y t
z t
= +


= − −


= −

.
f) Đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng chéo nhau d, d’ cho trước:
Xác định
M d∈
và một vectơ chỉ phương
u
r
của d. Tính
AM
uuuur
. Mặt phẳng (A,d) có vectơ
pháp tuyến
,n u AM
 
=
 
r r uuuur
.
Xác định
'M d∈

và một vectơ chỉ phương
'u
ur
của d’. Tính
'AM
uuuur
. Mặt phẳng (A,d’) có
vectơ pháp tuyến
' ', 'n u AM
 
=
 
ur ur uuuur
.
Tính
, 'n n
 
 
r ur
. Đường thẳng qua A cắt cả hai đường thẳng d, d’ chính là giao tuyến của 2
mặt phẳng (A,d) và (A,d’) nhận
, 'u n n
 
=
 
r r ur
là một vectơ chỉ phương. Viết phương trình
như phần a).
VD: Viết phương trình đường thẳng qua điểm
( )

2; 1;3A −
và cắt các đường thẳng
( )
1 2 3
:
2 1 2
x y z− + +
∆ = =
−
,
( )
4 1 1
' :
1 2 3
x y z+ − +
∆ = =
−
.
Giải:
( ) ( )
1; 2; 3 , ' 4;1; 1 'M M− − ∈∆ − − ∈∆
,
( ) ( )
1; 1; 6 , ' 6;2; 4AM AM= − − − = − −
uuuur uuuur
.
Các vectơ chỉ phương của
, '∆ ∆
lần lượt là
( ) ( )

2; 1;2 , ' 1;2; 3u u= − = −
r ur
.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
,A ∆
là
( )
, 8; 10;3n u AM
 
= = − −
 
r r uuuur
.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
, 'A ∆
là
( )
' ', ' 2; 22; 14n u AM
 
= = − −
 
ur ur uuuur
.
Đường thẳng
( )
d
qua A cắt cả hai đường thẳng
, '∆ ∆

chính là giao tuyến của hai mặt
phẳng
( )
,A ∆
và
( )
, 'A ∆
nên nhận
( )
, ' 206; 106;196u n n
 
= = −
 
r r ur
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình
( )
2 206
: 1 106
3 196
x t
d y t
z t
= +


= − −


= +


g) Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau d, d’:
Gọi
, 'A d B d∈ ∈
. Viết dạng A, B. Để AB là đường vuông góc chung của d và d’ thì
. 0
'. 0
u AB
u AB

=


=


r uuur
ur uuur
3
VD: Viết phương trình đường vuông góc chung của
( )
1 3 2
:
2 1 3
x y z− + +
∆ = =
,
( )
2 1
' : 3

2 3
x y
z
+ −
∆ = = +
.
Giải:
( )
2;1;3u =
r
là vectơ chỉ phương của d.
( )
2;3;1u =
r
là vectơ chỉ phương của d’.
Gọi
( )
1 2 ; 3 ; 2 3A t t t d+ − + − + ∈
;
( )
2 2 ';1 3 '; 3 'B t t t− + + − +
( )
3 2 2 ';4 3 '; 1 3 'AB t t t t t t= − − + − + − − +
uuur
. Để AB là đường vuông góc chung của d và d’
thì
. 0
'. 0
u AB
u AB


=


=


r uuur
ur uuur
h) Hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng
α
:
Nếu
d
α
⊥
thì hình chiếu của
d
lên
( )
α
chính là giao điểm của chúng. Ở đây ta chỉ xét
trường hợp d không vuông góc với
( )
α
.
Xác định điểm
M d∈
và một vectơ chỉ phương
u

r
của d, vectơ pháp tuyến
n
r
của mặt
phẳng
α
. Tính
' ,n n u
 
=
 
ur r r
. Viết phương trình mặt phẳng
β
chứa d vuông góc với
α
. Mặt
phẳng
β
đi qua M và nhận
'n
ur
là vectơ pháp tuyến.
Hình chiếu d’ của d chính là giao tuyến của
,
α β
. Dùng cách 1 trong xác định giao tuyến.
Trường hợp đặc biệt: M là giao điểm của d và
α

. Tính
,n u
 
 
r r
. Tính
, ,n u n
 
 
 
 
r r r
. Khi đó
hình chiếu d’ đi qua điểm M và nhận
, ,n u n
 
 
 
 
r r r
là vectơ chỉ phương.
VD: Cho đường thẳng
( )
3 1 2
:
2 3 1
x y z− + −
∆ = =
− −
và mặt phẳng

( )
: 2 3 0x y z
α
+ − + =
. Viết
phương trình hình chiếu của
( )
∆
lên
( )
α
.
Giải:
( )
3; 1;2M − ∈∆
, vectơ chỉ phương của
∆
là
( )
2; 3; 1u = − −
r
, vectơ pháp tuyến của
( )
α
là
( )
2;1; 1n = −
r
.
( ) ( )

, 4;0;8 4 2;0;1u n
 
= =
 
r r
. Mặt phẳng
( )
β
chứa
∆
vuông góc với
( )
α
đi qua
( )
3; 1;2M − ∈∆
nhận
( )
' 2;0;1n =
ur
làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình
( ) ( )
2 2 2 0 2 6 0x z x z− + − = ⇔ + − =
. Hình chiếu
( )
'∆
của
( )
∆
lên

