Chương I Bài 2: Cực trị của hàm số

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D ( D Ì ¡ ) và x0 Ỵ D.
a) x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một
khoảng ( a;b) chứa điểm x0 sao cho ( a;b) Ì D và
f ( x) < f ( x0 ) với mọi x Ỵ ( a;b) \ { x0 } .
Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .
b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một
khoảng ( a;b) chứa điểm x0 sao cho ( a;b) Ì D và
f ( x) > f ( x0 ) với mọi x Ỵ ( a;b) \ { x0 } .
Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.

CHÚ Ý
· Giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x0 ) của hàm số f nói chung khơng phải
là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D ; f ( x0 ) chỉ
là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng ( a;b) nào đó
chứa điểm chứa x0.

5


· Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm

số f đạt cực trị tại điểm x0 và điểm có tọa độ

( x0; f ( x0 ) )

được gọi là

điểm cực trị của đồ thị hàm số f .
· Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f ( x) có đạo hàm
trên khoảng ( a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f ¢( x0 ) = 0.
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
ĐỊNH LÍ 1
Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm Khi đó, nếu có đạo hàm tại
thì
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
ĐỊNH LÍ 2

Giả sử hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo
hàm trên các khoảng và Khi đó
a) Nếu với mọi và với mọi thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
b) Nếu với mọi và với mọi thì hàm số đạt cực đại tại điểm

ĐỊNH LÍ 3
Giả sử hàm số có đạo hàm cấp một trên khoảng chứa điểm
và có đạo hàm cấp hai khác tại điểm
a) Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm
b) Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm

4. Quy tắc tìm cực trị
QUY TẮC 1
1. Tìm tập xác định. Tính f ¢( x) .
2. Tìm các điểm tại đó f ¢( x) bằng 0 hoặc f ¢( x) khơng xác định.
3. Lập bảng biến thiên
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
1
4
Ví dụ: Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số f ( x) = x3 - x2 - 3x + .

3
3
Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên ¡ .
2
Ta có f ¢( x) = x - 2x - 3;

6


f ¢( x) = 0 Û x = - 1 hoặc x = 3.
Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x = - 1, giá trị cực đại của hàm số là
f ( - 1) = 3;
hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3, giá trị cực tiểu của hàm số là
f ( 3) = -

23
.
3

QUY TẮC 2
1. Tìm tập xác định. Tính f ¢( x) .
2. Tìm các nghiệm xi ( i = 1,2,3...) của phương trình f ¢( x) = 0.
3. Tìm f ¢¢( x) và tính f ¢¢( xi ) .
Nếu f ¢¢( xi ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi .
Nếu f ¢¢( xi ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi .
1
4
Ví dụ: Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số f ( x) = x3 - x2 - 3x + .

3
3
Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên ¡ .
2
Ta có f ¢( x) = x - 2x - 3;

f ¢( x) = 0 Û x = - 1 hoặc x = 3;
f ¢¢( x) = 2x - 2.
Vì f ¢¢( - 1) = - 4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = - 1, f ( - 1) = 3.
Vì f ¢¢( 3) = 4 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3, f ( 3) = -

23
.
3

Dạng 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( a;b) .
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu f ( x) đồng biến trên ( a;b) thì hàm số khơng có cực trị trên ( a;b) .
7


B. Nếu f ( x) nghịch biến trên ( a;b) thì hàm số khơng có cực trị trên ( a;b) .
C. Nếu f ( x) đạt cực trị tại điểm x0 Ỵ ( a;b) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) song song hoặc trùng với trục hoành.
D. Nếu f ( x) đạt cực đại tại x0 Ỵ ( a;b) thì f ( x) đồng biến trên ( a; x0 ) và
nghịch biến trên ( x0 ;b) .
Lời giải. Các mệnh đề A, B, C đều đúng theo định nghĩa trong SGK.
Xét mệnh đề D. Vì mệnh đề này chưa chỉ rõ ngồi x0 Ỵ ( a;b) là cực đại của
f ( x) thì cịn có cực trị nào khác nữa hay khơng. Nếu có thêm điểm cực đại

(hoặc cực tiểu khác) thì tính đơn điệu của hàm sẽ bị thay đổi theo.
4
2
Ví dụ: Xét hàm số f ( x) = x - 2x . Ta có f ( x) đạt cực đại tại x0 = 0 Ỵ ( - 2;2) ,
nhưng f ( x) không đồng biến trên ( - 2;0) và cũng không nghịch biến trên

