Chương I Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SOÁ
1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f ( x) xác định trên tập D.

Kí

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f ( x) trên
tập D nếu f ( x) £ M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 Î D sao cho
f ( x0 ) = M .

f ( x) .
hiệu: M = max
D

Kí

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f ( x) trên
tập D nếu f ( x) ³ m với mọi x thuộc D và tồn tại x0 Ỵ D sao cho
f ( x0 ) = m.

f ( x) .
hiệu: m= min
D
2. Định lý

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
3. Quy tắc tìm GTLN - GTNN của hàm số liên tục trên đoạn

[ a;b]

1. Tìm các điểm x1, x2 ,..., xn trên ( a;b) mà tại đó f ¢( x) = 0 hoặc
f ¢( x) khơng xác định.
2. Tính f ( a) , f ( x1 ) , f ( x2 ) , ..., f ( xn ) , f ( b) .
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có
M = max f ( x) và m= min f ( x) .
[ a;b]

[ a;b]

Dạng 1. BẢNG BIẾN THIÊN
Câu 1. Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2.
5


B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng - 1.
C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1.
D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng - 1 và 1.
Lời giải. Chọn A.
Câu 2. Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây sai?
A. min f ( x) = - 1.
[1;3]

f ( x) = 4.
C. max

[- 2;3]

f ( x) = - 2.
B. min
¡
f ( x) = 4.
D. max
¡

Lời giải. Xét trên ¡ , hàm số khơng có giá trị lớn nhất. Vậy D sai. Chọn D.
Câu 3. (ĐHSP Hà Nội lần 2, năm 2018-2019) Cho hàm số f ( x) xác định,
liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = - 1.
1
C. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = .
3
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3.
Lời giải. Chọn D.
Câu 4. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục trên
¡ và có bảng biến thiên như sau:

6


Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số có đúng một điểm cực trị.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng - 1.
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1.
Lời giải. Chọn D.
A sai vì hàm số có 2 điểm cực trị.
B sai vì hàm số có giá trị cực tiểu bằng  1.
C sai vì hàm số khơng có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên ¡ .
Câu 5. Cho hàm số f ( x) xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng - 4.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng - 3.
D. Hàm số có một điểm cực tiểu.
Lời giải. Chọn B.
A sai vì hàm số có ba điểm cực trị là x = - 1; x = 0; x = 1.
C sai vì hàm số khơng có giá trị lớn nhất.
D sai vì hàm số có hai điểm cực tiểu là x = - 1 và x = 1.
Câu 6. Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡ \ { 0} và có bảng biên thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ff( - 5) > ( - 4) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - ¥ ;2) .
C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2.
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2.
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f ( x) nghịch biến trên
khoảng ( - ¥ ;0) nên ff( - 5) > ( - 4) . Chọn A.

7

Câu 7. Cho hàm số f ( x) xác định và liên tục trên [- 5;7) , có bảng biến thiên
sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
f ( x) = 2 và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên [- 5;7) .
A. min
[- 5;7)
f ( x) = 6 và min f ( x) = 2.
B. max
[- 5;7)
[- 5;7)
f ( x) = 9 và min f ( x) = 2.
C. max
[- 5;7)
[- 5;7)
f ( x) = 9 và min f ( x) = 6.
D. max
[- 5;7)
[- 5;7)
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta nhận thấy:
· Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2, đạt tại x = 1Ỵ [- 5;7) .
ìï f ( x) £ 9, " x Ỵ [- 5;7)
ï
· Ta có ïí
. Mà 7 Ỵ/ [- 5;7) nên khơng tồn tại x0 Ỵ [- 5;7) sao cho
ùù lim- f ( x) = 9
ùợ xđ7
f ( x0 ) = 9. Do đó hàm số khơng đạt GTLN trên [- 5;7) .
f ( x) = 2 và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên [- 5;7) . Chọn A.
Vậy min

[- 5;7)

Dạng 2. ĐỒ THỊ
Câu 8. Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị
như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của hàm số trên đoạn [- 2;2] lần lượt là
A. - 5 và 0.
B. - 5 và - 1.
C. - 1 và 0.
D. - 2 và 2.
Lời giải. Nhận thấy trên đoạn [- 2;2]
· Đồ thị hàm số có điểm thấp nhất có tọa độ ( - 2;- 5) v ( 1;- 5)
ắắ
đ giỏ tr nh nht ca hàm số này trên đoạn [- 2;2] bằng - 5.
· Đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa ( - 1;- 1) v ( 2;- 1)
ắắ
đ giỏ trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [- 2;2] bằng - 1. Chọn B.

8


Câu 9. Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị như
hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên
é 5ù
đoạn ê- 1; ú lần lượt là
ê
ë 2ú
û
7
.

2
C. - 1 và 4.
Lời giải. Chọn C.
A. - 1 và

B. - 1 và

5
.
2

D. 1 và 4.

Câu 10. Cho hàm số f ( x) có đồ thị như hình
bên. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) trên
đoạn [- 2;3] bằng
A. 2.
C. 4.

B. 3.
D. 5.

Lời giải. Nhận thấy trên đoạn [- 2;3] đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ

( 3;4)
ắắ
đ giỏ tr ln nht ca hm s ny trờn đoạn [- 2;3] bằng 4. Chọn C.

