Trường THCS NTM KHAI
-----------o0o---------
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
MƠN: TỐN
Năm học 2015 – 2016
Thời gian 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề)
----------------o0o--------------
Bài 1: (4 điểm) Tính giá trị của biểu thức
a) A =
4 5.94 2.69
10 8
8
.3 6 .20
2
;
b) B = 1 3 32 33 ... 32015
32016
2
Bài 2: (4 điểm)
a) Tìm x biết:
15
3
5
x
28
14
12
b) Tìm x, y nguyên biết: 25 y 2 4( x 2016) 2
Bài 3: (4 điểm)
a) Cho đa thức: f(x) = ax2 + bx + c
Biết 13a + b + 2c = 0. Chứng minh f(-2). f(3) ≤ 0
b) Cho các số thực x, y, z 0 thỏa mãn:
Tính giá trị cuả biểu thức: M =
xy
yz
xz
x y yz xz
x2 y 2 z 2
.
xy yz xz
Bài 4: (8 điểm) Cho tam giác ABC vng ở A, có phân giác BD, CE cắt nhau ở I.
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của D, E trên BC
a) Chứng minh tam giác ABM cân.
b) Chứng minh MN = AB + AC – BC
c) Tính góc MAN.
d) Gọi G, K lần lượt là giao điểm của BD và AN; CE và AM. Tia AI cắt GK ở
H. Tính góc AHG.
-----------------------------------Hết--------------------------------Họ và tên thí sinh:………………………………………………Số báo danh:…………
Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi mơn tốn 7
Năm học 2015-2016
----------o0o---------Bài
Câu
a)
2đ
1
b)
2đ
a)
2đ
2
b
2đ
3
a)
2đ
b)
2đ
Tóm tắt cách giải
2 .3 2 .39
210.38 (1 3)
1
A = 10 8
2 .3 210.38.5
210.38 (1 5)
3
Đặt M = 1+3+32+…+32015
Ta có 3M=3+32+33+…+32016
10
8
Điểm
10
32016 1
2
2
2016
2016
1
3
1 3
Khi đó B =
=2
2
2
2
3 15 5
3 80
x
x
<=>
14 28 12
14 84
3 80
3
80
x
hoặc x
14 84
14
84
3 80
3 80
x
x
14 84
14 84
7
31
x
x
6
42
7
31
Vậy x ; x
6
42
Ta có 4 ( x – 2016)2 0 với mọi x nên 25 - y2 0 => y2 25
3M - M=32016 – 1 => M =
Mà 4 ( x – 2016)2 là số chính phương chẵn => 25 - y2 chẵn
=>y lẻ.
y2 là số chính phương lẻ, y2 25 => y2 {1;9;25}
+ Nếu y2=25 => 4 ( x – 2016)2=0 => x=2016
+ Nếu y2=9 => 4 ( x – 2016)2=16 => x=2016
=> ( x – 2016)2= 4
x-2016 =2 hoặc x-2016 = -2
x = 2018 hoặc x = 2014
+ Nếu y2 =1 => 4 ( x – 2016)2= 24 khơng phải là số chính
phương (loại )
Vậy với y = 3 thì x = 2018; x = 2014
Với y = 5 thì x = 2016.
Ta có f(3)= 9a+3b+c ;
f(-2)= 4a-2b+c
f(3)+ f(-2) =13a+b+2c = 0 => f(3)= -f(-2)
2
f(3).f(-2) = -f(3) 0
x y
yz
2
1,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5
0,5
0,5
1,0
xz
Vì x, y, z 0 nên theo bài ra ta có: x. y y.z x.z
1 1 1
=> x = y = z.
x y z
Thay x = y = z vào M ta được M = 1.
1,5
0,5
Bài
Câu
a) 2đ
b) 2đ
Tóm tắt cách giải
ABD = MBD (cạnh huyền – góc nhọn) => AB = AM =>
AMB cân ở B.
Ta có AEC = NEC => CN = CA
Khi đó AB + AC = BM + CN = BM + MC + MN = BC + MN
MN = AB + AC - BC
ABC
180o ABC
Từ AMB cân ở M => AMB
90o
4
c) 2đ
d) 2đ
2
2
o
180 ACB
ACB
Từ ANC cân ở N => ANB
90o
2
2
Trong AMN có MAN
180o AMB ANC
ABC
ACB
= 180o (90o
) (90o
)
2
2
ABC ACB 90o
=
45o
2
2
2
(Vì ABC vng tại A nên ABC ACB 90o )
Vậy MAN
45o
Vì AMB cân ở B nên đường phân giác BD đồng thời là đường
cao => BD AM hay GI AK
ANC cân ở C => đường phân giác CE đồng thời là đường
cao => CE AN hay KI AG
Trong AKG có 2 đường cao xuất phát từ G, K cắt nhau ở I =>
I là trực tâm của AKG .
AI GK ở H => AHG 90o
Điểm
2,0
0,5
1,0
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5