( 0;2) . Chọn D.
Câu 2. Cho khoảng ( a;b) chứa điểm x0, hàm số f ( x) có đạo hàm trên khoảng

( a;b) (có thể trừ điểm x0 ). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu f ( x) khơng có đạo hàm tại x0 thì f ( x) khơng đạt cực trị tại x0.
B. Nếu f ¢( x0 ) = 0 thì f ( x) đạt cực trị tại điểm x0 .
C. Nếu f ¢( x0 ) = 0 và f ¢¢( x0 ) = 0 thì f ( x) khơng đạt cực trị tại điểm x0.
D. Nếu f ¢( x0 ) = 0 v f ÂÂ( x0 ) ạ 0 thì f ( x) đạt cực trị tại điểm x0.
Lời giải. Chọn D
A sai, ví dụ hàm
x = 0.
B thiếu điều kiện

(theo định lí SGK). Các mệnh đề cịn lại sai vì:
y = x khơng có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực tiểu tại

f ¢( x) đổi dấu khi qua x0.
ïìï f ¢( 0) = 0
C sai, ví dụ hàm y = x4 có í
nhưng x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.
ïï f ¢¢( 0) = 0
ỵ
Câu 3. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và x0 Ỵ K .
Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu x0 là điểm cực đại của hàm số y = f ( x) thì f ¢¢( x0 ) < 0.
B. Nếu f ¢¢( x0 ) = 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số y = f ( x) .
C. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y = f ( x) thì f ¢( x0 ) = 0.
D. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y = f ( x) thì f ÂÂ( x0 ) ạ 0.
Li gii. Chn C. Cỏc mệnh đề cịn lại sai vì:
A sai, vì theo định lí SGK khơng có chiều ngược lại. Có thể lấy ví dụ cho hàm
y = x4.
B sai, lấy phản ví dụ. Cụ thể hàm y = x3.
ìï f ¢( 0) = 0
ï
D sai, ví dụ hàm y = x4 có í
nhưng x = 0 là điểm cực tiểu của hàm s.
ùù f ÂÂ( 0) = 0
ợ
8


Câu 4. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp hai trên ¡ . Trong các mệnh đề sau
đây, có bao nhiêu mệnh đề sai?
i) Nếu f ¢( x0 ) = 0 và f ¢¢( x0 ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
ii) Nếu f ¢( x0 ) = 0 và f ¢¢( x0 ) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số.
iii) Nếu f ¢( x0 ) = 0 và f ¢¢( x0 ) = 0 thì x0 khơng là điểm cực trị của hàm số.
iv) Nếu f ¢( x0 ) = 0 và f ¢¢( x0 ) = 0 thì chưa kết luận được x0 có là điểm cực trị
của hàm số.
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải. Các khẳng định i), ii) và iv) là đúng; khẳng định iii) là sai. Chọn B.
Câu 5. (ĐHSP Hà Nội lần 4, năm 2018-2019) Cho hàm số f ( x) có đạo

hàm cấp hai trên ¡ . Trong các mệnh đề sau có bao nhiêu mệnh đề đúng?
ïìï f ¢( x0 ) = 0
.
i) Nếu hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại x = x0 thì í
ïï f ¢¢( x0 ) > 0
ợ
ùỡù f Â( x0 ) = 0
.
ii) Nếu hàm số f ( x) đạt cực đại tại x = x0 thì í
ïï f ¢¢( x0 ) < 0
ợ
iii) Nu f ÂÂ( x0 ) = 0 thỡ hm số f ( x) không đạt cực trị tại x = x0.
A. 0.
B. 1.
Lời giải. Xét hàm số

C. 2.
D. 3.
f ( x) = x4. TXĐ: D = ¡ . Đạo hàm: f ¢( x) = 4x3 và

f ¢¢( x) = 12x2.
ìï f ¢( x) < 0 khi x < 0
4
Ta có f ¢( x) = 0 Û x = 0 và ïí
nên hàm số f ( x) = x đạt cc
ùù f Â( x) > 0 khi x > 0
ợ
tiu tại x = 0 nhưng f ¢¢( 0) = 0. Do đó i) và iii) đều sai.
4
® ii) sai. Chọn A.

Tương tự, xét hàm số f ( x) = - x ¾¾

Dạng 2. ĐỒ THỊ HÀM f ( x)
Câu 6. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2017-2018] Cho hàm số
y = ax3 + bx2 + cx + d ( a, b, c, d Ỵ ¡ ) có đồ thị như hình
vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải. Chọn C.