Câu 11. [Đề THAM KHẢO 2018-2019] Cho hàm số
f ( x) liên tục trên đoạn [- 1;3] và có đồ thị như hình

vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [- 1;3]. Giá trị của
M + m bằng
A. 0.
B. 1.
C. 4.
D. 5.
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có M = 3, m= - 2. Khi đó M + m= 1. Chọn B.
Câu 12. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị trên
đoạn [- 2;4] như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của
hàm số y = f ( x) trên đoạn [- 2;4] bằng
A. 1.
C. 3.

B. 2.
D.

f ( 0) .

9


Lời giải. Từ đồ thị hàm số y = f ( x) trên đoạn

[- 2;4] ta suy ra đồ thị hàm số y = f ( x) trên
[- 2;4] như hình vẽ.
f ( x) = 3 tại x = - 1.
Do đó max
[- 2;4]
Chọn C.

Câu 13. Cho hàm số bậc ba f ( x) có đồ thị như hình
bên. Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề
sai?
i) Hàm số có hai điểm cực trị.
ii) Hàm số có GTLN là 2 và GTNN là - 2.
iii) Hàm số đồng biến trên ( - ¥ ;0) và ( 2;+¥ ) .
iv) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị: ( 0;2) và

( 2;- 2) .
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải. Dựa vào đồ thị suy ra hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất. Tức là mệnh đề ii) sai. Các mệnh đề còn lại đều đúng. Chọn B.

Câu 14. Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [- 2;2] và
có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các mệnh đề sau, có
bao nhiêu mệnh đề đúng?
i) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .
ii) Hàm số đồng biến trên khoảng ( - 1;2) .
iii) Trên đoạn [- 2;2] hàm số có ba điểm cực trị.
iv) Trên đoạn [- 2;2] hàm số có giá trị lớn nhất bằng
2.

A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải. Chọn B. Khẳng định ii) và iv) là sai. Khẳng định i) và iii) là đúng.

Câu 15*. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ¡ và
có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M , m lần lượt là
GTLN
–
GTNN
của
hàm
số
4
4
é
ù
g( x) = f ê2( sin x + cos x) ú. Tổng M + m bằng
ë
û
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
10


1 2
" xẻ Ă
sin 2x ắắ
ắ
đ1Ê 2( sin4 x + cos4 x) £ 2.
2
ìï M = max g( x) = f ( 1) = 3
ù

ắắ
đ M + m= 4. Chn B.
Dựa vào đồ thị, suy ra ïí
ïï m= min g( x) = f ( 2) = 1
ïỵ
Lời giải. Ta có sin4 x + cos4 x = 1-

Dạng 3. TÌM GTLN – GTNN TRÊN ĐOẠN
3
2
Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x - 2x - 4x +1 trên đoạn [1;3].
f ( x) = - 7.
f ( x) = - 4.
A. max
B. max
[1;3]
[1;3]
67
.
27
éx = 2 ẻ [1;3]
ờ
2
ờ
Â
Â
f
x
=
3

x
4
x
4
ắắ
đ
f
x
=
0

.
(
)
(
)
Li gii. o hm:
ờx = - 2 ẽ [1;3]
ờ
3
ở
f ( x) = - 2.
C. max
[1;3]

Ta có
Cách
Bước
Bước

D. max f ( x) =
[1;3]

ìï f ( 1) = - 4
ïï
ï ff( 2) = - 7 ắắ
đ max x( ) =
f ( 3) = - 2. Chọn C.
í
[1;3]
ïï
ïï f ( 3) = - 2
ỵ
2: Sử dụng cơng cụ TABLE (MODE 7).
1: Bấm tổ hợp phím MODE 7.
3
2
2: Nhập f ( X ) = X - 2X - 4X +1.

Sau đó ấn phím = (nếu có g( X ) thì ấn tiếp phím = ). Tiếp theo nhập
ìï Start = 1
ïï
ïí End = 3 .
ïï
ïïỵ Step = 0.2
End - Start
)
10
Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTLN:

(Chú ý: Thường ta chọn Step =

11

X

f ( X)

1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3

-

4
4.952
5.776
6.424
6.848
7
6.832
6.296

5.344
3.928
2


f ( x) = f ( 3) = - 2.
Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy max
[1;3]
Câu 17. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số
f ( x) = x3 - 7x2 +11x - 2 trên đoạn [ 0;2] bằng
A. - 2.

