Hsg thcs minh khai 2015 2016

Trường THCS NTM KHAI
-----------o0o---------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
MƠN: TỐN
Năm học 2015 – 2016
Thời gian 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề)
----------------o0o--------------

Bài 1: (4 điểm) Tính giá trị của biểu thức
a) A =

4 5.94  2.69
10 8
8
.3  6 .20

2

;

b) B = 1  3  32  33  ...  32015 

32016
2

Bài 2: (4 điểm)
a) Tìm x biết:

15
3

5
 x

28
14
12

b) Tìm x, y nguyên biết: 25  y 2 4( x  2016) 2
Bài 3: (4 điểm)
a) Cho đa thức: f(x) = ax2 + bx + c
Biết 13a + b + 2c = 0. Chứng minh f(-2). f(3) ≤ 0
b) Cho các số thực x, y, z 0 thỏa mãn:

Tính giá trị cuả biểu thức: M =

xy
yz
xz


x y yz xz

x2  y 2  z 2
.
xy  yz  xz

Bài 4: (8 điểm) Cho tam giác ABC vng ở A, có phân giác BD, CE cắt nhau ở I.
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của D, E trên BC
a) Chứng minh tam giác ABM cân.
b) Chứng minh MN = AB + AC – BC

c) Tính góc MAN.
d) Gọi G, K lần lượt là giao điểm của BD và AN; CE và AM. Tia AI cắt GK ở
H. Tính góc AHG.
-----------------------------------Hết--------------------------------Họ và tên thí sinh:………………………………………………Số báo danh:…………


Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi mơn tốn 7
Năm học 2015-2016
----------o0o---------Bài

Câu
a)
2đ

1

b)
2đ

a)
2đ

2

b
2đ

3

a)

2đ
b)
2đ

Tóm tắt cách giải
2 .3  2 .39
210.38 (1  3)
1


A = 10 8
2 .3  210.38.5
210.38 (1  5)
3
Đặt M = 1+3+32+…+32015
Ta có 3M=3+32+33+…+32016
10

8

Điểm

10

32016 1

2
2
2016
2016

1
3
1 3
 Khi đó B =
=2
2
2
2
3 15 5
3 80
x
 
x

<=>
14 28 12
14 84
3 80
3
80
x

hoặc x  
14 84
14
84
3 80
3 80
x 
x 

14 84
14 84
7
31
x
x
6
42
7
31
Vậy x  ; x 
6
42
Ta có 4 ( x – 2016)2  0 với mọi x nên 25 - y2 0 => y2 25

3M - M=32016 – 1 => M =

Mà 4 ( x – 2016)2 là số chính phương chẵn => 25 - y2 chẵn
=>y lẻ.
y2 là số chính phương lẻ, y2 25 => y2  {1;9;25}
+ Nếu y2=25 => 4 ( x – 2016)2=0 => x=2016
+ Nếu y2=9 => 4 ( x – 2016)2=16 => x=2016
=> ( x – 2016)2= 4
x-2016 =2 hoặc x-2016 = -2
x = 2018 hoặc x = 2014
+ Nếu y2 =1 => 4 ( x – 2016)2= 24 khơng phải là số chính
phương (loại )
Vậy với y = 3 thì x = 2018; x = 2014
Với y = 5 thì x = 2016.
Ta có f(3)= 9a+3b+c ;

f(-2)= 4a-2b+c
f(3)+ f(-2) =13a+b+2c = 0 => f(3)= -f(-2)
2
 f(3).f(-2) = -f(3)  0
x y

yz

2

1,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

0,5
1,0

0,5
0,5
0,5
1,0

xz

Vì x, y, z  0 nên theo bài ra ta có: x. y  y.z  x.z


1 1 1
  => x = y = z.
x y z

Thay x = y = z vào M ta được M = 1.

1,5
0,5


Bài

Câu

a) 2đ
b) 2đ

Tóm tắt cách giải

ABD = MBD (cạnh huyền – góc nhọn) => AB = AM =>
AMB cân ở B.
Ta có AEC = NEC => CN = CA

Khi đó AB + AC = BM + CN = BM + MC + MN = BC + MN
 MN = AB + AC - BC
ABC
180o  ABC
Từ AMB cân ở M => AMB 
90o 

4

c) 2đ

d) 2đ

2
2
o


180  ACB
ACB
Từ ANC cân ở N => ANB 
90o 
2
2

Trong AMN có MAN
180o  AMB  ANC
ABC
ACB
= 180o  (90o 
)  (90o 
)
2
2
ABC ACB 90o
=



45o
2
2
2
(Vì ABC vng tại A nên ABC  ACB 90o )

Vậy MAN
45o
Vì AMB cân ở B nên đường phân giác BD đồng thời là đường
cao => BD  AM hay GI  AK
ANC cân ở C => đường phân giác CE đồng thời là đường
cao => CE  AN hay KI  AG
Trong AKG có 2 đường cao xuất phát từ G, K cắt nhau ở I =>
I là trực tâm của AKG .
 AI  GK ở H => AHG 90o

Điểm

2,0
0,5
1,0
0,5
0,5
0,5

1,0
0,5
0,5
0,5

0,5