9


Câu 7. [ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho
hàm số f ( x) xác định, liên tục trên đoạn [- 2;2]
và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.
Hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
A. x = - 2.
C. x = 1.

B. x = - 1.
D. x = 2.

Lời giải. Chọn B.
Câu 8. Cho hàm số bậc ba f ( x) có đồ thị như hình
vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng - 1.
B. Điểm cực tiểu của hàm số là - 1.

C. Điểm cực đại của hàm số là 3.
D. Giá trị cực đại của hàm số bằng 0.
Lời giải. Chọn A.
Câu 9. [ĐHSP Hà Nội lần 3, năm 2018-2019] Cho
hàm số f ( x) liên tục trên  và có đồ thị như hình bên.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1, yCT = 0.
B. Hàm số khơng có điểm cực tiểu.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 4.
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCÑ = 0.
Lời giải. Chọn A.
Câu 10. Cho hàm số f ( x) liên tục trên [- 1;3] và có
đồ thị hàm số như hình bên. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, cực đại tại x = 2.
B. Hàm số có hai điểm cực tiểu là x = 0, x = 3.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, cực đại tại
x = - 1.
D. Hàm số có hai điểm cực đại là x = - 1, x = 2.
Lời giải. Chọn A.
Câu 11. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017] Cho hàm
trùng phương y = ax4 + bx2 + c có đồ thị như hình bên.
Phương trình y¢= 0 có bao nhiêu nghiệm trên tập số
thực?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải. Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có ba im cc tr ắắ
đ

Â
phng trỡnh y = 0 cú ỳng ba nghiệm thực phân biệt. Chọn D.
10


Câu 12. Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡ và có
đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu
điểm cực trị?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải. Dễ nhận thấy hàm số có một điểm cực trị là điểm cực tiểu tại x = 1.
æ 1 1ư
- ; ÷
÷
Xét hàm số f ( x) trên khoảng ç
ç
÷, ta có f ( x) < f ( 0) vi mi
ỗ
ố 2 2ứ
ổ1 ử
ử
1ữ
ữẩ ổ
ỗ
xẻ ỗ
- ;0ữ
0; ữ
.

ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ 2 ứ ố
ỗ 2ứ
ố
Suy ra x = 0 l im cc đại của hàm số. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn
C.
Chú ý: Tại x = 0 hàm số khơng có đạo hàm nhưng vẫn đạt cực đại tại đó.
Câu 13. [Đại học Vinh lần 3, năm 20182019] Cho hàm số f ( x) có đồ thị như hình vẽ.
Trên đoạn [- 1;3] hàm số đã cho có bao nhiêu
điểm cực trị?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. Hàm số có điểm cực đại x = 0, điểm cực tiểu x = 2. Chọn B.
Câu 14. Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡ và
có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao
nhiêu điểm cực trị?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải. Chọn D.
Câu 15. Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡ và có đồ
thị như hình bên. Hỏi hàm số có bao nhiêu giá trị
cực trị?
A. 2.

B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải. Hàm số có 3 giá trị cực trị là: - 2, - 1, 0. Chọn B.

11


Câu 16. Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị như
hình vẽ. Hỏi hàm số y = f ( x) có bao nhiêu giá trị cực
trị?
A. 2.
C. 4.

B. 3.
D. 5.

Lời giải. ĐTHS y = f ( x) suy ra từ ĐTHS y = f ( x) bằng
cách:
· Giữ nguyên đồ thị hàm số y = f ( x) phần phía trên trục
hồnh;
· Đồ thị hàm số y = f ( x) phần phía dưới trục hoành ta lấy
đối xứng qua trục hoành.
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x) , ta thấy có 3 giá trị cực trị. Chọn B.
Chú ý: Nếu đề bài hỏi điểm cực trị thì ta kết luận có 5 điểm cực trị.
Câu 17. Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục trên
đoạn [- 6;6] và có đồ thị là đường cong trong hình
vẽ bên. Hỏi trên đoạn [- 6;6] hàm số y = f ( x ) có
bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4.

C. 6.

B. 5.
D. 7.

Lời giải. ĐTHS y = f ( x ) được suy ra từ ĐTHS
y = f ( x) bằng cách:
· Giữ nguyên đồ thị hàm số y = f ( x) phần bên
phải trục tung (xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái
trục tung);
· Lấy đối xứng phần vừa giữ trên qua trục tung.
Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) , ta thấy có 4 điểm cực trị. Chọn A.