B. 0.

C. 3.

D. 11.
é 11
ờx = ẽ [ 0;2]
2
Â
Â
3
đ f ( x) = 0 Û ê
.
Lời giải. Đạo hàm: f ( x) = 3x - 14x +11ắắ
ờ
ờ
x
=

1
ẻ
0;
2
[
]
ở

ỡù f ( 0) =- 2
ùù
ù
đ min f ( x) = f ( 0) = - 2. Chọn A.
Ta có í f ( 1) = 3 ¾¾
[ 0;2]
ïï
ïï f ( 2) = 0
ỵ
Câu 18. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x3 + 2x2 - 7x trên đoạn [ 0;4] bằng
A. - 259.
B. - 4.
C. 0.
D. 68.
ộx = 1ẻ [ 0;4]
ờ
2
ờ
Â
Â
f

x
=
3
x
+
4
x
7
ắắ
đ
f
x
=
0

.
( )
( )
Li giải. Đạo hàm:
êx = - 7 Ï [ 0;4]
ê
3
ë

ìï f ( 0) = 0
ïï
ï
® min f ( x) = f ( 1) = - 4. Chọn B.
Ta có í f ( 1) = - 4 ¾¾
[ 0;4]

ïï
ïï f ( 4) = 68
ỵ
3
2
Câu 19. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = 2x + 3x - 1
é
1ù
trên đoạn ê- 2;- ú bằng
ê
2ú
ë
û

A. -

11
.
2

B. - 5.

C. -

1
.
2

D. 5.

é
é
1ù
êx = 0 Ï ê- 2;- ỳ
ờ
ờ
2ỳ
ở
ỷ.
2
đ f Â( x) = 0 ờ
Li gii. o hm: f Â( x) = 6x + 6x ắắ
ờ
ộ
1
ờx = - 1Ỵ ê- 2;- ù
ú
ê
ê
ú
2û
ë
ë

12


ìï
ïï
ïï

ïï
Ta có í
ïï
ïï
ïï
ïỵ

ïìï min f ( x) =- 5
ïï éêê- 2;- 1ựỳỳ
2ỷ
ở
ff( - 1) = 0 ắắ
đ ùớ
ắắ
đ min x( ) + max
f x( ) =- 5. Chọn B.
é
é
1ù
1ù
ïï max f ( x) = 0
ê- 2;- ú
ê- 2;- ú
ê
ú
ê
ú
2û
2û
ë

ïï éê- 2;- 1ựỳ
ở
ổ 1ử
1
ữ
fỗ
- ữ
=ùợ ởờ 2ỷỳ
ữ
ỗ
ỗ
ố 2ứ
2
f ( - 2) = - 5

3
2
Câu 20. Biết rằng hàm số f ( x) = x - 3x - 9x + 28 đạt giá trị nhỏ nhất trên

đoạn [ 0;4] tại x0. Tính P = x0 + 2020.
A. P = 3.
B. P = 2017.

C. P = 2021.

D. P = 2023.
éx = - 1Ï [ 0;4]
2
đ f Â( x) = 0 ờ
Li gii. Đạo hàm: f ¢( x) = 3x - 6x - 9 ắắ

ờx = 3ẻ 0;4 .
[ ]
ờ
ở
ỡù f ( 0) = 28
ïï
ï
® min x( ) = 1 khi x = 3 = x0 ắắ
đ P = 2023. Chn D.
Ta cú í ff( 3) = 1 ¾¾
[ 0;4]
ïï
ïï f ( 4) = 8
ỵ
Câu 21. Xét hàm f ( x) = -

4 3
] Mệnh đề nào sau đây
x - 2x2 - x - 3 trên [- 1;1.
3

đúng?
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x = - 1 và giá trị lớn nhất tại x = 1.
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x = 1 và giá trị lớn nhất tại x = - 1.
C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x = - 1 nhưng khơng có giá trị lớn nhất.
D. Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất tại x = 1.
2
Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) = - 4x2 - 4x - 1=- ( 2x +1) £ 0, " x Ỵ ¡ .
Suy ra hàm số f ( x) nghịch biến trên đoạn [- 1;1] nên có giá trị nhỏ nhất tại
x = 1 và giá trị lớn nhất tại x = - 1. Chọn B.

Câu 22. [ĐỀ THAM KHẢO 2017-2018] Giá trị lớn nhất của hàm số
f ( x) = x4 - 4x2 + 5 trên đoạn [- 2;3] bằng
B. 5.

A. 1.

C. 50.

D. 122.

éx = 0 ẻ [- 2;3]
3
đ f Â( x) = 0 ê
.
Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) = 4x - 8x ắắ
ờ
x
=

2
ẻ
2;3
[
]
ờ
ở
ỡù f ( 0) = 5
ùù
ùù

ù f 2 =1
ắắ
đ max f ( x) = 50. Chn C.
Ta cú ïí
[- 2;3]
ïï f ( - 2) = 5
ïï
ïï f ( 3) = 50
ïỵ

(

)

Câu 23. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số
f ( x) = x4 - x2 +13 trên đoạn [- 2;3] bằng
13


A.

49
.
4

B.

51
.
4

C.

51
.
2

D. 13.

ộx = 0 ẻ [- 2;3]
ờ
đ f Â( x) = 0 Û ê
Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) = 4x - 2x ắắ
ờx = 1 ẻ [- 2;3].
ê
2
ë
ìï f ( - 2) = 25
ïï
ïï f ( 3) = 85
ùù
51
ắắ
đ min f ( x) = . Chn B.
Ta có ïí f ( 0) = 13
[- 2;3]
ïï
4
ïï ỉ 1 ử 51
ữ

ùù f ỗ
=
ỗ ữ
ùùợ ỗ
ố 2ữ
ứ 4
3

Cõu 24. Tng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f ( x) = - 2x4 + 4x2 +10 trên đoạn [ 0;2] bằng
A. 2.
B. 4.
C. 6.
D. 8.
éx = 0 ẻ [ 0;2]
ờ
3
đ f Â( x) = 0 ê
Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) = - 8x + 8x ắắ
ờx = 1ẻ [ 0;2] .
ờ
ờ
ởx = - 1Ï [ 0;2]
ìï f ( 0) = 10
ïìï M = max f ( x) = 12
ùù
[ 0;2]
ù
đ ớù
ắắ

đ M + m= 6. Chọn C.
Ta có í f ( 1) = 12 ¾¾
ïï
ïï m= min f ( x) = - 6
[ 0;2]
ïï f ( 2) = - 6
ïỵ
ỵ
Câu 25. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) =

3x - 1
trên
x- 3

đoạn [ 0;2] bằng
A. -

16
.
3

B. -

14
.
3

Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) =

C.

