Phương pháp tọa độ trong không gian


01688559752
Tài liệu tham khảo - 50 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Phn V.
Phn V. Phn V.
Phn V. PHNG PHÁP TO+ Đ-
PHNG PHÁP TO+ Đ-PHNG PHÁP TO+ Đ-
PHNG PHÁP TO+ Đ-

TRONG KHÔNG GIAN
TRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIAN
TRONG KHÔNG GIAN



1. Hệ toạ độ Oxyz
Gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc nhau
có véctơ đơn vị lần lượt là:
, ,i j k

 

2. Toạ độ của điểm
a) Định nghĩa
( ; ; ) . . .
M M M M M M
M x y z OM x i y j z k⇔ = + +


 

b) Toạ độ của các điểm đặc biệt
 Trung điểm I của đoạn AB

 Trọng tâm G của tam giác ABC


2
2
2
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
z z
z


+

=






+


=




+

=





3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y

z z z
z


+ +

=





+ +


=




+ +

=





 Hình chiếu vuông góc của điểm
( ; ; )

M M M
M x y z
lên:

Trục Ox :
1
( ;0;0)
M
M x


mp
( )Oxy
:
12
( ; ;0)
M M
M x y


Trục Oy :
2
(0; ;0)
M
M y


mp
( )Oxz
:

13
( ;0; )
M M
M x z


Trục Oz :
3
(0; 0; )
M
M z


mp
( )Oyz
:
23
(0; ; )
M M
M y z

3. Toạ độ của véctơ
a) Định nghĩa:
1 2 3 1 2 3
( ; ; ) . . .a a a a a a i a j a k= ⇔ = + +

 
 

b) Công thức toạ độ của véctơ


Nếu
( ; ; ), ( ; ; )
A A A B B B
A x y z B x y z
thì
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −



Nếu
1 2 3
( ; ; )a a a a=

,
1 2 3
( ; ; )b b b b=

thì


1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b+ = + + +





1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b− = − − −





1 2 3
. ( ; ; )k a ka ka ka=

,
k ∈ ℝ

c) Điều kiện cùng phương của hai véctơ

Cho
1 2 3
( ; ; )a a a a=

,
1 2 3
( ; ; )b b b b=

và 0b ≠


. Khi đó,
a

cùng phương với

b


⇔
tồn tại số thực t sao cho
.a t b=




1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b


=



= ⇔ =



=







www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 51 - THPT Chu Văn An
4. Tích vô hướng của hai véctơ
a) Công thức: Nếu
1 2 3
1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
a a a a
b b b b


=




=





thì
1 1 2 2 3 3
. . . .a b a b a b a b= + +




b) Ứng dụng: 
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +



AB AB=




.
cos( , )
.
a b
a b
a b
=








. 0a b a b⊥ ⇔ =

 
 
, với
0
0
a
b


≠




≠








5. Tích có hướng của hai véctơ

a) Định nghĩa
Cho
1 2 3
1 2 3
( ; ; )

( ; ; )
a a a a
b b b b


=




=





. Khi đó, véctơ
[ ]
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
, ; ;
a a a a a a
a b
b b b b b b
 




= −








 
 

được gọi là tích có hướng của hai véctơ
a

và
b

.
b) Lưu ý: Nếu
[ , ]n a b=
 

thì
n a⊥
 
và
n b⊥


(giả sử
0, 0, 0a b n≠ ≠ ≠


  
 
)
c) Ứng dụng 1: Cho ba véctơ khác
0

lần lượt là
, ,a b c

 
. Khi đó,

a

và
b

cùng phương với nhau
[ , ] 0a b⇔ =





,a b


và
c


đồng phẳng với nhau
[ , ]. 0a b c⇔ =

 

 A,B,C thẳng hàng
[ , ] 0AB BC⇔ =
 


 A,B,C,D đồng phẳng
[ , ]. 0AB AC AD⇔ =
  

d) Ứng dụng 2: (tính diện tích)