Dạng 3. BẢNG BIẾN THIÊN
Câu 18. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018-2019] Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên
sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm
12


A. x = - 3.
B. x = - 1.
Lời giải. Chọn B.

C. x = 1.

D. x = 2.

Câu 19. [ĐỀ THAM KHẢO 2017-2018] Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên

sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm
A. x = 0.
B. x = 1.
Lời giải. Chọn C.

C. x = 2.

D. x = 5.

Câu 20. [ĐỀ THAM KHẢO 2018-2019] Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên
sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Lời giải. Chọn D.

D. 5.

Câu 21. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên
sau:

Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số có hai điểm cực tiểu.
C. Hàm số có ba điểm cực trị.
Lời giải. Chọn B.

B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0.
D. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3.

Câu 22. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau:

13


Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số có ba giá trị cực trị.
B. Hàm số có ba điểm cực trị.
C. Hàm số có hai điểm cực trị.
D. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1.
Lời giải. Chọn B. Dựa vào đồ thị hàm số, ta có các nhận xét sau:
· Hàm số có ba điểm cực trị, gồm các điểm x = - 1, x = 1, x = 0 vì đạo hàm y¢
đổi dấu đi qua các điểm đó.
· Hàm số đạt cực đại tại x = 0, đạt cực tiểu tại x = ±1.
(đáp án A sai vì hàm số chỉ có hai giá trị cực trị là yCD = - 3 và yCT = - 4. Nếu
nói đến đồ thị hàm số thì khi đó mới có ba điểm cực trị là
A ( 0;- 3) , B ( - 1;4) , C ( 1;- 4) . )
Câu 23. [Đại học Vinh lần 2, năm 2018-2019] Cho hàm số f ( x) có tập
xác định ( - ¥ ;2] và bảng biến thiên như hình sau:

Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số có hai điểm cực tiểu.
C. Giá trị cực tiểu bằng - 1.
Lời giải. Chọn A.

B. Hàm số có hai điểm cực đại.
D. Giá trị cực đại bằng 2.

Câu 24. Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡
sau:

và có bảng xét dấu đạo hàm như

Hỏi hàm số f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
¢
f
x
( ) đổi dấu khi qua x = - 3 và x = 2 nên hàm số có 2
Lời giải. Nhận thấy
điểm cực trị. ( x = 1 không là điểm cực trị vì f ¢( x) khơng đổi dấu khi qua x = 1).
Chọn C.

14


Câu 25. [Đại học Vinh lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số f ( x) liên tục
trên đoạn [- 3;3] và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đạt cực tiểu tại x = 0.
B. Đạt cực tiểu tại x = 1.
C. Đạt cực đại tại x = - 1.
D. Đạt cực đại tại x = 2.

Lời giải. · f ¢( x) đổi dấu từ ''+ '' sang ''- '' khi qua x = - 1 và x = 2 nên đạt
cực đại tại hai điểm này.
· f ¢( x) đổi dấu từ ''- '' sang ''+ '' khi qua x = 1 nên đạt cực tiểu tại điểm này.
·

f ¢( x) khơng đổi dấu khi qua x = 0 nên không đạt cực trị tại điểm này. Chọn

A.
Câu 26. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ¡ \ { x2 } và có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
B. Hàm số có một điểm cực đại, khơng có điểm cực tiểu.
C. Hàm số có một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.
D. Hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.
Lời giải. · Tại x = x2, hàm số y = f ( x) không xác định nên không đạt cực trị
tại điểm này.
· Tại x = x1, hàm số đạt cực đại tại điểm này.
· Tại x = x0, hàm số không có đạo hàm tại x0 nhưng liên tục tại x0 nên hàm
số đạt cực trị tại x0 và theo bảng biến thiên thì x0 là cực tiểu.
Vậy hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu. Chọn D.
Câu 27. Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên ¡ \ { x1} , có bảng biến
thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
15


A. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và khơng có điểm cực đại.
B. Hàm số đã cho khơng có cực trị.

C. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
D. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và khơng có điểm cực tiểu.
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
· f ¢( x) đổi dấu từ "+ " sang "- " khi đi qua điểm x1 nhưng tại x1 hàm số
f ( x) không xác định nên x1 không phải là điểm cực đại.
·

f ¢( x) đổi dấu từ "- " sang "+ " khi đi qua điểm x2 suy ra x2 là điểm cực tiểu

của hàm số. Chọn A.
Câu 28. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số
y = f ( x) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất và đồ thị
hàm số y = f ( x) có hai điểm cực trị (hình vẽ).
Suy ra đồ thị hàm số y = f ( x) có 3 điểm cực trị. Chọn
B.
Câu 29*. [KHTN lần 2, năm 2018-2019] Cho hàm số f ( x) có bảng biến
thiên như hình dưới đây

Biết f ( 0) > 0. Hỏi hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5.

B. 7.

C. 9.

16

D. 11.


Lời giải. Từ bảng biến thiên của hàm số f ( x) , ta có
thể vẽ phát họa đồ thị hàm số f ( x) như hình bên, mục
đích để làm trắc nghiệm cho nhanh.
Từ đồ thị hàm số f ( x) , suy ra đồ thị hàm số f ( x )
trước và tiếp tục suy ra đồ thị hàm số f ( x ) . Chọn C.
Chú ý: Nếu đề cho f ( 0) < 0 thì ta chọn đáp án D.

Câu 30*. [Đại học Vinh lần 1, năm 2018-2019] Cho hàm số y = f ( x) có
bảng biến thiên như hình vẽ

Hàm số g( x) = f ( 2x) đạt cực đại tại
A. x = - 2.

B. x = - 1.

1
C. x = .
2

D. x = 1.

ộ2x = - 1
ờ

đờ
Li gii. Ta cú gÂ( x) = 2 f ¢( 2x) ; g¢( x) = 0 Û f Â( 2x) = 0 ắắắ
ờ2x = 0
ờ2x = 2
ë
Bảng biến thiên
BBT

éx = - 0,5
ê
êx = 0 .
ê
êx = 1
ë

1
và tại x = 1. Chọn D.
2
Nhận xét: 1) Đây là bài toán thuộc dạng VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO. Khi
gặp những bài hàm hợp như thế này thì ta đi tính đạo hàm và lập BBT cho
hàm hợp. Sau đó dựa vào BBT để kết luận.
2) Cách xét dấu g¢( x) như sau:
Dựa vào BTT, ta thấy hàm số g( x) đạt cực đại tại x = -

· Trước tiên tìm nghiệm của g¢( x) = 0 và xác định rõ từng nghiệm là nghiệm
bội lẻ (qua nghiệm đổi dấu) hay nghiệm bội chẵn (qua nghiệm không đổi dấu).

17

· Sau đó ta áp dụng xét dấu nhanh. Cụ thể trong bài tốn trên ta xét trên
khoảng ( 1;+¥ ) , chn x = 2 ẻ ( 1;+Ơ ) . Ta cần tính g¢( 2) mang dấu ''+ '' hay ''- ''.

Ta có g¢( 2) = 2 f ¢( 4) , mà f ¢( 4) < 0 (vì BBT cho trong đề bài chứng tỏ f ( x)
nghịch biến trờn ( 2;+Ơ ) ). Do ú gÂ( 2) < 0.

Câu 31. Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên
sau:

Hàm số g( x) = 3 f ( x) +1 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
A. x = - 1.
B. x = 1.
C. x = ±1.
D. x = 0.
Lời giải. Ta có g¢( x) = 3 f ¢( x) .
Do đó điểm cực tiểu của hàm số g( x) trùng với điểm cực tiểu của hàm số
f ( x) .
Vậy điểm cực tiểu của hàm số g( x) là x = ±1. Chọn C.
Câu 32. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số g( x) = f ( 3- x) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2.
B. 3.
C. 5.
¢
¢
g
x
=
f

3
x
.
(
)
Lời giải. Ta có ( )
é3- x = 0 éx = 3
theo BBT
· g¢( x) = 0 Û f ¢( 3- x) = 0ơắ
ắắ
đờ
ờ
.
ờ
ở3- x = 2 ờ
ởx = 1
à gÂ( x) không xác định Û 3- x = 1 Û x = 2.
Bảng biến thiên

18

D. 6.


Vậy hàm số g( x) = f ( 3- x) có 3 điểm cực trị. Chọn B.