- 8

( x - 3)

2

14
.
3

D.

16
.
3

< 0, " x Ỵ ( 0;2) .

ìï
ïï M = max f ( x) = f ( 0) = 1
[ 0;2]
3.
Suy ra hàm số f ( x) nghịch biến trên đoạn [ 0;2] nên ïí
ïï m= min f x = f 2 = - 5
(
)
(
)
ïïỵ
[ 0;2]

14
. Chọn B.
Khi đó M + m= 3
Câu 26. Hàm số nào sau đây khơng có GTLN và GTNN trên đoạn [- 2;2] ?
A. y = x3 + 2.

B. y = x4 + x2.

Lời giải. Nhận thấy hàm số y =

C. y =

x- 1
.
x +1

D. y = - x +1.

x- 1
không xác định tại x = - 1Ỵ [- 2;2].
x +1
14


Li cú lim+
x đ- 1

x- 1
x- 1
= - Ơ ; lim= +Ơ .

x đ- 1 x +1
x +1

Do ú hm số này khơng có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên [- 2;2]. Chọn C.
Câu 27. [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số
x2 + 3
trên đoạn [ 2;4] bằng
f ( x) =
x- 1
19
.
A. - 3.
B. - 2.
C. 6.
D.
3
éx = - 1Ï [ 2;4]
x2 - 2x - 3
ắắ
đ f Â( x) = 0 ờ
Li gii. o hm: f Â( x) =
2
ờx = 3 ẻ 2;4 .
[ ]
( x - 1)
ê
ë
ìï
ïï
ïï f ( 2) = 7

ï
® min x( ) = 6. Chọn C.
Ta có ïí ff( 3) = 6 ắắ
[ 2;4]
ùù
ùù
19
ùù f ( 4) =
3
ùợ
Cõu 28. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) =

2x2 + x +1
x +1

trên đoạn [ 0;1] bằng
A. - 1.

B. 3.

C. 1+ 2.
D. 2+ 2.
ỡ
Â
ù f ( x) 0, " x ẻ [ 0;1]
2x + 4x
. Ta có: ïí
.
Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) =
2

ïï f ¢( x) = 0 Û x = 0
( x +1)
ỵ
ìï max f ( x) = f ( 1) = 2
ïï [ 0;1]
. Chọn
f
x
0;1
Suy ra hàm số ( ) đồng biến trên đoạn [ ] nên í
ïï min f ( x) = f ( 0) = 1
ïỵ [ 0;1]
B.
2

Câu 29. Tập giá trị của hàm số f ( x) = x +

9
với x Ỵ [ 2;4] là đoạn [ a;b]. Hiệu
x

b- a

13
.
2
éx = 3 Ỵ [ 2;4]
9
x2 - 9
ờ

Â
đ
f
x
=
0

(
)
Li gii. o hm: f Â( x) = 1- 2 =
êx = - 3 Ï 2;4 .
x
x2
[ ]
ê
ë
ìï
ïï f ( 2) = 13
ìï min f ( x) = 6
ùù
2
ùù [ 2;4]
ộ 13ự
1
ùù
đ ùớ
ắắ
đ [ a;b] = ờ6; ỳị b- a = . Chọn A.
Ta có í f ( 3) = 6 ắắ
ùù

ùù max f ( x) = 13
ờ
ỳ
2
2
ở
ỷ
ùù
ùùợ [ 2;4]
25
2
ïï f ( 4) =
4
ïỵ
A.

1
.
2

B. 6.

C.

15

25
.
4

D.


2
với x Ỵ [ 3;5] là
x
é29 127ù
é29 526ù
é38 142ù
é38 526ù
ú.
ú.
ú.
ú.
A. ê ;
B. ê ;
C. ê ;
D. ê ;
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ê
3
5
3
15
3

5
ë
û
ë
û
ë
û
ë3 15 ú
û
3
2
x
1
(
)
Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) = 2x - 22 =
> 0, " x Ỵ ( 3;5) .
2
x
x
[ 3;5]
Suy
ra
hàm
số
đồng
biến
trên
Câu 30. Tập giá trị của hàm số f ( x) = x2 +

nên

29
127
; max x( ) =
f ( 5) =
.
3;5
[
]
3
5
é29 127ù
ú. Chọn A.
Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn ê ;
ê3 5 û
ú
ë
min f ( x) = ff( 3) =
[ 3;5]

Câu 31. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x - 2 + 4- x bng
A. 1.