 Diện tích hình bình hành ABCD
[ , ]
ABCD
S AB AD=
 

 Diện tích tam giác ABC:
ABC
S
∆
1
2

[ , ]AB AC=
 


e) Ứng dụng 3: (tính thể tích)
 Thể tích khối hình hộp
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′

[ , ].
hh
V AB AD AA
′
=
  

 Thể tích khối tứ diện ABCD:
ABCD
V =
1
6
[ , ].AB AC AD
  

www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 52 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài 1 : Trong hệ toạ độ

( , , , )O i j k

 
cho 2 3OA i j k= + −


 
,
4 3 2 , (2; 7;1)OB i j k BC= + − = −
 

 
và
(4;1; 7)A
′
−

a) Chứng minh rằng A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác vuông.
b) Chứng minh rằng
( )AA ABC
′
⊥

c) Tính thể tích khối tứ diện
A ABC
′
.
d) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′

Bài giải
Từ giả thiết ta có
(2;1; 3), (4; 3; 2), (6; 4; 1), (4;1; 7)A B C A
′
− − − − −

Câu a:
(2;2;1)
. 8 10 2 0
(4; 5;2)
AB
AB AC AB AC
AC


=


⇒ = − + = ⇒ ⊥


= −




 


 Vậy, ABC là tam giác vuông tại A
Câu b: Ta có,
(2; 0; 4)AA
′
= −

và
(2;2;1), (4; 5;2)AB AC= = −
 

 Do đó,
. 2.2 0.2 4.1 0
. 2.4 0.( 5) 4.2 0
AA AB
AA AC


′
= + − =




′
= + − − =



 
 

( )
AA AB
AA ABC
AA AC

′

⊥

′
⇒ ⇒ ⊥

′

⊥




Câu c:
2 2 2
2 2 2
2 2 1 3
4 ( 5) 2 3 5
AB
AC


= + + =





= + − + =



. 9 5
2 2
ABC
AB AC
S
∆
⇒ = =


2 2 2
2 0 ( 4) 2 5h AA
′
= = + + − =
 Vậy,
9 5.2 5
1 1
3 3 3.2
. 15
A ABC ABC
V h S AA
′
∆

′
= = = =B.

Câu d: ABCD là hình bình hành
AD BC⇔ =
 

2 2 4
1 7 6. (4; 6; 2)
3 1 2
D D
D D
D D
x x
y y D
z z
 
 
− = =
 
 
 
⇔ − = − ⇔ = − − −
 
 
 
+ = = −
 
 
 

 Tương tự,
(6; 3; 6)B
′
−
,
(6; 6; 6)D
′
− −
,
(8; 4; 5)C
′
− −


www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 53 - THPT Chu Văn An
BÀI TẬP VỀ TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM, TOẠ ĐỘ CỦA VÉCTƠ
Bài 2 : Trong hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm
(2; 0; 1), (3;2; 3), ( 1;1;1)A B C− −

a) Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Xác định toạ độ đỉnh D và tâm I của hình bình hành ABCD.
c) Tìm toạ độ điểm M sao cho
2AM OB AC= −
  

Bài 3
: Trong hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm
(2;2; 1), (2;1;0), (1;1; 1)A B C− −

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.
b) Cho điểm
(4; 0; 3)A
′
−
. Xác định toạ độ các điểm
B
′
và
C
′
để
.ABC A B C
′ ′ ′
là một hình lăng trụ.
c) Chứng minh rằng
.ABC A B C
′ ′ ′
là một lăng trụ đều.
Bài 4
: Trong hệ toạ độ
( , , , )O i j k

 
cho
3 2 3OM i j k= − +


 

và A,B,C lần
lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục toạ độ Ox,Oy,Oz.
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.
b) Tính thể tích tứ diện OABC, từ đó tính khoảng cách từ gốc toạ
độ đến mặt phẳng
( )ABC