Dạng 4. TÌM ĐIỂM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU CỦA HÀM SỐ
Câu 33. Tìm các điểm cực trị x0 của hàm số y = x3 - 5x2 + 3x +1.
1
10

A. x0 = - 3 và x0 = - .
B. x0 = 0 và x0 = .
3
3
10
1
.
C. x0 = 0 và x0 = D. x0 = 3 và x0 = .
3
3
éx = 3
ê
2
2
Lời giải. Ta có y¢= 3x - 10x + 3; y¢= 0 Û 3x - 10x + 3 = 0 Û ê 1. Chọn D.
êx =
ê
ë 3
Câu 34. Tìm các điểm cực trị của đồ thị của hàm số y = x3 - 3x2.
A. ( 0;0) và ( 1;- 2) .

B. ( 0;0) và ( 2;4) .

C. ( 0;0) và ( 2;- 4) .

D. ( 0;0) và ( - 2;- 4) .
éx = 0 ® y( 0) = 0
2
Lời giải. Ta có y¢= 3x - 6x = 3x( x - 2) ; y¢= 0 Û ê
êx = 2 ® y 2 = - 4. Chọn C.

( )
ê
ë
Câu 35. Tìm điểm cực đại x0 của hàm số y = x3 - 3x +1.
A. x0 = - 1.
B. x0 = 0.
C. x0 = 1.

D. x0 = 3.

Lời giải. Ta có y¢= 3x - 3 = 3( x - 1) ; y¢= 0 Û x = ±1.
2

2

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1. Chọn A.
Câu 36. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Giá trị cực đại của hàm số
y = x3 - 3x + 2 bằng
19


A. - 1.
B. 0.
C. 1.
Lời giải. Ta có y¢= 3x2 - 3 = 0; y¢= 0 Û x = ±1.
Bảng biến thiên

D. 4.

Vậy giá trị cực đại của hàm số bằng 4. Chọn D.
2

Câu 37. Cho hàm số f ( x) = ( x2 - 3) . Giá trị cực i ca hm s f Â( x) bng
1
.
C. 8.
D. 9.
2
4
2
đ f ¢( x) = 4x3 - 12x = g( x) .
Lời giải. Ta có f ( x) = x - 6x + 9 ¾¾

A. - 8.

B.

3
Bài tốn u cầu tìm giá trị cực đại của hàm g( x) = 4x - 12x.
2
Đạo hàm g¢( x) = 12x - 12; g¢( x) = 0 Û x = ±1.

Vẽ BBT, ta thấy g( x) đạt cực đại tại x = - 1, giá trị cực đại bằng 8. Chọn C.
Nhận xét. Rất nhiều học sinh đọc đề khơng kỹ đi tìm giá trị cực đại của hàm số
f ( x) và dẫn tới chọn đáp án D.
Câu 38. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 - 9x +1 có
hai cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ?
A. M ( 0;- 1) .

B. N ( 1;- 10) .
C. P ( 1;0) .
D. Q( - 1;10) .
éx = - 1Þ y( - 1) = 6
2
Lời giải. Ta có y¢= 3x - 6x - 9; yÂ= 0 ờ
ờx = 3 ị y 3 =- 26 .
( )
ê
ë
Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là A ( - 1;6) và B ( 3;- 26) .
Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB có
phương trình d : y = - 8x - 2. Suy ra N ( 1;- 10) Ỵ d. Chọn B.
Cách 2. Lấy y chia cho y¢, ta được phần dư là y = - 8x - 2. Đây chính là
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Câu 39. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Tìm giá trị thực của tham số m để
đường thẳng d : y = ( 2m- 1) x + 3+ m vng góc với đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 +1.
3
1
B. m= .
C. m= .
2
4
Lời
Xét
hàm
éx = 0 ® y( 0) = 1
yÂ= 3x2 - 6x ắắ
đ yÂ= 0 ờ

ờx = 2 ® y 2 = - 3.
( )
ê
ë
20
A. m= -

1
.
2
giải.

3
D. m= .
4
y = x3 - 3x2 +1,

có


Suy ra A ( 0;1) , B ( 2;- 3) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
uuu
r
r
Suy ra đường thẳng AB có một VTCP là AB = ( 2;- 4) ắắ
đ VTPT nAB = ( 2;1) .
r
ng thẳng d : y = ( 2m- 1) x + 3+ m có một VTPT là nd = ( 2m- 1;- 1) .
r r
3

YCBT Û nAB .nd = 0 Û 2.( 2m- 1) - 1= 0 Û m= . Chọn D.
4
Câu 40. Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + 3. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và khơng có điểm cực tiểu.
B. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và khơng có điểm cực đại.
C. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.
D. Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.
éx = 0
ê
3
2
¢
¢
x =1 .
Lời giải. Ta có y = - 4x + 4x = - 4x( x - 1) ; y = 0 Û ê
ê
êx = - 1
ë
Bảng biến thiên

Từ BBT, ta thấy đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại. Chọn D.
ïì a = - 1
ị ab < 0 ắắ
đ th hm s cú ba
Cách 2. (Cách trắc nghiệm) Ta có ïí
ïïỵ b = 2
điểm cực trị. Vì a= - 1< 0 nên đồ thị có dạng chữ M. Từ đó suy ra đồ thị hàm
số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại.
Câu 41. Tính diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị
hàm số y = x4 - 2x2 + 3.