B. 2.

C. 3.
D. 4.
1
1

ắắ
đ f Â( x) = 0 Û x = 3 Ỵ [ 2;4].
Lời giải. TXĐ: D = [ 2;4]. Có f ¢( x) =
2 x - 2 2 4- x
ìï f ( 2) = 2
ïï
ï
® max x( ) = 2. Chọn B.
Ta có ïí ff( 3) = 2 ắắ
ùù
ùù f ( 4) = 2
ùợ
Cõu 32. Tng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x 4- x2
bằng
A. 0.

B.

2.

C. 2 2.

D. 4.
2

x

2
Lời giải. TXĐ: D = [- 2;2]. Đạo hàm: f ¢( x) = 4- x -

4- 2x2

4- x2
éx = 2 ẻ [- 2;2]
ắắ
đ f Â( x) = 0 Û 4- 2x2 = 0 Û ê
.
ê
ê
ëx = - 2 Ỵ [- 2;2]

ìï
ïï
ïï
ï
Ta có ïí
ïï
ïï
ïï
ïỵ

4- x2

=

f ( - 2) = 0

( 2) = - 2 ïìï max f ( x) = 2
ắắ
đớ

. Chn A.
ùù min f ( x) = - 2
f ( 2) = 2
ỵ
f -

f ( 2) = 0

Câu 33. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = x + 2- x2 bằng
A. -

2.

B. - 1.

C. 1.

f ¢( x) = 1- 2; 2ù
.
Lời giải. TXĐ: D = é
ê
ú
ë
û Đạo hàm:

16

D.
x
2- x2

2.


ắắ
đ f Â( x) = 0

(

x
2

2- x

ùỡ x 0
ù.
2- x2 = x Û ïí
Û x = 1Ỵ é
ê- 2; 2û
ú
ë
ïïỵ 2- x2 = x2

= 1Û

)

ìï f - 2 = - 2
ùù
ùù

ắắ
đ min x( ) = Ta cú ớ ff( 1) = 2
ïï
ïï f 2 = 2
ïỵ

2. Chọn A.

( )

f ( x) = x - 1+ 3- x - 2 - x2 + 4x - 3

Câu 34*. Giá trị lớn nhất của hàm số
bằng
A. -

2.

B. 0.

C.

D.

2.

Lời giải. TXĐ: D = [1;3]. Đặt t = x - 1+ 3- x

(

)

9
.
4

2£ tÊ 2

ắắ
đ t2 = x - 1+ 3- x + 2 x - 1 3- x ắắ
đ- 2 - x2 + 4x - 3 = 2- t2.
2
Khi đó, bài tốn trở thành '' Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g( t) = - t + t + 2
2;2ù
''
g( t) = - t2 + t + 2 xác định và liên tục trên é
2;2ù
.
trên đoạn é
ê
ú
ê
ú
ë
û . Xét hàm số
ë
û
2;2 .
Đạo hàm: g¢( t) = - 2t +1< 0, " t Ỵ

(

)

2;2ù
Suy ra hàm số g( t) nghịch biến trên đoạn é
ê
ú.
ë
û

( )

g( t) = g 2 = 2 ¾¾
® max f ( x) = 2. Chọn C.
Do đó max
é 2;2ù
[1;3]
ê
ë

ú
û

ù
Bình luận: Sau khi đọc lời giải, bạn đọc thắc mắc là tại sao biết được t Ỵ é
ê 2;2û
ú
ë
??? Từ phép đặt ẩn phụ t = x - 1+ 3- x = h( x) .

Đạo hàm: h¢( x) =

1
2 x- 1

-

1
2 3- x

ắắ
đ hÂ( x) = 0 x = 2 Ỵ [1;3].

ìï h( 1) = 2
ìï min h( x) = 2
ùù
ù [1;3]
ù
ù
ù
đớ
ắắ
đ 2 Ê h( x) Ê 2 ắắ
đ 2 Ê t Ê 2.
Ta cú ớ h( 2) = 2 ¾¾
ïï
ïï max h( x) = 2
ïï h( 3) = 2
ïïỵ [1;3]
ïỵ

Câu 35. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x + 2- x + 2 2x - x2 bằng
A.

2.

B. 2.

C. 4.

Lời giải. TXĐ: D = [ 0;2]. Đặt t = x + 2- x

(

D. 8.

)

2Ê tÊ 2 .

ắắ
đ t2 = x + 2 x 2- x + 2- x ắắ
đ 2 2x - x2 = t2 - 2.
2
Khi đó, bài tốn trở thành '' Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g( t) = t + t - 2 trên
ù'' . Xét hàm số g( t) = t2 + t - 2 xác định và liên tục trên é 2;2ù.
đoạn é
ê 2;2û
ú
ê
ú

ë
ë
û
Đạo hm: gÂ( t) = 2t +1> 0, " t ẻ

(

)

2;2 .
17


2;2ù
.
Suy ra hàm số g( t) đồng biến trên đoạn ộ
ờ
ỳ
ở
ỷ
g( t) = g( 2) = 4 ắắ
đ max f ( x) = 4. Chọn C.
Do đó max
é 2;2ù
[ 0;2]
ê
ú
ë