Bài 5 : Trong hệ toạ độ ( , , , )O i j k

 
cho
3 2 3ON i j k= − +


 
và A,B,C lần
lượt là hình chiếu vuông góc của điểm N lên các mặt phẳng toạ độ
Oxy, Oyz, Oxz.
a) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích của tứ diện NABC.
b) Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng
( )ABC

Bài 6
: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, chứng minh rằng
(0;0;0)O
,
A(0;1;2),B(2;3;1),C(2;2;–1) là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.
Bài 7
: Trong hệ toạ độ
( , , , )O i j k


 
cho tứ diện ABCD sao cho
(2; 4; 1), 4 , (2; 4; 3), (0; 2; 0)A OB i j k C AD− = + − = −
 

 

a) Chứng minh rằng AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau.
b) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.
Bài 8
: Trong hệ toạ độ Oxyz

cho
(2;1; 3), (4; 3; 2), (6; 4; 1)A B C− − − −

a) Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác vuông.
b) Tìm toạ độ điểm D để A,B,C,D là 4 đỉnh của một hình chữ nhật
Bài 9
: Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
biết
rằng
(2; 4; 1), (1;4; 1), (2;4; 3), (2;2; 1)A B C OA
′
− − = −


Bài 10

:Tìm điểm N trên Oy cách đều hai điểm
(3;1; 0)A
và
( 2; 4;1)B
−

Bài 11 :Tìm điểm M trên mặt phẳng
( )Oxz
cách đều ba điểm
(1;1;1)A
,
( 1;1;0)B
−
và
(3;1; 1)C
−

www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 54 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
6. Phương trình mặt cầu
a) Dạng 1: mặt cầu ( )S tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình:
( ) ( )
2 2 2 2
( – ) – –x a y b z c R+ + =

b) Dạng 2: với điều kiện
2 2 2
0a b c d+ + − >

thì
2 2 2
– 2 – 2 – 2 0x y z ax by cz d+ + + =

là phương trình mặt cầu  Tâm I(a;b;c)
 Bán kính
2 2 2
R a b c d= + + −

c) Lưu ý: mặt cầu
( , )S I R
tiếp xúc với mặt phẳng
( )
α
( , )d I R
α⇔ =
7. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
a) Công thức: Nếu mặt phẳng
( )P
đi qua điểm
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
và có véctơ
pháp tuyến
( ; ; ) 0n A B C= ≠


thì
( )P
có phương trình tổng quát là:

0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =

b) Lưu ý về cách xác định véctơ pháp tuyến (vtpt) cho mặt phẳng:
☺ Nếu
( )P AB⊥
thì
( )P
nhận
n AB=


làm véctơ pháp tuyến.
☺ Nếu
a

và
b

là hai véctơ không cùng phương, có giá song song hoặc
chứa trong
( )P
thì
( )P
nhận
[ , ]n a b=

 
làm véctơ pháp tuyến.
☺ Cho trước

( ) : 0Q Ax By Cz D+ + + =
. Nếu
( )€( )P Q
thì
( )P
có
phương trình dạng
0Ax By Cz D
′
+ + + =
(với
D D
′
≠
)


☺ Mặt phẳng
( ) : 0P Ax By Cz D+ + + =
có vtpt
( ; ; )n A B C=


c) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Mặt phẳng
( )P
đi qua ba điểm phân biệt
( ; 0;0)A a
,
(0; ; 0), (0; 0; )B b C c

có phương trình

1
x y z
a b c
+ + =

d) Khoảng cách từ điểm M
o
đến mặt phẳng (P)

0 0 0
2 2 2
0
( ,( ))
Ax By Cz D
A B C
d M P
+ + +
+ +
=

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 55 - THPT Chu Văn An
8. Phương trình của đường thẳng

Cho đường thẳng d đi qua điểm
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
và có vtcp ( ; ; )u a b c=



a) Phương trình tham số của d:

0
0
0
( )
x x at
y y bt t
z z ct


= +



= + ∈



= +



ℝ

b) Phương trình chính tắc của d:
0 0 0
x x y y z z

a b c
− − −
= =

(giả sử a,b,c đều khác 0)
c) Cách xác định véctơ chỉ phương (vtcp) cho đường thẳng d
☺ d đi qua 2 điểm A và B phân biệt thì d có vtcp
u AB=



☺ Cho đường thẳng
∆
có vtcp
u
∆

. Nếu
€d ∆
thì d có vtcp
u u
∆
=
 



☺ Cho mặt phẳng
( )P
có vtpt

P
n

. Nếu d ⊥(P) thì d có vtcp
P
u n=
 

☺ Cho hai véctơ không cùng phương
a

và
b

. Nếu d vuông góc với giá
của 2 véctơ
a

và
b

thì d có vtcp
[ , ]u a b=

 



☺ Cho đường thẳng
∆

có vtcp
u
∆

và mặt phẳng
( )P
có vtpt
P
n

. Nếu
d song song với
( )P
và vuông góc với
∆
thì d có vtcp
[ ],
P
u n u
∆
=
  


☺ Cho hai mặt phẳng
( )P
và
( )Q
lần lượt có vtpt
P

n

và
Q
n

.
Nếu d là giao tuyến của
( )
P và
( )
Q thì d có vtcp [ ],
P Q
u n n=
  

☺ Cho hai đường thẳng
1
d và
2
d lần lượt có vtcp
1
u

và
2
u

không
cùng phương. Nếu d vuông góc với cả hai đường thẳng

1
d
và
2
d
thì
d có vtcp
1 2
[ , ]u u u=
  

www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 56 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài 12 : Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2; –6) và ( ) : 2 2 1 0P x y z− + + =
a) Viết phương trình mặt cầu tâm B, đi qua A
b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC.
c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc với mặt phẳng ( )P
d) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bài giải
Câu a: Gọi
1
( )S
là mặt cầu tâm B(2;1;2) và đi qua điểm A. Khi đó
1
( )S

có bán kính

1
R AB=

 Ta có
2 2 2
(1; 2;1) 1 ( 2) 1 6AB AB= − ⇒ = + − + =



1
( )S
có phương trình
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 6x y z− + − + − =

Câu b: Gọi
2
( )S
là mặt cầu đường kính BC thì
2
( )S
có tâm
(1 2)
3
2
; ;I −
là
trung điểm của đoạn thẳng BC và bán kính
2
BC

R =

và
2 2 2
( 2;1; 8) ( 2) 1 ( 8) 69BC BC= − − ⇒ = − + + − =


nên
69
2 2
BC
R = =

 Phương trình mặt cầu
2
( )S
là
2 2 2
3 69
2 4
( 1) ( ) ( 2)x y z− + − + + =

Câu c: Gọi
3
( )S
là mặt cầu tâm C(0;2;–6), tiếp xúc với
( )P
. Khi đó
3
( )S

có bán kính
3
( ,( ))R d C P=
2 2 2
0 2.2 2( 6) 1
15
3
1 ( 2) 2
5
− + − +
+ − +
= = =


3
( )S
có phương trình:
2 2 2
( 2) ( 6) 25x y z+ − + + =

Câu d:  Giả sử
2 2 2
4
( ) : 2 2 2 0S x y z ax by cx d+ + − − − + =
là mặt cầu
đi qua O(0;0;0),A(1;3;1),B(2;1;2),C(0;2; –6) thì d = 0 và
9
2
13

10
29
10
11 2 6 2 0 2 6 2 11
9 4 2 4 0 4 2 4 9
40 4 12 0 4 12 40
a
a b c a b c
a b c a b c b
b c b c
c

 

 
=
− − − = + + =

 

 

 
− − − = ⇔ + + = ⇔ =

 

 

 

− + = − =
= −

 

 
 


Mà
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
9 13 29
2 10 10
0a b c d+ + − = + + − >
nên phương trình của
mặt cầu
4
( )S
cần tìm là
2 2 2
9x y z x+ + − −
13 29
5 5
0y x+ =

www.VNMATH.com