( )
α
chính là giao
điểm của
( )
α
và
( )
β
.
Tọa độ các điểm thuộc
( )
'∆
thỏa
2 3 0
2 6 0
x y z
x z
+ − + =


+ − =

. Đặt
z t
=
, ta được
3
2
9 2

t
x
y t

= −



= − +

4
Phương trình
( )
'∆
:
3
2
9 2
t
x
y t
z t

= −



= − +

=



2) Viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua điểm
0
( ; ; )
o o
M x y z
và có vectơ pháp tuyến
( ; ; )n a b c=
r
:
( ) ( ) ( ) 0
o o o
a x x b y y c z z− + − + − =
b) Đi qua 3 điểm M, N, P không thẳng hàng:
Tính các vectơ
,MN MP
uuuur uuur
. Tính
,MN MP
 
 
uuuur uuur
. Mặt phẳng nhận
,n MN MP
 
=
 
r uuuur uuur

là một vectơ
pháp tuyến. Chọn 1 trong 3 điểm M, N, P để viết phương trình mặt phẳng như phần a).
c) Đi qua 2 điểm M, N và song song với đường thẳng d:
Tính
MN
uuuur
và vectơ chỉ phương
u
r
của đường thẳng d. Tính
,u MN
 
 
r uuuur
. Mặt phẳng nhận
,n u MN
 
=
 
r r uuuur
là một vectơ pháp tuyến. Chọn 1 trong 2 điểm M, N để viết phương trình mặt
phẳng như phần a).
VD: Viết phương trình mặt phẳng đi qua
( ) ( )
2; 3;1 , 1;2; 2A B− −
và song song với trục Ox.
Giải: Trục Ox có vectơ chỉ phương
( )
1;0;0i =
r

,
( )
1;5; 3AB = − −
uuur
. Mặt phẳng đi qua
( ) ( )
2; 3;1 , 1;2; 2A B− −
và song song với trục Ox nhận
( )
, 0; 3; 5n AB i
 
= = − −
 
r uuur r
là vectơ
pháp tuyến nên có phương trình:
( ) ( )
3 3 5 1 0 3 5 4 0y z y z− + − − = ⇔ + + =
.
d) Đi qua điểm
0
( ; ; )
o o
M x y z
và song song với mặt phẳng có phương trình
0ax by cz d+ + + =
:
( ) ( ) ( ) 0
o o o
a x x b y y c z z− + − + − =

e) Đi qua 2 điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng
α
:
Tính
MN
uuuur
và vectơ pháp tuyến
n
α
uur
. Tính
,MN n
α
 
 
uuuur uur
. Mặt phẳng qua 2 điểm M, N và vuông
góc với mặt phẳng
α
nhận
,n MN n
α
 
=
 
r uuuur uur
là một vectơ pháp tuyến. Chọn 1 trong 2 điểm
M, N để viết phương trình mặt phẳng như phần a).
f) Đi qua điểm M thuộc mặt cầu (I; R) và tiếp xúc với mặt cầu:
Viết phương trình mặt phẳng qua M và có vectơ pháp tuyến

n IM=
r uuur
.
g) Đi qua các điểm
( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )A a B b C c
trong đó
0abc ≠
:
1
x y z
a b c
+ + =
h) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB:
Tính
AB
uuur
và tọa độ trung điểm I của AB. Viết phương trình mặt phẳng qua I nhận
AB
uuur
là
vectơ pháp tuyến.
5
k) Mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi 2 mặt phẳng
0ax by cz d+ + + =
và
' ' ' ' 0a x b y c z d+ + + =
( hoặc tập hợp các điểm cách đều 2 mặt phẳng đó):
2 2 2 2 2 2
' ' ' '
' ' '

ax by cz d a x b y c z d
a b c a b c
+ + + + + +
= ±
+ + + +
l) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tâm I, bán kính R và song song với mặt phẳng
0ax by cz d+ + + =
:
Phương trình mặt phẳng
( )
α
cần tìm có dạng
' 0ax by cz d+ + + =
. Giải phương trình
( , )d I R
α
=
ta tìm được d’.
VD: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
( )
2 2 2
: 2 4 4 0S x y z x z+ + + − − =

và song song với mặt phẳng
( )
: 4 3 1 0x y
α
+ − =
.
Giải: Mặt cầu

( )
S
có tâm
( )
1;0;2I −
, bán kính
( )
2
2 2
1 0 2 4 3R = − + + + =
.
Mặt phẳng
( )
β
song song với
( )
α
có phương trình dạng
4 3 0x y c+ + =
.
Để
( )
β
tiếp xúc với
( )
S
thì
( )
( )
2 2

4. 1 3.0
, 3
4 3
c
d I R
β
− + +
= ⇔ =
+

4 15 19
4 15
4 15 11
c c
c
c c
− = =


⇔ − = ⇔ ⇔


− = − = −


Vậy có hai mặt phẳng thỏa là:
( )
1
: 4 3 19 0x y
β

+ + =
và
( )
2
: 4 3 11 0x y
β
+ − =
.
6