û

2
Câu 36. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = - x - 4x + 5 trên đoạn [- 6;6] bằng

A. 0.
B. 9.
C. 55.
D. 110.
2
Lời giải. Xét hàm số g( x) = - x - 4x + 5 liờn tc trờn on [- 6;6] .
đ gÂ( x) = 0 Û x = - 2 Ỵ [- 6;6].
Đạo hàm: gÂ( x) = - 2x - 4 ắắ
ộx = 1ẻ [- 6;6]
2
Lại có g( x) = 0 Û - x - 4x + 5 = 0 Û ê
êx = - 5 Ỵ - 6;6 .
[
]
ê
ë
ìï g( - 6) = - 7
ïï
ïï g( - 2) = 9
ï
Þ max f ( x) = max{ g( - 6) ; g( - 2) ; g( 6) ; g( 1) ; g( - 5) } = 55.
Có í
[- 6;6]
[- 6;6]
ïï g( 6) = - 55
ïï

ïï g( 1) = g( - 5) = 0
ỵ
Chọn C.
Nhận xét. Bài này rất dễ sai lầm vì khơng để ý hàm trị tuyệt đối không âm.
2
Câu 37. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x - 3x + 2 - x trên đoạn [- 4;4]

bằng
A. 2.
B. 17.
C. 34.
D. 68.
Lời giải. Hàm số f ( x) xác định và liên tục trên đoạn [- 4;4] .
· Nếu x Ỵ [1;2] thì x2 - 3x + 2 £ 0 nên suy ra f ( x) = - x2 + 2x - 2 .
ìï f ( 1) = - 1
đ f Â( x) = 0 x = 1ẻ [1;2]. Ta có ïí
.
Đạo hàm: f ¢( x) = - 2x + 2 ắắ
ùù f ( 2) = - 2
ợ
à Nếu x Ỵ [- 4;1] È [ 2;4] thì x2 - 3x + 2 ³ 0 nên suy ra f ( x) = x2 - 4x + 2 .

ìï
ïï
ïï
® f ¢( x) = 0 Û x = 2 Ỵ [- 4;1] È [ 2;4]. Ta có ïí
Đạo hàm: f ¢( x) = 2x - 4 ắắ
ùù
ùù
ùù

ợ
max
f
x
=
f
4
=
34.
(
)
(
)
So sỏnh hai trng hp, ta được
Chọn C.

f ( - 4) = 34
f ( 1) = - 1
f ( 2) = - 2

.

f ( 4) = 2

[- 4;4]

3
Câu 38. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = sin x + cos2x + sin x + 3 bằng

112

.
C. 4.
D. 5.
27
3
3
2
Lời giải. Ta có f ( x) = sin x + cos2x + sin x + 3 = sin x - 2sin x + sin x + 4.
A. 0.

B.

Đặt t = sin x ( - 1£ t £ 1) . Khi đó, bài tốn trở thành '' Tìm giá trị lớn nhất của hàm
3
2
số g( t) = t - 2t + t + 4 trên đoạn [- 1;1] '' .

18


ột = 1ẻ [- 1;1]
ờ
2
ờ 1
Â
Â
g
t
=
3

t
4
t
+
1
ắắ
đ
g
t
=
0

.
( )
o hm: ( )
ờt = ẻ [- 1;1]
ờ
ở 3
ỡù
ùù
ùù
Ta cú ùớ
ùù
ùù
ùùợ

g( - 1) = 0
ổử
ổử
1 112

1 112
112
gỗ
=
ắắ
đ max g( t) = gỗ
ắắ
đ max f ( x) =
. Chn B.
ữ
ữ=
ỗ ữ
ỗ ữ
ữ
ỗ
ỗ
xẻ Ă
[- 1;1]
ố3ứ 27
ố
ứ 27
3÷
27
g( 1) = 4

sin x +1
bằng
sin x + sin x +1
70
90

110
.
.
A. 1.
B.
C.
D.
.
79
91
111
Lời giải. Đặt t = sin x ( - 1£ t £ 1) . Khi đó, bài tốn trở thành '' Tìm giá trị lớn
Câu 39. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) =

nhất của hàm số g( t) =
Đạo hàm: g¢( t) =

2

t +1
trên đoạn [- 1;1] '' .
t + t +1
2

ét = 0 Ỵ [- 1;1]
2
ờ
Â
ắắ
đ

g
t
=
0

t
2
t
=
0

(
)
2
ờt = - 2 ẽ - 1;1 .
2
[
]
t
+
t
+
1
ờ
(
)
ở
- t2 - 2t

ìï

ïï
ïï g( - 1) = 0
ï
® max g( t) = g( 0) = 1ắắ
đ max f ( x) = 1. Chn A.
Ta cú ùớ g( 0) = 1 ắắ
xẻ ¡
[- 1;1]
ïï
ïï
2
ïï g( 1) =
3
ïỵ
Câu 40*. (Đại học Vinh lần 3, năm 2018-2019) Tổng giá trị lớn nhất và giá
px
trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) = 2x + cos
trên đoạn [- 2;2] bằng
2
A. - 4.
B. - 2.
C. 0.
D. 2.
p
px
Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) = 2- sin .
2
2
p
p

px p
p
p
px
p
Vỡ - Ê - sin
Ê ắắ
đ 0 < 2- Ê 2- sin
Ê 2+ ắắ
đ f Â( x) > 0, " x Ỵ ¡ .
2
2
2
2
2
2
2
2
ìï max f ( x) = f ( 2) = 3
ïï [- 2;2]
. Chọn
Suy ra hàm f ( x) đồng biến trên đoạn [- 2;2] nên í
ïï min f ( x) = f ( - 2) = - 5
2;2
[
]
ïỵ
B.

