Hsg thcs năng yên 2009 2010

TRƯỜNG THCS NĂNG N
ĐỀ THI HSG- HS NK
MƠN : TỐN 7 NĂM HỌC 2009-2010
( Thời gian làm bài 150 phút )
Bài 1:(2diểm)
a)
Cho A= 413 +325-88. Chứng minh rằng A chia hết cho 5
b)
Cho B = 20+21+22+23+…+22009
C= 22010
Chứng minh rằng B và C là hai số nguyên dương liên tiếp?
Bài 2:(2điểm)
5 y 1
 
x 4 8
y  z 1 x  z  2 x  y  3
1



b)Tìm các số x,y,z biết:
( với : x,y,z 0,x+y+z 0 )
x
y
z
xyz

a) Tìm các số ngun x,y biết:

Bài 3(2điểm)
Một ca nơ xi dịng từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 24km/h.Sau đó ca

nơ ngược dịng từ bến B về bến A với vận tốc 20km/h. Tính thời gian ca nơ xi dịng,
ca nơ ngược dịng biết tổng thời gian xi dòng và ngược dòng là 5giờ 30 phút?
Bài 4(2điểm):
Cho tam giác đều ABC.Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho
AM = CN. Gọi O là giao điểm của CM và BN. Chứng minh rằng :
a) CM = BN
b) Số đo của góc BOC khơng đổi khi M và N di động trên hai cạnh AB, AC thoả
mãn điều kiện AM = CN
Bài 5:(2điểm):

Cho tam giác ABC có AB cắt BC tại D. Chứng minh
rằng: CD>BD
HẾT
(Họ tên: …………………………………..SBD


Câu

Hướng dẫn chấm
a) A= 4 +32 -8 = 2 +225-224 = 224(22+2- 1)
= 224.5 5  A 5
13

Câu 1

5

8

Điểm
0,5
0,5

26

b)Hiển nhiên: B > 0,C >0 và B,C  Z
Ta có: 2B = 2+ 22+ 23+……+22010
 B = 2B – B = (2 + 22+23 + …+22009+22010) – (1+2+22+…+22009)
22010-1
Mà : C = 22010  C và B là hai số nguyên dương liên tiếp

=

5 y 1
5 1 y 1 2 y
 x(1-2y) = 40 (*)
     
x 4 8
x 8 4
8
-Vì x,y  Z  1-2y  Z mà 1-2y là số nguyên lẻ nên từ (*) có 1-2y là

a)-Từ giả thiết :

Câu2

ước số lẻ của 40.
1-2y =1  y= 0  x=40
1-2y = -1  y=1  x=-40

1-2y = 5  y=-2  x=8
1-2y=-5  y=3  x=-8
b)-Từ GT áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
( y  z  1)  ( x  z  2)  ( x  y  3) 2( x  y  z )

2 (vì :x+y+z 0 ;và
x yz
( x  y  z)
x,y,z 0 )
1
2  x  y  z 0,5 .

x yz
0,5  x  1 0,5  y  2 0,5  z  3


2
-Thay vào đề bài ta có:
x
y
z
1
5
5
 x= ; y  ; z 
2
6
6

-Gọi: thời gian đi từ bến A đến B là : t1(h)

Thời gian đi từ bến B về bến A là : t2(h)
-Vì tổng thời gian cả đi lẫn về là : 5h 30’ =
t1 + t 2 =
Câu 3

0,5
0,5

0,5
0,5

0,5
0,5

0,25

11
(h) nên ta có :
2

11
2

0,25

-Do chiều dài quãng sông không đổi nên vận tốc ca nô và thời gian
đi của ca nô là 2 đại lương tỉ lệ nghịch
Ta có :t1.24 =t2.20 

t1

t
 2 .
20 24

0,5

-Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
t1
t
t t
11 1
 2  1 2 

20 24 24  20 2.44 8
1
-Suy ra : t1 = 20. 2,5 (h)
8
1
t2 = 24. 3 (h)
8

0,5
0,5


Hình

0,25

a)Ta có :Xét ΔACMACM và ΔACMCBN

Câu 4

A

 AM=CN(gt)
 
0
)  ΔACMACM=ΔACMCBN (c.g.c)
-Có: A=C(=60
 AC=CB(gt)

 CM = BN.
 =B

b) Vì : ΔACMACM=ΔACMCBN ( theo phần a)  C
1

0,5
M
N

O
1
B

1

0,25

1
2

C

 +C
 =C
 +C
 =600
-Ta có : B
1
2
1
2

 C
 ) 1800  600 1200 (khơng đổi)
 Trong ΔACMBOC có BOC 1800  ( B
1
2

0,5
0,5
Hình

Câu5

-Ta có :lấy điểm E trên cạnh AC sao cho
AE =AB.
 Xét  ABD =  AED( c.g.c)



 BD = DE và ADB=ADE


-Ta có : DEC>ADE
(t/c góc ngồi tam giác)


 DEC>ADB


Mà : ADB>ECD
(t/c góc ngồi tam giác)


 DEC>ECD

0,25
0,25

A

0,5
E

B

C
D

 CD >DE (Quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác)
 CD > BD

0,5
0,5