TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Năm học : 2005 - 2006
Mơn : TỐN - Khối lớp: 7
Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 (2điểm)
Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b và
c( b + d) = 2bd . Chứng minh (
Bài 2 (2điểm)
8
) =
a8 c8
b8 d 8
a/ Tìm x biết:
5.
3
2
x
4
3
- 3,25 = -2{(1,25)2 – 2,5 . 0,25 + (-0,25)2}
b/ Tìm x , y biết:
Bài 3 (2điểm)
a c
bd
3 y
+
2x y
=0
a/ Tìm nghiệm của đa thức 7x2 - 35x + 42
b/ Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên , và
a 0. Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) chia hết cho 7.
Chứng minh a, b, c cũng chia hết cho 7.
Bài 4 (2điểm)
a/ Tìm các số nguyên x, y biết x2 + 2x - 8y2 = 41
b/ Biết x Q và 0 < x < 1. Chứng minh xn < x với n N, n 2
Bài 5 (2điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE và
AF cắt nhau tại H. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC.
Gọi N là hình chiếu của M trên AC ; K là giao điểm của MN và CE.
a/ Chứng minh hai góc KAH và MCB bằng nhau.
b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD.
--------------------------------
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Bài 1 (2đ)
Từ c( b+d ) = 2bd suy ra b + d =
2bd
c
a c
2bc
c
=
=
bd
2bd
d
a
c
a c
Suy ra
=
=
b
d
bd
Viết
(0,5đ)
(0,5đ)
Biến đổi để có điều phải chứng minh
Bài 2 (2đ)
a/ Tính được
Tìm được x =
3
2
x
4
3
=
1
4
3
3
,x=
4
2
b/ Nêu 3 y 0 và 2 x y 0
Để có 3 y + 2 x y 0
Suy ra 3 y = 0 và 2 x y = 0
Tìm được x =
(0,5đ)
3
và y = -3
2
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
Bài 3 (2đ)
a/ Viết được 7x2 - 35x + 42 = 7(x-3)(x-2)
Tìm được x = 3 , x = 2 và trả lời
b/ Từ giả thiết suy ra f(0) = c chia hết cho 7
f(1) và f(-1) chia hết cho 7 , tức là a+b+c và a-b+c chia hết cho 7
Suy ra 2a + 2c chia hết cho 7 để có a chia hết cho 7.
Suy ra b chia hết cho 7
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
Bài 4 (2đ)
a/ Viết được (x+1)2 = 42 + 8y2
Suy ra (x+1)2 là số chẵn, để có (x+1)2 chia hết cho 4
Nêu 42 + 8y2 khơng chia hết cho 4.
Kết luận: khơng có số ngun x, y nào thõa mãn đề bài
b/ Xét xn – x = x ( xn-1 - 1 )
+ 0 < x < 1 nên xn-1 < 0 và x > 0
Suy ra: xn - x < 0
+ Suy ra điều phải chứng minh
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
Bài 5 (2đ)
a/ Nêu được AK MC
Suy ra hai góc KAH và MCB bằng nhau
b/ Chứng minh CE = MN
Viết được AB - AC > BD - CE. Suy ra: BM > BD – MN
Hạ MI BD và chứng minh BM > BI
Kết luận AB + CE > AC + BD
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)