Dạng 4. TÌM GTLN – GTNN TRÊN KHOẢNG

Câu 41. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x A. 0.

B. 3.

C.
19

3
.
8

1
trên ( 0;3] bằng
x
8
D. .
3


Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) = 1+

1
> 0, " x Ỵ ¡ .
x2

8
Dựa vào BBT, ta thấy max f ( x) = f ( 3) = . Chọn D.
( 0;3]
3
Nhận xét: Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất trên ( 0;3].

3
Câu 42. Xét hàm f ( x) = x + x - cos x - 4 trên [ 0;+¥ ) . Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A. Hàm số có giá trị lớn nhất là - 5 nhưng khơng có giá trị nhỏ nhất.
B. Hàm số khơng có giá trị lớn nhất nhưng có giá trị nhỏ nhất là - 5.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất là 5 và có giá trị nhỏ nhất là - 5.
D. Hàm số khơng có giá trị lớn nhất và khơng có giá trị nhỏ nhất.
2
Lời giải. Ta có f ¢( x) = 3x +1+ sin x > 0, " x Ỵ ¡ .

f ( x) nhưng min f ( x) = f ( 0) = - 5.
Dựa vào BBT, ta thấy khơng tồn tại [max
0;+¥ )
[ 0;+¥ )
Chọn B.
Câu 43. Xét hàm số f ( x) = - x -

4
trên đoạn [- 1;2]. Mệnh đề nào sau đây
x

đúng?
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là - 4 và giá trị lớn nhất là 5.
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là - 4 và khơng có giá trị lớn nhất.
C. Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất là 5.
D. Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất và khơng có giá trị lớn nhất.
4 - x2 + 4
Lời giải. Ta có f ¢( x) = - 1+ 2 =
; f ¢( x) = 0 Û x = ±2.
x

x2

20


Dựa vào BBT, ta thấy trên [- 1;2] hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất và cũng
khơng có giá trị lớn nhất. Chọn D.
Câu 44. Biết rằng hàm số f ( x) = - x + 2019tại x0. Tính P = x0 + 2020.
A. P = 2017.
B. P = 2018.

1
đạt giá trị lớn nhất trên ( 0;4)
x

C. P = 2021.

D. P = 4037.
ộ
x
=
1ẻ ( 0;4)
1 - x +1
Â( x) = 0 Û ê
f
.
Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) = - 1+ 2 =
;
ê
x

=
1
Ï
0;4
x
x2
(
)
ê
ë
2

® P = 2021. Chọn
Dựa vào BBT, ta thấy hàm số đạt GTLN trên ( 0;4) tại x0 = 1¾¾
C.
Câu 45. Gọi yCT là giá trị cực tiểu của hàm số y = f ( x) = x2 +
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. yCT > min y. B. yCT = 1+ min y.
( 0;+¥ )

Lời gii. o hm: f Â( x) = 2x -

( 0;+Ơ )

y.
C. yCT = (min
0;+¥ )

2
trên ( 0;+¥ ) .

x

y.
D. yCT < (min
0;+Ơ )

2 2x3 - 2
=
ắắ
đ f Â( x) = 0 Û x = 1.
x2
x2

21


Dựa vào BBT, ta thấy trên khoảng ( 0;+¥ ) hàm số chỉ có một cực trị và là giá
y.
trị cực tiểu nên đó cũng chính là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Vậy yCT = (min
0;+¥ )
Chọn C.
Câu 46. [ĐỀ THAM KHẢO 2016-2017] Giá trị nhỏ nhất của hàm số
4
f ( x) = 3x + 2 trên khoảng ( 0;+¥ ) bằng
x
33
.
A. 23 9.
B. 33 9.
C. 7.

D.
5
8
8
8
8
Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) = 3- 3 ; f ¢( x) = 0 Û 3 = 3 Û x3 = x = 3 .
x
x
3
3

ổ 8ử
ữ= 33 9.
3
ữ
ỗ
f ( x) = f ỗ
Da vo BBT, ta thy ị min
Chn B.
ữ
ỗ
ữ
( 0;+Ơ )
ỗ
ố 3ứ
Cõu 47. Giỏ tr nh nht ca hàm số f ( x) = x +
A. 0.

B. 1.

C.

1
trên ( 0;+¥ ) bằng
x
D. 2.

2.
1
1- 2
2
x = x - 1 ; ¢
¢
f
x
=
( )
f ( x) = 0 Û
Lời giải. Đạo hàm:
1
1
2 x+
2x2 x +
x
x

éx = - 1Ï ( 0;+¥ )
ê
.

êx = 1ẻ 0;+Ơ
(
)
ờ
ở

f ( x) = f ( 1) = 2. Chọn C.
Dựa vào BBT, ta thấy (min
0;+¥ )

Dạng 5. BÀI TỐN CHỨA THAM SỐ
3
2
Câu 48. Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f ( x) = - x - 3x + a có giá

trị nhỏ nhất trên đoạn [- 1;1] bằng 0.
A. a= 0.
B. a= 2.

