Hsg thcs nguyễn khuyến 2005 2006

TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Năm học : 2005 - 2006
Mơn : TỐN - Khối lớp: 7
Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian giao đề )

Bài 1 (2điểm)

Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b và
c( b + d) = 2bd . Chứng minh (

Bài 2 (2điểm)

8

) =

a8  c8
b8  d 8

a/ Tìm x biết:
5.

3
2

x
4
3

- 3,25 = -2{(1,25)2 – 2,5 . 0,25 + (-0,25)2}

b/ Tìm x , y biết:
Bài 3 (2điểm)

a c
bd

3 y

+

2x  y

=0

a/ Tìm nghiệm của đa thức 7x2 - 35x + 42
b/ Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên , và
a 0. Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) chia hết cho 7.
Chứng minh a, b, c cũng chia hết cho 7.

Bài 4 (2điểm)

a/ Tìm các số nguyên x, y biết x2 + 2x - 8y2 = 41
b/ Biết x  Q và 0 < x < 1. Chứng minh xn < x với n  N, n  2

Bài 5 (2điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE và
AF cắt nhau tại H. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC.
Gọi N là hình chiếu của M trên AC ; K là giao điểm của MN và CE.

a/ Chứng minh hai góc KAH và MCB bằng nhau.
b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD.
--------------------------------

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM


Bài 1 (2đ)

Từ c( b+d ) = 2bd suy ra b + d =

2bd
c

a c
2bc
c
=
=
bd
2bd
d
a
c
a c
Suy ra
=
=
b
d

bd

Viết

(0,5đ)
(0,5đ)

Biến đổi để có điều phải chứng minh
Bài 2 (2đ)

a/ Tính được
Tìm được x =

3
2

x
4
3

=

1
4

3
3
,x=
4
2

b/ Nêu 3  y  0 và 2 x  y  0
Để có 3  y + 2 x  y  0
Suy ra 3  y = 0 và 2 x  y = 0
Tìm được x =

(0,5đ)

3
và y = -3
2

(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

Bài 3 (2đ)

a/ Viết được 7x2 - 35x + 42 = 7(x-3)(x-2)
Tìm được x = 3 , x = 2 và trả lời
b/ Từ giả thiết suy ra f(0) = c chia hết cho 7
f(1) và f(-1) chia hết cho 7 , tức là a+b+c và a-b+c chia hết cho 7
Suy ra 2a + 2c chia hết cho 7 để có a chia hết cho 7.
Suy ra b chia hết cho 7

(0,5đ)

(0,5đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

Bài 4 (2đ)

a/ Viết được (x+1)2 = 42 + 8y2
Suy ra (x+1)2 là số chẵn, để có (x+1)2 chia hết cho 4
Nêu 42 + 8y2 khơng chia hết cho 4.
Kết luận: khơng có số ngun x, y nào thõa mãn đề bài
b/ Xét xn – x = x ( xn-1 - 1 )
+ 0 < x < 1 nên xn-1 < 0 và x > 0
Suy ra: xn - x < 0
+ Suy ra điều phải chứng minh

(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

Bài 5 (2đ)

a/ Nêu được AK  MC
Suy ra hai góc KAH và MCB bằng nhau

b/ Chứng minh CE = MN
Viết được AB - AC > BD - CE. Suy ra: BM > BD – MN
Hạ MI  BD và chứng minh BM > BI
Kết luận AB + CE > AC + BD

(0,5đ)
(0,5đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)