Hsg thcs phan đình phùng 2008 2009

PHỊNG GD QUẬN THANH KHÊ
TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MƠN TỐN - LỚP 7
Khố ngày 10 tháng 4 năm 2008
(Thời gian: 90 phút, không kể thời gian
giao đề)

Bài 1 (2,5 điểm).
Tìm số nguyên x biết :
a)
b)

x
186

303030   616161   929292


 1 
 1  
 1
 
313131   626262

  939393


2 m 3   2 3 

 2 3
m
  5 x  2 x  1  5 x  :   5 x  0

.

( với m  N ; x  0 ).

Bài 2 (2,0 điểm).
a) Chứng minh : 32005 + 32006 + 32007 + 32008 + 32009 chia hết cho 11 .
x

x

x

x

x

3
2008
1
2
4
b) Cho : x  x  x  x ...  x . Chứng tỏ rằng :
2
3
4
5

2009

 x1  x 2  x3  ...  x 2008 


 x 2  x3  x 4  ...  x 2009 

2008



x1
x 2009

Bài 3 (2,0 điểm).
Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của số đó tỉ lệ
thuận với các số 1 ; 2 và 3 ?
Bài 4 (3,5 điểm).
Cho ABC có A < 900, đường cao AH . Lấy điểm M sao cho AB là đường trung
trực của HM và lấy điểm N sao cho AC là đường trung trực của HN. Nối MN lần lượt
cắt AB và AC tại I và K. Chứng minh :
a) CI // HM và BK // HN .
b) Trong trường hợp A  900, chứng tỏ ta vẫn có CI // HM và BK // HN.
----------- Hết -----------


PHỊNG GD QUẬN THANH KHÊ
TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG

HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC

SINH GIỎI MƠN TỐN - LỚP 7
Khố ngày 10 tháng 4 năm 2008

Bài 1 ( 2,5 điểm )
a) 1,25 điểm
30   61   92 

 1  
 1
1 
 
31   62   93 

1
1
1
1
= 31  62  93 = 186

+ Rút gọn vế phải có

........................................................0,25đ

...................................................................0,5đ
+ Vậy ta có

x
186

=

1
186



x

=

1 ...............................................................................0,25đ
+ Tính được x = 
1 ...................................................................................................0,25đ
b) 1,25 điểm
+ Viết tách xm + 3 = x3.xm và đặt nhân tử chung trong ngoặc vuông đúng ...............0,25đ
+ Rút gọn và đưa tới ( 2x - 1 )m - xm = 0
............................................0,25đ
m
m
+ Chuyển vế có ( 2x - 1 ) = x và xét :
* Nếu m là số tự nhiên lẻ thì 2x - 1 = x  x = 1 .................................................0,25đ
* Nếu m là số tự nhiên chẵn thì 2x - 1 = x và 2x - 1 = - x  x = 1 và x =
( loại ) ......0,25đ
+ Vậy x = 1

1
3

..............................................................................................0,25đ

Bài 2 ( 2,0 điểm )
a) 1,0 điểm
+ Đặt 32005 làm nhân tử chung đúng .............................................................0,25đ
+ Tính đúng tổng trong ngoặc bằng 121 .......................................................0,25đ
+ Vì 121 chia hết cho 11 nên tích 32005.121 cũng chia hết cho 11 ................0,5đ
+ Kết luận tổng các luỹ thừa đã cho chia hết cho 11 ....................................0,25đ
b) 1,0 điểm
x

x

x

x

x

x  x  x  ...  x

1
2
3
2008
3
2008
1
2
4
+ Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau thì x  x  x  x ...  x = x  x  x  ...  x
2

3
4
2009
2
3
4
5
2009
...........0,5đ

+ Lập tích các tỉ số để có

 x1  x 2  x3  ...  x 2008 


 x 2  x3  x 4  ...  x 2009 

2008



x1
x 2009

........................................0,5đ

Bài 3 ( 2,0 điểm )
+ Gọi các chữ số của số đó là x ; y ; z với 1  x  9 ; 0  y  9 ; 0  z 
9 ..............0,25đ

+ Vì số đó chia hết cho 18 nên chia hết cho 9  ( x + y + z ) chia hết cho 9
(1) .............................0,25đ
+ Theo điều kiện trên thì 1  x + y + z  27
(2) ......................................................0,25đ
Từ (1) & (2)  x + y + z nhận các giá trị 9 ; 18 ; 27 (3) .........................................0,25đ
Theo bài thì

x y z x yz
  
1 2 3
6

 N (4) ; từ (4) & (3) thì x + y + z = 18 .................0,25đ

+ Thay x + y + z = 18 vào (4) lần lượt có x = 3 ; y = 6 và z = 9 ...............................0,25đ
+ Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số tận cùng là 6 .........................................0,25đ
Kết luận : Các số cần tìm là 396 hoặc 936 ................................................................0,25đ
Bài 4 ( 3,5 điểm )
a) 1,5 điểm

A
N
K
I
M

B
H
C

+ Vì I  đường trung trực của MH nên IB là phân giác của MIH (1)
+ Vì K  đường trung trực của NH nên KC là phân giác của HKN (2)
+ Do IB và KC cắt nhau tại A nên AH là phân giác trong tại đỉnh H của IHK 1,0 điểm
+ Do AH  BC nên BC phải là phân giác góc ngoài tại đỉnh H của IHK (3)
Từ (2) & (3)  IC là phân giác trong tại đỉnh I của IHK, kết hợp với (1)  IC  AB
+ Có HM  AB & IC  AB nên CI // HM
* Chứng minh tương tự, ta cũng có BK  AC & HN  AC nên BK //
HN ...............0,5đ
b) 2,0 điểm
* Trong trường hợp A = 900, chứng minh như câu a ta có I và K trùng với A ...........1,0đ
* Trong trường hợp A > 900, Lập luận tương tự câu a ta cũng có kết quả tương tự ..0,75đ
Vậy trong trường hợp A  900 ta vẫn có CI // HM và BK //
HN ...........................0,25đ
Chú ý : HS có thể giải theo cách khác (khơng vượt q chương trình tốn 7) đúng vẫn
cho điểm tối đa
---------- Hết ----------