1
A. S = .
2

B. S = 1.

C. S = 2 .

D. S = 4.

ộx = 0 đ y( 0) = 3
3
đ yÂ= 0 Û ê
Lời giải. Ta có y¢= 4x - 4x ¾¾
êx = ±1® y ±1 = 2.
( )
ê
ë
Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A ( 0;3) , B ( 1;2) , C ( - 1;2) .
ìï H ( 0;2)
1
® ïí
. Khi đó S = BC.AH = 1. Chọn B.
Gọi H là trung điểm BC ¾¾
ïï AH ^ BC
2
ỵ
Câu 42. Hàm số y = x5 + 2x3 - 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0.
B. 2.

C. 3.
D. 4.
21


2
2
Lời giải. Ta có y¢= 5x4 + 6x2 = 0; y¢= 0 Û x ( 5x + 6) = 0. Phương trình y¢= 0

khơng có nghiệm bội lẻ nên hàm số đã cho khơng có điểm cực trị. Chọn A.

Câu 43. Hàm số y = 3 x2 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
Lời giải. Hàm số xác định trên R và có đạo hàm yÂ= 3 , " x ạ 0.
3 x
ộyÂ> 0, " x > 0
ắắ
đ y i du khi qua x = 0 .
Ta có ê
êy¢< 0, " x < 0
ë
Vậy x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số. Chọn B.
3

Câu 44. Hàm số y = x - 3x +1 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0.

B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải. TXĐ: D = ¡ .
ìï x3 - 3x +1, x ³ 0
ìï 3x2 - 3, x ³ 0
Â= ùớ
ắắ
đ
y
. Suy ra yÂ= 0 x = 1.
Ta có y = ïí
ïï - x3 - 3x +1, x < 0
ïï - 3x2 - 3, x < 0
ỵ
ỵ
Ta thấy y¢ chỉ đổi dấu khi qua x = 1. Vậy hàm số có một điểm cực trị. Chọn B.
4
2
Câu 45. (KHTN lần 3, năm 2018-2109) Hàm số y = x - 4x - 1 có bao

nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
B. 2.
Lời
giải.
Xét
hàm
éx = 0
f ¢( x) = 0 Û ê

êx = ± 2.
ê
ë
Bảng biến thiên

C. 3.
f ( x) = x - 4x2 - 1.
4

Ta

D. 5.
f ¢( x) = 4x3 - 8x;
có

4
2
Suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) = x - 4x - 1 như sau:

Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Chọn D.
22


Câu 46. Giá trị cực đại của hàm số y = x + 2cos x trên khoảng ( 0;p) bằng
5p
5p
p
+ 3.
- 3.
B.

C. + 3.
6
6
6
Lời giải. Đạo hàm: y¢= 1- 2sin x và y¢¢= - 2cos x.
é p
êx =
1 ê 6
¢
.
Xét trên khoảng ( 0;p) , ta có y = 0 sin x = ờ
2 ờ 5p
ờx =
ờ
6
ở
ổ
ử
ổ
5p ử
3ữ
ổ
pử
3
ữ
ữ
ữ
ỗ
= - 2ỗ
> 0.

ữ
Do ú yÂÂỗ
= - 2.
< 0 v yÂÂỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ
ỗ 2ø
6
è6ø
2
è
A.

D.

p
6

3.

ỉ
pư
p
p
÷
÷= + 3. Chọn C.
Vậy hàm số đạt cực đại ti x = , giỏ tr cc i bng yỗ
ỗ
ữ
ỗ
ố6ứ
6
6
Cõu 47. Biết rằng trên khoảng ( 0;2p) hàm số y = asin x + bcos x + x đạt cực trị
tại x =

p
và x = p. Tổng a + b bằng
3

3
C.
+1.
3
Lời giải. Đạo hàm: y¢= acos x - bsin x +1.
A. 3.

B.