C. a= 4.
22

D. a= 6.


ộx = 0 ẻ [- 1;1]
2
đ f Â( x) = 0 Û ê
Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) = - 3x - 6x ¾¾
êx =- 2 Ï - 1;1 .

[
]
ờ
ở
ỡù f ( - 1) = a- 2
ùù
ù
ắắ
đ min f ( x) = f ( 1) = a- 4.
Ta có í f ( 0) = a
[- 1;1]
ïï
ïï f ( 1) = a- 4
ỵ
Theo bài ra: min f ( x) = 0 Û a- 4 = 0 Û a = 4. Chọn C.
[- 1;1]

3
2
2
Câu 49. Cho hàm số f ( x) = x +( m +1) x + m - 2 với m là tham số thực. Tìm

tất cả các giá trị của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 0;2] bằng 7.
A. m= ±1.

B. m= ± 2.
C. m= ± 7.
2
2
Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) = 3x + m +1> 0, " x Ỵ ¡ .

D. m= ±3.

® min f ( x) = f ( 0) = m2 - 2.
Suy ra hàm số f ( x) đồng biến trên [ 0;2] ¾¾
[ 0;2]
f ( x) = 7 Û m2 - 2 = 7 Û m= ±3. Chọn D.
Theo bài ra: min
[ 0;2]
x - m2
trên đoạn [ 0;1] bằng
x +1
1- m2
1+ m2
C.
D.
.
.
2
2

Câu 50. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) =
A. - m2.

B. m2.

Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) =

1+ m2

( x +1)

2

> 0, " x Ỵ [ 0;1.
]

1- m2
Suy ra hàm số f ( x) đồng biến trên [ 0;1] ¾¾
® max f ( x) = f ( 1) =
. Chọn C.
[ 0;1]
2
Câu 51. Gọi S là tập tất cả các phần tử của tham số m để hàm số
x - m2
có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 0;3] bằng - 2. Tổng các phần tử
f ( x) =
x +8
của tập S bằng
A. - 16.
B. - 8.
C. 0.
D. 2.
2
8+ m
> 0, " x Ỵ [ 0;3].
Lời giải. Đạo hàm: y¢=
2
( x + 8)
Suy ra hàm số f ( x) ng bin trờn on [ 0;3] ắắ

đ min f ( x) = f ( 0) = [ 0;3]

Thao bài ra: min f ( x) = - 2 Û [ 0;3]

2

m
= - 2 Û m= ±4. Chọn C.
8

23

m2
.
8


Câu 52. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số f ( x) =

x+m
(với m là
x +1

16
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
3
C. 2 < m£ 4.
D. m> 4.

tham số thực) thỏa mãn min f ( x) + max f ( x) =

[1;2]

[1;2]

A. m£ 0.

B. 0 < m£ 2.
1- m
.
Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) =
2
( x +1)

Suy ra hàm số f ( x) là hàm số đơn điệu trên đoạn [1;2] với mọi m¹ 1.
m+1 m+ 2 16 5m 25
+
= Û
=
Û
2
3
3
6
6
Vậy m= 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m> 4. Chọn D.
Khi đó min f ( x) + max f ( x) = ff( 1) + m( 2) =
[1;2]

[1;2]

= 5.

Câu 53. Cho hàm số f ( x) = m x - 1 ( m là tham số khác 0). Gọi m1, m2 là hai
f ( x) + max f ( x) = m2 - 10. Tổng m1 + m2 bằng
giá trị của m thỏa mãn min
[ 2;5]
[ 2;5]
A. 2.

C. 5.

B. 3.

Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) =

D. 10.

m

khơng đổi dấu trên [ 2;5].
2 x- 1
f ( x) + max f ( x) = m2 - 10 Û ff( 2) + m( 5) = 2 -m
10 Û m 2 - 3 - 10 = 0.
Do đó min
[ 2;5]
[ 2;5]
Khi đó theo định lí Viet, ta có m1 + m2 = 3. Chọn B.
Câu 54*. [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016-2017] Cho hàm số f ( x) =

x+m

(với m là
x- 1

f ( x) = 3. Mệnh đề nào sau đây đúng?
tham số thực) thỏa mãn min
[ 2;4]
A. m<- 1.

B. 1£ m< 3.
m+1
.
Lời giải. Đạo hàm: f ¢( x) = 2
( x - 1)
TH1. Với m>- 1 suy ra f ¢( x) = -

C. 3 < m£ 4.

m+1

( x - 1)

2

D. m> 4.

< 0; " x ¹ 1 nên hàm số f ( x) nghịch

biến trên mỗi khoảng xác định. Khi đó min f ( x) = f ( 4) =
[ 2;4]

m+ 4
= 3 Û m= 5
3

(chọn).
TH2. Với m<- 1 suy ra f ¢( x) = -

m+1

( x - 1)

2

> 0; " x ¹ 1 nên hàm số f ( x) đồng biến

f ( x) = f ( 2) = m+ 2 = 3 Û m= 1 (loại).
trên mỗi khoảng xác định. Khi đó min
[ 2;4]
Vậy m= 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m> 4. Chọn D.

24