Hsg huyện vũ thư 2007 2008

PHÒNGD-ĐT VŨ THƯ

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2007 – 2008
MƠN: TỐN LỚP 7
THỜI GIAN LÀM BÀI : 120 PHT

Bài 1: (5điểm)
1) Thực hiện phép tính (theo cách hợp lÝ nÕu cã thÓ)
2009 
 1
 1
a)2008. 

 2009. 


 2007 1004 
 2007
9

5

2
 9
9
 5  .10   4 


b)  
412  169

  3
: 
 16 


2


10

2) Chứng tỏ rằng: 1 + 5 + 52 + 53 + ...+ 529 chia hết cho 31
Bài 2: (4điểm)
1) Tìm x biết:

1
5
: x  1  0, 25 
3
12
y
3

z
5

2) Tìm ba số x,y,z biết rằng: 2x   và x  y 

z
 20

2

Bài 3: (4điểm)
Cho hai đa thức : P(x) = x5 – 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 6
Q(x) = 3x4 + x5 – 2(x3 + 4) – 10x2 + 9x
Đặt H(x) = P(x) - Q(x)
1) Chứng minh đa thức H(x) khơng có nghiệm
2) Chứng tỏ rằng: H(x) 2008 với x  Z
Bài 4: (5điểm)
Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB và AC theo thứ tự lấy các điểm M,N sao
cho AM = AN (M nằm giữa A và B, N nằm giữa A và C)
1) Chứng minh rằng : Nếu AB = AC thì BN = CM
2) Cho biết AB > AC:
a) Chứng minh rằng : BN > CM
b) Gọi giao điểm của BN và CM là K, so sánh BK và CK
Bài 5: (2điểm)
Chứng minh rằng:

1 1 1
1 2
 2  2  ......  2  với n  N, n 4
2
2 3 4
n
3


HƯỚNG DẪN GIẢI-VŨ THƯ
Bài 1:
Câu 1: 3,5 đ - ý a: 1,5 đ; ý b: 2đ;

Câu 2: 1,5 đ
1) Thực hiện phép tính (theo cách hợp lí nếu có thể)
2009 
 1
 1
a)2008. 

 2009. 


 2007 1004 
 2007

 2008 2008.2009 2009
2 


 2.2009
1004
2007
 2007

2008
2009
 2.2009 
 2.2009
2007
2007
2008 2009
1




2007 2007 2007

(0,5đ)



9

5

 2
 9
9
 5  .10   4 
 
b)  
12
4  16 9
218  230
 24
(0,5đ)
2  236

10

(0,5đ)
9

10

  3
 2  9 9   3
 5  .2 .5  210 : 2 40
 
224  236
218 (1  212 ) 1
1
 24
 6 
(0,5đ)
12
2 (1  2 ) 2
64

  3
: 
 16 

(0,5đ)

10

(0,5đ)

2) Chứng tỏ rằng 1 + 5 + 52 + 53 + ...+ 529 chia hết cho 31
1 + 5 + 52 + 53 +...+ 529 =(1 + 5 + 52) + (53 + 54 + 55) +...+( 527 + 528 + 529) (0,25đ)
= (1 + 5 + 52) + 53. (1+ 5 + 52) + ...+ 527. (1 + 5 + 52)

(0,5đ)
3
27
= 31 + 5 .31 +...+ 5 . 31
(0,25đ)
3
27
= 31.(1 + 5 +...+ 5 ) chia hết cho 31
(0,25đ)
2
3
29
Vậy 1 + 5 + 5 + 5 +...+ 5 chia hết cho 31
(0,25đ)
Bài 2
Mỗi câu đúng cho 2 đ
Bài 3
Làm đúng mỗi câu cho 2điểm
1.Chứng minh đa thức H(x) khơng có nghiệm
+Tính đúng H(x) = x2 + 2x + 2
(1đ)
2
= ( x + 1) + 1
(0,25đ)
2
Do  x  1 0x
(0,25đ)

 x  1

2

 1 1  0x

=> H(x) khơng có nghiệm
2.Chứng tỏ rằng: H(x) 2008 với x  Z
H(x) = x2 + 2x + 2 = x(x + 2) + 2
Giả sử tồn tại x  Z để H(x)= 2008
=> x(x + 2) + 2 = 2008 => x(x + 2) = 2006
=> x hoặc x+ 2 chia hết cho 2 => x và x+ 2 chia hết cho 2
=> x(x + 2) chia hết cho 4 tức là 2006 khơng chia hết cho 4
Mâu thuẫn, vì 2006 không chia hết cho 4, điều giả sử là sai

(0,25đ)

(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)


Vậy H(x) 2008 với x  Z
Bài 4
Câu 1: 1đ:
Câu 2: 4đ

A

VABN VACM(cgc)

 BN CM

1)

M

N

B

2) ý a đúng cho 2điểm, ý b đúng cho 2 điểm
a) Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AC
Khi đó D nằm giữa B và M. Nối D với N
+.c/m: VADN VACM(c.g.c)  DN CM
·
·
+.Trong VADC có ADN
 ACM
 180 0
·
=> ADN
 90 0
·
·
·
Mà BDN
 NDA
180  BDN
 90 0
=> Trong tam giác BDN có BN > DN, mà DN = CM

=> BN > CM
b) Gọi giao điểm của DN và CM là I. Ta c/m : VDNM VCMN

C
A

M
I
D

K

B

·
·
 INM
IMN

Do D nằm giữa B và M nên tia ND nằm giữa 2 tia NB và NM
·
·
·
·
BNM
 DNM
 KNM
 INM
=>
·

·
KNM
 KMN
 KM  KN

Mặt khác theo c/m trên ta có : BN > CM => BK > CK
Bài 5
1 1 1
1 2
 2  2  ......  2 
với n  N, n 4
2
2 3 4
n
3
1669 1 2
  và BĐT luôn đúng
+.Với n = 5 dễ dành tính được giá trị biểu thức là
3600 2 3

Chứng minh rằng:

+.Với n > 5
1
1
1 1 1
1
 2  2  ......  2 và có k  N; k 2  2 
2
k

k(k  1)
2 3 4
n
1 1 1 1
1
1 1669 1
1
1
A ( 2  2  2  2 )  2 ......  2 


 ..... 
2 3 4 5
6
n
3600 5.6 6.7
n(n  1)
1669 1 1
1
1
A
   ..... 

3600 5 6
n 1 n
1669 1 1 1669 1 2389 2
A (
 ) (
 )


3600 5 n 3600 5 3600 3

Đặt A 

N

C