D.

3 +1.

3 - 1.

ùỡù ổ
pử
ữ
ùù yÂỗ
ỗ ữ
p
ữ= 0
ỗ
Hm s đạt cực trị tại x = và x = p nờn ớ ố3ứ
ù
3
ùù yÂ( p) = 0
ùợ
ỡù 1
ùù a- 3 b+1= 0 ỡù a = 1
ớ2
ùớ
ắắ
đ a+ b = 3 +1. Chọn C.
2
ïï
ïï b = 3
ỵ
ïïỵ - a+1= 0
2

Câu 48. Hàm số y = ( x2 - 4) ( 1- 2x) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.

3

B. 3.

C. 4.

D. 6.
2

Lời giải. Đạo hàm: y¢= 2.2x( x - 4) ( 1- 2x) +( x - 4) .3.( - 2) ( 1- 2x)
3

2

2

2
2x) - 6( x2 - 4) ù
= - 2( 1- 2x) ( x2 - 4) ( 7x2 - 2x - 12) .
ú
û
Phương trình y¢= 0 có 4 nghiệm đơn nên hàm số có 4 điểm cực trị. Chọn C.

= ( 1- 2x)

2

( x2 - 4) . éêë4x( 1-

2

23


Cách 2. (Phương pháp trắc nghiệm) Vẽ phác họa
đồ thị hàm số bằng cách:
· Cho y = 0 tìm được nghiệm kép x = 2, nghiệm
kép x = - 2, nghiệm bội ba x = 0,5.
· Hệ số của bậc cao nhất khi nhân ra âm.
Từ đó ta phỏng đốn được đồ thị như hình bên.
Cách 3. (Cơng thức giải nhanh) Áp dụng công thức: số điểm cực trị bằng
m+ 2n- 1. Trong đó m là số nghiệm bội lẻ, n là số nghiệm bội chẵn. ( m= 1,
n = 2 ).

Dạng 5. BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
Câu 49. Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 - 3mx2 + 6mx + m
có hai điểm cực trị là
A. ( 0;2) .
B. ( - ¥ ;0) È ( 2;+¥ ) . C. ( 0;8) .
D. ( - ¥ ;0) È ( 8;+¥ ) .
2
Lời giải. Ta có y¢= 3( x - 2mx + 2m) . Để hàm số có hai điểm cực trị Û y¢= 0 có

ém< 0
2
.

hai nghiệm phân biệt Û D ¢= m - 2m> 0 Û ê
êm> 2 Chọn B.
ë
3

3

Câu 50. Biết rằng hàm số y = ( x + a) +( x + b) - x3 có hai điểm cực trị. Mệnh đề
nào sau đây đúng?
A. ab> 0.
B. ab< 0.

C. ab³ 0.

2

2

D. ab£ 0.

Lời giải. Ta có y¢= 3( x + a) + 3( x + b) - 3x = x + 2( a+ b) x + a2 + b2. Hàm số có
hai

điểm

cực

trị

2

Û y¢= 0

có

2

hai

nghiệm

phân

biệt

Û D ¢= ( a+ b) - ( a + b ) > 0 Û ab> 0.
2

2

2

Chọn A.
1
1
Câu 51. Cho hàm số y = x3 - ( 3m+ 2) x2 +( 2m2 + 3m+1) x - 4. Tìm giá trị thực của
3
2
tham số m để hàm số có hai điểm cực trị là x = 3 và x = 5.
A. m= 0.

B. m= 1.
C. m= 2.
D. m= 3.
2
2
Lời giải. Ta có y¢= x - ( 3m+ 2) x +( 2m + 3m+1) .
Yêu cầu bài toán Û phương trình y¢= 0 nhận x = 3 và x = 5 làm nghiệm
ìï 9- 3( 3m+ 2) +( 2m2 + 3m+1) = 0
ìï 2m2 - 6m+ 4 = 0
ï
Û ïí
Û ïí
Û m= 2. Chọn C.
ïï 25- 5( 3m+ 2) +( 2m2 + 3m+1) = 0 ïï 2m2 - 12m+16 = 0
ỵ
ïỵ
Câu 52. Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y =
có cực trị là
]
A. ( - ¥ ;1.

B. ( - ¥ ;0) È ( 0;1) .

]
C. ( - ¥ ;0) È ( 0;1.
24

m 3
x + x2 + x + 2020
3

D. ( - ¥ ;1) .