Hsg thcs cảnh hóa 2017 2018

PHỊNG GD& ĐT QUẢNG TRẠCH
TRƯỜNG THCS CẢNH HĨA

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Mơn: Tốn
Năm học 2017-2018
Thời gian:150 phút(khơng kể thời gian giao đề)

Bài 1 (1,0 điểm).
1 5
1 5
27   13 
4 8
4 8

a. Tính hợp lý các biểu thức sau:
b. Tìm x biết:

1

32:

2x  1

=

21
22

Bài 2 (1,0 điểm).
Tìm x, y, z biết 2x 3y;5x 7z và 3x-7y+5z=30

Bài 3 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA
lấy D , sao cho KD = KA.
a) Chứng minh: CD // AB.
b) Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N .
Chứng minh rằng: ABH = CDH.
c) Chứng minh:  HMN cân.
Bài 4: (4,5 điểm).
a) Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11.
b) Chứng minh rằng :
n 2
n 2
n
n
Với mọi số nguyên dương n thì : 3  2  3  2 chia hết cho 10
c) Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gÊp 5 lÇn tỉng cđa chóng
Bài 5 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B =

x

1
2
 x
2
3

Họ và tên thí sinh: ………………………. ........... Số báo danh................................................. .

PHỊNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH

HƯỚNG DẪN CHẤM


TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA

Bài
Bài 1
(1,0đ)

ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2017 -2018
Mơn:Tốn
Lớp: 7

Nội dung
1 5
1 5 5
1
1
5 35
a ) 27   13   (27  13 ) 14. 
4 8
4 8 8
4
4
8 4

b. Nếu
7
2

x

1
.
2

Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0)
21
22

: (2x – 1) =
7

21

<=> 2x – 1 = 2 : 22 =
Nếu
7
2

x

(1,0đ )

Bài 3

1
.
2

7
3

7 22 11
.
 <=>x
2 21
3

=

14
3

:2=

7
3

>

1
2

0,5đ

Ta có:

: (1 - 2x) =

Vậy x =
Bài2

Điểm
1,0đ

21
22

<=>x =

hoặc x =



8
3

: (-2) =



4 1

3 2

4
3

0,5đ

x y
x
y
 

(1)
3 2
21 14
x z
x
z
5x 7z   

(2)
7 5
21 15
x
y
z
 
Từ (1) và (2) 
21 14 15
3x 7y 5z 3x  7y  5z 30 3

  
 
63 98 75 63  98  75 40 4
x 3
63


  x
21 4
4
z 3
45
y 3
21
  z
  y ;
15 4
4
14 4
2
63
21
45
Vậy x  , y  ,z 
.
4
2
4
Ta có 2x 3y 

0.5đ

0.5đ

D

B

(2,5đ)

K

A

0.25đ

N

M

H

C


a/ Chứng minh CD song song với AB.
Xét 2 tam giác: ABK và DCK có:
BK = CK (gt)
(đối đỉnh)

ˆ A CK
ˆD
BK

AK = DK (gt)
0,5đ

 ABK = DCK (c-g-c)
; mà

ˆ B 90 0  AC
ˆ D AC
ˆ B  BC
ˆ D 90 0
ˆ C  AC
AB



ˆ K DB
ˆK
DC



ˆ D 90 0 BA
ˆC
AC

AB // CD (AB  AC và CD  AC).

0,25đ

b. Chứng minh rằng: ABH = CDH
Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có:
BA = CD (do ABK = DCK)

AH = CH (gt)

0,5đ

 ABH = CDH (c-g-c)
c. Chứng minh:  HMN cân.
Xét 2 tam giác vng: ABC và CDA có:
ˆ C ; AC cạnh chung:  ABC = CDA (c-g-c)
AB = CD; ACˆD 90 0 BA



0,5đ

ˆ B CA
ˆD
AC

mà: AH = CH (gt) và

ˆ A  NH
ˆC
MH

(vì ABH = CDH)

 AMH = CNH (g-c-g)
 MH = NH. Vậy HMN cân tại H
Bài 4
(4,5đ)

a) Ta có:

abcabc

0,5đ

= a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c

= a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1)
= (103 + 1)( a.102 + b.10 + c)
= (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c)
2

= 11.91( a.10 + b.10 + c)
Vậy

11

abcabc 11

b. 3n 2  2n 2  3n  2n = 3n 2  3n  2n 2  2n
= 3n (32  1)  2n (2 2  1)
= 3n 10  2n 5 3n 10  2n 1 10
= 10( 3n -2n-1)
n 2
n2
n
n
Vậy 3  2  3  2  10 với mọi n là số nguyên dương.

c. Gäi 3 sè nguyªn tố phải tìm là; a, b, c ta có:
a.b.c = 5(a+b+c) => abc  5
V× a, b, c cã vai trò bình đẳng
Giả sử:
a 5, vì a P => a = 5

0.5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ


Khi ®ã: 5bc = 5(5+b+c) <=> 5+b+c = bc <=> bc-b-c +1 = 6
<=> b(c-1) – (c-1) = 6
(c-1)(b-1) = 6
Do vËy:
b-1 = 1
=> b = 2
Vµ c-1 = 6
vµ
c=7
b-1 = 2
=> b = 3
(loại vì c = 4 P)
và
c-1 = 3
và

c=4
Vai trò a, b, c, bình đẳng
Vậy bộ số (a ;b ;c) cần tìm là (2 ;5 ;7)

0,25

0,25

0,25
Bi 5
(1đ)

Với

2
x
3

Với
Vì

2
2
2
thì x  3 0  x  3  x  3 thay vào B, ta tính được
2
2 2
2
1
x  thì x  0  x   x  thay vào B, ta tính được B = 2 x 

3
3 3
3
6

x

2
3

nên

2x 

4
3

Suy ra

Từ (1) và (2) suy ra B 

7
6

2x 

1 4 1 7
  
6 3 6 6

Vậy B <

. Do đó: max B =

7
6

khi

B=

7
6
x

7
6

(1)

0,25đ

(2)
2
3

0.25đ
0,5đ
--------------------------------- HẾT -----------------------------------